論彩票中的獎(jiǎng)獎(jiǎng)資格概率

論彩票中的獎(jiǎng)獎(jiǎng)資格概率

該概率的應(yīng)用非常廣泛，包括許多領(lǐng)域。下面,我們以生活中最平常的但都很感興趣的事情——彩票(以雙色球?yàn)槔?來詳細(xì)闡述一下概率論在彩票學(xué)中的應(yīng)用。1獎(jiǎng)?lì)~的確定和獎(jiǎng)級(jí)設(shè)置雙色球玩法是國(guó)內(nèi)首創(chuàng)的兩區(qū)內(nèi)選號(hào),是目前福彩最為著名的品牌玩法。它每注投注號(hào)碼由6個(gè)紅色球號(hào)碼和1個(gè)藍(lán)色球號(hào)碼組成。紅色球號(hào)碼從1—33中選擇;藍(lán)色球號(hào)碼從1—16中選擇。每注2元,全國(guó)統(tǒng)一獎(jiǎng)池計(jì)獎(jiǎng)。雙色球設(shè)獎(jiǎng)獎(jiǎng)金為銷售總額的50%,其中當(dāng)期獎(jiǎng)金為銷售總額的49%,調(diào)節(jié)基金為銷售總額的1%。獎(jiǎng)級(jí)設(shè)置,分為高等獎(jiǎng)和低等獎(jiǎng)。一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)為高等獎(jiǎng),三至六等獎(jiǎng)為低等獎(jiǎng)。高等獎(jiǎng)采用浮動(dòng)設(shè)獎(jiǎng),低等獎(jiǎng)采用固定設(shè)獎(jiǎng)。當(dāng)期獎(jiǎng)金減去當(dāng)期低等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金為當(dāng)期高等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金。它的獎(jiǎng)金分配為下圖:投注者單注金額為2元,單注若已得到高級(jí)別的獎(jiǎng)就不再兼得低級(jí)別的獎(jiǎng)。2計(jì)算各項(xiàng)概率的經(jīng)典概率2.1可能性大小相同我們稱具有下列兩個(gè)特征的隨機(jī)試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑楣诺涓判汀?1)隨機(jī)試驗(yàn)只有有限個(gè)可能的結(jié)果;(2)每一個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性大小相同。它在數(shù)學(xué)上可表述為:設(shè)事件A包含其樣本空間S中k個(gè)基本事件,即A={ei1}∪{ei2}∪…∪{eik},則事件A發(fā)生的概率:Ρ(A)=Ρ(k∪j=1eij)=k∑j=1Ρ(eij)=kn=A包含的基本事件數(shù)S中基本事件的總數(shù)P(A)=P(∪j=1keij)=∑j=1kP(eij)=kn=A包含的基本事件數(shù)S中基本事件的總數(shù)。2.2風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)及不大有道數(shù)一等獎(jiǎng):1種可能性,概率為1C633*1C116=6*5*4*3*2*133*32*31*30*29*28*116=1177210881C633*1C116=6*5*4*3*2*133*32*31*30*29*28*116=117721088;二等獎(jiǎng):15種可能性,概率為1C633*C115C116=6*5*4*3*2*133*32*31*30*29*28*1516≈111814051C633*C115C116=6*5*4*3*2*133*32*31*30*29*28*1516≈11181405;三等獎(jiǎng):162種可能性,概率為C56*C127C633*1C116=C56*C127C633*1C116=6*2733*32*31*30*29*286*5*4*3*2*1*116≈1177210886*2733*32*31*30*29*286*5*4*3*2*1*116≈117721088;四等獎(jiǎng):7695種可能性,概率為C46*C227C633*1C116+C56*C127C633*C115C116≈12303C46*C227C633*1C116+C56*C127C633*C115C116≈12303;五等獎(jiǎng):137475種可能性,概率為C36*C327C633*1C116+C46*C227C633*C115C116≈1129C36*C327C633*1C116+C46*C227C633*C115C116≈1129;六等獎(jiǎng):1043640種可能性,概率為C26*C427C633*1C116+C16*C527C633*1C116+C627C633*1C116≈116;不中獎(jiǎng):概率為C627C633*C115C116≈0.9329。綜上,一注彩票中獎(jiǎng)的概率略高于116,也就是說理論上,投注16注,則約能中一注。可以看出,比起其它類型彩票,雙色球的中獎(jiǎng)率還是較高的。2.3小概率事件的概率根據(jù)大數(shù)定律即設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p,n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)為μn,事件的頻率有μnn,則對(duì)任意ε>0,有l(wèi)imn→∞Ρ{|μnn-p|＜ε}=1。由這個(gè)定律我們知道當(dāng)n較大時(shí),我們可以用頻率代替概率。雙色球每期賣出的彩票都很多,也就是n較大;而中高等獎(jiǎng)的概率為117721088+11181405≈8.3×10-7,這個(gè)概率很小。統(tǒng)計(jì)學(xué)中,一般認(rèn)為等于或小于0.05或0.01的概率為小概率。根據(jù)大數(shù)定理,小概率事件在一次實(shí)驗(yàn)中幾乎不能發(fā)生。所以買一注雙色球彩票時(shí),中高等獎(jiǎng)的可能性非常非常小,大多數(shù)人買一輩子彩票也不會(huì)中高等獎(jiǎng)。那么為什么幾乎每期都有人會(huì)中高等獎(jiǎng)呢?從概率觀點(diǎn)看,即使極小概率的事件,如果重復(fù)很多次,也會(huì)有很大概率發(fā)生。假設(shè)一事件發(fā)生的概率為p,“重復(fù)n次還不發(fā)生”事件的概率為(1-p)n,當(dāng)n足夠大,這一概率就很小。從而“n次中至少發(fā)生一次”的事件(重復(fù)n次還不發(fā)生的事件的對(duì)立事件)發(fā)生的概率為1-(1-p)n(對(duì)立事件的概率之和為1)。3可能性概率彩票管理部門只用銷售總額的50%作為獎(jiǎng)金總額,所以作為管理部,希望每期彩票賣出的注數(shù)越多越好,作為彩民,自然希望中獎(jiǎng)的可能性(即概率)越大越好、各獎(jiǎng)項(xiàng)的獎(jiǎng)金額越高越好,這樣的方案設(shè)置才更其有吸引力,對(duì)于給定的彩票發(fā)行方案,單注中各項(xiàng)獎(jiǎng)的概率是一定的,雖每期的彩票銷售總額是隨機(jī)變量,但到開獎(jiǎng)時(shí),每期的獎(jiǎng)金總額將是確定的。因此,我們以高項(xiàng)獎(jiǎng)(一、二等獎(jiǎng))的獲獎(jiǎng)比例和低項(xiàng)獎(jiǎng)(四、五、六等獎(jiǎng))的固定獎(jiǎng)?lì)~作為決策變量,以單注中獎(jiǎng)的期望值作為目標(biāo)函數(shù)來衡量雙色球中獎(jiǎng)的合理性。(1)數(shù)學(xué)期望的計(jì)算設(shè)X是離散型隨機(jī)變量的概率分布為P{X=xi}=pi,i=1,2,…如果∞∑i=1xipi絕對(duì)收斂,則定義X的數(shù)學(xué)期望(又稱均值)為E(X)=∞∑i=1xipi。(2)高等獎(jiǎng)的期望首先我們做幾個(gè)假設(shè):①一等獎(jiǎng)按600萬計(jì)算,二等獎(jiǎng)按20萬計(jì)算;②一、二等獎(jiǎng)僅有一個(gè)人中獎(jiǎng);③不計(jì)中高等獎(jiǎng)的稅收及相關(guān)費(fèi)用。則單注中獎(jiǎng)金額的期望值E(X)=6∑i=1xipi≈0.836176。其中(如下表1):通過雙色球單注中獎(jiǎng)金額的期望值,我們知道,在經(jīng)常購(gòu)買彩票的情況下,每注彩票的收入即收益為0.84元左右,由于每注彩票的面值為2元,則我們每注彩票都為國(guó)家的福利事業(yè)貢獻(xiàn)了1.16元。4數(shù)碼i在第k次搖獎(jiǎng)雙色球每次搖出的彩票中獎(jiǎng)號(hào)碼到底隨不隨機(jī)?能不能預(yù)測(cè)?我們以雙色球彩票藍(lán)區(qū)號(hào)碼(33選6)為例試作澄清。雙色球彩票每次搖獎(jiǎng)機(jī)均從01-33搖出6個(gè)號(hào)碼作為藍(lán)區(qū)號(hào)碼。本文收集了雙色球在2012,3-2012,8期間從第2012025期至2012100期共78期所有藍(lán)區(qū)號(hào)碼數(shù)數(shù)據(jù)。對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行初步處理,得到各數(shù)碼出現(xiàn)的次數(shù)如下表2所示:從上表中容易看出中獎(jiǎng)號(hào)碼中各數(shù)碼出現(xiàn)的次數(shù)有多有少,呈現(xiàn)一種波動(dòng),注意到,數(shù)碼1出現(xiàn)次數(shù)最低是4次,可稱為冷門號(hào)碼;數(shù)碼2出現(xiàn)的次數(shù)最高是17次,稱為熱門號(hào)碼,對(duì)于給定某數(shù)碼,其次數(shù)波動(dòng)范圍均在4-17之間。時(shí)下流行的預(yù)測(cè)就是根據(jù)冷門或熱門號(hào)碼出現(xiàn)的次數(shù)(頻數(shù))來預(yù)測(cè)下期某次開獎(jiǎng),其實(shí),這毫無意義,我們可以用概率論的知識(shí)來正確認(rèn)識(shí)其波動(dòng)范圍的可能性。設(shè)Xk={1,數(shù)碼i在第k次搖獎(jiǎng)中出現(xiàn)0?數(shù)碼i在第k次搖獎(jiǎng)未出現(xiàn),(i=1?2?33?k=1?2???6)于給定某數(shù)碼i,Xk服從同一二點(diǎn)分布且獨(dú)立,E(Xk)=p,Var(Xk)=p(1-p)。經(jīng)過n次搖獎(jiǎng)后,數(shù)碼i在中獎(jiǎng)號(hào)碼當(dāng)中出現(xiàn)的次數(shù),記作X,且X=78∑k=1Xi~B(n,p),則E(X)=np,Var(X)=np(1-p)。中心極限定理是概率論中最著名的結(jié)果之一。它提出,在一定條件下,大量的獨(dú)立隨機(jī)變量(不管以前服從什么分布)之和具有近似于正態(tài)的分布。所以由棣莫佛—拉普拉斯定理知:X-np√np(1-p)~Ν(0,1)記標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)為Φ(x),當(dāng)n=78,p=633,np≈14時(shí),有Ρ(4≤X≤17)≈Φ(17-np√np(1-p))-Φ(4-np√np(1-p))=Φ(17-14√14(1-633))-Φ(4-14√14(1-633))≈Φ(0.8876)-Φ(-2.9586)≈81.48%因此,經(jīng)過78次搖獎(jiǎng)后,對(duì)于給定的某數(shù)碼i(i=1,2,…,33),中獎(jiǎng)號(hào)碼出現(xiàn)的次數(shù)波動(dòng)在4-17之間的概率為81.48%,所以我們有很大把握斷言,數(shù)碼i在中獎(jiǎng)號(hào)碼中出現(xiàn)的次