2021-2022學(xué)年重慶廣益中學(xué)高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題解析版

第=page1818頁，共=sectionpages1818頁2021-2022學(xué)年重慶廣益中學(xué)高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題直線的傾斜角

(

)A. B. C. D.【答案】D

【解析】【解答】解：直線的斜率為，所以，又因?yàn)?/p>

，故直線的傾斜角為

故選：

已知直線的斜率為5，且，則該直線方程為

(

)A. B.

C. D.【答案】A

【解析】【分析】本題主要考查直線的一般式方程，屬于基礎(chǔ)題.

由斜率和確定A、B、C的關(guān)系，即可求出結(jié)果.【解答】解：由題意，直線的斜率為5，且，

可得，

所以，

所以直線方程為，

即

故選

兩平行直線

，之間的距離為

(

)A. B.3 C. D.【答案】C

【解析】【分析】本題考查兩條直線平行的斜率關(guān)系以及平行直線之間的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

先根據(jù)兩直線平行，求出參數(shù)a，然后利用兩平行線間的距離公式，求出距離.【解答】解：因?yàn)橹本€

與平行，

所以，則直線的方程為，

所以與之間的距離為

過點(diǎn)的直線l與圓相切，則直線l的方程為(

)A.或 B.或

C.或 D.或【答案】D

【解析】【分析】本題考查圓的切線方程，屬于基礎(chǔ)題．

由圓心到直線的距離等于半徑列出方程即可．【解答】解：圓的圓心為，半徑，

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)為，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意;

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，直線方程為，

即，

則圓心到直線的距離為

，

解得，

則直線方程為

故選

設(shè)x，，向量，，，且，，則

(

)A. B.3 C.4 D.【答案】B

【解析】【分析】本題考查空間向量垂直和平行的坐標(biāo)運(yùn)算，以及空間向量的模的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.根據(jù)空間向量垂直和平行的坐標(biāo)運(yùn)算解得x，y，可得，解得，再由模長公式求解.【解答】解：，因?yàn)椋瑒t，

解得，所以，則，所以故選

如圖，在正方體中，分別是的中點(diǎn)，則下列說法正確的是(

)A.MN與垂直 B.MN與AC垂直 C.MN與BD平行 D.MN與平行【答案】ABC

【解析】【分析】本題考查正方體的結(jié)構(gòu)特征，空間中直線與直線的位置關(guān)系，屬于中檔題.

連接，BD，AC，得出MN與BD平行，從而可分析各個(gè)選項(xiàng).【解答】解：如圖，連接，BD，AC，

由N為的中點(diǎn)，又M為的中點(diǎn)，所以，故C正確;

易知，所以，故B正確;

根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征可得平面ABCD，又平面ABCD，所以，所以，故A正確;

顯然，，即BD和不平行，所以MN與不平行，故D錯(cuò)誤.

故本題選

已知圓：截直線所得線段的長度是，則圓與圓：的位置關(guān)系是(

)A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.相離【答案】C

【解析】【分析】本題主要考查直線和圓相交的應(yīng)用，以及兩圓位置關(guān)系的判斷，根據(jù)相交弦長公式求出a的值是解決本題的關(guān)鍵．

由題可知圓的圓心為，半徑為，根據(jù)弦長公式可求得a，再根據(jù)兩圓的圓心距為判斷兩圓的位置關(guān)系.【解答】解：由題可知圓的圓心為，半徑為，

則到直線的距離

，

則，

解得，則，，

又因?yàn)椋?/p>

所以圓心距，兩圓外切.

故選：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A為直線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點(diǎn)若，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為(

)A.4 B.3 C.2 D.1【答案】A

【解析】【分析】本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，也考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于一般題.

先設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)，然后表示出圓的方程，將直線與圓的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)D坐標(biāo)，然后根據(jù)向量垂直求出參數(shù)a，求出A點(diǎn)坐標(biāo).【解答】解：設(shè)，因?yàn)?，所以?/p>

則圓C的方程為，

聯(lián)立

解得，

由，

得，解得或，

又，所以，即，

所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為

故選：

二、多選題已知圓M：，則下列說法正確的是(

)A.點(diǎn)在圓M外 B.圓M的半徑為

C.圓M關(guān)于對稱 D.直線截圓M的弦長為3【答案】BC

【解析】【分析】本題考查圓的方程，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題.

化圓方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系逐個(gè)判斷即可.【解答】解：由題意，得圓M標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心為，半徑為，

對于A、因?yàn)?，故點(diǎn)在圓M內(nèi)，故錯(cuò)誤；

對于B、正確；

對于C、因?yàn)閳A心在直線上，故圓M關(guān)于直線對稱，故正確；

對于D、點(diǎn)M到的距離為，

弦長為，故D錯(cuò)誤，

故選

直線l的方向向量為，兩個(gè)平面的法向量分別為，則下列命題為真命題的是

(

)A.若，則直線平面

B.若??，則直線l與平面所成角的大小為

C.若，則直線平面

D.若，則平面夾角的大小為【答案】BC

【解析】【分析】本題考查線面平行的向量表示、直線與平面所成角的向量求法、線面垂直的向量表示、平面與平面夾角的向量求法，屬于一般題.

由，得到直線平面或，可判定A不正確;根據(jù)平面法向量的概念及空間角的求解方法，可判定B、C、D正確.【解答】解：由題意知，直線l的方向向量為，兩個(gè)平面，的法向量分別為，

對于A中，若，則直線平面或，所以A不正確;

對于B中，若??，因?yàn)??，所以??，

設(shè)直線l與平面所成角為，可得，即直線l與平面所成角的大小為，所以B正確;

對于C中，若，則直線平面，所以C正確;

對于D中，若，因?yàn)?，，所以，?/p>

所以平面，夾角的大小為，所以D不正確.

故選：

已知圓O：和圓M：相交于A、B兩點(diǎn)，下列說法正確的是(

)A.圓M的圓心為，半徑為1

B.直線AB的方程為

C.線段AB的長為

D.取圓M上點(diǎn)，則的最大值為【答案】ABD

【解析】【分析】本題考查了圓與圓位置關(guān)系中的最值問題，圓的公共弦、公切線，由標(biāo)準(zhǔn)方程確定圓心和半徑，點(diǎn)到直線的距離，圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程之間的轉(zhuǎn)化，輔助角公式，求余弦型函數(shù)的值域或最值，屬于中檔題.

將圓M的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)與半徑，即可判斷A；將兩圓的方程相減可得公共弦AB所在直線的方程，即可判斷B；利用點(diǎn)到直線的距離公式及垂徑定理求出弦長AB，即可判斷C；利用圓M的參數(shù)方程求得的取值范圍，即可判斷D.【解答】解：圓M：，即，

所以圓M的圓心為，半徑為1，故A正確；

圓O：和圓M：的方程相減可得，

故直線AB的方程為，故B正確；

圓O：的圓心為，半徑，

圓心到直線AB的距離為，

所以線段AB的長為，故C錯(cuò)誤；

圓M：，則，

設(shè)，，

則，其中，

所以的最大值為，故D正確.

故選：ABD.

如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，底面ABCD，且，M、N分別為PC、PB的中點(diǎn)，則(

)A.

B.

C.平面ANMD

D.BD與平面ANMD所在的角為【答案】CD

【解析】【分析】本題主要考查了利用空間向量求證直線與直線垂直關(guān)系，直線與平面垂直的判斷，以及直線與平面所成的角，屬于中檔題.

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量逐個(gè)判斷即可.【解答】解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，，，，

，，從而，，，，，，，錯(cuò)誤；

，錯(cuò)誤；

設(shè)平面ANMD的法向量為，

則由得

令，得

，平面ANMD，正確；

設(shè)BD與平面ANMD所成的角為

，

，與平面ANMD所成的角為，正確.

故選

三、填空題縱截距為，與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為20的直線的一般式方程為__________.【答案】或

【解析】【分析】本題考查利用待定系數(shù)法解決數(shù)學(xué)問題，能根據(jù)條件設(shè)出直線的斜截式方程，然后轉(zhuǎn)化為一般式．屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)直線l在y軸上的截距為，設(shè)出直線l的方程，求出與x軸的截距，根據(jù)它與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為20，列出等式求出k的值，得到l的方程．【解答】解：由已知得l的斜率存在，

由題意可知，直線l在y軸上的截距為，則設(shè)直線l的方程為

當(dāng)時(shí)，

由題可知，，

解得，

所以直線l的方程為或，

故答案為或

圓關(guān)于直線的對稱的圓的方程為__________.【答案】

【解析】【分析】本題考查圓關(guān)于直線的對稱圓方程的求解，也考查了點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題，屬于基礎(chǔ)題.

先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，得到圓心和半徑，然后求出圓心關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，然后寫出對稱圓的方程.【解答】解：圓可變形為，

故圓心坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，

則有，解得，，故，

所以圓的圓心關(guān)于直線的對稱圓的方程為：

已知兩定點(diǎn)，，如果動(dòng)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的軌跡所包圍的圖形的面積等于__________.【答案】

【解析】【分析】本題考查了軌跡方程的求解，也考查了圓的方程，屬于基礎(chǔ)題．

先設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)，列出方程化簡得出軌跡方程，得出答案．【解答】解：設(shè)，

則，，

，即，

化簡得，即，

點(diǎn)軌跡為圓，且圓的半徑，

圓的面積為，

故答案為

已知直線l：，則圓截直線l所得的弦長的取值范圍是__________.【答案】

【解析】【分析】本題主要考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.求出直線l恒過的定點(diǎn)P，圓的圓心C和半徑r，再判定點(diǎn)P與圓C的位置關(guān)系，根據(jù)圓的性質(zhì)即可得弦長范圍.【解答】解：依題意，直線恒過定點(diǎn)，圓的圓心，半徑，因，則點(diǎn)P在圓C內(nèi)，由圓的性質(zhì)知，過點(diǎn)P的最長弦是圓C的直徑，即過點(diǎn)P的弦長最大值為6，過點(diǎn)P的最短弦是圓C內(nèi)過點(diǎn)P垂直于過點(diǎn)P的直徑的弦，該弦長為，即過點(diǎn)P的弦長最小值為，所以所求弦長的取值范圍是

四、解答題在三角形ABC中，已知點(diǎn)，，

求BC邊上中線的方程．

若某一直線過B點(diǎn)，且x軸上截距是y軸上截距的2倍，求該直線的一般式方程．【答案】解：，，

線段BC的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為，

又BC邊上的中線經(jīng)過點(diǎn)，

該中線的方程為，即

當(dāng)直線在x軸和y軸上的截距均為0時(shí)，可設(shè)直線的方程為，

代入點(diǎn)，則，解得，

所以所求直線的方程為，即；

當(dāng)直線在x軸和y軸上的截距均不為0時(shí)，可設(shè)直線的方程為，

代入點(diǎn)，則，解得，

所以所求直線的方程為，即，

綜上所述，該直線的一般式方程為或

如圖，正三棱柱中，底面邊長為.設(shè)側(cè)棱長為1，求證：；設(shè)與的夾角為，求側(cè)棱的長．【答案】證明：，，平面ABC，，又為正三角形，，，，，解：由知，又，，，，即側(cè)棱長為

已知圓C：與直線l：相交于M，N兩點(diǎn)且求m的值；過點(diǎn)P作圓C的切線，切點(diǎn)為Q，再過P作圓：的切線，切點(diǎn)為R，若，求的最小值其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)【答案】解：圓C：，

圓心C到直線l的距離，

則，解得

設(shè)圓C的半徑為r，圓的半徑為，

由于圓C：，則切線，同理，切線

由，化簡得

易知直線與兩圓都無公共點(diǎn)，故P為直線上任意點(diǎn)都符合題意．

因此最小值即為原點(diǎn)O到直線距離，

即

如圖，在多面體ABCEF中，平面BCE，平面平面BCE，是邊長為4的正三角形，是直角三角形，且

求證：平面ABC；若多面體ABCEF的體積為，求直線AF與平面BEF所成角的正弦值.【答案】證明：設(shè)點(diǎn)O為BC中點(diǎn)，連接OA，

由是正三角形，可知，

因?yàn)槠矫嫫矫鍮CE，平面平面，平面ABC，

所以平面BCE，

又平面BCE，

所以，

又平面ABC，平面ABC，

所以平面

由平面平面BCE，

過點(diǎn)O作BC的垂線，以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在方向?yàn)閤軸，OC所在方向?yàn)閥軸，BC的垂線為z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)槭沁呴L為4的正三角形，是直角三角形，且，

則，

所以，則點(diǎn)，，，設(shè)平面BEF的法向量為，

則，又，若與平面BEF所成角為，

則

所以直線AF與平面BEF所成角的正弦值為如圖，在三棱錐中，是等腰直角的斜邊.證明：平面平面ABC；過AC的平面交BP于點(diǎn)Q，若Q為棱異于P，上的點(diǎn)，且，求二面角的余弦值.【答案】證明：如圖所示，取AC的中點(diǎn)O，連接BO，

是等邊三角形，

是等腰直角的斜邊是二面角的平面角.

又

平面平面

解：連接OQ，由知平面POB，

平面，則，

，

由余弦定理得，

即，解得或，

是PB的中點(diǎn).

分別以O(shè)A，OB，OP所在直線為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則

設(shè)平面APQ的法向量為，則，即，

令，得，同理可得平面ACQ的一個(gè)法向量為

??h

因?yàn)槎娼菫殇J二面角，所以二面角的余弦值為

已知過原點(diǎn)的動(dòng)直線L與圓相交于不同的兩點(diǎn)A、求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程；是否存在實(shí)數(shù)k，使得直線與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由．【答案】解：將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，

圓心坐標(biāo)為，

當(dāng)