山西省陽泉市2023年高三下學(xué)期質(zhì)量檢測試題(一)數(shù)學(xué)試題_第1頁
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文檔簡介

山西省陽泉市2023年高三下學(xué)期質(zhì)量檢測試題(一)數(shù)學(xué)試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),當(dāng)時,,則使得成立的的取值范圍是()A. B.C. D.2.已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位),則z的虛部為()A.2 B. C.4 D.3.在等差數(shù)列中,若為前項和,,則的值是()A.156 B.124 C.136 D.1804.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的,則①處應(yīng)填寫()A. B. C. D.5.很多關(guān)于整數(shù)規(guī)律的猜想都通俗易懂,吸引了大量的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者,有些猜想已經(jīng)被數(shù)學(xué)家證明,如“費馬大定理”,但大多猜想還未被證明,如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的內(nèi)容是:對于每一個正整數(shù),如果它是奇數(shù),則將它乘以再加1;如果它是偶數(shù),則將它除以;如此循環(huán),最終都能夠得到.下圖為研究“角谷猜想”的一個程序框圖.若輸入的值為,則輸出i的值為()A. B. C. D.6.第七屆世界軍人運動會于2019年10月18日至27日在中國武漢舉行,中國隊以133金64銀42銅位居金牌榜和獎牌榜的首位.運動會期間有甲、乙等五名志愿者被分配到射擊、田徑、籃球、游泳四個運動場地提供服務(wù),要求每個人都要被派出去提供服務(wù),且每個場地都要有志愿者服務(wù),則甲和乙恰好在同一組的概率是()A. B. C. D.7.已知滿足,,,則在上的投影為()A. B. C. D.28.已知函數(shù),若,則a的取值范圍為()A. B. C. D.9.我國著名數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界矚目的成就,哥德巴赫猜想內(nèi)容是“每個大于的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”(注:如果一個大于的整數(shù)除了和自身外無其他正因數(shù),則稱這個整數(shù)為素數(shù)),在不超過的素數(shù)中,隨機選取個不同的素數(shù)、,則的概率是()A. B. C. D.10.明代數(shù)學(xué)家程大位(1533~1606年),有感于當(dāng)時籌算方法的不便,用其畢生心血寫出《算法統(tǒng)宗》,可謂集成計算的鼻祖.如圖所示的程序框圖的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”問題.執(zhí)行該程序框圖,若輸出的的值為,則輸入的的值為()A. B. C. D.11.過拋物線C:y2=4x的焦點F,且斜率為的直線交C于點M(M在x軸的上方),l為C的準(zhǔn)線,點N在l上且MN⊥l,則M到直線NF的距離為()A. B. C. D.12.一個四棱錐的三視圖如圖所示(其中主視圖也叫正視圖,左視圖也叫側(cè)視圖),則這個四棱錐中最最長棱的長度是().A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù),若函數(shù)有個不同的零點,則的取值范圍是___________.14.將一個半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處,小球?qū)⒆杂上侣?小球在下落的過程中,將3次遇到黑色障礙物,最后落入袋或袋中.己知小球每次遇到黑色障礙物時,向左、右兩邊下落的概率都是,則小球落入袋中的概率為__________.15.某種賭博每局的規(guī)則是:賭客先在標(biāo)記有1,2,3,4,5的卡片中隨機摸取一張,將卡片上的數(shù)字作為其賭金;隨后放回該卡片,再隨機摸取兩張,將這兩張卡片上數(shù)字之差的絕對值的1.4倍作為其獎金.若隨機變量ξ1和ξ2分別表示賭客在一局賭博中的賭金和獎金,則D(ξ1)=_____,E(ξ1)﹣E(ξ2)=_____.16.過拋物線C:()的焦點F且傾斜角為銳角的直線l與C交于A,B兩點,過線段的中點N且垂直于l的直線與C的準(zhǔn)線交于點M,若,則l的斜率為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓:,不與坐標(biāo)軸垂直的直線與橢圓交于,兩點.(Ⅰ)若線段的中點坐標(biāo)為,求直線的方程;(Ⅱ)若直線過點,點滿足(,分別為直線,的斜率),求的值.18.(12分)某調(diào)查機構(gòu)對某校學(xué)生做了一個是否同意生“二孩”抽樣調(diào)查,該調(diào)查機構(gòu)從該校隨機抽查了100名不同性別的學(xué)生,調(diào)查統(tǒng)計他們是同意父母生“二孩”還是反對父母生“二孩”,現(xiàn)已得知100人中同意父母生“二孩”占60%,統(tǒng)計情況如下表:同意不同意合計男生a5女生40d合計100(1)求a,d的值,根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否有97.5%的把握認(rèn)為是否同意父母生“二孩”與性別有關(guān)?請說明理由;(2)將上述調(diào)查所得的頻率視為概率,現(xiàn)在從所有學(xué)生中,采用隨機抽樣的方法抽取4位學(xué)生進(jìn)行長期跟蹤調(diào)查,記被抽取的4位學(xué)生中持“同意”態(tài)度的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.附:0.150.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63519.(12分)設(shè)拋物線過點.(1)求拋物線C的方程;(2)F是拋物線C的焦點,過焦點的直線與拋物線交于A,B兩點,若,求的值.20.(12分)如圖,四邊形是邊長為3的菱形,平面.(1)求證:平面;(2)若與平面所成角為,求二面角的正弦值.21.(12分)己知函數(shù).(1)當(dāng)時,求證:;(2)若函數(shù),求證:函數(shù)存在極小值.22.(10分)唐詩是中國文學(xué)的瑰寶.為了研究計算機上唐詩分類工作中檢索關(guān)鍵字的選取,某研究人員將唐詩分成7大類別,并從《全唐詩》48900多篇唐詩中隨機抽取了500篇,統(tǒng)計了每個類別及各類別包含“花”、“山”、“簾”字的篇數(shù),得到下表:愛情婚姻詠史懷古邊塞戰(zhàn)爭山水田園交游送別羈旅思鄉(xiāng)其他總計篇數(shù)100645599917318500含“山”字的篇數(shù)5148216948304271含“簾”字的篇數(shù)2120073538含“花”字的篇數(shù)606141732283160(1)根據(jù)上表判斷,若從《全唐詩》含“山”字的唐詩中隨機抽取一篇,則它屬于哪個類別的可能性最大,屬于哪個類別的可能性最小,并分別估計該唐詩屬于這兩個類別的概率;(2)已知檢索關(guān)鍵字的選取規(guī)則為:①若有超過95%的把握判斷“某字”與“某類別”有關(guān)系,則“某字”為“某類別”的關(guān)鍵字;②若“某字”被選為“某類別”關(guān)鍵字,則由其對應(yīng)列聯(lián)表得到的的觀測值越大,排名就越靠前;設(shè)“山”“簾”“花”和“愛情婚姻”對應(yīng)的觀測值分別為,,.已知,,請完成下面列聯(lián)表,并從上述三個字中選出“愛情婚姻”類別的關(guān)鍵字并排名.屬于“愛情婚姻”類不屬于“愛情婚姻”類總計含“花”字的篇數(shù)不含“花”的篇數(shù)總計附:,其中.0.050.0250.0103.8415.0246.635

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】構(gòu)造函數(shù),令,則,由可得,則是區(qū)間上的單調(diào)遞減函數(shù),且,當(dāng)x∈(0,1)時,g(x)>0,∵lnx<0,f(x)<0,(x2-1)f(x)>0;當(dāng)x∈(1,+∞)時,g(x)<0,∵lnx>0,∴f(x)<0,(x2-1)f(x)<0∵f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x∈(-1,0)時,f(x)>0,(x2-1)f(x)<0∴當(dāng)x∈(-∞,-1)時,f(x)>0,(x2-1)f(x)>0.綜上所述,使得(x2-1)f(x)>0成立的x的取值范圍是.本題選擇D選項.點睛:函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一,它的應(yīng)用貫穿于整個高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān),但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系,抓住其本質(zhì),那么運用函數(shù)的單調(diào)性解題,能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識,并掌握好使用的技巧和方法,這是非常必要的.根據(jù)題目的特點,構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題,是一種常用技巧.許多問題,如果運用這種思想去解決,往往能獲得簡潔明快的思路,有著非凡的功效.2、A【解析】

對復(fù)數(shù)進(jìn)行乘法運算,并計算得到,從而得到虛部為2.【詳解】因為,所以z的虛部為2.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算及虛部的概念,計算過程要注意.3、A【解析】

因為,可得,根據(jù)等差數(shù)列前項和,即可求得答案.【詳解】,,.故選:A.【點睛】本題主要考查了求等差數(shù)列前項和,解題關(guān)鍵是掌握等差中項定義和等差數(shù)列前項和公式,考查了分析能力和計算能力,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

模擬程序框圖運行分析即得解.【詳解】;;.所以①處應(yīng)填寫“”故選:B【點睛】本題主要考查程序框圖,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.5、B【解析】

根據(jù)程序框圖列舉出程序的每一步,即可得出輸出結(jié)果.【詳解】輸入,不成立,是偶數(shù)成立,則,;不成立,是偶數(shù)不成立,則,;不成立,是偶數(shù)成立,則,;不成立,是偶數(shù)成立,則,;不成立,是偶數(shù)成立,則,;不成立,是偶數(shù)成立,則,;成立,跳出循環(huán),輸出i的值為.故選:B.【點睛】本題考查利用程序框圖計算輸出結(jié)果,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

根據(jù)題意,五人分成四組,先求出兩人組成一組的所有可能的分組種數(shù),再將甲乙組成一組的情況,即可求出概率.【詳解】五人分成四組,先選出兩人組成一組,剩下的人各自成一組,所有可能的分組共有種,甲和乙分在同一組,則其余三人各自成一組,只有一種分法,與場地?zé)o關(guān),故甲和乙恰好在同一組的概率是.故選:A.【點睛】本題考查組合的應(yīng)用和概率的計算,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

根據(jù)向量投影的定義,即可求解.【詳解】在上的投影為.故選:A【點睛】本題考查向量的投影,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

求出函數(shù)定義域,在定義域內(nèi)確定函數(shù)的單調(diào)性,利用單調(diào)性解不等式.【詳解】由得,在時,是增函數(shù),是增函數(shù),是增函數(shù),∴是增函數(shù),∴由得,解得.故選:C.【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性,考查解函數(shù)不等式,解題關(guān)鍵是確定函數(shù)的單調(diào)性,解題時可先確定函數(shù)定義域,在定義域內(nèi)求解.9、B【解析】

先列舉出不超過的素數(shù),并列舉出所有的基本事件以及事件“在不超過的素數(shù)中,隨機選取個不同的素數(shù)、,滿足”所包含的基本事件,利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】不超過的素數(shù)有:、、、、、,在不超過的素數(shù)中,隨機選取個不同的素數(shù),所有的基本事件有:、、、、、、、、、、、、、、,共種情況,其中,事件“在不超過的素數(shù)中,隨機選取個不同的素數(shù)、,且”包含的基本事件有:、、、,共種情況,因此,所求事件的概率為.故選:B.【點睛】本題考查古典概型概率的計算,一般利用列舉法列舉出基本事件,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

根據(jù)程序框圖依次計算得到答案.【詳解】,;,;,;,;,此時不滿足,跳出循環(huán),輸出結(jié)果為,由題意,得.故選:【點睛】本題考查了程序框圖的計算,意在考查學(xué)生的理解能力和計算能力.11、C【解析】

聯(lián)立方程解得M(3,),根據(jù)MN⊥l得|MN|=|MF|=4,得到△MNF是邊長為4的等邊三角形,計算距離得到答案.【詳解】依題意得F(1,0),則直線FM的方程是y=(x-1).由得x=或x=3.由M在x軸的上方得M(3,),由MN⊥l得|MN|=|MF|=3+1=4又∠NMF等于直線FM的傾斜角,即∠NMF=60°,因此△MNF是邊長為4的等邊三角形點M到直線NF的距離為故選:C.【點睛】本題考查了直線和拋物線的位置關(guān)系,意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.12、A【解析】

作出其直觀圖,然后結(jié)合數(shù)據(jù)根據(jù)勾股定定理計算每一條棱長即可.【詳解】根據(jù)三視圖作出該四棱錐的直觀圖,如圖所示,其中底面是直角梯形,且,,平面,且,∴,,,,∴這個四棱錐中最長棱的長度是.故選.【點睛】本題考查了四棱錐的三視圖的有關(guān)計算,正確還原直觀圖是解題關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

作出函數(shù)的圖象及直線,如下圖所示,因為函數(shù)有個不同的零點,所以由圖象可知,,,所以.14、【解析】記小球落入袋中的概率,則,又小球每次遇到黑色障礙物時一直向左或者一直向右下落,小球?qū)⒙淙氪?,所以有,則.故本題應(yīng)填.15、20.2【解析】

分別求出隨機變量ξ1和ξ2的分布列,根據(jù)期望和方差公式計算得解.【詳解】設(shè)a,b∈{1,2,1,4,5},則p(ξ1=a),其ξ1分布列為:ξ112145PE(ξ1)(1+2+1+4+5)=1.D(ξ1)[(1﹣1)2+(2﹣1)2+(1﹣1)2+(4﹣1)2+(5﹣1)2]=2.ξ2=1.4|a﹣b|的可能取值分別為:1.4,2.3,4.2,5.6,P(ξ2=1.4),P(ξ2=2.3),P(ξ2=4.2),P(ξ2=5.6),可得分布列.ξ21.42.34.25.6PE(ξ2)=1.42.34.25.62.3.∴E(ξ1)﹣E(ξ2)=0.2.故答案為:2,0.2.【點睛】此題考查隨機變量及其分布,關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求出隨機變量取值的概率,根據(jù)公式準(zhǔn)確計算期望和方差.16、【解析】

分別過A,B,N作拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,,,根據(jù)拋物線定義和求得,從而求得直線l的傾斜角.【詳解】分別過A,B,N作拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,,,由拋物線的定義知,,,因為,所以,所以,即直線的傾斜角為,又直線與直線l垂直且直線l的傾斜角為銳角,所以直線l的傾斜角為,.故答案為:【點睛】此題考查拋物線的定義,根據(jù)已知條件做出輔助線利用拋物線定義和幾何關(guān)系即可求解,屬于較易題目.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)根據(jù)點差法,即可求得直線的斜率,則方程即可求得;(Ⅱ)設(shè)出直線方程,聯(lián)立橢圓方程,利用韋達(dá)定理,根據(jù),即可求得參數(shù)的值.【詳解】(1)設(shè),,則兩式相減,可得.(*)因為線段的中點坐標(biāo)為,所以,.代入(*)式,得.所以直線的斜率.所以直線的方程為,即.(Ⅱ)設(shè)直線:(),聯(lián)立整理得.所以,解得.所以,.所以,所以.所以.因為,所以.【點睛】本題考查中點弦問題的點差法求解,以及利用代數(shù)與幾何關(guān)系求直線方程,涉及韋達(dá)定理的應(yīng)用,屬中檔題.18、(1),有97.5%的把握認(rèn)為是否同意父母生“二孩”與“性別”有關(guān);(2)詳見解析.【解析】

(1)根據(jù)表格及同意父母生“二孩”占60%可求出,,根據(jù)公式計算結(jié)果即可確定有97.5%的把握認(rèn)為是否同意父母生“二孩”與“性別”有關(guān)(2)由題意可知X服從二項分布,利用公式計算概率及期望即可.【詳解】(1)因為100人中同意父母生“二孩”占60%,所以,文(2)由列聯(lián)表可得而所以有97.5%的把握認(rèn)為是否同意父母生“二孩”與“性別”有關(guān)(2)①由題知持“同意”態(tài)度的學(xué)生的頻率為,即從學(xué)生中任意抽取到一名持“同意”態(tài)度的學(xué)生的概率為.由于總體容量很大,故X服從二項分布,即從而X的分布列為X01234X的數(shù)學(xué)期望為【點睛】本題主要考查了相關(guān)性檢驗、二項分布,屬于中檔題.19、(1)(2)【解析】

(1)代入計算即可.(2)設(shè)直線AB的方程為,再聯(lián)立直線與拋物線的方程,消去可得的一元二次方程,再根據(jù)韋達(dá)定理與求解,進(jìn)而利用弦長公式求解即可.【詳解】解:(1)因為拋物線過點,所以,所以,拋物線的方程為(2)由題意知直線AB的斜率存在,可設(shè)直線AB的方程為,,.因為,所以,聯(lián)立,化簡得,所以,,所以,,解得,所以.【點睛】本題考查拋物線的方程以及聯(lián)立直線與拋物線求弦長的簡單應(yīng)用.屬于基礎(chǔ)題.20、(1)證明見解析(2)【解析】

(1)由已知線面垂直得,結(jié)合菱形對角線垂直,可證得線面垂直;(2)由已知知兩兩互相垂直.以分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,由已知線面垂直知與平面所成角為,這樣可計算出的長,寫出各點坐標(biāo),求出平面的法向量,由法向量夾角可得二面角.【詳解】證明:(1)因為平面,平面,所以.因為四邊形是菱形,所以.又因為,平面,平面,所以平面.解:(2)據(jù)題設(shè)知,兩兩互相垂直.以分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,因為與平面所成角為,即,所以又,所以,所以所以設(shè)平面的一個法向量,則令,則.因為平面,所以為平面的一個法向量,且所以,.所以二面角的正弦值為.【點睛】本題考查線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理,考查用向量法求二面角.立體幾何中求空間角常常是建立空間直角坐標(biāo)系,用空間向量法求空間角,這樣可減少思維量,把問題轉(zhuǎn)化為計算.21、(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】

(1)求導(dǎo)得,由,且,得到,再

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