四川省長寧縣培風(fēng)中學(xué)2023年高二上數(shù)學(xué)期末綜合測試試題含解析

四川省長寧縣培風(fēng)中學(xué)2023年高二上數(shù)學(xué)期末綜合測試試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列有關(guān)命題的表述中，正確的是（）A.命題“若是偶數(shù)，則，都是偶數(shù)”的否命題是假命題B.命題“若為正無理數(shù)，則也是無理數(shù)”的逆命題是真命題C.命題“若，則”的逆否命題為“若，則”D.若命題“”，“”均為假命題，則，均為假命題2．函數(shù)，若實數(shù)是函數(shù)的零點，且，則（）A. B.C. D.無法確定3．已知直線與平行，則a的值為（）A.1 B.﹣2C. D.1或﹣24．?dāng)?shù)列中，，，若，則（）A.2 B.3C.4 D.55．已知點到直線的距離為1，則m的值為（）A.或 B.或15C.5或 D.5或156．設(shè)為坐標(biāo)原點，拋物線的焦點為，為拋物線上一點．若，則的面積為（）A. B.C. D.7．已知，分別是圓和圓上的動點，點在直線上，則的最小值是（）A. B.C. D.8．已知函數(shù)，在上隨機(jī)取一個實數(shù)，則使得成立的概率為（）A. B.C. D.9．已知橢圓的長軸長為，短軸長為，則橢圓上任意一點到橢圓中心的距離的取值范圍是（）A. B.C. D.10．已知公差不為0的等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列，則其前項和取得最大值時，的值為（）A.12 B.13C.12或13 D.13或1411．已知定義域為R的函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)，則下列命題一定為真命題的是()A.?x∈R，f(－x)≠f(x)B.?x∈R，f(－x)≠－f(x)C?x0∈R，f(－x0)≠f(x0)D.?x0∈R，f(－x0)≠－f(x0)12．如圖，在長方體中，若，，則異面直線和所成角的余弦值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)處取極值，則___________14．若向量，，，且向量，，共面，則______15．寫出一個公比為3，且第三項小于1的等比數(shù)列______16．某中學(xué)高一年級有420人，高二年級有460人，高三年級有500人，用分層抽樣的方法抽取部分樣本，若從高一年級抽取21人，則從高三年級抽取的人數(shù)是__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線過點，是拋物線的焦點，直線交拋物線于另一點，為坐標(biāo)原點.（1）求拋物線的方程和焦點的坐標(biāo)；（2）拋物線的準(zhǔn)線上是否存在點使，若存在請求出點坐標(biāo)，若不存在請說明理由.18．（12分）如圖，在四棱錐S?ABCD中，底面ABCD為矩形，，AB=2，，平面，，，E是SA的中點（1）求直線EF與平面SCD所成角的正弦值；（2）在直線SC上是否存在點M，使得平面MEF平面SCD？若存在，求出點M的位置；若不存在，請說明理由19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：的左，右頂點分別為A、B，點F是橢圓的右焦點，，（1）求橢圓C的方程；（2）不過點A的直線l交橢圓C于M、N兩點，記直線l、AM、AN的斜率分別為k、、．若，證明直線l過定點，并求出定點的坐標(biāo)20．（12分）已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，它的前n項和為Sn，且成等比數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.21．（12分）分別求出滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點在y軸，短軸長為2，離心率為；（2）短軸一端點P與兩焦點，連線所構(gòu)成的三角形為等邊三角形22．（10分）已知數(shù)列和中，，且，.（1）寫出，，，，猜想數(shù)列和的通項公式并證明；（2）若對于任意都有，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】對于選項A：根據(jù)偶數(shù)性質(zhì)即可判斷；對于選項B：通過舉例即可判斷，對于選項C：利用逆否命題的概念即可判斷；對于選項D：根據(jù)且、或和非的關(guān)系即可判斷.【詳解】選項A：原命題的否命題為：若不是偶數(shù)，則，不都是偶數(shù)，若，都是偶數(shù)，則一定是偶數(shù)，從而原命題的否命題為真命題，故A錯誤；選項B：原命題的逆命題：若是無理數(shù)，則也為正無理數(shù)，當(dāng)，即為無理數(shù)，但是有理數(shù)，故B錯誤；選項C：由逆否命題的概念可知，C正確；選項D：由為假命題可知，，至少有一個為假命題，由為假命題可知，和均為假命題，故為假命題，為真命題，故D錯誤.故選：C.2、A【解析】利用函數(shù)在遞減求解.【詳解】因為函數(shù)在遞減，又實數(shù)是函數(shù)的零點，即，又因為，所以，故選：A3、A【解析】根據(jù)題意可得，解之即可得解.【詳解】解：因為直線與平行，所以，解得.故選：A.4、C【解析】由已知得數(shù)列是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，求出，再利用等比數(shù)列求和可得答案.【詳解】∵，∴，所以，數(shù)列是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，則，∴，∴，則，解得.故選：C.5、D【解析】利用點到直線距離公式即可得出.【詳解】解：點到直線的距離為1，解得：m=15或5故選：D.6、D【解析】先由拋物線方程求出點的坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程為，再由可求得點的橫坐標(biāo)為4，從而可求出點的縱坐標(biāo)，進(jìn)而可求出的面積【詳解】由題意可得點的坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程為，因為為拋物線上一點，，所以點的橫坐標(biāo)為4，當(dāng)時，，所以，所以的面積為，故選：D7、B【解析】由已知可得，，求得關(guān)于直線的對稱點為，則，計算即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可知圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑設(shè)關(guān)于直線的對稱點為，則解得，則因為，分別在圓和圓上，所以，，則因為，所以故選：B.8、B【解析】首先求不等式的解集，再根據(jù)區(qū)間長度，求幾何概型的概率.【詳解】由，得，解得，在區(qū)間上隨機(jī)取一實數(shù)，則實數(shù)滿足不等式的概率為故選：B9、A【解析】不妨設(shè)橢圓的焦點在軸上，設(shè)點，則，且有，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】不妨設(shè)橢圓的焦點在軸上，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)點，則，且有，所以，.故選：A.10、C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為q，根據(jù)，，成等比數(shù)列，利用等比中項求得公差，再由等差數(shù)列前n項和公式求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為q，因為，且，，成等比數(shù)列，所以，解得，所以，所以當(dāng)12或13時，取得最大值，故選：C11、C【解析】利用偶函數(shù)的定義和全稱命題的否定分析判斷解答.【詳解】∵定義域為R的函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)，∴?x∈R，f(－x)＝f(x)為假命題，∴?x0∈R，f(－x0)≠f(x0)為真命題.故選C【點睛】本題主要考查偶函數(shù)的定義和全稱命題的否定，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】根據(jù)長方體中，異面直線和所成角即為直線和所成角，再結(jié)合余弦定理即可求解.【詳解】解：連接、，如下圖所示由圖可知，在長方體中，且，所以，所以異面直線和所成角即為，又，，由余弦定理可得∶故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】=．因為f（x）在1處取極值，所以1是f′（x）=0的根，將x=1代入得a=3．故答案為3.考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值14、##【解析】由向量共面的性質(zhì)列出方程組求解即可.【詳解】因為，，共面，所以存在實數(shù)x，y，使得，得，解得∴故答案為：15、（答案不唯一）【解析】由條件確定該等比數(shù)列的首項的可能值，由此確定該數(shù)列的通項公式.【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，則，由已知可得，∴，所以，故可取，故滿足條件的等比數(shù)列的通項公式可能為，故答案為：（答案不唯一）16、25【解析】由條件先求出抽樣比，從而可求出從高三年級抽取的人數(shù).【詳解】由題意抽樣比例：則從高三年級抽取的人數(shù)是人故答案為：25三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）拋物線的方程為，焦點坐標(biāo)為（2）存在，且【解析】（1）根據(jù)點坐標(biāo)求得，進(jìn)而求得拋物線的方程和焦點的坐標(biāo).（2）設(shè)，根據(jù)列方程，化簡求得的坐標(biāo).【小問1詳解】將代入得，所以拋物線的方程為，焦點坐標(biāo)為.【小問2詳解】存在，理由如下：直線的方程為，或，即.拋物線的準(zhǔn)線，設(shè)，，即，所以.即存在點使.18、（1）（2）存在，M與S重合【解析】（1）分別取AB，BC中點M，N，易證兩兩互相垂直，以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，先求得平面SCD的一個法向量，再由求解；（2）假設(shè)存在點M，使得平面MEF平面SCD，再求得平面MEF的一個法向量，然后由求解.小問1詳解】解：分別取AB，BC中點M，N，則，又平面則兩兩互相垂直，以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，所以，設(shè)平面SCD的一個法向量為，，，則，，直線EF與平面SBC所成角的正弦值為.【小問2詳解】假設(shè)存在點M，使得平面MEF平面SCD，，，設(shè)平面MEF的一個法向量，，令，則，平面MEF平面SCD，，，存在點，此時M與S重合.19、（1）；（2）證明見解析，(－5,0).【解析】(1)寫出A、B、F的坐標(biāo)，求出向量坐標(biāo)，根據(jù)向量的關(guān)系即可列出方程組，求得a、b、c和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m，，．聯(lián)立直線l與橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，求出，根據(jù)即可求得k和m的關(guān)系，即可證明直線過定點并求出該定點.【小問1詳解】由題意，知A(－a，0)，B(a，0)，F(xiàn)(c，0)∵，∴解得從而b2＝a2－c2＝3∴橢圓C的方程；【小問2詳解】設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m，，∵直線l不過點A，因此－2k＋m≠0由得時，，，∴由，可得3k＝m－2k，即m＝5k，故l的方程為y＝kx＋5k，恒過定點(－5,0).20、（1），（2）【解析】（1）由題意可得，從而可求出，進(jìn)而可求得的通項公式；（2）由（1）可得，然后利用裂項相消求和法可求得結(jié)果【詳解】（1）因為數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，所以即，解得，所以；（2）由（1）得，所以.21、（1）（2）【解析】（1）設(shè)出橢圓方程，根據(jù)短軸長和離心率求出，，從而求出橢圓方程；（2）短軸端點與焦點相連所得的線段長即為，從而求出，得到橢圓方程.【小問1詳解】設(shè)橢圓方程為，則，，則，解得:，則該橢圓的方程為【小問2詳解】設(shè)橢圓方程為，由題得：，，則，則該橢圓的方程為22、（1），，，證明見解析（2）