2021-2022學年重慶廣益中學高二上學期期中考試數(shù)學試題解析版

第=page1818頁，共=sectionpages1818頁2021-2022學年重慶廣益中學高二上學期期中考試數(shù)學試題一、單選題直線的傾斜角

(

)A. B. C. D.【答案】D

【解析】【解答】解：直線的斜率為，所以，又因為

，故直線的傾斜角為

故選：

已知直線的斜率為5，且，則該直線方程為

(

)A. B.

C. D.【答案】A

【解析】【分析】本題主要考查直線的一般式方程，屬于基礎題.

由斜率和確定A、B、C的關系，即可求出結(jié)果.【解答】解：由題意，直線的斜率為5，且，

可得，

所以，

所以直線方程為，

即

故選

兩平行直線

，之間的距離為

(

)A. B.3 C. D.【答案】C

【解析】【分析】本題考查兩條直線平行的斜率關系以及平行直線之間的距離公式的應用，屬于基礎題.

先根據(jù)兩直線平行，求出參數(shù)a，然后利用兩平行線間的距離公式，求出距離.【解答】解：因為直線

與平行，

所以，則直線的方程為，

所以與之間的距離為

過點的直線l與圓相切，則直線l的方程為(

)A.或 B.或

C.或 D.或【答案】D

【解析】【分析】本題考查圓的切線方程，屬于基礎題．

由圓心到直線的距離等于半徑列出方程即可．【解答】解：圓的圓心為，半徑，

當直線l的斜率不存在時，設為，經(jīng)檢驗符合題意;

當直線l的斜率存在時，設斜率為k，直線方程為，

即，

則圓心到直線的距離為

，

解得，

則直線方程為

故選

設x，，向量，，，且，，則

(

)A. B.3 C.4 D.【答案】B

【解析】【分析】本題考查空間向量垂直和平行的坐標運算，以及空間向量的模的計算，屬于基礎題.根據(jù)空間向量垂直和平行的坐標運算解得x，y，可得，解得，再由模長公式求解.【解答】解：，因為，則，

解得，所以，則，所以故選

如圖，在正方體中，分別是的中點，則下列說法正確的是(

)A.MN與垂直 B.MN與AC垂直 C.MN與BD平行 D.MN與平行【答案】ABC

【解析】【分析】本題考查正方體的結(jié)構特征，空間中直線與直線的位置關系，屬于中檔題.

連接，BD，AC，得出MN與BD平行，從而可分析各個選項.【解答】解：如圖，連接，BD，AC，

由N為的中點，又M為的中點，所以，故C正確;

易知，所以，故B正確;

根據(jù)正方體的結(jié)構特征可得平面ABCD，又平面ABCD，所以，所以，故A正確;

顯然，，即BD和不平行，所以MN與不平行，故D錯誤.

故本題選

已知圓：截直線所得線段的長度是，則圓與圓：的位置關系是(

)A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.相離【答案】C

【解析】【分析】本題主要考查直線和圓相交的應用，以及兩圓位置關系的判斷，根據(jù)相交弦長公式求出a的值是解決本題的關鍵．

由題可知圓的圓心為，半徑為，根據(jù)弦長公式可求得a，再根據(jù)兩圓的圓心距為判斷兩圓的位置關系.【解答】解：由題可知圓的圓心為，半徑為，

則到直線的距離

，

則，

解得，則，，

又因為，，

所以圓心距，兩圓外切.

故選：

在平面直角坐標系xOy中，A為直線上在第一象限內(nèi)的點，，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點若，則點A的橫坐標為(

)A.4 B.3 C.2 D.1【答案】A

【解析】【分析】本題考查了向量的數(shù)量積運算，也考查了圓的標準方程，屬于一般題.

先設A點坐標，然后表示出圓的方程，將直線與圓的方程聯(lián)立，求出點D坐標，然后根據(jù)向量垂直求出參數(shù)a，求出A點坐標.【解答】解：設，因為，所以，

則圓C的方程為，

聯(lián)立

解得，

由，

得，解得或，

又，所以，即，

所以點A的橫坐標為

故選：

二、多選題已知圓M：，則下列說法正確的是(

)A.點在圓M外 B.圓M的半徑為

C.圓M關于對稱 D.直線截圓M的弦長為3【答案】BC

【解析】【分析】本題考查圓的方程，點與圓的位置關系，直線與圓的位置關系，是基礎題.

化圓方程為標準方程，再利用點與圓的位置關系、直線與圓的位置關系逐個判斷即可.【解答】解：由題意，得圓M標準方程是，圓心為，半徑為，

對于A、因為，故點在圓M內(nèi)，故錯誤；

對于B、正確；

對于C、因為圓心在直線上，故圓M關于直線對稱，故正確；

對于D、點M到的距離為，

弦長為，故D錯誤，

故選

直線l的方向向量為，兩個平面的法向量分別為，則下列命題為真命題的是

(

)A.若，則直線平面

B.若??，則直線l與平面所成角的大小為

C.若，則直線平面

D.若，則平面夾角的大小為【答案】BC

【解析】【分析】本題考查線面平行的向量表示、直線與平面所成角的向量求法、線面垂直的向量表示、平面與平面夾角的向量求法，屬于一般題.

由，得到直線平面或，可判定A不正確;根據(jù)平面法向量的概念及空間角的求解方法，可判定B、C、D正確.【解答】解：由題意知，直線l的方向向量為，兩個平面，的法向量分別為，

對于A中，若，則直線平面或，所以A不正確;

對于B中，若??，因為??，所以??，

設直線l與平面所成角為，可得，即直線l與平面所成角的大小為，所以B正確;

對于C中，若，則直線平面，所以C正確;

對于D中，若，因為，，所以，，

所以平面，夾角的大小為，所以D不正確.

故選：

已知圓O：和圓M：相交于A、B兩點，下列說法正確的是(

)A.圓M的圓心為，半徑為1

B.直線AB的方程為

C.線段AB的長為

D.取圓M上點，則的最大值為【答案】ABD

【解析】【分析】本題考查了圓與圓位置關系中的最值問題，圓的公共弦、公切線，由標準方程確定圓心和半徑，點到直線的距離，圓的一般方程與標準方程之間的轉(zhuǎn)化，輔助角公式，求余弦型函數(shù)的值域或最值，屬于中檔題.

將圓M的一般方程化為標準方程，求出圓心坐標與半徑，即可判斷A；將兩圓的方程相減可得公共弦AB所在直線的方程，即可判斷B；利用點到直線的距離公式及垂徑定理求出弦長AB，即可判斷C；利用圓M的參數(shù)方程求得的取值范圍，即可判斷D.【解答】解：圓M：，即，

所以圓M的圓心為，半徑為1，故A正確；

圓O：和圓M：的方程相減可得，

故直線AB的方程為，故B正確；

圓O：的圓心為，半徑，

圓心到直線AB的距離為，

所以線段AB的長為，故C錯誤；

圓M：，則，

設，，

則，其中，

所以的最大值為，故D正確.

故選：ABD.

如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，底面ABCD，且，M、N分別為PC、PB的中點，則(

)A.

B.

C.平面ANMD

D.BD與平面ANMD所在的角為【答案】CD

【解析】【分析】本題主要考查了利用空間向量求證直線與直線垂直關系，直線與平面垂直的判斷，以及直線與平面所成的角，屬于中檔題.

以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用向量逐個判斷即可.【解答】解：以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，

設，則，，，，，

，，從而，，，，，，，錯誤；

，錯誤；

設平面ANMD的法向量為，

則由得

令，得

，平面ANMD，正確；

設BD與平面ANMD所成的角為

，

，與平面ANMD所成的角為，正確.

故選

三、填空題縱截距為，與兩坐標軸圍成的三角形面積為20的直線的一般式方程為__________.【答案】或

【解析】【分析】本題考查利用待定系數(shù)法解決數(shù)學問題，能根據(jù)條件設出直線的斜截式方程，然后轉(zhuǎn)化為一般式．屬于基礎題.

根據(jù)直線l在y軸上的截距為，設出直線l的方程，求出與x軸的截距，根據(jù)它與兩坐標軸圍成的三角形的面積為20，列出等式求出k的值，得到l的方程．【解答】解：由已知得l的斜率存在，

由題意可知，直線l在y軸上的截距為，則設直線l的方程為

當時，

由題可知，，

解得，

所以直線l的方程為或，

故答案為或

圓關于直線的對稱的圓的方程為__________.【答案】

【解析】【分析】本題考查圓關于直線的對稱圓方程的求解，也考查了點關于直線的對稱問題，屬于基礎題.

先將圓的方程化為標準式，得到圓心和半徑，然后求出圓心關于直線的對稱點，然后寫出對稱圓的方程.【解答】解：圓可變形為，

故圓心坐標為，設點P關于直線的對稱點為，

則有，解得，，故，

所以圓的圓心關于直線的對稱圓的方程為：

已知兩定點，，如果動點P滿足，則點P的軌跡所包圍的圖形的面積等于__________.【答案】

【解析】【分析】本題考查了軌跡方程的求解，也考查了圓的方程，屬于基礎題．

先設出P點坐標，然后根據(jù)，列出方程化簡得出軌跡方程，得出答案．【解答】解：設，

則，，

，即，

化簡得，即，

點軌跡為圓，且圓的半徑，

圓的面積為，

故答案為

已知直線l：，則圓截直線l所得的弦長的取值范圍是__________.【答案】

【解析】【分析】本題主要考查了圓的標準方程，直線與圓的位置關系的應用，屬于基礎題.求出直線l恒過的定點P，圓的圓心C和半徑r，再判定點P與圓C的位置關系，根據(jù)圓的性質(zhì)即可得弦長范圍.【解答】解：依題意，直線恒過定點，圓的圓心，半徑，因，則點P在圓C內(nèi)，由圓的性質(zhì)知，過點P的最長弦是圓C的直徑，即過點P的弦長最大值為6，過點P的最短弦是圓C內(nèi)過點P垂直于過點P的直徑的弦，該弦長為，即過點P的弦長最小值為，所以所求弦長的取值范圍是

四、解答題在三角形ABC中，已知點，，

求BC邊上中線的方程．

若某一直線過B點，且x軸上截距是y軸上截距的2倍，求該直線的一般式方程．【答案】解：，，

線段BC的中點D的坐標為，

又BC邊上的中線經(jīng)過點，

該中線的方程為，即

當直線在x軸和y軸上的截距均為0時，可設直線的方程為，

代入點，則，解得，

所以所求直線的方程為，即；

當直線在x軸和y軸上的截距均不為0時，可設直線的方程為，

代入點，則，解得，

所以所求直線的方程為，即，

綜上所述，該直線的一般式方程為或

如圖，正三棱柱中，底面邊長為.設側(cè)棱長為1，求證：；設與的夾角為，求側(cè)棱的長．【答案】證明：，，平面ABC，，又為正三角形，，，，，解：由知，又，，，，即側(cè)棱長為

已知圓C：與直線l：相交于M，N兩點且求m的值；過點P作圓C的切線，切點為Q，再過P作圓：的切線，切點為R，若，求的最小值其中O為坐標原點【答案】解：圓C：，

圓心C到直線l的距離，

則，解得

設圓C的半徑為r，圓的半徑為，

由于圓C：，則切線，同理，切線

由，化簡得

易知直線與兩圓都無公共點，故P為直線上任意點都符合題意．

因此最小值即為原點O到直線距離，

即

如圖，在多面體ABCEF中，平面BCE，平面平面BCE，是邊長為4的正三角形，是直角三角形，且

求證：平面ABC；若多面體ABCEF的體積為，求直線AF與平面BEF所成角的正弦值.【答案】證明：設點O為BC中點，連接OA，

由是正三角形，可知，

因為平面平面BCE，平面平面，平面ABC，

所以平面BCE，

又平面BCE，

所以，

又平面ABC，平面ABC，

所以平面

由平面平面BCE，

過點O作BC的垂線，以O為原點，OA所在方向為x軸，OC所在方向為y軸，BC的垂線為z軸建立如圖所示空間直角坐標系，

因為是邊長為4的正三角形，是直角三角形，且，

則，

所以，則點，，，設平面BEF的法向量為，

則，又，若與平面BEF所成角為，

則

所以直線AF與平面BEF所成角的正弦值為如圖，在三棱錐中，是等腰直角的斜邊.證明：平面平面ABC；過AC的平面交BP于點Q，若Q為棱異于P，上的點，且，求二面角的余弦值.【答案】證明：如圖所示，取AC的中點O，連接BO，

是等邊三角形，

是等腰直角的斜邊是二面角的平面角.

又

平面平面

解：連接OQ，由知平面POB，

平面，則，

，

由余弦定理得，

即，解得或，

是PB的中點.

分別以OA，OB，OP所在直線為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

則

設平面APQ的法向量為，則，即，

令，得，同理可得平面ACQ的一個法向量為

??h

因為二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為

已知過原點的動直線L與圓相交于不同的兩點A、求線段AB的中點M的軌跡C的方程；是否存在實數(shù)k，使得直線與曲線C只有一個交點？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由．【答案】解：將圓化為標準方程：，

圓心坐標為，

當