2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)微專題：常見的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化方法例析

常見的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化方法例析轉(zhuǎn)化是對原問題換一個方式、換一個角度、換一個觀點(diǎn)加以考慮，把要解決的問題化為一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問題的思維方法．?dāng)?shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想無處不在，它是分析問題、解決問題的有效途徑，它包含了數(shù)學(xué)特有的數(shù)、式、形的相互轉(zhuǎn)換．常見的轉(zhuǎn)化方法有換元法、等積轉(zhuǎn)化法、數(shù)形結(jié)合法、函數(shù)法、特殊值法等．一、換元法換元法就是在解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個式子看成一個整體，用另一個變量去代替它，從而簡化問題．換元的本質(zhì)是轉(zhuǎn)化，將問題轉(zhuǎn)移至新對象的知識背景中去研究，從而使復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理．例1如果a、b是一元二次方程x2＋3x－2＝0的兩個根，則a2＋2a－b的值為_______．分析a、b是一元二次方程x2＋3x－2＝0的兩個根，可用求根公式求出兩根a、b，再把兩根代入代數(shù)式a2＋2a－b求值，但這樣的計(jì)算太過麻煩，一是根的結(jié)果復(fù)雜，二是要分兩種情況討論兩根的取值，三是根的平方計(jì)算不易，因此，此種方法不可?。覀兛捎玫葍r(jià)代換和整體代換來輕松解決這一問題．解∵a是一元二次方程x2＋3x－2＝0的根，∴a2＋3a－2＝0，即a2＝2－3a，∴a2＋2a－6＝2－3a＋2a－b＝2－a－b＝2－(a＋b)．又∵a、b是一元二次方程x2＋3x－2＝0的兩個根，∴a＋b＝－3．∴a2＋2a－b＝2－(a＋b)＝5．二、等積轉(zhuǎn)化法求線段的長，有時(shí)可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)線距離，再把相應(yīng)的線段放人三角形中，根據(jù)同一三角形面積不變，而面積又有多種表示，往往由等面積這一等式，轉(zhuǎn)變成線段間的關(guān)系．例2如圖1，在等腰三角形ABC中，底BC為10，腰為13，求腰上的高B黨． 分析要求高B黨，可放入直角三角形中來解，但直接在某個三角形中解不出，需間接地求出其它量，如可在兩個直角三角形AB黨與CB黨中得出等式AB2－A黨2＝BC2－C黨2．再有A黨＋C黨＝13，AB＝13，BC＝10，從而求得A黨和C黨，然后再在直角三角形AB黨或直角三角形CB黨中用勾股定理求得B黨的長．這一方法要解一個二元方程組，計(jì)算量較大，其實(shí)，本題可借助同一圖形面積相等這一結(jié)論，來簡化解題． 例3如圖2，P為邊長為a的正三角形ABC內(nèi)任一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別向三邊作垂線，垂足分別為黨、E、F，求P黨＋PE＋PF．分析P為正三角形ABC內(nèi)任一點(diǎn)，是一動點(diǎn)，P黨、PE、PF是三條動線段，而P黨＋PE＋PF就是三條動線段之和．但P黨、PE、PF又是三條垂線段，可聯(lián)想到三角形的高．因此，連接PA、PB、PC，ABC就被分割成三個三角形，即△PAB、△PBC與△PCA，從而就有大三角形的面積等于三個小三角形面積之和；再把P黨＋PE＋PF看成一個整體，便可求得結(jié)果． 解連結(jié)PA、PB、PC， 三、數(shù)形結(jié)合法 數(shù)形結(jié)合法就是把抽象的數(shù)量關(guān)系和直觀的圖形結(jié)合起來，從而降低原命題的難度，使問題容易得到解決． 例4求y＝的最小值． 分析本題可根據(jù)分類討論，分三種情況去掉絕對值符號，寫出函數(shù)解析式，再求出每一情況下函數(shù)的最小值，最后取三個最小值中最小的．但那樣做太麻煩，我們可用數(shù)形結(jié)合的方法，把看成是數(shù)軸上數(shù)x到數(shù)a的距離，原問題就轉(zhuǎn)變成在數(shù)軸上找一點(diǎn)，使得這點(diǎn)到－1與1的距離之和最?。馊鐖D3，當(dāng)x<－1時(shí)，y>2；當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，y＝2；當(dāng)x>1時(shí)，y>2，∴ymin＝2． 四、函數(shù)法 函數(shù)思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，一些幾何問題、方程問題、不等式問題和某些代數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的函數(shù)問題，即用函數(shù)思想解答非函數(shù)問題．例5如圖4，已知半徑為2的⊙O與直線l相切于點(diǎn)A，點(diǎn)P是直徑AB左側(cè)半圓上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線，的垂線，垂足為C，PC與⊙O交于點(diǎn)黨，連結(jié)PA、PB，設(shè)PC的長為x(2<x<4)．當(dāng)x為何值時(shí)，P黨·C黨的值最大？最大值是多少？ 分析求最值問題，一般要考慮到函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，特別是二次函數(shù)的應(yīng)用，本題可先用含x的代數(shù)式分別表示P黨與C黨，再寫出P黨．C黨的表達(dá)式，整理后得到關(guān)于x的二次函數(shù)，然后根據(jù)自變量A的取值范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求出所求式子的最大值及此時(shí)x的取值． ∴當(dāng)x＝3時(shí)，P黨·C黨的值最大，最大值是2． 五、特殊值法 對一些較為抽象或一般規(guī)律不明顯的數(shù)學(xué)問題，特別是答案相對唯一的選擇題，可以采用抽象問題具體化、一般問題特殊化的方法來處理，以降低難度，盡快確定正確答案． 例6已知整數(shù)a1，a2，．a(chǎn)3，a4，…滿足下列條件：a1＝0，a2＝－，a3＝，a4＝－，…依次類推，則a2012的值為() (A)－1005 (B)－1006 (C)－1007 (黨)－2012 分析本題看上去似乎不易，既有絕對值，又要計(jì)算到a2012．但可以先從已知條件出發(fā)，計(jì)算出幾個簡單的、特殊的值，然后找尋其中的規(guī)律