一元二次不等式及其解法(一)

3.2一元二次不等式及其解法（一）引例：某同學要把自己的計算機接入因特網(wǎng)，現(xiàn)有兩家ISP公司可供選擇公司A每小時收費1.5元（不足1小時按1小時計算）；公司B的收費原則在用戶上網(wǎng)的第1個小時內(nèi)（含恰好1小時，下同）收費1.7元，第2個小時收費1.6元，以后每小時減少0.1元（若用戶一次上網(wǎng)時間超過17小時，按17小時計算），那么一次上網(wǎng)多長時間能夠保證選擇公司A的上網(wǎng)費用小于或等于選擇公司B所需費用？分析：假設一次上網(wǎng)x小時，則公司A的收取費用為∴公司B的收取費用為1.7，1.6，1.5，1.4，……1.5x是以1.7為首項，以-0.1為公差的等差數(shù)列∵如果能夠保證選擇公司A比選擇公司B所需費用少，則整理得我們把只含有一個未知數(shù)。并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式定義：考察：一元二次不等式以及一元二次與一元二次函數(shù)的關系方程方程有兩個實數(shù)根，，由二次函數(shù)的零點與相應的一元二次方程根的關系，是二次函數(shù)的兩個零點當x＜0或x＞5時，函數(shù)圖像位于x軸上方，此時y＞0即＞0當0＜x＜5時，函數(shù)圖像位于x軸下方，此時y＜0即＜0所以，一元二次不等式的解集是{x0≤x≤5}推廣：求一般的一元二次不等式＞0＜0或(a＞0)的解集的方法：程的根，再根據(jù)函數(shù)圖像與x軸的相關位置確定一元二次不等式的解集

△=y=(a＞0)的圖像的根＞0的解集＜0的解集x＜或x＞}{x{x}＜x＜{x}解不等式的關鍵是求相應方程的根（求根公式或配方法或十字相乘法）△＞0△=0△＜0沒有實數(shù)根R由函數(shù)的零點與相應一元二次方程根的關系先求出一元二次方判別式△=b2-4acy=ax2+bx+c(a>0)的圖象ax2+bx+c=0(a>0)的根ax2+bx+c>0(a>0)的解集ax2+bx+c<0(a>0)的解集△>0有兩相異實根x1,x2(x1<x2){x|x<x1,或x>x2}{x|x1<x<x2

}△=0△<0有兩相等實根

x1=x2={x|x≠

}x1x2xyOyxOΦΦR沒有實根yxOx1一元二次不等式的解法大于取兩端小于取中間補充練習：用十字相乘法把下列一元二次函數(shù)因式分解=（x+1)(x-2)=(x-1)(x+2)=(x-3)(x+2)=(x+3)(x-2)=(x-2)(x-3)=(x+2)(x+3)=(x+1)(3x-10)1111131-1011-2-3112-31-2-1211-231123求解下列不等式（1）解：∵△=49-(-120)=169＞0{x}∴原不等式的解集為解：∵∴∵△=1+12=13＞0∴原不等式的解集為x＜-1或x＞}{x解：∵△=0∴原不等式的解集為∴原不等式的解集為R{x}解：∵∵△=4-12=-8＜0∴原不等式的解集為解：∵∴∵△=1-40=-39＜0【方法總結(jié)】①化成一般式②判斷△③求出對應方程的根（十字相乘法或配方法或求根公式)④寫出對應的范圍例題1練習：求解下列不等式解：∴x≠2∴原不等式的解集為{x}解：∵∴原不等式的解集為{x}解：＞0∴x＜-2或x＞5∴原不等式的解集為{xx＜-2或x＞5}例題2：求下列函數(shù)的定義域解：∵∴(x+3)(x-2)≤0∴-3≤x≤2∴定義域為{x}解：∵(x-1)(3x+1)＞0∴∴定義域為{x}練習：求下列函數(shù)的定義域解：又∵△=16-81=-65＜0∴不等式的解集為R∴定義域為R解：∴x=3∴定義域為{x}解一元二次不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0(a>0)的步驟是：

(1)化成標準形式ax2+bx+c>0(a>0)

ax2+bx+c<0(a>0)二次項系數(shù)化成正數(shù)(2)判定△與0的關系，并求出方程ax2+bx+c=0

的實根;

(3)最后根據(jù)對應的二次函數(shù)的大致圖象以及不等號