廣東外語外貿(mào)大學(xué)實(shí)驗(yàn)中學(xué)2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

東外語外貿(mào)大學(xué)實(shí)驗(yàn)中學(xué)2021學(xué)年第一學(xué)期中考試高二數(shù)學(xué)試卷說明：本測試分為試題卷和答題卷兩部分．試卷共4頁，答題卷共2頁．試題卷全卷四大題共22小題，滿分150分．考試時間120分鐘．注意事項(xiàng)：本測試答題卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分．必須在在答題卷上的答題區(qū)域作答，在試卷上作答或非答題區(qū)域上作答無效．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)，則的值為（）A.1 B.0 C.-1 D.-2【答案】B【解析】【分析】由正方體的性質(zhì)可知兩兩垂直，從而對化簡可得答案【詳解】由題意可得,所以，所以，所以，故選：B2.已知圓O：，直線與圓O相切，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由于直線與圓相切，所以圓心O（0，0）到直線：的距離等于半徑2，利用點(diǎn)到直線的距離公式列方程可得結(jié)果【詳解】解：直線l與圓O相切，則圓心O（0，0）到直線：的距離等于半徑2，所以，得．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題3.如圖，在三棱錐中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且，若記，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用空間向量的基本定理求解.詳解】解:,故選:A4.設(shè)x，，向量，，，且，，（）A. B.3 C.4 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)，可得，即可求得x，根據(jù)，可得對應(yīng)坐標(biāo)成比例，即可求得y，即可得坐標(biāo)，代入公式，即可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，解得，所以，因?yàn)?，所以，解得，所以，所以，所?故選：B5.=（2，﹣1，3），=（﹣1，4，﹣2），=（3，2，λ），若三向量共面，則實(shí)數(shù)等于（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】由三向量共面，則存在唯一的實(shí)數(shù)對，使得，即，從而可得答案.【詳解】解：因?yàn)槿蛄抗裁?，所以存在唯一的?shí)數(shù)對，使得，即，，解得，所以.故選：C.6.如圖，平面四邊形的頂點(diǎn)都在坐標(biāo)軸上，直線的斜率為，直線的斜率為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用兩角差的正切公式可求得的值.【詳解】三角形的外角公式可得，所以，.故選：C.7.已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由向量在向量上的投影向量為，計(jì)算即可求出答案．【詳解】解：向量，則，，，所以向量在向量上的投影向量為．故選：．8.已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P，Q是C上位于x軸上方的任意兩點(diǎn)，且．若，則C的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意延長交橢圓另一交點(diǎn)為，由條件結(jié)合橢圓性質(zhì)可知，再通過通徑的性質(zhì)有即可得解.【詳解】由點(diǎn)P，Q是C上位于x軸上方的任意兩點(diǎn)，延長交橢圓另一交點(diǎn)，由再結(jié)合橢圓的對稱性，易知，所以，由橢圓過焦點(diǎn)的弦通徑最短，所以當(dāng)垂直軸時，最短，所以，所以，解得.故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.設(shè)直線與圓，則下列結(jié)論正確的為（）A.與可能相離B.不可能將的周長平分C.當(dāng)時，被截得的弦長為D.被截得的最短弦長為【答案】BD【解析】【分析】求出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)，可判斷A選項(xiàng)的正誤；假設(shè)假設(shè)法可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用勾股定理可判斷CD選項(xiàng)的正誤.【詳解】對于A選項(xiàng)，直線過定點(diǎn)，且點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線與圓必相交，A選項(xiàng)錯誤；對于B選項(xiàng)，若直線將圓平分，則直線過原點(diǎn)，此時直線的斜率不存在，B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，當(dāng)時，直線的方程為，圓心到直線的距離為，所以，直線被截得的弦長為，C選項(xiàng)錯誤；對于D選項(xiàng)，圓心到直線的距離為，所以，直線被截得的弦長為，D選項(xiàng)正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓的弦長的常用求法（1）幾何法：求圓的半徑為，弦心距為，弦長為，則；（2）代數(shù)方法：運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式.10.下列命題中，不正確的命題有（）A.是共線的充要條件B.若，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使得C.若A，B，C不共線，且，則P，A，B、C四點(diǎn)共面D.若為空間的一個基底，則構(gòu)成空間的另一個基底【答案】AB【解析】【分析】利用向量的模相等關(guān)系，結(jié)合充要條件判斷A的正誤；利用平面向量的基本定理判斷B；利用共線向量定理判斷；利用空間向量的基底的概念和反證法判斷D的正誤即可．【詳解】對于A，當(dāng)時，，共線成立，但當(dāng)，同向共線時，，所以是，共線的充分不必要條件，故A不正確;對于B，當(dāng)時，，不存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，故B不正確;對于C，由于，而，根據(jù)共面向量定理知，，，，四點(diǎn)共面，故C正確;對于D，若，，為空間的一個基底，則，，不共面，利用反證法證明，，不共面，假設(shè)，，共面，則,所以，所以，，共面，與已知矛盾.所以，，不共面，則，，構(gòu)成空間的另一個基底，故D正確．故選：AB11.正方體的棱長為，，，分別為，，的中點(diǎn)，則（）A.直線與直線垂直B.平面截正方體所得的截面面積為C.三棱錐的體積為D.點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等【答案】BD【解析】【分析】A.建立空間直角坐標(biāo)系，由是否為零判斷；B.根據(jù)，由平面的基本性質(zhì)得到截面是等腰梯形求解判斷；C.由求解判斷；D.根據(jù)平面，即平面判斷.【詳解】如圖所示：A.建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，而，所以直線與直線不垂直，故錯誤；B.如圖所示：因?yàn)?，所以截面為等腰梯形，所以截面面積為,故正確；C.，故錯誤；D.因?yàn)?，平面，即平?所以點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等，故正確；故選：BD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：畫幾何體的截面，關(guān)鍵是畫截面與幾何體各面的交線，此交線只需兩個公共點(diǎn)即可確定，作圖時充分利用幾何體本身提供的面面平行等條件，可以更快地確定交線的位置．12.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則以下說法正確的是（）A.過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，則的周長為8B.橢圓上存在點(diǎn)，使得C.橢圓的離心率為D.為橢圓上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)，的最大距離為3【答案】ABD【解析】【分析】結(jié)合橢圓定義判斷A選項(xiàng)的正確性，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算判斷B選項(xiàng)的正確性，直接法求得橢圓的離心率，由此判斷C選項(xiàng)的正確性，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式判斷D選項(xiàng)的正確性.【詳解】對于選項(xiàng)：由橢圓定義可得：，因此的周長為，所以選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)：設(shè)，則，且，又，，所以，，因此，解得，，故選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)：因?yàn)?，，所以，即，所以離心率，所以選項(xiàng)錯誤；對于選項(xiàng)：設(shè)，，則點(diǎn)到圓的圓心的距離為，因?yàn)?，所以，所以選項(xiàng)正確，故選：ABD．第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，且，則____________．【答案】【解析】【分析】求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，則，解得.故答案為：.14.已知直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的方程為________.【答案】.【解析】【分析】由圓的方程，得到圓心的坐標(biāo)，由圓的特征可得：，從而可求出直線的斜率，再由直線過點(diǎn)，即可得出直線方程.【詳解】因?yàn)閳A的圓心坐標(biāo)為，又點(diǎn)坐標(biāo)為，所以直線的斜率為；又因?yàn)槭菆A的一條弦，為的中點(diǎn)，所以，故，即直線的斜率為，因此，直線的方程為，即.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓位置關(guān)系，以及由弦中點(diǎn)坐標(biāo)，求弦所在直線方程的問題，屬于?？碱}型.15.設(shè)為橢圓的兩個焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)且在第一象限.若為等腰三角形，則的坐標(biāo)為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義分別求出，設(shè)出的坐標(biāo)，結(jié)合三角形面積可求出的坐標(biāo).【詳解】由已知可得，．∴．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，又，解得，，解得（舍去），的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很好的落實(shí)了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．16.在棱長為的正方體中，、、分別為棱、、上一點(diǎn)，，且平面．當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時，三棱錐的側(cè)面積為_________；與所成角的余弦值為__________．【答案】①.②.【解析】【分析】設(shè)，則，則，可得出，利用基本不等式可求得面積的最大值，可得出三棱錐體積的最大值，利用等號成立的條件求出的值，然后以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可確定點(diǎn)的位置，然后利用空間向量法可求得與所成角的余弦值.詳解】設(shè)，則，則，由題意得，可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則，此時三棱錐的側(cè)面積為.以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)點(diǎn)，，，設(shè)平面的法向量為，由，取，可得，且，因?yàn)槠矫?，則，解得，所以，，，所以，與所成角的余弦值為.故答案為：；.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知點(diǎn)A（2，3），B（4，1），△ABC是以AB為底邊的等腰三角形，點(diǎn)C在直線l：x-2y+2=0上.（1）求AB邊上的高CE所在直線的方程；（2）求△ABC的面積.【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）由題意可知，為的中點(diǎn)，，利用斜率計(jì)算公式、點(diǎn)斜式即可得出．（2）由得，利用兩點(diǎn)之間的距離公式、三角形面積計(jì)算公式即可得出．【小問1詳解】解：由題意可知，為的中點(diǎn)，因?yàn)?，，所以，，所以，所在直線方程為，即．【小問2詳解】解：由解得，所以，所以平行于軸，平行于軸，即，，．18.已知空間三點(diǎn)，設(shè)．（1）若，求；（2）求夾角的余弦值；（3）若與的夾角是鈍角，求k的取值范圍．【答案】（1）或；（2）（3）【解析】【分析】(1)設(shè)出的坐標(biāo)，根據(jù)模的公式和向量共線的坐標(biāo)表示，列出方程，解方程即可；(2)利用向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、向量夾角公式計(jì)算即可；(3)根據(jù)向量夾角為鈍角可推出夾角的余弦值小于0且不等于-1，結(jié)合向量數(shù)量積的定義，列出不等式組，解之即可.【小問1詳解】設(shè)，則，則，因，則，即，所以，解得，則或；【小問2詳解】由于，則，所以；【小問3詳解】設(shè)與的夾角為，則為鈍角，所以且，即且，又，，，所以，解得且即k的取值范圍為19.如圖，在底面為矩形的四棱錐中，為棱上一點(diǎn)，底面．（1）證明：；（2）若，，求二面角的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）證明出平面，利用線面垂直的性質(zhì)可證得；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得二面角的大小．【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，則，平面，平面，則，，平面，平面，因此，；（2）平面，不妨以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：、、、，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，可得，設(shè)平面的法向量為，，由，取，可得，所以，，由圖可知，二面角的平面角為鈍角，因此，二面角的大小為.20.已知過點(diǎn)且斜率為k的直線l與圓交于M，N兩點(diǎn)．（1）求k的取值范圍；（2）若，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，利用圓心到直線的距離公式，即可求解；（2）直線與圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示，求得，可知圓心在直線上，即為直徑長．【小問1詳解】圓，圓心，半徑設(shè)直線的方程為，即因?yàn)橹本€與圓交于兩點(diǎn)，所以，解得．所以的取值范圍為．【小問2詳解】設(shè)，．聯(lián)立，整理得，所以，，所以．由題設(shè)得，解得，所以直線方程為，所以圓心在直線上，所以．21.設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為B.已知（為原點(diǎn)）.（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓在軸上方的交點(diǎn)為，圓同時與軸和直線相切，圓心在直線上，且，求橢圓的方程.【答案】（I）；（II）.【解析】【分析】（I）根據(jù)題意得到，結(jié)合橢圓中的關(guān)系，得到，化簡得出，從而求得其離心率；（II）結(jié)合（I）的結(jié)論，設(shè)出橢圓的方程，寫出直線的方程，兩個方程聯(lián)立，求得交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用直線與圓相切的條件，列出等量關(guān)系式，求得，從而得到橢圓的方程.【詳解】（I）解：設(shè)橢圓的半焦距為，由已知有，又由，消去得，解得，所以，橢圓的離心率為.（II）解：由（I）知，，故橢圓方程為，由題意，，則直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，消去并化簡，得到，解得，代入到的方程，解得，因?yàn)辄c(diǎn)在軸的上方，所以，由圓心在直線上，可設(shè)，因?yàn)?，且由（I）知，故，解得，因?yàn)閳A與軸相切，所以圓的半徑為2，又由圓與相切，得，解得，所以橢圓的方程為：.【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、圓等基礎(chǔ)知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，以及用方程思想、數(shù)形結(jié)合思想解決問題的