廣東省化州市高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題與及答案

試卷第=page22頁(yè)，總=sectionpages33頁(yè)第Page\*MergeFormat20頁(yè)共NUMPAGES\*MergeFormat22頁(yè)廣東省化州市高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題與及答案一、單選題1．若集合A={x|0≤x≤2},B={x|x2>1},則A∪B=（）A．{x|0≤x≤1} B．{x|x>0或x<﹣1} C．{x|1<x≤2} D．{x|x≥0或x<﹣1}【答案】D【解析】化簡(jiǎn)集合B,根據(jù)并集運(yùn)算即可.【詳解】或，，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合并集的運(yùn)算，屬于容易題.2．復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A．-1 B．1 C． D．【答案】A【解析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由共軛復(fù)數(shù)的概念得答案．【詳解】∵=，∴z=﹣1﹣i，則復(fù)數(shù)z的虛部為﹣1．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．3．雙曲線x21的漸近線方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=± D．y=±2x【答案】D【解析】根據(jù)雙曲線漸近線定義即可求解.【詳解】雙曲線的方程為，雙曲線的漸近線方程為，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于容易題.4．已知數(shù)列{an}滿足2an=an﹣1+an+1(n≥2),a2+a4+a6=12,a1+a3+a5=9,則a3+a4=（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解析】由條件可知數(shù)列為等差數(shù)列，由等差數(shù)列的性質(zhì)可求結(jié)果.【詳解】,是等差數(shù)列，由等差數(shù)列性質(zhì)可得，，，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差中項(xiàng)，等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題.5．已知向量，，若，則（）A． B． C．2 D．4【答案】C【解析】由，，，可得：，即所以故選C6．“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由，可得或，即或，所以是成立的必要不充分條件，故選B．7．描金又稱泥金畫(huà)漆,是一種傳統(tǒng)工藝美術(shù)技藝.起源于戰(zhàn)國(guó)時(shí)期,在漆器表面,用金色描繪花紋的裝飾方法,常以黑漆作底,也有少數(shù)以朱漆為底.描金工作分為兩道工序,第一道工序是上漆,第二道工序是描繪花紋.現(xiàn)甲?乙兩位工匠要完成A,B,C三件原料的描金工作,每件原料先由甲上漆,再由乙描繪花紋.每道工序所需的時(shí)間(單位:小時(shí))如下:則完成這三件原料的描金工作最少需要（）A．43小時(shí) B．46小時(shí) C．47小時(shí) D．49小時(shí)【答案】B【解析】甲按A,C,B的順序工作,乙就不會(huì)中途沒(méi)事情做,所需時(shí)間最短.【詳解】由題意，甲按A,C,B的順序工作，所需時(shí)間最短，最短時(shí)間為：小時(shí)，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了推理與分析問(wèn)題的能力，屬于容易題.8．設(shè)直線與圓相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若為等邊三角形，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知，圓心坐標(biāo)為，半徑為2，則的邊長(zhǎng)為2，所以的高為，即圓心到直線的距離為，所以，解得，故選B.9．函數(shù)f（x）＝a（a＞1）的部分圖象大致是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，分析可得為偶函數(shù)，據(jù)此排除AB，設(shè)，利用換元法分析可得，據(jù)此排除D，即可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，f（x）＝a，有，即函數(shù)為偶函數(shù)，據(jù)此排除AB，

設(shè)，有，又由，則有，當(dāng)時(shí)，取得最大值，排除D，

故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象分析，涉及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.10．已知定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且，，則下列函數(shù)中符合上述條件的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，但在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，不滿足題意；函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)為奇函數(shù)，不滿足題意；函數(shù)，即函數(shù)的值域?yàn)?，不滿足題意，故選C．11．已知三棱錐A﹣BCD內(nèi)接于球O,且AD=BC=3,AC=BD=4,AB=CD,則三棱錐A﹣BCD的外接球的表面積是（）A．38π B．9π C．76π D．19π【答案】D【解析】由題意知三棱錐對(duì)棱相等，在長(zhǎng)方體中可構(gòu)造三棱錐，轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體內(nèi)接球問(wèn)題，求出長(zhǎng)方體對(duì)角線即可得球的直徑.【詳解】由三棱錐對(duì)棱相等，在長(zhǎng)方體中可構(gòu)造三棱錐，如圖：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為，外接球的半徑為，則，由已知得，，，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了球的內(nèi)接長(zhǎng)方體，球的表面積，轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.12．已知函數(shù)，，若，，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，即，即，設(shè)，則，若時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，無(wú)最大值，不適合題意；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，即，即令，則，所以，設(shè)，則，若，則，此時(shí)單調(diào)遞減，無(wú)最大值；所以，由，得，此時(shí)，解得，所以的小值為，故選B．點(diǎn)睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計(jì)算能力.導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、圓等知識(shí)聯(lián)系；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問(wèn)題．二、填空題13．若關(guān)于的不等式(的解集為，則________.【答案】【解析】關(guān)于的不等式的解集為，，，，故答案為.14．若平面向量(cosθ,sinθ),(1,﹣1),且⊥,則sin2θ的值是_____.【答案】1【解析】根據(jù)向量垂直可得，平方即可求出.【詳解】因?yàn)椤停?，即，兩邊平方可得：，即，故答案為?【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量垂直，數(shù)量積的運(yùn)算，三角恒等變換，屬于中檔題.15．若整數(shù)滿足不等式組，則的最小值為_(kāi)______.【答案】【解析】畫(huà)出可行域，由此判斷出可行域內(nèi)的點(diǎn)和原點(diǎn)連線的斜率的最小值.【詳解】畫(huà)出可行域如下圖所示，依題意只取坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn).由圖可知，在點(diǎn)處，目標(biāo)函數(shù)取得最小值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，要注意不等式等號(hào)是否能取得，還要注意為整數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.16．三角形中，且，則三角形面積的最大值為_(kāi)_________．【答案】【解析】設(shè)，由，得C點(diǎn)軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，可求三角形高為時(shí)，最大，即可得解.【詳解】設(shè)，則由得，化簡(jiǎn)得，所以點(diǎn)軌跡為以圓心，以為半徑的圓，所以最大值為，所以三角形面積的最大值為.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)三角形的面積的最值問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的求解，在解題的過(guò)程中，注意對(duì)題意進(jìn)行正確的分析，得出在什么情況下取得最值是正確解題的關(guān)鍵.三、解答題17．在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且b=c,2sinBsinA.(Ⅰ)求cosB的值;(Ⅱ)若a=2,求△ABC的面積.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)由正弦定理得，利用余弦定理即可求解(Ⅱ)由同角三角函數(shù)關(guān)系得，利用面積公式求解.【詳解】(Ⅰ)因?yàn)?所以.所以.所以.(Ⅱ)因?yàn)閍=2,所以.又因?yàn)?所以.所以S△ABC.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，面積公式，屬于中檔題.18．如圖,在三棱錐D﹣ABC中,O為線段AC上一點(diǎn),平面ADC⊥平面ABC,且△ADO,△ABO為等腰直角三角形,斜邊AO=4.(Ⅰ)求證:AC⊥BD;(Ⅱ)將△BDO繞DO旋轉(zhuǎn)一周,求所得旋轉(zhuǎn)體的體積.【答案】(Ⅰ)證明見(jiàn)解析(Ⅱ)16π【解析】(Ⅰ)推導(dǎo)出，取AO中點(diǎn)E,連結(jié)DE?BE,，則，從而AC⊥平面BDE，即可得證(Ⅱ)由題意將△BDO繞DO旋轉(zhuǎn)一周,所得到的旋轉(zhuǎn)體是以2為底面半徑,2為高的兩公共底面的錐，即可求出旋轉(zhuǎn)體的體積.【詳解】(Ⅰ)證明:∵△ADO,△ABO為等腰直角三角形,斜邊AO=4.∴DO⊥AD,BO⊥AB,AD=DO=AB=BO=4,取AO中點(diǎn)E,連結(jié)DE?BE,如圖,則DE⊥AC,BE⊥AC,且DE∩BE=E,∴AC⊥平面BDE,又BD?平面BDE,∴AC⊥BD.(Ⅱ)由(Ⅰ)知DE⊥AC,∵平面ADC⊥平面ABC,且平面ADC∩平面ABC=AC,∴DE⊥平面ABC,∴△BDE是直角三角形,∵△ADO,△ABO是直角三角形,斜邊AO=4,∴BO=DO=4,DE=2,BE=2,∴將△BDO繞DO旋轉(zhuǎn)一周,所得到的旋轉(zhuǎn)體是以2為底面半徑,2為高的兩公共底面的錐,∴將△BDO繞DO旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為:16π.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線線垂直的證明，旋轉(zhuǎn)體的體積求法，考查空間線線、線面、面面的位置關(guān)系，屬于中檔題.19．現(xiàn)對(duì)某市工薪階層關(guān)于“樓市限購(gòu)令”的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查,隨機(jī)抽調(diào)了50人,他們?cè)率杖氲念l數(shù)分布及對(duì)“樓市限購(gòu)令”贊成人數(shù)如表:月收入(單位百元)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)頻數(shù)510151055贊成人數(shù)4812521(Ⅰ)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填下面2×2列聯(lián)表并問(wèn)是否有99%的把握認(rèn)為“月收入以5500為分界點(diǎn)”對(duì)“樓市限購(gòu)令”的態(tài)度有差異;月收入低于55百元的人數(shù)月收入不低于55百元的人數(shù)合計(jì)贊成不贊成合計(jì)(Ⅱ)若采用分層抽樣在月收入在[15,25),[25,35)的被調(diào)查人中共隨機(jī)抽取6人進(jìn)行追蹤調(diào)查,并給予其中3人“紅包”獎(jiǎng)勵(lì),求收到“紅包”獎(jiǎng)勵(lì)的3人中至少有1人收入在[15,25)的概率.參考公式:K2,其中n=a+b+c+d.參考數(shù)據(jù):P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(Ⅰ)填表見(jiàn)解析,沒(méi)有(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)由題意填表，計(jì)算K2，對(duì)照臨界值得出結(jié)論(Ⅱ)由分層抽樣求出抽取的人數(shù)，列舉法寫(xiě)出基本事件，計(jì)算概率即可.【詳解】(Ⅰ)由題意填2×2列聯(lián)表如下,月收入低于55百元的人數(shù)月收入不低于55百元的人數(shù)合計(jì)贊成29332不贊成11718合計(jì)401050由表中數(shù)據(jù),計(jì)算K26.27<6.635,所以沒(méi)有99%的把握認(rèn)為“月收入以5500為分界點(diǎn)”對(duì)“樓市限購(gòu)令”的態(tài)度有差異;(Ⅱ)用分層抽樣在月收入在[15,25),[25,35)的被調(diào)查人中隨機(jī)抽取6人,則月收入在[15,25)內(nèi)有62(人)記為A?B,在[25,35)有6﹣2=4(人),記為c?d?e?f;從這6人中抽取3人,基本事件是ABc?ABd?ABe?ABf?Acd?Ace?Acf?Ade?Adf?Aef?Bcd?Bce?Bcf?Bde?Bdf?Bef?cde?cdf?cef?def共20種,這3人中至少收入在[15,25)的事件是ABc?ABd?ABe?ABf?Acd?Ace?Acf?Ade?Adf?Aef?Bcd?Bce?Bcf?Bde?Bdf?Bef共16種,故所求的概率值為P.【點(diǎn)睛】本題主要考查了列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題，古典概型的概率問(wèn)題，屬于中檔題.20．已知橢圓E:過(guò)點(diǎn)(0,1)且離心率.(Ⅰ)求橢圓E的方程;(Ⅱ)設(shè)動(dòng)直線l與兩定直線l1:x﹣y=0和l2:x+y=0分別交于P,Q兩點(diǎn).若直線l總與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn),試探究:△OPQ的面積是否存在最小值?若存在,求出該最小值;若不存在,說(shuō)明理由.【答案】(Ⅰ)y2=1(Ⅱ)存在,最小值為1【解析】(Ⅰ)由題意可得，根據(jù)離心率及間的關(guān)系即可求解(Ⅱ)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，易知S△OPQ，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l:y=kx+m,k≠±1，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和三角形面積公式，借助函數(shù)的性質(zhì)即可求出.【詳解】(Ⅰ)由已知得b=1,,a2=b2+c2,解得a,b=c=1,所以橢圓的E方程為y2=1,(Ⅱ)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線l為x或x,都有:S△OPQ22.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l:y=kx+m,k≠±1,由,消去y,可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0,∴△=﹣8m2+8+16k2,由題可知,△=0,有m2=2k2+1,又可得P(,);同理可得Q(,).由原點(diǎn)O到直線PQ的距離為d和|PQ|=2|m|?,可得S△OPQd|PQ|=||,∵m2=2k2+1,∴S△OPQ,當(dāng)1﹣k2<0,即k>1或k<﹣1時(shí),S△OPQ22,當(dāng)1﹣k2>0,即﹣1<k<1時(shí),S△OPQ2,因?yàn)?<1﹣k2≤1,所以3,所以S△OPQ21,當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)等號(hào)成立.綜上,當(dāng)k=0時(shí),△OPQ的面積存在最小值為1.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線和橢圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，函數(shù)的單調(diào)性，考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于難題.21．已知函數(shù)，，.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線切于點(diǎn)，求的值；（Ⅲ）若恒成立，求的最大值.【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】【詳解】（Ⅰ），則.令得，所以在上單調(diào)遞增.令得，所以在上單調(diào)遞減.（Ⅱ）因?yàn)椋?，所以的方程?依題意，，.于是與拋物線切于點(diǎn)，由得.所以-（Ⅲ）設(shè),則恒成立.易得（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以此時(shí)在上單調(diào)遞增.①若，則當(dāng)時(shí)滿足條件，此時(shí)；②若，取且此時(shí)，所以不恒成立．不滿足條件；（2）當(dāng)時(shí)，令，得由，得；由，得所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.要使得“恒成立”，必須有“當(dāng)時(shí)，”成立.所以.則令則令，得由，得；由，得所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,所以，當(dāng)時(shí)，從而，當(dāng)時(shí)，的最大值為.-【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問(wèn)題的“兩種”常用方法（1）分離參數(shù)法：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值，根據(jù)要求得所求范圍.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可.(2)函數(shù)思想法：將不等式轉(zhuǎn)化為某含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值(最值)，然后構(gòu)建不等式求解.22．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）射線與曲線分別交于兩點(diǎn)（異于原點(diǎn)），定點(diǎn)，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）將曲線C1化成直角坐標(biāo)方程，再化成極坐標(biāo)方程；（2）先求出定點(diǎn)M到射線的距離為三角形的高，再由極坐標(biāo)方程求出弦長(zhǎng)|AB|為三角形的底，根據(jù)面積公式求解即可．【詳解】（1）解：曲線C1直角坐標(biāo)