蘇教版數(shù)學(xué)選修2-3講義第3章3.2回歸分析

3.2回歸分析學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.會作出兩個有關(guān)聯(lián)變量的散點(diǎn)圖，并利用散點(diǎn)圖認(rèn)識變量間的相關(guān)關(guān)系．2．了解線性回歸模型，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程．(重點(diǎn)、難點(diǎn))3．了解回歸分析的基本思想、方法及簡單應(yīng)用.1.通過學(xué)習(xí)線性回歸分析，提升數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．2．通過對相關(guān)關(guān)系的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).1．線性回歸模型(1)線性回歸模型的概念：將y＝a＋bx＋ε稱為線性回歸模型，其中a＋bx是確定性函數(shù)，ε稱為隨機(jī)誤差．(2)線性回歸方程：直線eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(a,\s\up8(^))＋eq\o(b,\s\up8(^))x稱為線性回歸方程，其中eq\o(a,\s\up8(^))稱為回歸截距，eq\o(b,\s\up8(^))稱為回歸系數(shù)，eq\o(y,\s\up8(^))稱為回歸值，其中eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up8(^))＝\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up8(－))\o(y,\s\up8(－)),\o(∑,\s\up8(n),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up8(－))2)，,\o(a,\s\up8(^))＝\o(y,\s\up8(－))－\o(b,\s\up8(^))\o(x,\s\up8(－)).))其中eq\o(x,\s\up8(－))＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))xi，eq\o(y,\s\up8(－))＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))yi.2．相關(guān)關(guān)系(1)相關(guān)系數(shù)是精確刻畫線性相關(guān)關(guān)系的量．(2)相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))xi－\o(x,\s\up8(－))yi－\o(y,\s\up8(－)),\r(\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))xi－\o(x,\s\up8(－))2\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))yi－\o(y,\s\up8(－))2))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up8(－))\o(y,\s\up8(－)),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))x\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up8(－))2))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))y\o\al(2,i)－n\o(y,\s\up8(－))2)))).(3)相關(guān)系數(shù)r具有的性質(zhì)：①|(zhì)r|≤1；②|r|越接近于1，x，y的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；③|r|越接近于0，x，y的線性相關(guān)程度越弱．(4)相關(guān)性檢驗(yàn)的步驟：①提出統(tǒng)計假設(shè)H0：變量x，y不具有線性相關(guān)關(guān)系；②如果以95%的把握作出推斷，那么可以根據(jù)1－0.95＝0.05與n－2在附錄2中查出一個r的臨界值r0.05(其中1－0.95＝0.05稱為檢驗(yàn)水平)；③計算樣本相關(guān)系數(shù)r；④作出統(tǒng)計推斷：若|r|>r0.05，則否定H0，表明有95%的把握認(rèn)為x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系；若|r|≤r0.05，則沒有理由拒絕原來的假設(shè)H0，即就目前數(shù)據(jù)而言，沒有充分理由認(rèn)為y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系．思考1：在回歸直線方程eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(a,\s\up8(^))＋eq\o(b,\s\up8(^))x中，當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)eq\o(b,\s\up8(^))為正數(shù)時，說明兩個變量有何相關(guān)關(guān)系？在散點(diǎn)圖上如何反映？[提示]說明兩個變量正相關(guān)，在散點(diǎn)圖上自左向右看這些點(diǎn)呈上升趨勢．思考2：有什么辦法判斷兩個變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系？[提示]作出散點(diǎn)圖，看這些點(diǎn)是否在某一直線的附近，或通過計算線性相關(guān)系數(shù)．1．若回歸直線方程中的回歸系數(shù)eq\o(b,\s\up8(^))＝0，則相關(guān)系數(shù)為()A．r＝1 B．r＝－1C．r＝0 D．無法確定C[因?yàn)閑q\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)＝0時，有eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝0，故相關(guān)關(guān)系r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))＝0.]2．下列結(jié)論正確的是()①函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系；②相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系；③回歸分析是對具有函數(shù)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計分析的一種方法；④回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計分析的一種常用方法．A．①② B．①②③C．①②④ D．①②③④C[函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系的區(qū)別是前者是確定性關(guān)系，后者是非確定性關(guān)系，故①②正確；回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計分析的一種方法，故③錯誤，④正確．]3．某考察團(tuán)對10個城市的職工人均工資x(千元)與居民人均消費(fèi)y(千元)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計，得出y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，且線性回歸方程為eq\o(y,\s\up8(^))＝0.6x＋1.2.若某城市職工人均工資為5千元，估計該城市人均消費(fèi)額占人均工資收入的百分比為()A．66% B．67%C．79% D．84%D[∵y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，且滿足回歸方程eq\o(y,\s\up8(^))＝0.6x＋1.2，該城市居民人均工資為eq\x\to(x)＝5，∴可以估計該城市的職工人均消費(fèi)水平eq\x\to(y)＝0.6×5＋1.2＝4.2，∴可以估計該城市人均消費(fèi)額占人均工資收入的百分比為eq\f(4.2,5)＝84%.]4．已知回歸直線方程為eq\o(y,\s\up8(^))＝2－2.5x，則x＝25時，eq\o(y,\s\up8(^))的估計值為________．－60.5[因?yàn)閑q\o(y,\s\up8(^))＝2－2.5x，又x＝25，所以eq\o(y,\s\up8(^))＝2－2.5×25＝－60.5.即eq\o(y,\s\up8(^))的估計值為－60.5.]回歸分析的有關(guān)概念【例1】(1)有下列說法：①線性回歸分析就是由樣本點(diǎn)去尋找一條直線，使之貼近這些樣本點(diǎn)的數(shù)學(xué)方法；②利用樣本點(diǎn)的散點(diǎn)圖可以直觀判斷兩個變量的關(guān)系是否可以用線性關(guān)系表示；③通過回歸方程eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up8(^))，可以估計和觀測變量的取值和變化趨勢；④因?yàn)橛扇魏我唤M觀測值都可以求得一個線性回歸方程，所以沒有必要進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)．其中正確的命題是__________(填序號)．(2)如果某地的財政收入x與支出y滿足線性回歸方程eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up8(^))＋e(單位：億元)，其中eq\o(b,\s\up8(^))＝0.8，eq\o(a,\s\up8(^))＝2，|e|≤0.5，如果今年該地區(qū)財政收入10億元，則今年支出預(yù)計不會超過________億．(1)①②③(2)10.5[(1)①反映的正是最小二乘法思想，故正確．②反映的是畫散點(diǎn)圖的作用，也正確．③解釋的是回歸方程eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up8(^))的作用，故也正確．④在求回歸方程之前必須進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，以體現(xiàn)兩變量的關(guān)系，故不正確．(2)由題意可得：eq\o(y,\s\up8(^))＝0.8x＋2＋e，當(dāng)x＝10時，eq\o(y,\s\up8(^))＝0.8×10＋2＋e＝10＋e，又|e|≤0.5，∴9.5≤eq\o(y,\s\up8(^))≤10.5.故今年支出預(yù)計不會超過10.5億．]1．在分析兩個變量的相關(guān)關(guān)系時，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖確定兩個變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系，然后利用最小二乘法求出回歸直線方程．2．由線性回歸方程給出的是一個預(yù)報值而非精確值．3．隨機(jī)誤差的主要來源(1)線性回歸模型與真實(shí)情況引起的誤差；(2)省略了一些因素的影響產(chǎn)生的誤差；(3)觀測與計算產(chǎn)生的誤差．1．下列有關(guān)線性回歸的說法，不正確的是________(填序號)．①自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系；②在平面直角坐標(biāo)系中用描點(diǎn)的方法得到表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫做散點(diǎn)圖；③線性回歸方程最能代表觀測值x，y之間的關(guān)系；④任何一組觀測值都能得到具有代表意義的回歸直線方程．④[只有具有線性相關(guān)的兩個觀測值才能得到具有代表意義的回歸直線方程．]求線性回歸方程【例2】某班5名學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績?nèi)缦卤恚簩W(xué)生學(xué)科成績ABCDE數(shù)學(xué)成績(x)8876736663物理成績(y)7865716461(1)畫出散點(diǎn)圖；(2)求物理成績y對數(shù)學(xué)成績x的回歸直線方程；(3)一名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績是96，試預(yù)測他的物理成績．[思路探究]先畫散點(diǎn)圖，分析物理與數(shù)學(xué)成績是否有線性相關(guān)關(guān)系，若相關(guān)，再利用線性回歸模型求解．[解](1)散點(diǎn)圖如圖所示．(2)由散點(diǎn)圖可知y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系．因?yàn)閑q\o(x,\s\up8(－))＝eq\f(1,5)×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2，eq\o(y,\s\up8(－))＝eq\f(1,5)×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8，eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do14(i＝1))xiyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25054，eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do14(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝882＋762＋732＋662＋632＝27174.所以eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(5),\s\do14(i＝1))xiyi－5\o(x,\s\up8(－))\o(y,\s\up8(－)),\o(∑,\s\up8(5),\s\do14(i＝1))x\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up8(－))2)＝eq\f(25054－5×73.2×67.8,27174－5×73.22)≈0.625，eq\o(a,\s\up8(^))＝eq\o(y,\s\up8(－))－eq\o(b,\s\up8(^))eq\o(x,\s\up8(－))≈67.8－0.625×73.2＝22.05.所以y對x的回歸直線方程是eq\o(y,\s\up8(^))＝0.625x＋22.05.(3)當(dāng)x＝96時，eq\o(y,\s\up8(^))＝0.625×96＋22.05≈82，即可以預(yù)測他的物理成績是82.1．求線性回歸方程的基本步驟2．需特別注意的是，只有在散點(diǎn)圖大致呈直線時，求出的線性回歸方程才有實(shí)際意義，否則求出的回歸方程毫無意義．2．某商場經(jīng)營一批進(jìn)價是30元/臺的小商品，在市場調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，此商品的銷售單價x(x取整數(shù))元與日銷售量y臺之間有如下關(guān)系：x35404550y56412811(1)y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系？如果具有線性相關(guān)關(guān)系，求出回歸直線方程．(方程的回歸系數(shù)保留一位有效數(shù)字)(2)設(shè)經(jīng)營此商品的日銷售利潤為P元，根據(jù)(1)寫出P關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并預(yù)測當(dāng)銷售單價x為多少元時，才能獲得最大日銷售利潤．[解](1)散點(diǎn)圖如圖所示，從圖中可以看出這些點(diǎn)大致分布在一條直線附近，因此兩個變量線性相關(guān)．設(shè)回歸直線為eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up8(^))，由題知eq\o(x,\s\up8(－))＝42.5，eq\o(y,\s\up8(－))＝34，則求得eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(4),\s\do14(i＝1))xiyi－4\o(x,\s\up8(－))\o(y,\s\up8(－)),\o(∑,\s\up8(4),\s\do14(i＝1))x\o\al(2,i)－4\o(x,\s\up8(－))2)＝eq\f(－370,125)≈－3，eq\o(a,\s\up8(^))＝eq\o(y,\s\up8(－))－eq\o(b,\s\up8(^))eq\o(x,\s\up8(－))＝34－(－3)×42.5＝161.5，∴eq\o(y,\s\up8(^))＝－3x＋161.5.(2)依題意有P＝(－3x＋161.5)(x－30)＝－3x2＋251.5x－4845＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(251.5,6)))2＋eq\f(251.52,12)－4845.∴當(dāng)x＝eq\f(251.5,6)≈42時，P有最大值，約為426，即預(yù)測銷售單價為42元時，能獲得最大日銷售利潤.線性回歸分析[探究問題]1．作散點(diǎn)圖的目的是什么？[提示]直觀分析數(shù)據(jù)是否存在線性相關(guān)關(guān)系．2．下表顯示出變量y隨變量x變化的一組數(shù)據(jù)，由此判斷表示y與x之間的關(guān)系最可能的是________．(填序號)x45678910y14181920232528①線性函數(shù)模型；②二次函數(shù)模型；③指數(shù)函數(shù)模型；④對數(shù)函數(shù)模型．[提示]畫出散點(diǎn)圖(圖略)，可以得到這些樣本點(diǎn)在一條直線附近，故最可能是線性函數(shù)模型．故填①.【例3】10名同學(xué)在高一和高二的數(shù)學(xué)成績?nèi)缦卤恚簒74717268767367706574y76757170767965776272其中x為高一數(shù)學(xué)成績，y為高二數(shù)學(xué)成績．(1)y與x是否具有相關(guān)關(guān)系？(2)如果y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程．[思路探究]可先計算線性相關(guān)系數(shù)r的值，然后與r0.05比較，進(jìn)而對x與y的相關(guān)性做出判斷．[解](1)由已知表格中的數(shù)據(jù)，求得eq\x\to(x)＝71，eq\x\to(y)＝72.3，r＝eq\f(\i\su(i＝1,10,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,10,)xi－\x\to(x)2\i\su(i＝1,10,)yi－\x\to(y)2))≈0.78.由檢驗(yàn)水平0.05及n－2＝8，在課本附錄2中查得r0.05＝0.632，因?yàn)?.78>0.632，所以y與x之間具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．(2)y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)回歸直線方程為eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(a,\s\up8(^))＋eq\o(b,\s\up8(^))x，則有eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,10,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,10,)xi－\x\to(x)2)≈1.22，eq\o(a,\s\up8(^))＝eq\o(y,\s\up8(－))－eq\o(b,\s\up8(^))eq\o(x,\s\up8(－))＝72.3－1.22×71＝－14.32.所以y關(guān)于x的回歸直線方程為eq\o(y,\s\up8(^))＝1.22x－14.32.1．線性回歸分析必須進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)；若忽略，則所求回歸方程沒有實(shí)際意義．2．|r|越接近于1，兩變量相關(guān)性越強(qiáng)，|r|越接近于0，兩變量相關(guān)性越弱．3．關(guān)于兩個變量x和y的7組數(shù)據(jù)如下表所示：x21232527293235y711212466115325試判斷x與y之間是否有線性相關(guān)關(guān)系．[解]eq\o(x,\s\up8(－))＝eq\f(1,7)×(21＋23＋25＋27＋29＋32＋35)≈27.4，eq\o(y,\s\up8(－))＝eq\f(1,7)×(7＋11＋21＋24＋66＋115＋325)≈81.3，eq\o(∑,\s\up8(7),\s\do14(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝212＋232＋252＋272＋292＋322＋352＝5414，eq\o(∑,\s\up8(7),\s\do14(i＝1))xiyi＝21×7＋23×11＋25×21＋27×24＋29×66＋32×115＋35×325＝18542，eq\o(∑,\s\up8(7),\s\do14(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝72＋112＋212＋242＋662＋1152＋3252＝124393，∴r＝eq\f(\o(∑,\s\up8(7),\s\do14(i＝1))xiyi－7\o(x,\s\up8(－))\o(y,\s\up8(－)),\r(\o(∑,\s\up8(7),\s\do14(i＝1))x\o\al(2,i)－7\o(x,\s\up8(－))2\o(∑,\s\up8(7),\s\do14(i＝1))y\o\al(2,i)－7\o(y,\s\up8(－))2))＝eq\f(18542－7×27.4×81.3,\r(5414－7×27.42124393－7×81.32))≈0.8375.∵0.8375>0.755，∴x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系．1．本節(jié)課的重點(diǎn)是線性回歸方程的求法，及線性回歸分析，相關(guān)關(guān)系；難點(diǎn)是恰當(dāng)選擇模型，求解回歸方程．2．注意，回歸直線方程一定過樣本中心點(diǎn)(eq\x\to(x)，eq\x\to(y)).1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)求回歸直線方程前必須進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)．()(2)兩個變量的相關(guān)系數(shù)越大，它們的相關(guān)程度越強(qiáng)．()(3)若相關(guān)系數(shù)r＝0，則兩變量x，y之間沒有關(guān)系．()[答案](1)√(2)×(3)√2．某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：廣告費(fèi)用x(萬元)4235銷售額y(萬元)49263954根據(jù)上表可得回歸方程eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up8(^))中的eq\o(b,\s\up8(^))為9.4，據(jù)此模型預(yù)報廣告費(fèi)用為6萬元時銷售額為()A．63.6萬元 B．65.5萬元C．67.7萬元 D．72.0萬元B[樣本點(diǎn)的中心是(3.5,42)，則eq\o(a,\s\up8(^))＝eq\o(y,\s\up8(－))－eq\o(b,\s\up8(^))eq\o(x,\s\up8(－))＝42－9.4×3.5＝9.1，所以回歸直線方程是eq\o(y,\s\up8(^))＝9.4x＋9.1，把x＝6代入得eq\o(y,\s\up8(^))＝65.5.]3．設(shè)某大學(xué)生的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系．根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為eq\o(y,\s\up8(^))＝0.85x－85.71，則下列結(jié)論中正確的是________(填序號)．(1)y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系；(2)回歸直線過樣本點(diǎn)的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))；(3)若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kg；(4)若該大學(xué)某女生身