一元一次方程的解法5

一元一次方程的解法本節(jié)內容4.21.如果七年級(1)班的學生人數(shù)=八年級(2)班的學生人數(shù)，現(xiàn)在每班增加2名學生，那么七年級(1)班與八班級(2)班的學生人數(shù)還相等嗎？相等說一說

如果每班減少3名學生，那么這兩個班的學生人數(shù)還相等嗎？相等2.如果甲筐米的重量=乙筐米的重量，現(xiàn)在把甲、乙兩筐的米分別倒出一半，那么甲、乙兩筐剩下的米的重量相等嗎？相等

等式性質1

等式兩邊都加上（減去）同一個數(shù)（或同一個式），所得結果仍是等式.結論

即，如果a=b，那么a±

c

=

b±

c結論

等式性質2

等式兩邊都乘（或除以）同一個數(shù)（或同一個式）（除數(shù)或除式不能為0），所得結果仍是等式.

即，如果a=b，那么ac=bca（d

≠0）d

=bd

動腦筋

（我國古代數(shù)學問題）用繩子量井深，把繩子3折來量，井外余繩子4尺；把繩子4折來量，井外余繩子1尺.于是量井人說：“我知道這口井有多深了.”

你能算出這口井的深度嗎？

分析：將繩子3折量井，繩長怎樣表示呢？3×(井深+4)尺.

那么將繩子4折量井，繩長又怎樣表示呢？4×(井深+1)尺.因為繩子的長度沒有變化，所以有等量關系：4(井深+1)=3(井深+4).設井深為x尺，根據(jù)題意，得4(x+1)=3(x+4)，即4x+4=3x+12.①如何求出方程①的解呢？根據(jù)等式性質1，方程4x+4=3x+12可以用下面的方法來解.在方程兩邊同時減去3x，得

4x+4-3x=3x+12-3x.化簡，得x+4=12.再在方程兩邊同時減去4，得

x+4-4=12-4.化簡，得x=8.檢驗：把x=8代入方程①的左邊和右邊，得左邊=4×8+4=36，右邊=3×8+12=36，左邊=右邊.所以x=8是原方程4x+4=3x+12的解.答：這口井深8尺.

我們根據(jù)等式性質1對方程兩邊作了如下變形：4x+4=3x+124x-3x=-412

把方程中的某一項改變符號后，從方程的一邊移到另一邊.我們把這種變形叫作移項.結論

必須牢記：移項要變號.4x3x=+124x+4-3x12-4=例1

解下列方程：（1）2x=x+3

；

（2）3x-1=40+2x

.舉例解（1）原方程為2x=x+3將同類項放在一起化簡，得x=3

移項，得

2x-x=3

所以x=3是原方程的解.檢驗：把x=3代入原方程的左邊和右邊，左邊=2×3=6，右邊=3+3=6，左邊=右邊計算結果進行檢驗解（2）原方程為3x-1

=40+2x將同類項放在一起化簡，得x=41

移項，得

3x-2x=40+1

所以x=41是原方程的解.檢驗：把x=41代入原方程的左邊和右邊，左邊=3×41-1=122，右邊=40+2×41=122，左邊=右邊計算結果進行檢驗練習1.下面的移項對嗎？如不對，請你改正.（1）從x-4=8，得x=8-4；（2）從3x=2x+5，得3x-2x=5；（3）從5x-2

=4x+1，得5x-4x=1+2.不對，移項沒有變號，應為x=8+4對對2.通過移項解下列方程，并寫出檢驗.（1）x+4=5；（2）-5+x=-4；（3）13x+8=12x；（4）7x-3=6x-4.解（1）原方程為x+4=5移項，得x=5-4化簡，得x=1檢驗：把x=1代入原方程的左邊和右邊，左邊=1+4=5，右邊=5，左邊=右邊所以x=1是原方程的解.（2）原方程為-5+x=-4移項，得x=5-4化簡，得x=1檢驗：把x=1代入原方程的左邊和右邊，左邊=-5+1=-4，右邊=-4，左邊=右邊所以x=1是原方程的解.（3）原方程為13x+8=12x移項，得13x-12x=-8化簡，得x=-8檢驗：把x=-8代入原方程的左邊和右邊，左邊=13×(-8)+8=-96，右邊=12×(-8)=-96，左邊=右邊所以x=-8是原方程的解.（4）原方程為7x-3=6x-4移項，得7x-6x=3-4化簡，得x=-1檢驗：把x=-1代入原方程的左邊和右邊，左邊=7×(-1)-3=-10，右邊=6×(-1)-4=-10，左邊=右邊所以x=-1是原方程的解.動腦筋

某實驗中學舉行田徑運動會.七年級甲班和丙班參加的人數(shù)的和是乙班參加的人數(shù)的3倍，甲班有40人參加，乙班參加的人數(shù)比丙班參加的人數(shù)少10人.

你能算出乙班參加校運會的人數(shù)嗎？

分析：設乙班參加校運動會的人數(shù)為x，那么，丙班參加的人數(shù)就是（x+10）人.根據(jù)題意你能說出甲、乙、丙三個班參加校運動會人數(shù)之間的等量關系嗎？甲班參加的人數(shù)+丙班參加的人數(shù)=乙班參加的人數(shù)的3倍.

按這個等量關系，得3x=40+x+10

移項，得3x-x=50

化簡，得2x=50這樣的方程如何來解呢？

根據(jù)等式性質2，方程2x=50可以這樣來解.

把兩邊都除以2，得

化簡，得x=25

檢驗：把x=25代入原方程的左邊和右邊，得

左邊=3×25=75，右邊=40+25+10=75，左邊=右邊

所以x=25是原方程的解.

答：乙班有25人參加校運會.例2

解下列方程：（1）11x-2

=8x-8

；

（2）2x-3=7-

x

.舉例解（1）原方程為11x-2

=8x-8

將同類項放在一起化簡，得3x=-6

移項，得

11x-8x=-8+2

所以x=-2是原方程的解.方程兩邊同除以3，得左邊=11×(-2)-2=-24，右邊=8×(-2)-8=-24，左邊=右邊計算結果進行檢驗=化簡，得x=-2檢驗：把x=-2代入原方程的左邊和右邊，得將同類項放在一起左邊=右邊計算結果進行檢驗解（2）原方程為2x-3=7-

x

移項，得

2x+

x=3+7化簡，得x=10方程兩邊同除以，得

÷=10÷

化簡，得x=檢驗：把x=

代入原方程的左邊和右邊，得左邊=2×

-3=

，右邊=7-

×

=，

所以x=

是原方程的解.練習1.下列解法對嗎？如不對，應當怎樣改正.（3）從7x-3

=5x-1，得7x-5x=-1+3，得2x=2，得x=1.對（1）從x=，得x=1；（2）從5x+2=0，得5x=-2，得x=-

；不對，x=不對，x=-2.解下列方程：（1）2.4x+2.4

=6.8-2x；（2）x+4

=12-2(x-2)

.解（1）原方程為2.4x+2.4

=6.8-2x

移項，得2.4x+2x=-2.4+6.8化簡，得x=1檢驗：把x=1代入原方程的左邊和右邊，左邊=2.4×1+2.4=4.8，右邊=6.8-2×1=4.8，左邊=右邊所以x=1是原方程的解.（2）原方程為x+4

=12-2(x-2)

移項，得x+2x=-4+12+4化簡，得x=5檢驗：把x=5代入原方程的左邊和右邊，左邊=×5+4=6，右邊=12-2(5-2)=6，左邊=右邊所以x=5是原方程的解.動腦筋

現(xiàn)有樹苗若干棵，計劃栽在一段公路的一側，要求路的兩端各栽1棵，并且每2棵樹的間隔相等.如果每隔5m栽1棵，則樹苗缺21棵；如果每隔5.5m栽1棵，則樹苗正好用完.

你能算出原有樹苗的棵數(shù)和這段路的長度嗎？

分析：觀察下面植樹示意圖4-3，想一想：

（1）相鄰兩樹的間隔長與應植樹的棵數(shù)有什么關系？

（2）相鄰兩樹的間隔長、應植樹棵數(shù)與路長有怎樣的數(shù)量關系？圖4-3圖4-3方案間隔長應植樹數(shù)路長方案一5x+215(x+21-1)方案二5.5x5.5(x-1)

設原有樹苗x棵，根據(jù)題意，得

由于是同一段路上植樹，路長相等，所以有

5(x+21-1)=5.5(x-1)，

即

5(x+20)=5.5(x-1)，

這個方程與本章前面的方程比較，方程中多了括號，妨礙了移項，那么這樣的方程如何解呢？

用分配律，得

5x+100=5.5x-5.5

移項，得

5x-5.5x=-5.5-100

化簡，得-0.5x=-105.5

方程兩邊都除以-0.5，得x=211

5(x+20)=5×(211+20)=1155.

答：原有樹苗211棵，這段路的長度為1155m.例3

解方程：舉例解去括號將同類項放在一起注：檢驗的過程不用再書寫出來，但還是要求同學們自己進行檢驗，以后解一元一次方程也這樣.去括號，得x-5-

x+2=x

移項，得

x-x-x=5-2化簡，得-

x=3方程兩邊同除以-

，得

x=-化簡計算結果練習1.

下面方程解法對不對？如不對，請改正.解方程(2x+3)=2+x解去括號，得x+3=2+x

移項，得x+x=2-3

化簡，得x=-1

方程兩邊同除以，得

x=-應改為x+=2+x應改為x–x=2-應改為-

x=應改為x=-42.

解下列方程，并用口算檢驗.

（1）(4y+8)+(3y-7)=0；

（2）2(2x-1)-2(4x+3)=7；（3）(x-4)=3x.解（1）原方程為(4y+8)+(3y-7)=0去括號，得4y+8+3y-7=0移項，得4y+3y=7-8化簡，得7y=-1方程兩邊同除以7，

y=-（2）原方程為2(2x-1)-2(4x+3)=7去括號，得4x-2-8x-6=7移項，得4x-8x=2+6+7化簡，得-4x=15方程兩邊同除以-4，

x=-（3）原方程為(x-4)=3x去括號，得x-3=3x移項，得x-3x=3化簡，得-

x=3方程兩邊同除以-

，

x=-動腦筋

一件工作，甲單獨做需要15天完成，乙單獨做需要12天完成.現(xiàn)在甲先單獨做1天，接著乙又單獨做4天，剩下的工作由甲、乙兩個合做.問合做多少天可以完成全部工作任務？你能說出問題中的等量關系嗎？

分析：

設工作總量為1，甲每天完成工作總量的，乙每天完成工作總量的.

=工作總量.

如果剩下的工作兩人合做需要x天完成，那么甲做了(x+1)天，完成的工作量為.乙做了(x+4)天，完成的工作量為.根據(jù)題意，得

如果先去括號，則會多次遇到分數(shù)的運算，較繁.那么這類方程是否有較簡便的解法呢？

根據(jù)等式性質2，把方程兩邊都乘各分母的最小公倍數(shù)60，就可以把分母去掉.

于是，得化簡，得4(x+1)+5(x+4)=60.去括號，得4x+4+5x+20=60.移項，得9x=36.方程兩邊都除以9，得x=4.答：兩人再合做4天，可完成全部任務.例4

解方程：舉例解先去分母，再計算去括號，得4x-40

=3x-18

移項，得

4x-3x=-18+40化簡，得x=22去分母，得×12

=×12

4(x-10)=3(x-6)去括號，再計算移項，將同類項放在一起

解一元一次方程的一般步驟是：

一元一次方程先去分母，后去括號，再移項和化簡得

ax=b（a

≠0）x=兩邊同時除以a練習1.

下面各題中的去分母對嗎？如不對，請改正.（1）-=2，去分母得5x-2x+3=2；（2）-=1，去分母得2x-(2x+1)=6；（3）+=4，去分母得4(3x+1)+25x=80.不對，應為25x-3(2x-3)=30不對，應為4x-(2x+1)=6

對2.

解下列方程：

（1）

=；

（2）

-

=1.解:去分母，得×6=×

6

(5-3x)×3=(3+5x)×2去括號，得15-9x=6+10x移項，得-9x-10x=6-15化簡，得-19x=-9方程兩邊同除以-19，

x=

（1）

=解:去分母，得×24-

×

24

=1

(2x-1)×4-

(5x+1)×3=1×24去括號