rd中moran集類的上盒維數(shù)

rd中moran集類的上盒維數(shù)

設(shè)置正數(shù)排列{nk}k1和正數(shù)排列{k}k1，以滿足nk2、0.1、nk康熙1、k1、k1、dk={（i1i2，，ik）。1ijnj，1jk}，d=k0d，d0=1ijnj，1jk}，d=k0d和d0=，當(dāng)d=（1，2，m）dk，=（1，2，m）dk和m，假設(shè)a是r的平均組，d是正數(shù)，ad=a，a是d的累積組，這是一件不普遍的事情。假設(shè)j=id是sd中的單位立方體。定義1稱J的所有閉子立方體組成的集合F={Jσ∶σ∈D}具有齊次Moran結(jié)構(gòu),如果:1)J?=J;2)對?k≥0及σ∈Dk,Jσ*1,Jσ*2…Jσ*nk+1為Jσ的閉子立方體,且0Jσ*i∩0Jσ*(i+1)=?J0σ*i∩J0σ*(i+1)=?,其中0AA0表示A的內(nèi)部;3)對?k≥1及σ∈Dk-1,1≤j≤nk,有|Jσ*j||Jσ|=ck|Jσ*j||Jσ|=ck,其中|A|表示集A之直徑.設(shè)F是由J的閉子立方體組成的具有齊次Moran結(jié)構(gòu)的集簇,稱E(F)=∩k≥0∪σ∈DkJσE(F)=∩k≥0∪σ∈DkJσ是由F確定的一個(d維)齊次Moran集,稱Fk={Jσ∶σ∈Dk}為E的k級基本立方體.由上面的定義可知,對任意固定的序列{nk}k≥1,{ck}k≥1,如果基本立方體的位置不同,我們可得不同的齊次Moran集.由J,{nk}k≥1,{ck}k≥1確定的全體齊次Moran集組成的集合記為M(J,{nk}k≥1,{ck}k≥1),并稱之為由J,{nk}k≥1,{ck}k≥1確定的(d維)齊次Moran集類.文考慮了齊次Moran集類M(J,{ndkdk}k≥1,{ck}k≥1),其中ndkdk∶=(nk)d.對此齊次Moran集類,引入(d維)齊次和偏齊次Cantor集.為此,先回顧一維齊次和偏齊次Cantor集的定義.定義2設(shè)E∈M(I,{nk}k≥1,{ck}k≥1).對任意的正整數(shù)k及p∈Fk,p中包含的(k+1)階基本區(qū)間按從左到右的排列順序依次記為p1,p2,…,pnk+1.1)如果1<i<nk+1,pi與pi+1之間的間距相等,且p與p1的左端點一致,pnk+1與p的右端點一致,則稱E為齊次Cantor集,記之為C(I,{nk}k≥1,{ck}k≥1).2)如果p1與p的左端點重合,pi的右端點與pi+1的左端點重合(1≤i≤nk+1),則稱E為偏齊次Cantor集,并記為C*(I,{nk}k≥1,{ck}k≥1).定義3E∈M(J,{ndk},{ck}),對任意正整數(shù)l,及p∈Fl,記Qj為立方體p的第j邊,1≤j≤d,如果對任意的1≤j≤d,p在Qj上的投影構(gòu)成齊次Cantor集C(Qj,{nk}k≥l+1,{ck}k≥l+1)(或偏齊次Cantor集C*(Qj,{nk}k≥l+1,{ck}k≥l+1)),則稱E為M(J,{ndk}k≥1,{ck}k≥1)中d維齊次Cantor集(或d維偏齊次Cantor集),并記為Cd(J,{ndk}k≥1,{ck}k≥1)(或C*d(J,{ndk}k≥1,{ck}k≥1)).為簡單起見,在不引起混淆的情況下,我們采用下面的記號:C∶=C(Ι,{nk}k≥1,{ck}k≥1),Cd∶=Cd(J,{ndk}k≥1,{ck}k≥1);C*∶=C*(Ι,{nk}k≥1,{ck}k≥1),C*d∶=C*d(J,{ndk}k≥1,{ck}k≥1);Μ∶=Μ(Ι,{nk}k≥1,{ck}k≥1),Μd∶=Μ(J,{ndk}k≥1,{ck}k≥1).由前面的定義,有Cd=Cd,C*d=C*d.特別地C=C1,C*=C*1.文將文的結(jié)果推廣到高維情形,研究了Md中元素的Hausdorff維數(shù)及packing維數(shù)的性質(zhì),確定了Cd及C*d的各種常見分形維的計算公式,得到?E∈Md,dimΗC*d=dimˉBC*d≤dimΗE≤dimˉΜBE≤dimˉBE≤dimΗCd=dimˉBCd≤dimΡC*d=ˉdimBC*d≤dimΡE≤ˉdimBE≤dimΡCd=ˉdimBCd.(1)并提出如下猜想.1)若dimˉBC*d≤t≤dimˉBCd,則存在E1,E2∈Md,使得dimˉBE1=dimˉΜBE2=t.2)若ˉdimBC*d≤s≤ˉdimBCd,則存在E3∈Md,使得ˉdimBE3=s.本文主要是討論了Md中元素的上(下)盒數(shù)的性質(zhì),給上述猜想一個肯定的回答.此外還確定了dimBC*d的存在性與dimBCd的存在之間的聯(lián)系,所獲結(jié)果是文在高維情形的推廣.我們用dimΗE,dimΡE,dimˉBE,dimˉΜBE,ˉdimBE分別表示集E的Hausdorff維數(shù),packing維數(shù),下盒維數(shù),修正的下盒維數(shù),上盒維數(shù),關(guān)于它們的定義和性質(zhì)見.若dimˉBE=ˉdimBE,則集合E的盒維數(shù)存在,稱此共同值為集合E的盒維數(shù)并記為dimBE.若dimHE=dimPE,則稱集E是正則的.本文僅就d=2的情形進(jìn)行討論,d>2的情形可類似地進(jìn)行.沿用前面的記號,我們有定理1若ˉdimBC*2≤t≤ˉdimBC2,則存在E∈M2,使得ˉdimBE=t.證由文之定理2,對t≤ˉdimBC2,?F?C2,使得ˉdimBF=t.用Fk表示生成C2的k階基本正方形的集合,令J1={A∈F1,A∩F=?},?J1={A∈F1,A∩F≠?}.對?A∈J1,用A*表示在A上由{n2k}k≥2,{ck}k≥2生成偏齊次Cantor集C*2(A∈J1,{n2k}k≥2,{ck}k≥2).用?F2表示?J1中所有元素A生成的C2的2階基本正方形的集合,令J2={A∈?F2;A∩F=?},?J2={A∈?F2;A∩F≠?},對A∈J2,設(shè)A*是在A上由{n2k}k≥3,{ck}k≥3生成偏齊次Cantor集C*2(A∈J2,{n2k}k≥3,{ck}k≥3).按上述方式,對?l∈N,我們可以歸納地定義Jl,?Jl和偏齊次Cantor集A*=C*2(A∈Jl,{n2k}k≥l+1,{ck}k≥l+1).由上述構(gòu)造,我們有:1)F=∩l≥1∪A∈?JlA;2)?l≥1,A∈Jl,ˉdimBA*=ˉdimBC*2.令E=F∪(∪l≥1∪A∈JlA*),由齊次Moran集之定義有:E∈M2(J,{n2k}k≥1,{ck}k≥1).下證ˉdimBE=t.記W=∪l≥1∪A∈JlA*,由齊次Cantor集C2之構(gòu)造知:C2的任何一個k階基本正方形最多與位于同一(k-1)階基本正方形內(nèi)的8個k級基本正方形相鄰,用εk表示位于同一(k-1)級基本正方形內(nèi)的相鄰兩個k級基本正方形的距離,則c1c2?ck-1(1-nkck)nk-1≤εk≤√2c1c2?ck-1(1-nkck)/(nk-1)(?k≥1),取δk=c1c2…ck-1(1-nkck)/(nk-1),于是δk≤εk(?k≥1).因為?x∈W,存在正整數(shù)N,及A∈JN,A*=C*2(A,{n2k}k≥N+1,{ck}k≥N+1),使得x∈A*?A,對0<r<min1≤k≤Ν{δk},我們斷言:B(x,r)∩W?A(其中Br(x)表示中心在x點,半徑為r的圓域).若不然,則?y∈B(x,r)∩W,但y?A.于是由W之構(gòu)造知:存在正整數(shù)l及B?Jl,B*=C*2(B,{n2k}k≥l+1,{ck}k≥l+1),使得y∈B*?B,顯然A≠B.(i)若l≥N,由Jl的定義和C2之構(gòu)造:存在一個異于A且是C2的某一N階基本正方形IN,使得B?ΙΝ,ΙΝ∩F≠?,ΙΝ∈?JΝ,從而dist(x,y)≥dist(A,B)≥dist(A,ΙΝ)≥εΝ≥δΝ≥min1≤k≤Ν{δk}>r.(ii)若l<N,因為A∈JN,由JN之定義和C2之構(gòu)造:存在一個異于B且是C2的l階基本正方形Il,使得A?Il,Il∩F≠?,即Il∈?Jl,于是dist(x,y)≥dist(A,B)≥dist(Ιl,B)≥εl≥δl≥min1≤k≤l{δk}≥min1≤k≤Ν{δk}>r.由(i),(ii)知d(x,y)>r,所以y?B(x,r),這與y∈B(x,r)∩W相矛盾,于是斷言成立,故B(x,r)∩A*?B(x,r)∩W?A∩W=A*,所以ˉdimBB(x,r)∩A*≤ˉdimBB(x,r)∩W≤ˉdimBA*.由文之引理2.1和齊次Cantor集的構(gòu)造易知:?r>0,ˉdimBB(x,r)∩A*=ˉdimBA*,再聯(lián)合ˉdimBA*=ˉdimBC*2有:ˉdimBB(x,r)∩W=ˉdimBC*2,(0<r<min1≤k≤Ν{δk}).這樣我們便證明了:?x∈W,?rx>0,使得ˉdimBB(x,r)∩W=ˉdimBC*2,故由文之引理5有:ˉdimBW=ˉdimBC*2.于是dimBE=max{ˉdimBF,ˉdimBW}=t.下面我們來證明Md中元素下盒維數(shù)的介值性.先敘述一條引理.引理設(shè)C=C([0,1],{nk}k≥1,{ck}k≥1)是一維齊次Cantor集,若正實數(shù)列{dk}k≥1滿足d1d2?dk≤c1c2?ck≤d1d2?dk-1nk,(?k≥1)約定d0=1,則C([0,1],{nk}k≥1,{dk}k≥1)∈M([0,1],{nk}k≥1,{ck}k≥1).定理2若dimˉBC*2≤t≤dimˉBC2,且limk→∞logn1n2?nk-logc1c2?ck+1nk+1存在,則存在E∈M2,使得dimˉBE=dimˉΜBE=t.證因為C2=C2,C*2=C*2,故先考慮一維的情形:由文定理1.1得dimˉBC*≤t2≤dimˉBC,令s=dimˉBC=liminf1?∞logn1n2?nk-logc1c2?ck,于是t2=liminfk→∞logn1n2?nk-log(c1c2?ck)2s/t,又t2≥liminfk→∞logn1n2?nk-logc1c2?ck+1nk+1=limk→∞logn1n2?nk-logc1c2?ck+1nk+1,故存在正整數(shù)N,當(dāng)k≥N時,logn1n2?nk-logc1c2?ck+1nk+1≤t2≤logn1n2?nk-log(c1c2?ck)2s/t得c1c2?ck+1nk+1≤(c1c2?ck)2s/t,(2)又0<t/2<s,所以(c1c2…ck)2s/t≤c1c2…ck,(?k≥1).綜上有:(c1c2?ck+1)2s/t≤(c1c2?ck+1)≤(c1c2?ck)2s/tnk+1,(k≥Ν).(3)下面我們構(gòu)造一維齊次Moran集F∈M([0,1],{nk}k≥1,{ck}k≥1),使其dimHF≥t/2.用Gk表示生成集F的k級基本區(qū)間的集合.當(dāng)1≤k≤N時,Gk的元素是{nk}k≥1,{ck}k≥1在[0,1]上確定的齊次Cantor集的k級基本區(qū)間.在GN中,任選一個區(qū)間記為IN而在其余N級基本區(qū)間A上生成偏齊次Cantor集A*(A,{nk}k≥N+1,{ck}k≥N+1).由于|IN|=c1c2…cN≥(c1c2…cN)2s/t及(3)式,故可在IN上選取一個長為(c1c2…cN)2s/t的閉子區(qū)間I,令C′=C(I,{nk}k≥N+1,{c2s/tk}k≥N+1),由式(3)及上述引理知:C′∈M(IN,{nk}k≥N+1,{ck}k≥N+1),令F=C′∪∪A∈GΝA≠ΙΝA*,易知F∈M([0,1],{nk}k≥1,{ck}k≥1),又由文之引理2.2有:dimΗC′=liminfk→∞logn1n2?nk-log(c1c2?ck)2s/t=t2,從而dimΗF≥dimΗC′=t2.令E=F×F,由M2之定義有E∈M2([0,1]×[0,1],{n2k}k≥1,{ck}k≥1).下證dimˉBE=dimˉΜBE=t.一方面dimˉBE≥dimˉΜBE≥dimΗE≥dimΗC′×C′≥2dimΗC′=t.另一方面,由∪A∈GΝA≠ΙΝA*之構(gòu)造可知:∪A∈GΝA≠ΙΝA*可被(Ν∏i=1ni-1)k∏j=Ν+1nj個長為c1c2…ck+1nk+1的區(qū)間覆蓋;由(2)式知當(dāng)k≥N時,∪A∈GΝA≠ΙΝA*可被(Ν∏i=1ni-1)k∏j=Ν+1nj個長為(c1c2…ck)2s/t的區(qū)間覆蓋,顯然C′可被k∏j=Ν+1nj個長為(c1c2…ck)2s/t的閉區(qū)間覆蓋.所以F可被(Ν∏i=1ni-1)k∏j=Ν+1nj+k∏j=Ν+1nj=k∏j=1nj個長為(c1c2…ck)2s/t的區(qū)間覆蓋.于是E=F×F就可被k∏j=1n2j個邊長為(c1c2…ck)2s/t的正方形所覆蓋,從而dimˉBE≤liminfk→∞2logn1n2?nk-log(c1c2?ck)2s/t=t,故dimˉBE=dimˉΜBE=t.由(1)式可以看出:a)若dimBCd及dimBC*d均存在,則?E∈Md,dimHE=dimPE=dimBE=dimBC*d=dimBCd.