2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中模擬卷（選擇性必修第一冊(cè)）（拔高卷）

期中押題預(yù)測(cè)卷（拔高卷）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．寫在本試卷上無(wú)效．3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．4．測(cè)試范圍：選擇性必修第一冊(cè)5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量，，且，，，則一定共線的三點(diǎn)是（

）A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D【答案】A【解析】因?yàn)?，，，選項(xiàng)A，，，若A，B，D三點(diǎn)共線，則，即，解得，故該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)B，，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則，即，解得不存在，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，，，若B，C，D三點(diǎn)共線，則，即，解得不存在，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，，，若A，C，D三點(diǎn)共線，則，即，解得不存在，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：A.2．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（LeonhardEuler）年在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出，任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上.后人稱這條直線為歐拉線，已知的頂點(diǎn)、，其歐拉線方程為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)，則的重心為，由題意可得，可得，①線段的中點(diǎn)為，，所以，線段的中垂線方程為，即，聯(lián)立，解得，故的外心為，因?yàn)?，即，②?lián)立①②可得或.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合.因此，點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：A.3．已知的一條內(nèi)角平分線的方程為，兩個(gè)頂點(diǎn)為、，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為，則點(diǎn)在直線上，所以，，即，①因?yàn)橹本€與直線垂直，直線的斜率為，則，②聯(lián)立①②可得，，即點(diǎn)，，所以，直線的方程為，由題意可知，點(diǎn)為直線、的交點(diǎn)，聯(lián)立，解得，因此，點(diǎn)的坐標(biāo)為.4．已知正方體ABCD—A1B1C1D1中，點(diǎn)E是線段A1D1靠近點(diǎn)D1的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F，G分別為C1D1，B1C1的中點(diǎn).下列說(shuō)法中正確的是（

）A．A，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面B．AD1與B1D所成夾角為60°C．BG平面ACD1D．三棱錐D—ACD1與三棱錐B—ACD1體積相等【答案】D【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系；設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為3，則,,取的中點(diǎn)為,則又，因此,故四點(diǎn)共面，又平面,假如直線平面，則這與平面與平面的交線是矛盾，故四點(diǎn)不共面，錯(cuò)誤；故,所以，進(jìn)而AD1與垂直，故B錯(cuò)誤；因?yàn)槠矫?平面,所以平面，若平面，則平面平面，顯然矛盾，故C錯(cuò)誤；由于,故底面和高均相等，因此體積相等，正確.故選：D5．下列結(jié)論正確的是（

）①過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程為；②圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線：的距離都等于1；③已知，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)是圓：外一點(diǎn)，且直線的方程是，則直線與圓相交；④已知直線和以，為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍為；A．①③ B．②③ C．②④ D．③④【答案】B【解析】對(duì)①，當(dāng)截距為零時(shí)，易得直線l為，①錯(cuò)；對(duì)②，圓的圓心為，半徑，則圓心到l的距離為，故圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線：的距離都等于1，②對(duì)；對(duì)③，點(diǎn)P在圓外，則有，圓心到直線m的距離為，故直線與圓相交，③對(duì)；對(duì)④，直線，過(guò)定點(diǎn)，則，直線和以，為端點(diǎn)的線段相交，則或，④錯(cuò)；故選：B6．人造地球衛(wèi)星繞地球運(yùn)行遵循開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律：衛(wèi)星在以地球?yàn)榻裹c(diǎn)（不妨設(shè)為橢圓右焦點(diǎn)）的橢圓軌道上繞地球運(yùn)行時(shí)，其運(yùn)行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒規(guī)律，即衛(wèi)星的向徑（衛(wèi)星與地球的連線）在相同的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等.1970年4月24日，我國(guó)發(fā)射了自己的第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號(hào)”，從此我國(guó)開始了人造衛(wèi)星的新篇章，設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、焦距分別為2a，2c，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越小，橢圓軌道越扁B．衛(wèi)星運(yùn)行速度在近地點(diǎn)時(shí)最大，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)最小C．衛(wèi)星向徑的取值范圍是D．衛(wèi)星在右半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間大于其在左半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間【答案】D【解析】衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越小，即越小，則e越大，橢圓軌道越扁，故A正確；因?yàn)檫\(yùn)行速度是變化的，速度的變化服從衛(wèi)星的向徑（衛(wèi)星與地球的連線）在相同的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等，則向徑越大，速度越小，所以衛(wèi)星在近地點(diǎn)時(shí)向徑最小，故速度最大，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)向徑最大，故速度最小，故B正確；由題意可得衛(wèi)星的向徑是橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離，所以最小值為，最大值為，故C正確；當(dāng)衛(wèi)星在左半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)，對(duì)應(yīng)的面積更大，根據(jù)面積守恒規(guī)律，速度更慢，所以運(yùn)行時(shí)間大于在右半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間，故D不正確，故選：D．7．已知雙曲線（，）的兩條漸近線與拋物線（）的準(zhǔn)線分別交于A，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若雙曲線的離心率為，的面積為，則的內(nèi)切圓半徑為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，可得，所以雙曲線的漸近線方程為由得，由得，∴，解得，∴，，則的三邊長(zhǎng)分別為，，．設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，由，解得.故選：C．8．已知分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，為雙曲線的右頂點(diǎn).過(guò)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在第一象限），設(shè)分別為的內(nèi)心，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)上的切點(diǎn)分別為H?I?J，則.由，得，∴，即.設(shè)內(nèi)心M的橫坐標(biāo)為，由軸得點(diǎn)J的橫坐標(biāo)也為，則，得，則E為直線與x軸的交點(diǎn)，即J與E重合.同理可得的內(nèi)心在直線上，設(shè)直線的領(lǐng)斜角為，則，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由題知，，因?yàn)锳，B兩點(diǎn)在雙曲線的右支上，∴，且，所以或，∴且，∴，綜上所述，.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱，且，則（

）A． B．C．底面 D．直線底面所成的角為【答案】ACD【解析】設(shè)，則，，因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱，且，所以，，，，，，，，所以；所以，A對(duì)，；所以，B錯(cuò)，，所以，，又，平面，故底面；C對(duì)，因?yàn)榈酌?，所以直線在平面上的投影為為直線，所以直線與平面的夾角為，在中，，，，所以是等腰直角三角形，其中，所以，所以直線與平面的夾角為，又，所以直線底面所成的角為，D對(duì)，故選：ACD.10．在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)的軌跡為，則（

）A．的周長(zhǎng)為B．（不重合時(shí)）平分C．面積的最大值為6D．當(dāng)時(shí)，直線與軌跡相切【答案】ABD【解析】設(shè)，因?yàn)椋尹c(diǎn)滿足，可得，整理得，即曲線的方程為．對(duì)于A中，曲線為半徑為的圓，所以周長(zhǎng)為，所以A正確；對(duì)于B中，因?yàn)?，所以，所以，延長(zhǎng)到，使，連結(jié)，如圖所示，因?yàn)椋?，所以，所以，，因?yàn)?，所以，所以，即平分，所以B正確．對(duì)于C中，由的面積為，要使得的面積最大，只需最大，由由點(diǎn)的軌跡為，可得，所以面積的最大值為，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，當(dāng)時(shí)，或，不妨取，則直線，即，因?yàn)閳A心到直線的距離為，所以，即直線與圓相切，所以D正確．故選：ABD．11．油紙傘是中國(guó)傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，某市文化宮于春分時(shí)節(jié)開展油紙傘文化藝術(shù)節(jié).活動(dòng)中，某油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場(chǎng)地上，如圖所示，該傘的傘沿是一個(gè)半徑為1的圓，圓心到傘柄底端的距離為1，陽(yáng)光照射油紙叢在地面上形成了一個(gè)橢圓形的影子（春分時(shí)，該市的陽(yáng)光照射方向與地面的夾角為），若傘柄底端正好位于該橢圓的左焦點(diǎn)位置，則（

）A．該橢圓的離心率為 B．該橢圓的離心率為C．該橢圓的焦距為 D．該橢圓的焦距為【答案】BC【解析】，如圖，分別是橢圓的左?右頂點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，是圓的直徑，為該圓的圓心.因?yàn)?，所以，設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距為，則.因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，解得，所以，所?故選：BC12．如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），下列四個(gè)結(jié)論中，正確的有（

）A．存在點(diǎn)，使得平面B．存在點(diǎn)，使得直線與直線所成的角為C．存在點(diǎn)，使得三棱錐的體積為D．不存在點(diǎn)，使得，其中為二面角的大小，為直線與所成的角【答案】ACD【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），則、、、、、、、，設(shè)，即點(diǎn)，其中.對(duì)于A：假設(shè)存在點(diǎn)，使得平面，因?yàn)?，，，則，解得，故當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，平面，即選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：假設(shè)存在點(diǎn)，使得直線與直線所成的角為，，，因?yàn)?，即，所以不存在點(diǎn)，使得直線與直線所成的角為，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C：假設(shè)存在點(diǎn)，使得三棱錐的體積為，，且點(diǎn)到平面的距離為，則，解得，所以當(dāng)點(diǎn)為線段的靠近的四等分點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積為，即選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，易知平面的一個(gè)法向量為，則，，，，因?yàn)?，，則，因?yàn)椤?，且余弦函?shù)在上單調(diào)遞減，則，即不存在點(diǎn)，使得，即選項(xiàng)D正確.故選：ACD.第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過(guò)直線上一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則直線過(guò)定點(diǎn)__________.【答案】【解析】設(shè)，則有①，又由圓的圓心為，直線，是圓的兩條切線，為切點(diǎn)，則，，則點(diǎn)均在以為直徑的圓上，設(shè)的中點(diǎn)為，則圓的方程為，化簡(jiǎn)得；直線即為兩圓的公共弦，所以，對(duì)于和，兩式相減可得直線的方程為，由①可得，，整理得，故直線過(guò)定點(diǎn)故答案為：14．如圖，在三棱錐中，點(diǎn)G為底面的重心，點(diǎn)M是線段上靠近點(diǎn)G的三等分點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M的平面分別交棱，，于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若，，，則_______.【答案】【解析】由題意可知，因?yàn)镈，E，F(xiàn)，M四點(diǎn)共面，所以存在實(shí)數(shù)，，使，所以，所以，所以所以.故答案為：15．在四棱錐中，平面平面，四邊形為等腰梯形，為等邊三角形，，則四棱錐的外接球球心到平面的距離是___________.【答案】【解析】取的中點(diǎn)，連接∵為等邊三角形，則平面平面，平面平面∴平面取的中點(diǎn)，由于四邊形為等腰梯形，且，則可以得到，即為等腰梯形的外接圓的圓心過(guò)作的平行線，則外接球球心必在上，設(shè)，在梯形中，，則∵，即，解出，建系如圖，則設(shè)平面的法向量，則令，則，則∵，則到平面的距離故答案為：.16．平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的漸近線與拋物線交于點(diǎn)，，．若的垂心為的焦點(diǎn)，且點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的方程為________．【答案】【解析】雙曲線的漸近線為，由，解得或，所以，由，解得或，所以．∵為的垂心，，即，解得，∵點(diǎn)雙曲線上，即，∴，即雙曲線方程為；故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。17．（10分）已知直線：.(1)證明無(wú)論為何值，直線與直線總相交；(2)若為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與，軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，求面積的最小值.【解析】（1）對(duì)于，化簡(jiǎn)得，取，得到，對(duì)于點(diǎn)，直線與直線都是必過(guò)點(diǎn)，所以，無(wú)論為何值，直線與直線總相交（2）設(shè)，由（1）得，，整理得，因?yàn)?，則，得，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立），面積的最小值為18．（12分）如圖，已知正三棱柱中，所有棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn).(1)求與平面AEF所成角的正弦值；(2)過(guò)A、E、F三點(diǎn)作一個(gè)平面，則平面AEF與平面有且只有一條公共直線，在圖中作出這條公共直線，簡(jiǎn)略寫清作圖過(guò)程，并求這條公共直線在正三棱柱底面內(nèi)部的線段長(zhǎng)度.【解析】（1）正三棱柱中，取AC中點(diǎn)O，連接OB，OF，而F為的中點(diǎn)，則，

四邊形是平行四邊形，即，又平面，則有平面，即OA，OB，OF兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，射線OA，OB，OF分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，，，，設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為，則，令，得，設(shè)與平面AEF所成角為，則，所以與平面AEF所成角的正弦值為.（2）如圖，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，M畫直線FM，則直線FM即為所作，因點(diǎn)直線，而平面，則點(diǎn)平面，同理點(diǎn)平面，而點(diǎn)平面，點(diǎn)平面，因此直線FM是平面AEF與平面的公共直線，令，因是中點(diǎn)，則且，即是的一條中位線，因此是中點(diǎn)，又是中點(diǎn)，則是的重心，，在中，，由余弦定理得：，所以這條公共直線在正三棱柱底面內(nèi)部的線段長(zhǎng)度為.19．（12分）如圖，已知圓，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)引圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，．(1)求直線的方程，并判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)求線段中點(diǎn)的軌跡方程；(3)若兩條切線，與軸分別交于，兩點(diǎn)，求的最小值．【解析】（1），，，故以為圓心，為半徑的圓的方程為，顯然線段為圓和圓的公共弦，則直線的方程為，即，經(jīng)判斷直線過(guò)定點(diǎn)，即所以直線過(guò)定點(diǎn)（2）因?yàn)橹本€過(guò)定點(diǎn)，的中點(diǎn)為直線與直線的交點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)，直線過(guò)的定點(diǎn)為點(diǎn)，易知始終垂直于，所以點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓，又，，故該圓圓點(diǎn)，半徑，且不經(jīng)過(guò).點(diǎn)的軌跡方程為（3）設(shè)切線方程為，即，故到直線的距離，即，設(shè)，的斜率分別為，，則，，把代入，得，則，故當(dāng)時(shí)，取得最小值為．20．（12分）如圖所示，三棱柱中，所有棱長(zhǎng)均為2，，，分別在，上（不包括兩端），．（1）求證：平面；（2）設(shè)與平面所成角為，求的取值范圍．【解析】（1）作，交于點(diǎn)，設(shè)，則，∵，∴，即，∵且，連接，所以四