復數(shù)復變函數(shù)及其導數(shù)

?數(shù)學物理方法?緒論物理學進展及其重要性數(shù)學與物理的關(guān)系如何學好?數(shù)學物理方法?參考書目主要內(nèi)容1整理課件一、物理學進展及其重要性(1)經(jīng)典物理學經(jīng)典力學(Newton)

經(jīng)典熱力學(Carnot,Clausius)

經(jīng)典電磁學(Coulomb,Maxwell)

等等其中一些主觀臆斷性的結(jié)論是非科學的，如：Newton認為光僅是一些傳播的粒子。1、開展史〔包括：經(jīng)典與量子〕2整理課件〔2〕量子物理學〔Plank,Heisenberg,

Dirac,Einstein為代表〕

圖1：黑體輻射能量密度曲線背景：二十世紀初出現(xiàn)的幾朵烏云，比方黑體輻射、光電效應等。3整理課件光電效應：只有光照大于臨界頻率時，光路才導通。光路是否導通與光強無關(guān)。光照能量，下圖光路導通。圖2：光電效應光路4整理課件2、物理學的開展方向：深度和廣度力學彈性力學流體力學理論力學電磁學場與波微波磁性學：順、抗、鐵磁元激發(fā)（場）聲子自旋（電子學）等離極元實物光子快子〔1〕深度〔方向細化〕5整理課件〔2〕廣度〔學科交叉〕

如天體物理：實驗手段-天文望遠鏡數(shù)學物理生物物理：《生命是什么》、負熵自然辯證法：物相互轉(zhuǎn)化6整理課件3、物理學推動的三次技術(shù)革命Watt蒸汽機代替手工Maxwell為代表的電氣化：擴大了生產(chǎn)規(guī)模，提高了效率自動化和新能源革命：納米科技及量子計算機、自然能與氫能、原子能7整理課件二、數(shù)學與物理〔相輔相成〕物理推動數(shù)學：Dirac引出的算符開展為數(shù)學中的算符學；熱力學中的熵開展為數(shù)學中熵函數(shù)。數(shù)學也推動物理：格林函數(shù)在物理學中的應用；霍·金從數(shù)學推斷出：宇宙是由無限高密的奇點經(jīng)大爆炸形成的，并給出守恒方程：8整理課件Fermi把物理研究總結(jié)為兩類：把問題簡化為物理模型問題有嚴謹?shù)臄?shù)學過程9整理課件三、如何學好?數(shù)學物理方法?與實變函數(shù)聯(lián)系把物理規(guī)律翻譯成數(shù)學公式通過習題練習，掌握數(shù)、理互譯過程廣泛閱讀，掌握多種技能〔如：計算軟件Matlab、物理實驗等〕提高綜合能力10整理課件參考書：〔不同體系〕郭敦仁編?數(shù)學物理方法?，高教社吳崇試編?數(shù)學物理方法?，北大出版社潘忠誠編?數(shù)學物理方法?，南開大學胡嗣柱編?數(shù)學物理方法?，高教社邵惠民編?數(shù)學物理方法?，科學出版社姚端正編?數(shù)學物理方法?，科學出版社王竹溪編?特殊函數(shù)?，北大出版社季孝達編?數(shù)學物理方程?，科學出版社11整理課件第一章復變函數(shù)復數(shù)的引入復數(shù)的表示復數(shù)運算復變函數(shù)復數(shù)的導數(shù)及求導規(guī)那么柯西-黎曼方程〔C-R條件〕本節(jié)內(nèi)容12整理課件§1.1復數(shù)及其運算2、三種表示及關(guān)系：

代數(shù)式：三角式：指數(shù)式：其中，模，x、y分別為實部和虛部；復角記為：定義復角主值：。復數(shù)的幾何意義：代表向量。注：特殊復數(shù)“0”。Yz(x,y)0jX復平面1、引入虛單位：（數(shù)學體系封閉性要求）13整理課件3、共軛復數(shù)z*〔或記為〕

定義：z*=x-iy，與z關(guān)于X軸對稱。二、無限遠點定義：復平面上模為無限大的復數(shù)歸并成的一點，可以用復數(shù)球的北極點來表示。如圖：復平面上A點與球面上的唯一點A’點對應，復平面上模為無限大的點與球的北極點N對應。O為復平面原點，復數(shù)球的南極點。14整理課件三、復數(shù)運算1、和差：2、積：3、商：4、冪：5、根式：15整理課件四、復運算結(jié)果的解釋1、和滿足平行四邊形法那么，差滿足三角形法那么

四邊形法則z1z2z3

三角形法則z1z2z316整理課件2、根式結(jié)果的多值性令其中可取k=0，1…n-1共n個值。17整理課件五、共軛運算1、2、3、4、5、18整理課件證明1、令得證。19整理課件共同證明2、令得證。其余作為練習。20整理課件舉例：例1.倍角關(guān)系：1、求cos3j和sin3j的單角表示形式。解：由cos3j+isin3j=ei3j=(eij)3=(cosj+isinj)3

=(cos3j-3cosjsin2j)+i(3cos2jsinj-sin3j)比較實部和虛部得：21整理課件例1.2：求cos4j和sin4j的單角表示形式。(自作〕解：由cos4j+isin4j=ei4j=(eij)4=(cosj+isinj)4

=(cos4j-6cos2jsin2j+sin4j)+i(4cos3jsinj-4cosjsin3j)得：22整理課件例2.幾何意義

1、解釋|z-i|≤2代表的幾何意義。解：令z=x+iy，那么|z-i|≤2代表以〔0，1〕為圓心，以2為半徑的圓及其內(nèi)部。1oxy23整理課件例2.2：解釋|z-i|=|z-2|代表的幾何意義。解：令z=x+iy，那么|z-i|=|z-2|代表斜率為2截距為-1.5的直線，即(0,1)-(2,0)線段的垂直平分線。12-1.5推廣：|z-a|=|z-b|24整理課件例3：復數(shù)化簡(下面a,b為實數(shù))1、化簡cos(a+ib)解法一：25整理課件解法二：三角函數(shù)的和差角公式對復數(shù)仍成立(見下節(jié))2、化簡ia+ib解：作業(yè)：P5：1(3,8),2〔4,6〕，3〔1,3,7〕例：二維矩陣運算〔略〕26整理課件§1.2復變函數(shù)一、定義：w=f(z),z∈E。二、概念1、z0點的鄰域：2、內(nèi)點z1

、外點z2

和境界點z3

（見圖1）3、區(qū)域二要素：內(nèi)點組成；具有連通性（圖2）4、閉區(qū)域：含境界線單連通復連通非區(qū)域圖2z2z3z1境界線圖1E27整理課件三、根本復變函數(shù)指數(shù)：ez=ex+iy=ex(cosy+isiny)=ez+i2p(多對一〕對數(shù)：lnz=ln(|z|eiArgz)=ln|z|+iArgz〔一對多〕三角：sinz=(eiz-e-iz)/(2i),cosz=(eiz+e-iz)/2雙曲：sinhz=(ez-e-z)/2,coshz=(ez+e-z)/2說明：1.三角函數(shù)具有實周期2p，其?？纱笥?；證明：cosz=(eiz+e-iz)/2=[cosx(e-y+ey)+i(e-y-ey)sinx]從而|cosz|=[(e-2y+e2y)+2(cos2x-sin2x)]1/2可大于1。2.指數(shù)和雙曲函數(shù)具有純虛數(shù)周期2pi。3.對數(shù)復變函數(shù)值不唯一〔多值函數(shù)〕。4.令z=iz，那么siniz=(e-z-ez)/(2i)=isinhz,cosiz=(e-z+ez)/2=coshz。28整理課件四、初等函數(shù)例題例、〔上節(jié)例3.2〕化簡ia+ib解：利用指數(shù)函數(shù)的換底公式得結(jié)果同前。29整理課件五、復變函數(shù)與實變函數(shù)的聯(lián)系〔補充實變函數(shù)性質(zhì)〕復變函數(shù)可歸結(jié)為一對實變函數(shù)記為f(z)=u(x,y)+iv(x,y)；因此實變函數(shù)的許多結(jié)論可移植到復變函數(shù)。極限：limz→z0

f(z)=A定義：當0<|z-z0|<d時，總有|f(z)-A|<e。點連續(xù)：f(z)在z0鄰域內(nèi)有定義，且存在極限limz→z0

f(z)=f(z0)。4.區(qū)域連續(xù)：當f(z)在區(qū)域B中的每一點都連續(xù)。作業(yè)：P9：2〔1，3，5，9〕、330整理課件§1.3復數(shù)導數(shù)一、可導定義：假設(shè)單值函數(shù)f(z)=w在定義域B上某點z處存在極限limΔz→0[f(z+Δz)-f(z)]/Δz，且極限與Δz→0的方式無關(guān)，那么稱f(z)在z點可導，極限記為f‘(z)或df/dz?？晌⒍x：假設(shè)Δw=f(z+Δz)-f(z)可寫成Δw=A(z)Δz+ρ(Δz),其中l(wèi)imΔz→0ρ(Δz)/Δz為0，那么稱f(z)在z點可微，其微分dw=A(z)dz，其中規(guī)定dz=Δz。31整理課件二、C-R方程？1、證明：因f(z)可導，那么Δz沿任何方向趨于0時極限都相等，即當Δz=iΔy→0時(沿y軸方向)，其極限：f‘(z)/Δz=iΔy=?f/i?y=limΔy→0{[u(x,y+Δy)+iv(x,y+Δy)]-[u(x,y)+iv(x,y)]}/iΔy=?v/?y-i?u/?y。而，當Δz=Δx→0時(沿x軸方向)，極限：f‘(z)/Δz=Δx=?f/?x=?u/?x+i?v/?x。

沿兩個方向的極限應相等，即得此二式便稱為Cauchy-Riemann方程（也叫C-R條件）。32整理課件重要說明：C-R條件是可導的必要但不充分條件。例如：函數(shù)在z=0處：同樣，令Δf/Δz在一、三象限極限為：而在二、四象限為二者不等，即不可導。即z=0處C-R條