專題14弧長及扇形的面積（3個(gè)知識(shí)點(diǎn)2種題型3種中考考法）（原卷版）

專題14弧長及扇形的面積（3個(gè)知識(shí)點(diǎn)2種題型3種中考考法）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.弧長公式（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)2.扇形的面積（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)3.不規(guī)則圖形面積的求法（難點(diǎn)）【方法二】實(shí)例探索法題型1.弧長公式的應(yīng)用題型2.求不規(guī)則圖形的面積的常用特殊方法【方法三】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法1弧長公式的應(yīng)用考法2.扇形的面積公式的應(yīng)用考法3.求陰影部分的面積【方法四】成果評(píng)定法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】了解弧長公式、扇形面積公式的推導(dǎo)過程及意義。掌握求弧長及扇形面積的公式，并會(huì)應(yīng)用公式解決問題。在探索弧長計(jì)算公式時(shí)，體驗(yàn)從特殊到一般的學(xué)習(xí)方法，在推導(dǎo)扇形面積公式的過程中，學(xué)會(huì)類比的方法?！局R(shí)導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)四種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.弧長公式（重點(diǎn)）（1）圓周長公式：C＝2πR（2）弧長公式：l＝（弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R）①在弧長的計(jì)算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位．②若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計(jì)算弧長．③題設(shè)未標(biāo)明精確度的，可以將弧長用π表示．④正確區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長三個(gè)概念，度數(shù)相等的弧，弧長不一定相等，弧長相等的弧不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統(tǒng)一．【例1】（2023?溫州）若扇形的圓心角為40°，半徑為18，則它的弧長為．【變式】（2023?拱墅區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在△ABC中，以BC為直徑的半圓分別與AB，AC交于點(diǎn)D，E．若BC＝6，∠A＝60°，則的長為（）A． B．π C．2π D．3π知識(shí)點(diǎn)2.扇形的面積（重點(diǎn)）（1）圓面積公式：S＝πr2（2）扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圖形叫做扇形．（3）扇形面積計(jì)算公式：設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l(wèi)為扇形的弧長）【例2】（2023?鹿城區(qū)校級(jí)二模）若扇形的圓心角為60°，半徑為3cm，則該扇形的面積為cm2．【變式】（2022秋?寧波期末）如圖，在△ABC中，以邊AB為直徑作⊙O分別交BC，AC于點(diǎn)D，E，點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，連接OE，OD．（1）求證：△ABC是等腰三角形．（2）若AB＝6，∠A＝40°，求的長和扇形EOD的面積．知識(shí)點(diǎn)3.不規(guī)則圖形面積的求法（難點(diǎn)）求陰影面積常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割補(bǔ)法．求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．【例3】（2023?浙江模擬）如圖是2022年杭州亞運(yùn)會(huì)徽標(biāo)的示意圖，若AO＝5，BO＝2，∠AOD＝120°，則陰影部分面積為（）A．14π B．7π C． D．2π【變式】（2023?南湖區(qū)二模）如圖，將半徑為的扇形AOB沿OB方向平移2cm，得到扇形CDE．若∠O＝60°，則重疊部分（陰影部分）的面積為（）A． B．cm2 C．πcm2 D．【方法二】實(shí)例探索法題型1.弧長公式的應(yīng)用1．（2022秋?越城區(qū)期末）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD∥BC交⊙O于點(diǎn)D，DF∥AB交BC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，連接AF，CF．（1）求證：AC＝AF；（2）若⊙O的半徑為3，∠CAF＝30°，求的長（結(jié)果保留π）．2．（2023?浙江二模）如圖，已知⊙O的半徑為，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連結(jié)AC、BD，DB＝DC，∠BDC＝45°．（1）求的長；（2）求證：AD平分△ABC的外角∠EAC．題型2.求不規(guī)則圖形的面積的常用特殊方法3．（2023?杭州二模）如圖，AB是⊙O的直徑，將弦AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到AD，此時(shí)點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在AB上，延長CD，交⊙O于點(diǎn)E，若CE＝2，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．4．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在半徑為2、圓心角為的扇形中，，點(diǎn)D從點(diǎn)O出發(fā)，沿的方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A停止．在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中，線段，與所圍成的區(qū)域（圖中陰影部分）面積的最小值為（

）A． B． C． D．5．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在矩形中，以點(diǎn)D為圓心，長為半徑畫弧，以點(diǎn)C為圓心，長為半徑畫弧，兩弧恰好交于邊上的點(diǎn)E處，現(xiàn)從矩形內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)，若，則該點(diǎn)取自陰影部分的概率為______．6．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）如圖，在菱形中，分別以點(diǎn)A，C為圓心，，長為半徑畫弧，分別交對(duì)角線于點(diǎn)E，F(xiàn)．若，，則圖中陰影部分的面積為______．（結(jié)果保留）7．（2022秋?上城區(qū)期末）已知AB是圓O的直徑，半徑OD⊥BC于點(diǎn)E，的度數(shù)為60°．（1）求證：OE＝DE；（2）若OE＝1，求圖中陰影部分的面積．8．（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集團(tuán)（總校）?？既＃┤鐖D，將含角的直角三角板放入半圓中，三點(diǎn)恰好在半圓上，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長交圓于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，求陰影部分的面積．【方法三】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法1弧長公式的應(yīng)用1．（2022?麗水）某仿古墻上原有一個(gè)矩形的門洞，現(xiàn)要將它改為一個(gè)圓弧形的門洞，圓弧所在的圓外接于矩形，如圖．已知矩形的寬為2m，高為2m，則改建后門洞的圓弧長是（）A．m B．m C．m D．（+2）m2．（2023?溫州）若扇形的圓心角為40°，半徑為18，則它的弧長為．3．（2023?金華）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB為直徑作半圓，交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則弧DE的長為cm．考法2.扇形的面積公式的應(yīng)用4．（2021?衢州）已知扇形的半徑為6，圓心角為150°，則它的面積是（）A．π B．3π C．5π D．15π5．（2022?臺(tái)州）一個(gè)垃圾填埋場，它在地面上的形狀為長80m，寬60m的矩形，有污水從該矩形的四周邊界向外滲透了3m，則該垃圾填埋場外圍受污染土地的面積為（）A．（840+6π）m2 B．（840+9π）m2 C．840m2 D．876m2考法3.求陰影部分的面積6．（2023?婁底）如圖，正六邊形ABCDEF的外接圓⊙O的半徑為2，過圓心O的兩條直線l1、l2的夾角為60°，則圖中的陰影部分的面積為（）?A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣7．（2023?廣元）如圖，半徑為5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是上一點(diǎn)，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D，E，若CD＝CE，則圖中陰影部分面積為（）A． B． C． D．8．（2023?連云港）如圖，矩形ABCD內(nèi)接于⊙O，分別以AB、BC、CD、AD為直徑向外作半圓．若AB＝4，BC＝5，則陰影部分的面積是（）A．π﹣20 B．π﹣20 C．20π D．209．（2023?內(nèi)蒙古）如圖，正方形ABCD的邊長為2，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，以點(diǎn)B為圓心，對(duì)角線BD的長為半徑畫弧，交BC的延長線于點(diǎn)E，則圖中陰影部分的面積為．【方法四】成果評(píng)定法一、單選題1．（2022秋·浙江湖州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知扇形的圓心角為，半徑為6，則扇形的面積是（

）A． B． C． D．2．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）長為的細(xì)木條用兩個(gè)鐵釘固定在墻上，固定點(diǎn)為點(diǎn)，（鐵釘?shù)拇笮『雎圆挥?jì)），當(dāng)固定點(diǎn)處的鐵釘脫落后，細(xì)木條順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至與原來垂直的方向，點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，則點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的路徑長為（）A． B． C． D．3．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，連接，，若，的半徑為，則劣弧的長為（）A． B． C． D．4．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，，，，為上的點(diǎn)，且直線與夾角為．若，，的長分別為，和，則的半徑是（）A． B． C． D．5．（2022秋·浙江衢州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）半徑為，的圓心角所對(duì)的弧長為（

）A． B． C． D．6．（2023春·浙江溫州·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，，，D是邊上的一點(diǎn)，以為直徑的交邊于點(diǎn)E，若，則的長為（）A．π B．2π C．3π D．4π7．（2021·浙江衢州·統(tǒng)考一模）如圖，正方形ABCD的邊長為8，以點(diǎn)A為圓心，AD為半徑，畫圓弧DE得到扇形DAE（陰影部分，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上）．若扇形DAE正好是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖，則該圓錐的底面圓的半徑是（

）A． B．2 C． D．18．（2023春·浙江杭州·九年級(jí)杭州市杭州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，是等腰直角三角形，且，分別以A，B，C為圓心做弧，得到曲線，那么曲線和線段圍成的圖形（圖中陰影部分）的面積為（）A． B． C． D．9．（2023秋·浙江寧波·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的直徑，弦與垂直，垂足為點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，，，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．10．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）如圖，將半徑為的扇形沿方向平移，得到扇形．若，則重疊部分（陰影部分）的面積為（

）A． B．C． D．二、填空題11．（2023·浙江溫州·?？既＃┤羯刃伟霃綖?，弧長為，則該扇形的圓心角為．12．（2023·浙江溫州·?？既＃┮粋€(gè)扇形的圓心角為，弧長為3πcm，則此扇形的半徑是cm．13．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在矩形中，以點(diǎn)D為圓心，長為半徑畫弧，以點(diǎn)C為圓心，長為半徑畫弧，兩弧恰好交于邊上的點(diǎn)E處，現(xiàn)從矩形內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)，若，則該點(diǎn)取自陰影部分的概率為．14．（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，CD為⊙O的直徑，CD⊥AB于點(diǎn)F，AE⊥BC于點(diǎn)E，且AE經(jīng)過圓心O．若OA＝3．則圖中陰影部分的面積為．15．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）將一半徑為6的圓形紙片，沿著兩條半徑剪開形成兩個(gè)扇形．若其中一個(gè)扇形的弧長為5π，則另一個(gè)扇形的圓心角度數(shù)是．16．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，用一個(gè)圓心角為150°的扇形圍成一個(gè)無底的圓錐，如果這個(gè)圓錐底面圓的半徑為，則這個(gè)扇形的半徑是．17．（2022秋·浙江溫州·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，是的直徑，是弦，，，則陰影部分的面積是．18．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，以為直徑作半圓，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則弧的長為．三、解答題19．（2023秋·浙江臺(tái)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．(1)畫出．(2)求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長．20．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考一模）如圖，將含角的直角三角板放入半圓中，三點(diǎn)恰好在半圓上，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連結(jié)并延長交圓于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，求陰影部分的面積．21．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，是的外接圓，是直徑，的平分線交于點(diǎn)D，連接、．(1)判斷的形狀，并說明理由；(2)若，求的長（結(jié)果保留）．22．（2022秋·浙江溫州·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，弦，相交于點(diǎn)E，連結(jié)，已知．(1)求證：；(2)連結(jié)、，若，的半徑為2，求的長．23．（2022秋·浙江金華·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖是輸水管的切面，陰影部分是有