初中數(shù)學(xué)平行四邊形(講義及答案)及解析

初中數(shù)學(xué)平行四邊形(講義及答案)及解析一、選擇題1．如圖，菱形的邊長為是邊的中點(diǎn)，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段繞著逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，則的最小值為（）A． B． C． D．2．七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具．如圖，在正方形紙板ABCD中，BD為對角線，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，AP⊥EF分別交BD、EF于O、P兩點(diǎn)，M、N分別為BO、DO的中點(diǎn)，連接MP、NF，沿圖中實(shí)線剪開即可得到一副七巧板．若AB＝1，則四邊形BMPE的面積是（）A． B． C． D．3．如圖，矩形中，為中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線分別與，交于點(diǎn)，，連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，．若，，則下列結(jié)論：①；②垂直平分線段；③；④四邊形是菱形．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．如圖，矩形ABCD中，AB＝2，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，∠AOD＝120°，E為BD上任意點(diǎn)，P為AE中點(diǎn)，則PO＋PB的最小值為（）A． B． C． D．35．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB=8，AD=CD=5，點(diǎn)M為BC上異于B、C的一定點(diǎn)，點(diǎn)N為AB上的一動(dòng)點(diǎn)，E、F分別為DM、MN的中點(diǎn)，當(dāng)N從A到B的運(yùn)動(dòng)過程中，線段EF掃過圖形的面積為()A．4 B．4.5 C．5 D．66．如圖，中，，，．點(diǎn)、、分別是邊、、的中點(diǎn)；點(diǎn)、、分別是邊、、的中點(diǎn)；；以此類推，則第個(gè)三角形的周長是（）A． B． C． D．7．如圖，是邊長為2的正方形的對角線上一點(diǎn)，且，為上任意一點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，則的值是（）A． B． C．2 D．18．如圖，在矩形中，是邊上的動(dòng)點(diǎn)，于，于，如果，那么()A． B．C． D．9．如圖，點(diǎn)P，Q分別是菱形ABCD的邊AD，BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若線段PQ長的最大值為8，最小值為8，則菱形ABCD的邊長為()A．4 B．10 C．12 D．1610．如圖，在中，是的中點(diǎn)，作于點(diǎn)，連接，下列結(jié)論:①；②；③；④；其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題11．在平行四邊形ABCD中，BC邊上的高為4，AB=5，，則平行四邊形ABCD的周長等于______________．12．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是直線AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)，∠EDF＝90°，M、N分別是EF、AC的中點(diǎn)，連結(jié)AM、MN，若AC=6，AB=5，則AM-MN的最大值為________．13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO的邊CO、OA分別在x軸、y軸上，點(diǎn)E在邊BC上，將該矩形沿AE折疊，點(diǎn)B恰好落在邊OC上的F處．若OA＝8，CF＝4，則點(diǎn)E的坐標(biāo)是_____．14．已知：點(diǎn)B是線段AC上一點(diǎn)，分別以AB，BC為邊在AC的同側(cè)作等邊和等邊，點(diǎn)M，N分別是AD，CE的中點(diǎn)，連接MN．若AC=6，設(shè)BC=2，則線段MN的長是__________．15．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，E為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，作EF⊥AE，且EF＝AE．連接DF，AF．當(dāng)DF⊥EF時(shí)，△ADF的面積為_____．16．如圖，正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)E、F分別在邊AD、BC上．將該紙片沿EF折疊，使點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)G落在邊DC上，折痕EF與AG交于點(diǎn)Q，點(diǎn)K為GH的中點(diǎn)，則隨著折痕EF位置的變化，△GQK周長的最小值為____．17．在中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC邊上的高．將按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，折痕為EF，則的周長為______．18．如圖，在正方形ABCD中，AC=6，點(diǎn)E在AC上，以AD為對角線的所有平行四邊形AEDF中，EF最小的值是_________．19．如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝6，BC＝10，點(diǎn)E在CD上，將△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C恰落在邊AD上的點(diǎn)F處，點(diǎn)G在AF上，將△ABG沿BG折疊，點(diǎn)A恰落在線段BF上的點(diǎn)H處，有下列結(jié)論：①∠EBG＝45°；②S△ABG＝S△FGH；③△DEF∽△ABG；④AG+DF＝FG．其中正確的是_____．（把所有正確結(jié)論的序號都選上）20．如圖，四邊形是邊長為4的正方形，點(diǎn)E在邊上，PE=1；作EF∥BC，分別交AC、AB于點(diǎn)G、F，M、N分別是AG、BE的中點(diǎn)，則MN的長是_________．三、解答題21．在一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，小明對對角線互相垂直的四邊形進(jìn)行了探究，得出了如下結(jié)論：如圖1，四邊形的對角線與相交于點(diǎn)，，則．（1）請幫助小明證明這一結(jié)論；（2）根據(jù)小明的探究，老師又給出了如下的問題：如圖2，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正和正方形，連結(jié)、、.已知，，求的長，請你幫助小明解決這一問題．22．如圖，平行四邊形的對角線交于點(diǎn)，分別過點(diǎn)作，連接交于點(diǎn)．(1)求證:；(2)當(dāng)?shù)扔诙嗌俣葧r(shí)，四邊形為菱形?請說明理由．23．如圖，點(diǎn)E為?ABCD的邊AD上的一點(diǎn)，連接EB并延長，使BF＝BE，連接EC并延長，使CG＝CE，連接FG．H為FG的中點(diǎn)，連接DH，AF．（1）若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度數(shù)；（2）求證：四邊形AFHD為平行四邊形；（3）連接EH，交BC于點(diǎn)O，若OC＝OH，求證：EF⊥EG．24．已知：在中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合）．以AD為邊作正方形ADEF，連接CF．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，BD與CF的位置關(guān)系為__________；CF、BC、CD三條線段之間的數(shù)量關(guān)系____________________．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，其它條件不變，請你寫出CF、BC、CD三條線段之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的反向延長線上時(shí)，且點(diǎn)A、F分別在直線BC的兩側(cè)，其它條件不變：①請直接寫出CF、BC、CD三條線段之間的關(guān)系．②若連接正方形對角線AE、DF，交點(diǎn)為O，連接OC，探究的形狀，并說明理由．25．如圖，在長方形中，．動(dòng)點(diǎn)分別從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．（1）請用含的式子表示線段的長，則________，________．（2）在運(yùn)動(dòng)過程中，若存在某時(shí)刻使得是等腰三角形，求相應(yīng)的值．26．已知正方形點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)(不與重合)．連接并延長交直線于點(diǎn)，交于連接．在上取一點(diǎn)使．（1）若點(diǎn)在邊上，如圖1，①求證：．②求證：是等腰三角形．（2）取中點(diǎn)連接．若，正方形邊長為，則．27．社團(tuán)活動(dòng)課上，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)探索了這樣的一個(gè)問題：如圖，，點(diǎn)為邊上一定點(diǎn)，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，以為一邊在∠MON的內(nèi)部作正方形，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)（在點(diǎn)、之間），交與點(diǎn)，試探究的周長與的長度之間的等量關(guān)系該興趣小組進(jìn)行了如下探索：（動(dòng)手操作，歸納發(fā)現(xiàn)）（1）通過測量圖、、中線段、、和的長，他們猜想的周長是長的_____倍．請你完善這個(gè)猜想（推理探索，嘗試證明）為了探索這個(gè)猜想是否成立，他們作了如下思考，請你完成后續(xù)探索過程：（2）如圖，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)則又四邊形正方形，，則在與中，（類比探究，拓展延伸）（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，直接寫出線段、、與長度之間的等量關(guān)系為．28．類比等腰三角形的定義，我們定義：有三條邊相等的凸四邊形叫做“準(zhǔn)等邊四邊形”．（1）已知：如圖1，在“準(zhǔn)等邊四邊形”ABCD中，BC≠AB，BD⊥CD，AB=3，BD=4，求BC的長；（2）在探究性質(zhì)時(shí)，小明發(fā)現(xiàn)一個(gè)結(jié)論：對角線互相垂直的“準(zhǔn)等邊四邊形”是菱形．請你判斷此結(jié)論是否正確，若正確，請說明理由；若不正確，請舉出反例；（3）如圖2，在△ABC中，AB=AC=，∠BAC=90°．在AB的垂直平分線上是否存在點(diǎn)P，使得以A，B，C，P為頂點(diǎn)的四邊形為“準(zhǔn)等邊四邊形”．若存在，請求出該“準(zhǔn)等邊四邊形”的面積；若不存在，請說明理由．29．感知：如圖①，在正方形中，是一點(diǎn)，是延長線上一點(diǎn)，且，求證：；拓展：在圖①中，若在，且，則成立嗎？為什么？運(yùn)用：如圖②在四邊形中，，，，是上一點(diǎn)，且，，求的長．30．閱讀下列材料，并解決問題：如圖1，在中，，，，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），以，為邊構(gòu)造，求對角線的最小值及此時(shí)的值是多少．在解決這個(gè)問題時(shí)，小紅畫出了一個(gè)以，為邊的（如圖2），設(shè)平行四邊形對角線的交點(diǎn)為，則有．于是得出當(dāng)時(shí)，最短，此時(shí)取最小值，得出的最小值為6．參考小紅的做法，解決以下問題：（1）繼續(xù)完成閱讀材料中的問題：當(dāng)?shù)拈L度最小時(shí)，_______；（2）如圖3，延長到點(diǎn)，使．以，為邊作，求對角線的最小值及此時(shí)的值．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要?jiǎng)h除一、選擇題1．B解析：B【解析】【分析】取AB與CD的中點(diǎn)M，N，連接MN，作點(diǎn)B關(guān)于MN的對稱點(diǎn)E'，連接E'C，E'B，此時(shí)CE的長就是GB+GC的最小值；先證明E點(diǎn)與E'點(diǎn)重合，再在Rt△EBC中，EB=2，BC=4，求EC的長.【詳解】取AB與CD的中點(diǎn)M，N，連接MN，作點(diǎn)B關(guān)于MN的對稱點(diǎn)E'，連接E'C，E'B，此時(shí)CE的長就是GB+GC的最小值；∵M(jìn)N∥AD，∴HM=AE，∵HB⊥HM，AB=4，∠A=60°，∴MB=2，∠HMB=60°，∴HM=1，∴AE'=2，∴E點(diǎn)與E'點(diǎn)重合，∵∠AEB=∠MHB=90°，∴∠CBE=90°，在Rt△EBC中，EB=2，BC=4，∴EC=2，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)；確定G點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，是找到對稱軸的關(guān)鍵．2．B解析：B【分析】根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到EF∥BD，EF=BD，推出點(diǎn)P在AC上，得到PE=EF，得到四邊形BMPE平行四邊形，過M作MF⊥BC于F，根據(jù)平行四邊形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】∵E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，∴EF∥BD，EF=BD，∵四邊形ABCD是正方形，且AB=BC=1，∴BD=，∵AP⊥EF，∴AP⊥BD，∴BO=OD，∴點(diǎn)P在AC上，∴PE=EF，∴PE=BM，∴四邊形BMPE是平行四邊形，∴BO=BD，∵M(jìn)為BO的中點(diǎn)，∴BM=BD=，∵E為BC的中點(diǎn)，∴BE=BC=，過M作MF⊥BC于F，∴MF=BM=，∴四邊形BMPE的面積=BE?MF=，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了七巧板，正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．3．C解析：C【分析】通過證△AEO≌CFO可判斷①；利用矩形的性質(zhì)證△OCB是正三角形，可得②；因OB≠M(fèi)B，得到③錯(cuò)誤；通過證△EOB≌△FCB得到EB=FB，從而證④．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形∴AB∥DC,AO=OC∴∠AEO=∠CFO,∠EAO=∠FCO∴△AEO≌CFO(AAS)∴AE=FC，①正確∵四邊形ABCD是矩形∴OC=OB∵∠BOC=60°∴△OCB是正三角形，∴OB=OC∵FO=FC∴FB是線段OC的垂直平分線，②正確∵BM⊥OC，∴△OMB是直角三角形，∴OB＞BM∴是錯(cuò)誤的，即③錯(cuò)誤∵四邊形ABCD是矩形∴EB∥DF，AB=DC∵AE=FC∴EB=DF∴四邊形EBFD是平行四邊形∵△AEO≌△CFO，OF=FC，∴AE=EO=OF=FC∵△OBC是正三角形，∴∠BOC=60°=∠BCO，BC=BO∴∠FCO=30°，∴∠FOC=30°∴∠FOB=30°+60°=90°∴∠EOB=90°=∠FCB∴△EOB≌△FCB(SAS)∴EB=FB∴平行四邊形EBFD是菱形，④正確故選：C【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)和證明，解題關(guān)鍵是證明△AOE≌△COF和證明△BOC是正三角形．4．C解析：C【分析】設(shè)M、N分別為AB、AD的中點(diǎn)，則MN為△ABD的中位線，點(diǎn)P在MN上，作點(diǎn)O關(guān)于MN的對稱點(diǎn)，連接，則即為PO＋PB的最小值，易證△ABO為等邊三角形，過點(diǎn)A作AH⊥BO于H，求出，然后利用勾股定理求出BO即可．【詳解】解：如圖，設(shè)M、N分別為AB、AD的中點(diǎn)，則MN為△ABD的中位線，∵P為AE中點(diǎn)，∴點(diǎn)P在MN上，作點(diǎn)O關(guān)于MN的對稱點(diǎn)，連接，∴，∴PO＋PB=，∵四邊形ABCD是矩形，∠AOD=120°，∴OA=OB，∠AOB=60°，∴△AOB為等邊三角形，∴AB=BO=4，過點(diǎn)A作AH⊥BO于H，∴，∵M(jìn)N∥BD，點(diǎn)H關(guān)于MN的對稱點(diǎn)為A，點(diǎn)O關(guān)于MN的對稱點(diǎn)為，∴，且，∴，即PO＋PB的最小值為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了利用軸對稱求最短路徑，矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理，等邊三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，通過作輔助線，得出為PO＋PB的最小值是解題關(guān)鍵．5．A解析：A【分析】取MB的中點(diǎn)P，連接FP，EP，DN，由中位線的性質(zhì)，可得當(dāng)N從A到B的運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)F在FP所在的直線上運(yùn)動(dòng)，即：線段EF掃過圖形為?EFP，求出當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)A重合時(shí)，F(xiàn)P的值，以及FP上的高，進(jìn)而即可求解．【詳解】取MB的中點(diǎn)P，連接FP，EP，DN，∵FP是?MNB的中位線，EF是?DMN的中位線，∴FP∥BN，F(xiàn)P=，EF∥DN，EF=，∴當(dāng)N從A到B的運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)F在FP所在的直線上運(yùn)動(dòng)，即：線段EF掃過圖形為?EFP．∴當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)A重合時(shí)，F(xiàn)P===4，過點(diǎn)D作DQ⊥AB于點(diǎn)Q，∵AB∥CD，∠C=90°，AB=8，AD=CD=5，∴AQ=8-5=3，∴DQ=，∴當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)Q重合時(shí)，EF=，EF∥DQ，即：EF⊥AB，即：EF⊥FP，∴?EFP中，F(xiàn)P上的高=2，∴當(dāng)N從A到B的運(yùn)動(dòng)過程中，線段EF掃過圖形的面積=×4×2=4．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查中位線的性質(zhì)定理，勾股定理以及三角形的面積公式，添加合適的輔助線，構(gòu)造三角形以及三角形的中位線，是解題的關(guān)鍵．6．A解析：A【分析】根據(jù)三角形的中位線可得，B2C2，A2B2，A2C2分別等于B1C1，A1B1，A1C1，所以△A2B2C2的周長等于△A1B1C1周長的一半.進(jìn)而推出第n個(gè)三角形的周長【詳解】解：∵，，,∴△A1B1C1的周長是16,∵點(diǎn)、、分別是邊、、的中點(diǎn),∴B2C2，A2B2，A2C2分別等于B1C1，A1B1，A1C1,以此類推，則△A4B4C4的周長是,∴△AnBnCn的周長是,∴當(dāng)n=2019時(shí)，第2019個(gè)三角形的周長是=,故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的中位線，解題的關(guān)鍵是找出題目的規(guī)律.7．B解析：B【分析】過點(diǎn)E作EM⊥AB，連接AF，先求出EM，由S△ABE＝AB?EM＝AE?GF+AB?FH，可得FG+FH=EM，則FG+FH的值可求．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作EM⊥AB，連接AF，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ACB=45°，∴△AEM是等腰直角三角形，∵AB=AE=2，∴∴EM＝，∵S△ABE=S△AEF+S△ABF，∴S△ABE＝AB?EM＝AE?GF+AB?FH，∴EM=FG+FH=；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，運(yùn)用面積法得出線段的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵．8．A解析：A【分析】設(shè)AC、BD交于點(diǎn)O，連接OP，根據(jù)矩形的性質(zhì)及勾股定理求出OA=OD=2.5，再求出△AOD的面積，根據(jù)面積關(guān)系即可求出答案.【詳解】設(shè)AC、BD交于點(diǎn)O，連接OP，∵,∴BD=AC=5，∴OA=OD=2.5，∵，∴，∵于，于，∴，，∴，故選：A.【點(diǎn)睛】此題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)矩形的性質(zhì)求出△AOD的面積是解題的關(guān)鍵.9．B解析：B【分析】當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)A重合時(shí)，當(dāng)點(diǎn)C和點(diǎn)Q重合時(shí)，PQ的值最大，當(dāng)PQ⊥BC時(shí)，PQ的值最小，利用這兩組數(shù)據(jù)，在Rt△ABQ中，可求得答案．【詳解】當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)A重合時(shí)，當(dāng)點(diǎn)C和點(diǎn)Q重合時(shí)，PQ的值最大，當(dāng)PQ⊥BC時(shí)，PQ的值最小，∴PQ=8，∠Q=90°，在Rt△ACQ中，在Rt△ABQ中，設(shè)AB=BC=x，則BQ=16-x，∴AQ2+BQ2=AB2即82+（16-x）2=x2解之：x=10.故答案為：B．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)和勾股定理的運(yùn)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)菱形的性質(zhì)，判斷出PQ最大和最小的情況．10．C解析：C【分析】由平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合AB=2AD，CD=2CF可得CF=CB，從而可得∠CBF=∠CFB，再根據(jù)CD∥AB，得∠CFB=∠ABF，繼而可得，可以判斷①正確；延長EF交BC的延長線與M，證明△DFE與△CFM(AAS)，繼而得EF=FM=EM，證明∠CBE=∠AEB=90°，然后根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可判斷②正確；由上可得S△BEF=S△BMF，S△DFE=S△CFM，繼而可得S△EBF=S△BMF=S△EDF+S△FBC，繼而可得，可判斷③正確；過點(diǎn)F作FN⊥BE，垂足為N，則∠FNE=90°，則可得AD//FN，則有∠DEF=∠EFN，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠BFE=2∠EFN，繼而得∠BFE=2∠DEF，判斷④錯(cuò)誤.【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AB=CD，AD//BC，∵AB=2AD，CD=2CF，∴CF=CB，∴∠CBF=∠CFB，∵CD∥AB，∴∠CFB=∠ABF，∴，故①正確；延長EF交BC的延長線與M，∵AD//BC，∴∠DEF=∠M，又∵∠DFE=∠CFM，DF=CF，∴△DFE與△CFM(AAS)，∴EF=FM=EM，∵BF⊥AD，∴∠AEB=90°，∵在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，∴∠CBE=∠AEB=90°，∴BF=EM，∴BF=EF，故②正確；∵EF=FM，∴S△BEF=S△BMF，∵△DFE≌△CFM，∴S△DFE=S△CFM，∴S△EBF=S△BMF=S△EDF+S△FBC，∴，故③正確；過點(diǎn)F作FN⊥BE，垂足為N，則∠FNE=90°，∴∠AEB=∠FEN，∴AD//EF，∴∠DEF=∠EFN，又∵EF=FB，∴∠BFE=2∠EFN，∴∠BFE=2∠DEF，故④錯(cuò)誤，所以正確的有3個(gè)，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，等腰三角形的判斷與性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，正確添加輔助線，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.二、填空題11．12或20【分析】根據(jù)題意分別畫出圖形，BC邊上的高在平行四邊形的內(nèi)部和外部，進(jìn)而利用勾股定理求出即可．【詳解】解：情況一：當(dāng)BC邊上的高在平行四邊形的內(nèi)部時(shí)，如圖1所示：在平行四邊形ABCD中，BC邊上的高為4，AB=5，AC=，在Rt△ACE中，由勾股定理可知：，在Rt△ABE中，由勾股定理可知：,∴BC=BE+CE=3+2=5,此時(shí)平行四邊形ABCD的周長等于2×(AB+BC)=2×(5+5)=20；情況二：當(dāng)BC邊上的高在平行四邊形的外部時(shí)，如圖2所示：在平行四邊形ABCD中，BC邊上的高為AE=4，AB=5，AC=在Rt△ACE中，由勾股定理可知：，在Rt△ABE中，由勾股定理可知：,∴BC=BE-CE=3-2=1,∴平行四邊形ABCD的周長為2×(AB+BC)=2×(5+1)=12,綜上所述，平行四邊形ABCD的周長等于12或20．故答案為：12或20．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，分高在平行四邊形內(nèi)部還是外部討論是解題關(guān)鍵．12．【分析】連接DM，直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，得AM=DM，利用兩邊之差小于第三邊得到，又根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)即可求解．【詳解】連接DM，如下圖所示，∵又∵M(jìn)為EF中點(diǎn)∴AM=DM=EF∴（當(dāng)D、M、N共線時(shí)，等號成立）∵D、N分別為BC、AC的中點(diǎn)，即DN是△ABC的中位線∴DN=AB=∴的最大值為故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是確定的取值范圍．13．(-10，3)【解析】試題分析：根據(jù)題意可知△CEF∽△OFA，可根據(jù)相似三角形的性質(zhì)對應(yīng)邊成比例，可求得OF=2CE，設(shè)CE=x，則BE=8-x，然后根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得EF=8-x，根據(jù)勾股定理可得，解得x=3，則OF=6，所以O(shè)C=10，由此可得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-10，3）.故答案為：（-10，3）14．【分析】如圖（見解析），先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，然后利用直角三角形的性質(zhì)、勾股定理可得，從而可得，最后在中，利用勾股定理即可得．【詳解】如圖，連接ME，過點(diǎn)M作，交CE延長線于點(diǎn)F，和都是等邊三角形，，，，，，點(diǎn)M，N分別是AD，CE的中點(diǎn)，，，四邊形ABEM是平行四邊形，，，在中，，，，則在中，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形和平行四邊形是解題關(guān)鍵．15．3﹣【分析】作輔助線，構(gòu)建全等三角形和矩形，利用面積法可得AE的長，根據(jù)勾股定理可得BE的長，設(shè)AE＝x，證明△ABE≌△EQF（AAS），得FQ＝BE＝，最后根據(jù)三角形面積公式可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，過D作DH⊥AE于H，過E作EM⊥AD于M，連接DE，∵EF⊥AE，DF⊥EF，∴∠DHE＝∠HEF＝∠DFE＝90°，∴四邊形DHEF是矩形，∴DH＝EF＝AE，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BAD＝90°，∵∠AME＝90°，∴四邊形ABEM是矩形，∴EM＝AB＝2，設(shè)AE＝x，則S△ADE＝，∴3×2＝x2，∴x＝±，∵x＞0，∴x＝，即AE＝，由勾股定理得：BE＝＝，過F作PQ∥CD，交AD的延長線于P，交BC的延長線于Q，∴∠Q＝∠ECD＝∠B＝90°，∠P＝∠ADC＝90°，∵∠BAE＋∠AEB＝∠AEF＝∠AEB＋∠FEQ＝90°，∴∠FEQ＝∠BAE，∵AE＝EF，∠B＝∠Q＝90°，∴△ABE≌△EQF（AAS），∴FQ＝BE＝，∴PF＝2﹣，∴S△ADF＝＝＝3﹣．【點(diǎn)睛】此題主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，有難度，正確作輔助線構(gòu)建全等三角形是關(guān)鍵，并用方程的思想解決問題．16．3+3．【分析】取AB的中點(diǎn)M，連接DQ，QM，DM．證明QM＝QK，QG＝DQ，求出DQ＋QM的最小值即可解決問題．【詳解】取AB的中點(diǎn)M，連接DQ，QM，DM．∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝6，∠DAM＝∠ADG＝90°，∵AM＝BM＝3，∴DM＝＝3，∵GK＝HK，AB，GH關(guān)于EF對稱，∴QM＝QK，∵∠ADG＝90°，AQ＝QG，∴DQ＝AQ＝QG，∵△QGK的周長＝GK+QG+QJ＝3+DQ+QM．又∵DQ+QM≥DM，∴DQ+QM≥3，∴△QGK的周長的最小值為3+3，故答案為3+3．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理、最值問題，解題的關(guān)鍵是取AB的中點(diǎn)M，確定QG＋QK＝QD＋QM，屬于中考常考題型．17．【分析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，再根據(jù)垂直的定義、直角三角形的性質(zhì)可得，又根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可得，同理可得出，然后根據(jù)三角形中位線定理可得，最后根據(jù)三角形的周長公式即可得．【詳解】由折疊的性質(zhì)得：AD是BC邊上的高，即，同理可得：又點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)是的中位線則的周長為故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，利用折疊的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．18．【詳解】解析：∵在正方形ABCD中，AC=，∴AB=AD=BC=DC=6，∠EAD=45°設(shè)EF與AD交點(diǎn)為O，O是AD的中點(diǎn),∴AO=3以AD為對角線的所有?AEDF中，當(dāng)EF⊥AC時(shí)，EF最小，即△AOE是直角三角形，∵∠AEO=90°，∠EAD=45°，OE=OA=，∴EF=2OE=19．①②④．【分析】利用折疊性質(zhì)得∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，則可得到∠EBG=∠ABC，于是可對①進(jìn)行判斷；在Rt△ABF中利用勾股定理計(jì)算出AF=8，則DF=AD-AF=2，設(shè)AG=x，則GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=4，利用勾股定理得到x2+42=（8-x）2，解得x=3，所以AG=3，GF=5，于是可對②④進(jìn)行判斷；接著證明△ABF∽△DFE，利用相似比得到，而，所以，所以△DEF與△ABG不相似，于是可對③進(jìn)行判斷.【詳解】解：∵△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C恰落在邊AD上的點(diǎn)F處；點(diǎn)G在AF上，將△ABG沿BG折疊，點(diǎn)A恰落在線段BF上的點(diǎn)H處，∴∠CBE＝∠FBE，∠ABG＝∠FBG，BF＝BC＝10，BH＝BA＝6，AG＝GH，∴∠EBG＝∠EBF+∠FBG＝∠CBF+∠ABF＝∠ABC＝45°，所以①正確；在Rt△ABF中，AF＝＝＝8，∴DF＝AD﹣AF＝10﹣8＝2，設(shè)AG＝x，則GH＝x，GF＝8﹣x，HF＝BF﹣BH＝10﹣6＝4，在Rt△GFH中，∵GH2+HF2＝GF2，∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴GF＝5，∴AG+DF＝FG＝5，所以④正確；∵△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C恰落在邊AD上的點(diǎn)F處，∴∠BFE＝∠C＝90°，∴∠EFD+∠AFB＝90°，而∠AFB+∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠EFD，∴△ABF∽△DFE，∴＝，∴＝＝＝，而＝＝2，∴≠，∴△DEF與△ABG不相似；所以③錯(cuò)誤．∵S△ABG＝×6×3＝9，S△GHF＝×3×4＝6，∴S△ABG＝S△FGH，所以②正確．故答案是：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用；在利用相似三角形的性質(zhì)時(shí)，主要利用相似比計(jì)算線段的長．也考查了折疊和矩形的性質(zhì)．20．5【分析】先判斷四邊形的形狀，再連接，利用正方形的性質(zhì)得出是等腰直角三角形，再利用直角三角形的性質(zhì)得出即可．【詳解】∵四邊形是邊長為4的正方形，，∴四邊形是矩形，∵，∴，連接，如圖所示：∵四邊形是正方形，∴，是等腰直角三角形，∵是的中點(diǎn)，即有，∴，是直角三角形，又∵是中點(diǎn)，，∵∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定，等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于合理作出輔助線，通過直角三角形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化求解．三、解答題21．（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）由題意根據(jù)勾股定理分別表示出進(jìn)行分析求證即可；（2）根據(jù)題意連接CG、BE，證明△GAB≌△CAE，進(jìn)而得BG⊥CE，再根據(jù)（1）的結(jié)論進(jìn)行分析即可求出答案．【詳解】解：（1）∵AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，由勾股定理得，∴；（2）連接CG、BE，如圖2，∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，由（1）得，，∵AC=4，AB=5，∴BC=3，CG=4，BE=5，∴，∴GE=．【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾股定理的應(yīng)用，熟練并正確理解全等三角形的判定和性質(zhì)以及靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．22．（1）見解析；（2）當(dāng)滿足時(shí)，四邊形為菱形，證明詳見解析【分析】（1）證明四邊形OCFD是平行四邊形，得出OD=CF，證出OB=CF，再證明全等即可（2）證出四邊形ABCD是矩形，由矩形的性質(zhì)得出OC=OD，即可得出四邊形OCFD為菱形.【詳解】(1)證明:∵，∴四邊形是平行四邊形，，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，在和中，，∴．(2)當(dāng)滿足時(shí)，四邊形為菱形.理由如下:∵，四邊形是平行四邊形，∴四邊形是矩形∴∴，∴四邊形為菱形【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形判定與性質(zhì)，平行四邊形和菱形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)和菱形的判定是解題的關(guān)鍵.23．（1）50°；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)和平行線的判定和性質(zhì)得出答案即可；（2）由平行四邊形的性質(zhì)得出AD＝BC，AD∥BC；證明BC是△EFG的中位線，得出BC∥FG，BC＝FG，證出AD∥FH，AD∥FH，由平行四邊形的判定方法即可得出結(jié)論；（3）連接EH，CH，根據(jù)三角形的中位線定理以及平行四邊形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAE＝∠BCD＝70°，AD∥BC，∵∠DCE＝20°，∵AB∥CD，∴∠CDE＝180°﹣∠BAE＝110°，∴∠DEC＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE＝50°；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAE＝∠BCD，∵BF＝BE，CG＝CE，∴BC是△EFG的中位線，∴BC∥FG，BC＝FG，∵H為FG的中點(diǎn)，∴FH＝FG，∴BC∥FH，BC＝FH，∴AD∥FH，AD∥FH，∴四邊形AFHD是平行四邊形；（3）連接EH，CH，∵CE＝CG，F(xiàn)H＝HG，∴CH＝EF，CH∥EF，∵EB＝BF＝EF，∴BE＝CH，∴四邊形EBHC是平行四邊形，∴OB＝OC，OE＝OH，∵OC＝OH，∴OE＝OB＝OC＝BC，∴△BCE是直角三角形，∴∠FEG＝90°，∴EF⊥EG．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．24．（1）BD⊥CF，CF=BC-CD；（2）CF=BC+CD，見解析；（3）①CF=CD?BC，②等腰三角形，見解析【分析】（1）先說明△ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可證明△BAD≌△CAF，從而證得CF⊥BD、CF=BD，又BD+CD=BC,CF=BC-CD；（2）先利用SAS即可證得△BAD≌△CAF，從而證得BD=CF，即可得到CF-CD=BC；（3）①與（2）同理可得BD=CF，然后結(jié)合圖形可得CF=CD-BC；②先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB=45°，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出∠ABD=135°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“邊角邊”證明△BAD≌△CAF，得∠ACF=∠ABD，求出∠FCD=90°，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出OC=DF，再根據(jù)正方形的對角線相等求出OC=OA，從而得到△AOC是等腰三角形．【詳解】（1）解：∵∠B4C=90°，AB=AC∴∠ABC=∠ACB=45°∵四邊形ADEF是正方形∴AD=AF，∠DAF=90°∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°∴∠BAD=∠CAF在△BAD和△CAF中，AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，∴△BAD≌△CAF(SAS)，∴BD=CF，∠ABD=∠ACF=45°∴∠FCB=∠ACF+∠ACB=90°，即CF⊥BC∵BD+CD=BC∴CF+CD=BC；故答案為：BD⊥CF，CF=BC-CD；（2）證明：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵四邊形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠CAF=∠DAF+∠DAC，∴∠BAD=∠CAF，在△BAD和△CAF中，AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，∴△BAD≌△CAF(SAS)，∴BD=CF，∵BD=BC+CD，∴CF=BC+CD；（3）①與（2）同理可得，BD=CF，所以，CF=CD?BC；②∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，則∠ABD=180°?45°=135°，∵四邊形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAC=∠BAF+∠CAF=90°，∠DAF=∠BAD+∠BAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△BAD和△CAF中，AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，∴△BAD≌△CAF(SAS)，∴∠ACF=∠ABD=180°?45°=135°，∴∠FCD=∠ACF?∠ACB=90°，則△FCD為直角三角形，∵正方形ADEF中，O為DF中點(diǎn)，∴OC=DF，∵在正方形ADEF中，OA=AE，AE=DF，∴OC=OA，∴△AOC是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的綜合題，正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定以及同角的余角相等的性質(zhì)，在（1）證明三角形全等得到思路并推廣到（2）（3）是解答本題的關(guān)鍵.25．（1）8-2t，8-t；（2）或【分析】（1）根據(jù)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度以及AB和CD的長即可表示；（2）分PQ=PB、BP=BQ和QP=QB三種情況進(jìn)行分析即可．【詳解】解：（1）由題意可得：DP=2t，AQ=t，∴PC=8-2t，BQ=8-t，故答案為：8-2t，8-t；（2）當(dāng)PQ=PB時(shí)，如圖①，QH=BH，則t+2t=8，解得，t=，當(dāng)PQ=BQ時(shí)，（2t-t）2+62=（8-t）2，解得，t=，當(dāng)BP=BQ時(shí)，（8-2t）2+62=（8-t）2，方程無解；∴當(dāng)t=或時(shí)，△BPQ為等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定，掌握性質(zhì)并靈活運(yùn)用性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論思想的應(yīng)用．26．（1）①見解析；②GFC是等腰三角形，證明見解析；（2）4+或4﹣2．【分析】（1）①只要證明△DAH≌△DCH，即可解決問題；②只要證明∠CFG=∠FCG，即可解決問題；（2）分兩種情形解決問題：①當(dāng)點(diǎn)F在線段CD上時(shí)，連接DE．②當(dāng)點(diǎn)F在線段DC的延長線上時(shí)，連接DE．分別求出EC即可解決問題．【詳解】（1）①證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADB＝∠CDB＝45°，DA＝DC，在△DAH和△DCH中，，∴△DAH≌△DCH，∴∠DAH＝∠DCH；∵∠ECG=∠DAH，∴∠ECG=∠DCH，∵∠ECG+∠FCG=∠FCE=90°，∴∠DCH+∠FCG=90°，∴CH⊥CG.②∵在Rt△ADF中，∠DFA+∠DAF＝90°，由①得∠DCH+∠FCG=90°，∠DAH＝∠DCH；∴∠DFA＝∠FCG，又∵∠DFA＝∠CFG，∴∠CFG＝∠FCG，∴GF＝GC，∴△GFC是等腰三角形（2）BE的長為4+或．①如圖①當(dāng)點(diǎn)F在線段CD上時(shí)，連接DE．∵∠GFC＝∠GCF，又∵在Rt△FCG中，∠GEC+∠GFC＝90°，∠GCF+∠GCE＝90°，∴∠GCE＝∠GEC，∴EG＝GC＝FG，∴G是EF的中點(diǎn)，∴GM是△DEF的中位線∴DE＝2MG＝6，在Rt△DCE中，CE＝＝＝，∴BE＝BC+CE＝4+．②當(dāng)點(diǎn)F在線段DC的延長線上時(shí)，連接DE．同法可知GM是△DEC的中位線，∴DE＝2GM＝5，在Rt△DCE中，CE＝＝＝，∴BE＝BC﹣CE＝4﹣．綜上所述，BE的長為4+或4﹣．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的中位線定理、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．27．（1）2；（2）證明見解析過程；（3）AE+EF-AF=2OA．【分析】（1）通過測量可得；（2）過點(diǎn)C作CG⊥ON，垂足為點(diǎn)G，由AAS可證△ABO≌△BCG，可得BG=AO，BO=CG，由SAS可證△ABE≌△CBE，可得AE=CE，由線段的和差關(guān)系可得結(jié)論；（3）過點(diǎn)C作CG⊥ON，垂足為點(diǎn)G，由AAS可證△ABO≌△BCG，可得BG=AO，BO=CG，由SAS可證△ABE≌△CBE，可得AE=CE，可得結(jié)論．【詳解】解：（1）△AEF的周長是OA長的2倍，故答案為：2；（2）如圖4，過點(diǎn)C作CG⊥ON，垂足為點(diǎn)G，則∠CGB=90°，∴∠GCB+∠CBG=90°，又∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∠DBC=∠DBA=45°，則∠CBG+∠ABO=90°，∴∠GCB=∠ABO，在△BCG與△ABO中，，∴△BCG≌△ABO（AAS），∴BG=AO，CG=BO，∵∠AOB=90°=∠CGB=∠CFO，∴四邊形CGOF是矩形，∴CF=GO，CG=OF=OB，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE=CE，∴△AEF的周長=AE+EF+AF=CE+EF+AF=CF+AF=GO+AF=BG+BO+AF=2AO；（3）如圖5，過點(diǎn)C作CG⊥ON于點(diǎn)G，則∠CGB=90°，∴∠GCB+∠CBG=90°，又∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∠DBC=∠DBA=45°，則∠CBG+∠ABO=90°，∴∠GCB=∠ABO，在△BCG與△ABO中，∴△BCG≌△ABO（AAS），∴BG=AO，BO=CG，∵∠AOB=90°=∠CGB=∠CFO，∴四邊形CGOF是矩形，∴CF=GO，CG=OF=OB，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE=CE，∴AE+EF-AF=EF+CE-AF=NB+BO-（OF-AO）=OA+OB-（OB-OA）=2OA．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．28．（1）5；（2）正確，證明詳見解析；（3）存在，有四種情況，面積分別是：，，，【分析】（1）根據(jù)勾股定理計(jì)算BC的長度,（2）根據(jù)對角線互相垂直平分的四邊形是菱形判斷,（3）有四種情況，作輔助線，將四邊形