西南交通大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題含解析

西南交通大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知F是雙曲線的右焦點(diǎn)，過(guò)F且垂直于x軸的直線交E于A，B兩點(diǎn)，若E的漸近線上恰好存在四個(gè)點(diǎn)，，，，使得，則E的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.2．若直線與直線平行，則（）A. B.C. D.3．已知隨機(jī)變量X的分布列如表所示，則（）X123Pa2a3aA. B.C. D.4．已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線（為常數(shù)）與雙曲線在第一象限交于點(diǎn).若（為原點(diǎn)），則的離心率為（）A. B.C. D.55．點(diǎn)到直線的距離為A.1 B.2C.3 D.46．某校初一有500名學(xué)生，為了培養(yǎng)學(xué)生良好的閱讀習(xí)慣，學(xué)校要求他們從四大名著中選一本閱讀，其中有200人選《三國(guó)演義》，125人選《水滸傳》，125人選《西游記》，50人選《紅樓夢(mèng)》，若采用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取40名學(xué)生分享他們的讀后感，則選《西游記》的學(xué)生抽取的人數(shù)為（）A.5 B.10C.12 D.157．設(shè)等差數(shù)列的公差為d，且，則（）A.12 B.4C.6 D.88．設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則A.-6 B.-4C.-2 D.29．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，是上一點(diǎn)，是直線與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)，若，則（）A. B.3C. D.210．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A. B.C. D.11．為了調(diào)查修水縣2019年高考數(shù)學(xué)成績(jī)，在高考后對(duì)我縣6000名考生進(jìn)行了抽樣調(diào)查，其中2000名文科考生，3800名理科考生，200名藝術(shù)和體育類考生，從中抽到了120名考生的數(shù)學(xué)成績(jī)作為一個(gè)樣本，這項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法是（）A.系統(tǒng)抽樣法 B.分層抽樣法C.抽簽法 D.簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣法12．如圖所示，在三棱錐中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，則等于（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)集合，若A中有且僅有4個(gè)元素，則滿足條件的整數(shù)a的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____14．若將拋擲一枚硬幣所出現(xiàn)的結(jié)果“正面（朝上）”與“反面（朝上）”，分別記為H、T，相應(yīng)的拋擲兩枚硬幣的樣本空間為，則與事件“一個(gè)正面（朝上）一個(gè)反面（朝上）”對(duì)應(yīng)的樣本空間的子集為_(kāi)_____15．如圖，已知橢圓E的方程為(a>b>0)，A為橢圓的左頂點(diǎn)，B，C在橢圓上，若四邊形OABC為平行四邊形，且∠OAB＝30°，則橢圓的離心率等于________16．已知拋物線方程為，則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知兩定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的斜率之積為（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；（2）設(shè)（1）中所求曲線為C，若斜率為的直線l過(guò)點(diǎn)，且與C交于P，Q兩點(diǎn)．問(wèn)：在x軸上是否存在一點(diǎn)T，使得對(duì)任意且，都有（其中，分別表示，的面積）．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，為正三角形，且側(cè)面底面ABCD，（1）求證：平面ACM；（2）求平面MBC與平面DBC的夾角的大小19．（12分）如圖，已知在四棱錐中，平面，四邊形為直角梯形，，，.（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值？若存在，指出點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由.20．（12分）已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線的方程.（2）若直線為曲線切線，且經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線的方程及切點(diǎn)坐標(biāo).21．（12分）我國(guó)是世界最大的棉花消費(fèi)國(guó)、第二大棉花生產(chǎn)國(guó)，其中，新疆棉產(chǎn)量約占國(guó)內(nèi)產(chǎn)量的87%，消費(fèi)量約占國(guó)內(nèi)消費(fèi)量的67%．新疆棉的品質(zhì)高：纖維柔長(zhǎng)，潔白光澤，彈性良好，各項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)均超國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)．尤其是被授予“中國(guó)彩棉之鄉(xiāng)”稱號(hào)的新疆建設(shè)兵團(tuán)一四八團(tuán)生產(chǎn)的天然彩棉，株型緊湊，吐絮集中，品質(zhì)優(yōu)良，色澤純正、艷麗，手感柔軟，適合中高檔紡織．新疆彩棉根據(jù)色澤、手感、纖維長(zhǎng)度等評(píng)分指標(biāo)打分，得分在區(qū)間內(nèi)分別對(duì)應(yīng)四級(jí)、三級(jí)、二級(jí)、一級(jí)．某經(jīng)銷商從采購(gòu)的新蚯彩棉中隨機(jī)抽取20包（每包1kg），得分?jǐn)?shù)據(jù)如圖（1）試統(tǒng)計(jì)各等級(jí)數(shù)量，并估計(jì)各等級(jí)在該批彩棉中所占比例；（2）用樣本估計(jì)總體，經(jīng)銷商參考以下兩種銷售方案進(jìn)行銷售：方案1：不分等級(jí)賣出，單價(jià)為1.79萬(wàn)元/噸；方案2：分等級(jí)賣出，不同等級(jí)的新疆彩棉售價(jià)如下表所示：等級(jí)一級(jí)二級(jí)三級(jí)四級(jí)售價(jià)（萬(wàn)元/噸）若從經(jīng)銷商老板的角度考慮，采用哪種方案較好？并說(shuō)明理由22．（10分）已知圓過(guò)點(diǎn)，，且圓心在直線：上.（1）求圓的方程；（2）若從點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)軸反射，反射光線剛好經(jīng)過(guò)圓心，求反射光線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由題意以AB為直徑的圓M與雙曲線E的漸近線有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則必有，又當(dāng)圓M經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)此時(shí)以AB為直徑的圓M上與雙曲線E的漸近線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，不滿足，從而得出答案.【詳解】由題意，由得，雙曲線的漸近線方程為所以，由，可知，，，在以AB為直徑的圓M上，圓的半徑為即以AB為直徑的圓M與雙曲線E的漸近線有四個(gè)不同的交點(diǎn)當(dāng)圓M與漸近線相切時(shí)，圓心到漸近線的距離，則必有，即，則雙曲線E的離心率，所以又當(dāng)圓M經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，，解得E的離心率為，此時(shí)以AB為直徑圓M與雙曲線E的漸近線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，不滿足條件.所以E的離心率的取值范圍是.故選：D2、D【解析】根據(jù)兩直線平行可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，由此可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】由于直線與直線平行，則，解得.故選：D.3、C【解析】根據(jù)分布列性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：依題意，解得，所以；故選：C4、D【解析】取雙曲線的左焦點(diǎn)，連接,計(jì)算可得，即.設(shè)，則，，解得：，利用勾股定理計(jì)算可得，即可得出結(jié)果.【詳解】取雙曲線的左焦點(diǎn)，連接,,則因?yàn)?，所以，?,.設(shè)，則，，解得：.,,..故選：D5、B【解析】直接利用點(diǎn)到直線的距離公式得到答案.【詳解】，答案為B【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離公式，屬于簡(jiǎn)單題.6、B【解析】根據(jù)分層抽樣的方法，列出方程，即可求解.【詳解】根據(jù)分層抽樣的方法，可得選《西游記》的學(xué)生抽取的人數(shù)為故選：B.7、B【解析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算求出公差.【詳解】，所以.故選：B8、A【解析】由已知得解得故選A考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式9、D【解析】根據(jù)拋物線的定義求得，由此求得的長(zhǎng).【詳解】過(guò)作，垂足為，設(shè)與軸交點(diǎn)為.根據(jù)拋物線的定義可知.由于，所以，所以，所以，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線定義，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】根據(jù)和可求得，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，由得：；又，，.故選：B.11、B【解析】考生分為幾個(gè)不同的類型或?qū)哟?，由此可以確定抽樣方法；【詳解】6000名考生進(jìn)行抽樣調(diào)查，其中2000名文科考生，3800名理科考生，200名藝術(shù)和體育類考生，從中抽到了120名考生的數(shù)學(xué)成績(jī)作為一個(gè)樣本又文科考生、理科考生、藝術(shù)和體育類考生會(huì)存在差異，采用分層抽樣法較好故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是分層抽樣，掌握分層抽樣的有關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算公式化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，所以，，所以，故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、32【解析】作出的圖像，由時(shí)，不等式成立，所以，判斷出符合條件的非零整數(shù)根只有三個(gè)，即等價(jià)于時(shí)，；時(shí)，；利用數(shù)形結(jié)合，進(jìn)行求解.【詳解】作出的圖像如圖所示：因?yàn)闀r(shí)，不等式成立，所以，符合條件的非零整數(shù)根只有三個(gè).由可得：時(shí)，；時(shí)，；所以在y軸左側(cè)，的圖像都在的下方；在y軸右側(cè)，的圖像都在的上方；而，，，，.平移直線，由圖像可知：當(dāng)時(shí)，集合A中除了0只含有1，2，3，符合題意，此時(shí)整數(shù)a可以?。?23，-22，-21……-9.一共15個(gè)；當(dāng)時(shí)，集合A中除了0含有1，-1，-2，符合題意.當(dāng)時(shí)，集合A中除了0只含有-1，-2，-3，符合題意，此時(shí)整數(shù)a可以取：5，6，7……20一共16個(gè).所以整數(shù)a的值一共有15+1+16=32（個(gè)）.故答案為：32【點(diǎn)睛】分離參數(shù)法求零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題是轉(zhuǎn)化為，分別做出和的圖像，觀察交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．用數(shù)形結(jié)合法解決零點(diǎn)問(wèn)題常有以下幾種類型：(1)零點(diǎn)個(gè)數(shù)：幾個(gè)零點(diǎn)；(2)幾個(gè)零點(diǎn)的和；(3)幾個(gè)零點(diǎn)的積.14、，，，【解析】先寫(xiě)出與事件“一個(gè)正面（朝上）一個(gè)反面（朝上）”對(duì)應(yīng)的樣本空間，再寫(xiě)出其全部子集即可.【詳解】與事件“一個(gè)正面（朝上）一個(gè)反面（朝上）”對(duì)應(yīng)的樣本空間為，此空間的子集為，，，故答案為：，，，15、【解析】首先利用橢圓的對(duì)稱性和為平行四邊形，可以得出、兩點(diǎn)是關(guān)于軸對(duì)稱，進(jìn)而得到；設(shè)，，，從而求出，然后由，利用，求得，最后根據(jù)得出離心率【詳解】解：是與軸重合的，且四邊形為平行四邊形，所以、兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，、的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，、兩點(diǎn)是關(guān)于軸對(duì)稱的由題知：四邊形為平行四邊形，所以可設(shè)，，代入橢圓方程解得：設(shè)為橢圓的右頂點(diǎn)，，四邊形為平行四邊形對(duì)點(diǎn)：解得：根據(jù)：得：故答案為：16、【解析】先將拋物線的方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，即可判斷拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，從而解得答案.【詳解】解：因?yàn)閽佄锞€方程為，即，所以，，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）存在；【解析】（1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)，即可直接求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；（2）根據(jù)題意寫(xiě)出直線的方程，把直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，消元，寫(xiě)韋達(dá)；根據(jù)條件，同時(shí)結(jié)合三角形的面積公式可得出；從而結(jié)合韋達(dá)定理可求出點(diǎn)T的坐標(biāo).【小問(wèn)1詳解】設(shè)，由，得，即，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)PT與RT夾角為，QT與RT夾角為，因?yàn)?，所以，即，所以，設(shè)，，，直線l的方程為，因?yàn)椋?，即，所以，即①，由，得，所以，代入①式，得，解得，所以存在點(diǎn)，使得對(duì)任意且，都有.18、（1）證明見(jiàn)解析（2）30°【解析】（1）連接BD，借助三角形中位線可證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法直接可求.【小問(wèn)1詳解】連接BD，與AC交于點(diǎn)O，在中，因?yàn)镺，M分別為BD，PD的中點(diǎn)，則，又平面ACM，平面ACM，所以平面ACM.【小問(wèn)2詳解】設(shè)E是AB的中點(diǎn)，連接PE，因?yàn)闉檎切?，則，又因?yàn)槠矫娴酌鍭BCD，平面平面，則平面ABCD，過(guò)點(diǎn)E作EF平行于CB，與CD交于點(diǎn)F，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，，，所以，，設(shè)平面CBM的法向量為，則，令，則，因?yàn)槠矫鍭BCD，則平面ABCD的一個(gè)法向量為，所以，所以平面MBC與平面DBC所成角大小為30°19、（1）；（2）存在，為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)【解析】（1）分別以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出的坐標(biāo)以及平面的一個(gè)法向量，計(jì)算即可求解；（2）假設(shè)線段上存在點(diǎn)符合題意，設(shè)可得，求出平面的法向量和平面的法向量，利用即可求出的值，即可求解.【詳解】（1）分別以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，，.不妨設(shè)平面的一個(gè)法向量,則有，即，取.設(shè)直線與平面所成的角為，則,所以直線與平面所成角的正弦值為；（2）假設(shè)線段上存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值.設(shè)，則,從而，，.設(shè)平面的法向量,則有，即，取.設(shè)平面的法向量,則有，即，取.,解得：或（舍）,故存在點(diǎn)滿足條件，為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)【點(diǎn)睛】求空間角的常用方法：（1）定義法，由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對(duì)應(yīng)三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過(guò)計(jì)算向量夾角（直線方向向量與直線方向向量、直線方向向量與平面法向量，平面法向量與平面法向量）余弦值，即可求出結(jié)果.20、(1)；(2)直線的方程為，切點(diǎn)坐標(biāo)為.【解析】（1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，最后根據(jù)點(diǎn)斜式得結(jié)果，（2）設(shè)切點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式得切線方程，再根據(jù)切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)解得結(jié)果.【詳解】（1）.所以在點(diǎn)處的切線的斜率，∴切線的方程為；（2）設(shè)切點(diǎn)為，則直線的斜率為，所以直線的方程為：，所以又直線過(guò)點(diǎn)，∴，整理，得，∴，∴，的斜率，∴直線的方程為，切點(diǎn)坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.21、（1）答案見(jiàn)解析；（2）答案、理由見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)莖葉圖計(jì)算出數(shù)量以及比例.（2）計(jì)算出方案的彩棉售價(jià)平均值，由此作出