四川省富順二中高2023年數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

四川省富順二中高2023年數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．正方體中，E、F分別是與的中點(diǎn)，則直線ED與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.2．已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.即不充分又不必要條件3．已知點(diǎn)是拋物線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則的最小值為（）A. B.C. D.4．若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為，則不用現(xiàn)金支付的概率為（）A. B.C. D.5．直線，若的傾斜角為60°，則的斜率為（）A. B.C. D.6．如圖，在三棱柱中，E，F(xiàn)分別是BC，中點(diǎn)，，則（）A.B.C.D.7．在等差數(shù)列中，，，則（）A. B.C. D.8．設(shè)等差數(shù)列，的前n項和分別是，，若，則（）A. B.C. D.9．已知P是直線上的動點(diǎn)，PA，PB是圓的切線，A，B為切點(diǎn)，C為圓心，那么四邊形PACB的面積的最小值是（）A2 B.C.3 D.10．過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于不同的兩點(diǎn)，則的值為A.2 B.1C. D.411．如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為A. B.C. D.12．設(shè)雙曲線與冪函數(shù)的圖象相交于，且過雙曲線的左焦點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象相切于，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在長方體中，設(shè)，，則異面直線與所成角的大小為______14．在不等邊△ABC(三邊均不相等)中，三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且有，則角C的大小為________15．已知春季里，甲地每天下雨的概率為，乙地每天下雨的概率大于0，且甲、乙兩地下雨相互獨(dú)立，則春季的一天里，已知乙地下雨的條件下，甲地也下雨的概率為___________.16．由曲線圍成的圖形的面積為_______________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在長方體中，，，是棱的中點(diǎn)（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的長；若不存在，請說明理由18．（12分）已知橢圓C：(a＞b＞0)的離心率e為，點(diǎn)在橢圓上（1）求橢圓C的方程；（2）若A、B為橢圓的左右頂點(diǎn)，過點(diǎn)(1，0)的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，設(shè)直線AM、BN的斜率分別為，求證為定值19．（12分）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（1）；（2）.20．（12分）定義：設(shè)是空間的一個基底，若向量，則稱有序?qū)崝?shù)組為向量在基底下的坐標(biāo)．已知是空間的單位正交基底，是空間的另一個基底，若向量在基底下的坐標(biāo)為（1）求向量在基底下的坐標(biāo)；（2）求向量在基底下的模21．（12分）已知數(shù)列的前項和為，若.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.22．（10分）已知命題：方程有實數(shù)解，命題：，.（1）若是真命題，求實數(shù)的取值范圍；（2）若為假命題，且為真命題，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出E,F,D,D1點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量求法求解【詳解】如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長為2，則，,，,,直線與所成角的余弦值為：.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的求法，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可求解.【詳解】由可得或，所以由得不出，故充分性不成立，由可得，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B.3、C【解析】分析可知圓的圓心為拋物線的焦點(diǎn)，可求出的最小值，再利用勾股定理可求得的最小值.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，有，由圓的圓心坐標(biāo)為，是拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，有，由圓的幾何性質(zhì)可得，又由，可得的最小值為故選：C.4、A【解析】利用對立事件概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】由對立事件的概率公式可知，該群體中的成員不用現(xiàn)金支付的概率為.故選：A.5、D【解析】直線,斜率乘積為，斜線斜率等于傾斜角的正切值.【詳解】,，所以.故選：D.6、D【解析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的幾何意義進(jìn)行求解即可.【詳解】，故選：D7、B【解析】利用等差中項的性質(zhì)可求得的值，進(jìn)而可求得的值.【詳解】由等差中項的性質(zhì)可得，則.故選：B.8、B【解析】利用求解.【詳解】解：因為等差數(shù)列，的前n項和分別是，所以.故選：B9、D【解析】由圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心為（1，1），半徑為1，根據(jù)切線的性質(zhì)可得四邊形PACB面積等于，，故求解最小時即可確定四邊形PACB面積的最小值.【詳解】圓C：x2+y2-2x-2y+1=0即，表示以C（1，1）為圓心，以1為半徑的圓，由于四邊形PACB面積等于2×××=，而，故當(dāng)最小時，四邊形PACB面積最小，又的最小值等于圓心C到直線l：的距離d，而，故四邊形PACB面積的最小值為，故選：D10、D【解析】本題首先可以通過直線交拋物線于不同的兩點(diǎn)確定直線的斜率存在，然后設(shè)出直線方程并與拋物線方程聯(lián)立，求出以及的值，然后通過拋物線的定義將化簡，最后得出結(jié)果【詳解】因為直線交拋物線于不同的兩點(diǎn)，所以直線的斜率存在，設(shè)過拋物線的焦點(diǎn)的直線方程為，由可得，，因為拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以根據(jù)拋物線的定義可知，，所以，綜上所述，故選D【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了拋物線的定義、過拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線相交的相關(guān)性質(zhì)，考查了計算能力，是中檔題11、A【解析】根據(jù)題意可求出正方體的上底面與球相交所得截面圓的半徑為4cm，再根據(jù)截面圓半徑，球的半徑以及球心距的關(guān)系，即可求出球的半徑，從而得到球的體積【詳解】設(shè)球的半徑為cm，根據(jù)已知條件知，正方體的上底面與球相交所得截面圓的半徑為4cm，球心到截面圓的距離為cm，所以由，得，所以球的體積為故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查球的體積公式的應(yīng)用，以及球的結(jié)構(gòu)特征的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題12、B【解析】設(shè)直線方程為，聯(lián)立，利用判別式可得，進(jìn)而可求，再結(jié)合雙曲線的定義可求，即得.【詳解】可設(shè)直線方程為，聯(lián)立，得，由題意得,∴，，∴，即，由雙曲線定義得，.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法即可求出異面直線與所成的角.【詳解】以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則,所以，因為，所以，即，所以異面直線與所成的角為.故答案為：90°.14、【解析】由正弦定理可得,又,,,,,在三角形中,.考點(diǎn)：1正弦定理;2正弦的二倍角公式.15、##0.5【解析】根據(jù)條件概率求概率的方法即可求得答案.【詳解】設(shè)A表示“甲地每天下雨”，B表示“乙地每天下雨”，乙地每天下雨的概率為p，則，因為甲乙兩地下雨相互獨(dú)立，所以，于是在乙地下雨的條件下，甲地也下雨的概率為.故答案為：.16、【解析】當(dāng)時，曲線表示的圖形為以為圓心，以為半徑的圓在第一象限的部分，所以面積為，根據(jù)對稱性，可知由曲線圍成的圖形的面積為考點(diǎn)：本小題主要考查曲線表示的平面圖形的面積的求法，考查學(xué)生分類討論思想的運(yùn)用和運(yùn)算求解能力.點(diǎn)評：解決此題的關(guān)鍵是看出所求圖形在四個象限內(nèi)是相同的，然后求出在一個象限內(nèi)的圖形的面積即可解決問題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析（2）（3）存點(diǎn)，【解析】(1)先證明平面，由平面，可證明結(jié)論.(2)以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面與平面的法向量，利用向量法求求解即可.(3)設(shè)，,則，則由向量法結(jié)合條件可得答案.【詳解】（1）在長方體中，,又，所以平面又平面,所以.(2)以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系因為，，是棱的中點(diǎn)則則為平面的一個法向量.設(shè)為平面的一個法向量.,所以，即取，可得所以如圖平面與平面夾角為銳角，所以平面與平面夾角的余弦值為.(3)設(shè)，，則由（2）平面的一個法向量設(shè)與平面所成角為則解得，取所以存在點(diǎn)，滿足條件.18、（1）；（2）證明見解析【解析】(1)根據(jù)題意列出關(guān)于a、b、c的方程組求出a、b、c即可得橢圓方程；(2)設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立直線方程利用韋達(dá)定理即可求為定值【小問1詳解】；【小問2詳解】由橢圓方程可知，，，設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立得，∴，，則，∵，，∴，把及代入可得：﹒19、（1）；（2）.【解析】利用導(dǎo)數(shù)的乘除法則，對題設(shè)函數(shù)求導(dǎo)即可.【小問1詳解】.【小問2詳解】20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)向量在基底下的坐標(biāo)為，得出向量在基底下的坐標(biāo)；（2）根據(jù)向量在基底下的坐標(biāo)直接計算模即可【小問1詳解】因為向量在基底下坐標(biāo)為，則，所以向量在基底下的坐標(biāo)為.【小問2詳解】因為向量在基底下的坐標(biāo)為，所以向量在基底下的模為.21、（1）（2）【解析】(1)根據(jù)所給條件先求出首項，然后仿寫，作差即可得到的通項公式；(2)根據(jù)（1）求出的通項公式，觀察是由一個等差數(shù)列加上一個等比數(shù)列得到，要求其前項和，采用分組求和法結(jié)合公式法可求出前項和【小問1詳解】當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，∴，化簡得，∴是首項為1，公比為2的等比數(shù)列