四軸鐵道客車輪軌滾動(dòng)接觸蠕滑力和輪緣力的研究

四軸鐵道客車輪軌滾動(dòng)接觸蠕滑力和輪緣力的研究

在對(duì)車輛系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究的推動(dòng)下，車輛系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究是在鐵路交通對(duì)車輛性能要求逐步提高的推動(dòng)下發(fā)展起來的。其中，橫向穩(wěn)定性研究是車輛開發(fā)的重要因素之一，直接影響到鐵路允許的最高運(yùn)行速度。高速列車需要具有更高的失穩(wěn)臨界速度,如果列車系統(tǒng)失穩(wěn)將會(huì)惡化列車運(yùn)行品質(zhì);會(huì)導(dǎo)致輪軌間強(qiáng)烈的相互作用;引起嚴(yán)重的輪軌磨耗或部件磨損與疲勞破壞;對(duì)線路造成嚴(yán)重危害甚至?xí)l(fā)脫軌的重大事故,因此車輛系統(tǒng)橫向穩(wěn)定性的研究十分重要。近年來,諸多研究表明在輪對(duì)和鐵道車輛系統(tǒng)中均存在Hopf分岔,鞍結(jié)分岔和混沌擺振等復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。Kaas-Petersen等發(fā)現(xiàn)在懸掛的輪對(duì)模型,Cooperrider的簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)向架和復(fù)雜車輛模型中,在低速情況下存在穩(wěn)態(tài)平衡點(diǎn),對(duì)稱和不對(duì)稱的擺振以及高速情況下的混沌運(yùn)動(dòng)。實(shí)際上,在鐵道車輛系統(tǒng)中,蛇形是一種非常普遍的自激振的橫向擺動(dòng)不穩(wěn)定現(xiàn)象。這種現(xiàn)象主要是由車輛的前進(jìn)速度和輪軌間的非線性接觸力引起,由于這種運(yùn)動(dòng)是鐵道車輛系統(tǒng)的一種內(nèi)在特性,因此不容易被消除。然而,只要在日常運(yùn)行中讓車輛的運(yùn)行速度小于某一臨界速度值,這種不穩(wěn)定的橫向運(yùn)動(dòng)就不會(huì)出現(xiàn)?；谶@樣的背景,本文對(duì)一具有17個(gè)自由度的四軸鐵道客車系統(tǒng)運(yùn)行于理想平直軌道上的橫向穩(wěn)定性與分岔問題進(jìn)行研究,運(yùn)用數(shù)值方法并結(jié)合穩(wěn)定性與分岔理論分析車輛系統(tǒng)出現(xiàn)的穩(wěn)態(tài)擺振、蛇形擺振和混沌擺振,揭示其中的規(guī)律,為高速客車的設(shè)計(jì)及橫向穩(wěn)定性研究提供部分參考。1輪軌摩擦性能的數(shù)值計(jì)算圖1為四軸客車橫向穩(wěn)定性計(jì)算簡(jiǎn)圖。這一模型主要包括車體(Mc,Icx,Icz)、兩個(gè)轉(zhuǎn)向架構(gòu)架(Mt,Itx,Itz)和四位輪對(duì)(Mw,Iwz)。其中轉(zhuǎn)向架構(gòu)架和輪對(duì)之間的連接為包括三個(gè)方向彈簧(Kpx,Kpy,Kpz)與阻尼(Cpx,Cpy,Cpz)的一系懸掛系統(tǒng);包括三個(gè)方向彈簧(Ksx,Ksy,Ksz)與阻尼(Csx,Csy,Csz)的二系懸掛系統(tǒng)裝于轉(zhuǎn)向架構(gòu)架與車體之間。整個(gè)模型除懸掛系統(tǒng)具有線性特性外,其它部分都是剛性的。車輛系統(tǒng)不考慮軌道不平順帶來的影響,假設(shè)輪子在足夠光滑,水平的直鋼軌上滾動(dòng)。此外,假設(shè)垂向位移足夠小,動(dòng)力學(xué)方程中垂向運(yùn)動(dòng)和橫向運(yùn)動(dòng)互不耦合,總而言之,我們主要研究車輛系統(tǒng)的橫向運(yùn)動(dòng),整個(gè)車輛系統(tǒng)共有17個(gè)自由度,如表1所示。假設(shè)車輪和鋼軌自始至終保持接觸,鋼軌表面外形是個(gè)圓弧,而車輪則具有錐形的踏面并且內(nèi)部有輪緣,整個(gè)系統(tǒng)的非線性主要來自每個(gè)鋼輪與鋼軌在理想接觸點(diǎn)處的蠕滑力和輪緣力。假設(shè)輪軌接觸斑是橢圓形的,采用Vermeulen-Johnson理論計(jì)算輪軌滾動(dòng)接觸蠕滑力并充分考慮蠕滑力的飽和效應(yīng)(但不考慮自旋蠕滑力),因此第i個(gè)輪對(duì)的縱向和橫向蠕滑率可表達(dá)為ξxi=aψ˙wi/V+λywi/r0ξxi=aψ˙wi/V+λywi/r0(1a)ξyi=y˙wi/V?ψwiξyi=y˙wi/V-ψwi(1b)式中V(m/s)代表車輛前進(jìn)速度,a=0.7465m是軌距之半,λ=0.05是接觸角,r0=0.4575m為車輪名義滾動(dòng)圓半徑,由此合成蠕滑率可表示為ξR=(ξx/?)2+(ξy/ψ)2??????????????√(2)ξR=(ξx/?)2+(ξy/ψ)2(2)式中?=0.60252,ψ=0.54219是利用Hertz接觸理論從Johnson公式中計(jì)算出的系數(shù)。由上式可得縱向和橫向蠕滑力為Fx=(ξxFR)/(ξR?),Fy=(ξyFR)/(ξRψ)(3)式中FR具有如下形式FR=μN(yùn){u?u2/3+u3/271u<3u≥3(4)FR=μΝ{u-u2/3+u3/27u<31u≥3(4)u=ξRGπaebe/(μN(yùn))(5)式中N是輪軌接觸斑的法向力,計(jì)算中取軸載荷的一半;G是輪軌合成剪切模量;ae,be是輪軌接觸橢圓的長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)度,計(jì)算中取Gπaebe=6.563MN;μ代表輪軌間的粘著系數(shù),是一不可控參數(shù),與車輛構(gòu)造、軌道結(jié)構(gòu)及環(huán)境狀態(tài)等密切相關(guān),且對(duì)車輛穩(wěn)定性有較大影響,一般都是根據(jù)大量試驗(yàn)資料用統(tǒng)計(jì)方法整理成經(jīng)驗(yàn)公式,作為計(jì)算的依據(jù)。我國(guó)鐵路對(duì)電力機(jī)車的計(jì)算粘著系數(shù)規(guī)定為μmax=0.24+5.4/(45+V)(6)本文中按式(6)的極限狀況進(jìn)行分析。實(shí)際上,大多數(shù)情況下,輪對(duì)與鋼軌接觸斑蠕滑力既不是純滾動(dòng),也不是純滑動(dòng),而是介于純滾動(dòng)和純滑動(dòng)之間的某一狀態(tài)。輪緣力Ft(ywi)一般用有死區(qū)的剛性彈簧來模擬,即可表達(dá)為一分段線性函數(shù)形式Ft(ywi)=?????k0(ywi?η)0k0(ywi+η)ywi>η|ywi|≤ηywi<?η(7)Ft(ywi)={k0(ywi-η)ywi>η0|ywi|≤ηk0(ywi+η)ywi<-η(7)式中k0=14.6×107N/m是彈性系數(shù),η=9.1mm代表輪緣間隙大小。2數(shù)值積分方法設(shè)耦合系統(tǒng)的廣義位移,廣義速度和廣義加速度矢量分別用X,X˙X˙和X¨X¨表示,并令X={yc,?c,ψc,yt1,yt2,?t1,?t2,ψt1,ψt2,yw1,yw2,yw3,yw4,ψw1,ψw2,ψw3,ψw4},則整個(gè)鐵道車輛系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可以用17個(gè)互相耦合的非線性二階常微分方程組來表示[M]X¨+[C]X˙+[K]X={P}(8)[Μ]X¨+[C]X˙+[Κ]X={Ρ}(8)式中[M]、[C]、[K]和{P}分別代表耦合系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣和載荷向量。載荷向量是除P(9+i)=-2Fyi-Ft(ywi),P(13+i)=-2aFxi,(i=1～4)非零外,其它元素都為零的17×1的列向量。給定初始條件,應(yīng)用數(shù)值積分方法對(duì)常微分方程組(8)進(jìn)行積分,其解集一般性的可寫成X=X(t,V,X0)(9)一般來說,系統(tǒng)的解與時(shí)間t和車輛運(yùn)行速度V以及初始條件X0都有關(guān)系。在一定速度下,由式(9)確定的車輛系統(tǒng)存在定常解和周期解,對(duì)應(yīng)于車輛系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)擺振和蛇形擺振。具體說,當(dāng)速度足夠小時(shí),存在穩(wěn)定的穩(wěn)態(tài)擺振,其時(shí)間響應(yīng)曲線是不斷衰減的;當(dāng)速度逐漸增大到某值時(shí),穩(wěn)態(tài)擺振失去其原有的穩(wěn)定性,出現(xiàn)穩(wěn)定的蛇形擺振,其時(shí)程圖是具有一定幅值和相位的周期振蕩曲線,當(dāng)然這其中可能還存在不穩(wěn)定的蛇形擺振;如果速度繼續(xù)增大,系統(tǒng)可能通過多種途徑進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài),其時(shí)程曲線則為非周期的無規(guī)則運(yùn)動(dòng)。另外,初始條件的選取則以前一速度穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)的最后值作為下一下速度計(jì)算的初始值進(jìn)行數(shù)值模擬。本文借助分析微分方程穩(wěn)定性和分岔問題的軟件包AUTO計(jì)算車輛系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)擺振和蛇形擺振,并分別通過線性化系統(tǒng)Jacobi矩陣特征值是否具有正實(shí)部和floquet特征乘子是否位于單位圓外來判別兩種運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性。為此設(shè)置車輛運(yùn)行速度變化范圍為50m/s～150m/s,起始速度步長(zhǎng)0.1m/s,最大速度步長(zhǎng)1m/s,最小速度步長(zhǎng)0.01m/s,求解相對(duì)誤差10-7,其它參數(shù)就不再詳述。同時(shí),為了分析車輛系統(tǒng)超高速情況下出現(xiàn)的混沌運(yùn)動(dòng),通過取Poincare截面σ={(X,X˙,V)∈R34×R+,yw1=η,y˙w1>0}σ={(X,X˙,V)∈R34×R+,yw1=η,y˙w1>0},可得到其它剛體位移的分岔圖,由于從分岔圖中不能確切的區(qū)分出系統(tǒng)是作擬周期、概周期還是混沌運(yùn)動(dòng),因此可計(jì)算相軌線、功率譜、Lyapunov指數(shù)等進(jìn)行輔助說明。3關(guān)鍵速度分析本文17個(gè)自由度的四軸客車系統(tǒng)中各剛體的質(zhì)量值,剛度系數(shù),阻尼系數(shù)及其它參數(shù)的取值可參看文獻(xiàn)附錄D的長(zhǎng)春廠高速車。在日常運(yùn)行中,車輛運(yùn)行速度通常不會(huì)高于系統(tǒng)的非線性臨界速度,然而因多種因素嚴(yán)重磨損的車輪踏面可能導(dǎo)致非線性臨界速度低于車輛運(yùn)行速度,因此充分了解車輛運(yùn)行速度高于非線性臨界速度時(shí)車輛系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為也是十分重要的。圖2給出了車輛運(yùn)行速度作為控制參數(shù)與前轉(zhuǎn)向架1位輪對(duì)相對(duì)軌道的最大橫向位移分岔圖,當(dāng)速度小于VB(VB=94.11m/s,Max|yB|=9.43mm)時(shí),定常解是漸近穩(wěn)定的,該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的速度因此稱為非線性臨界速度;在Hopf分岔點(diǎn)A(VA=137.86m/s,α1,2=-4.185×10-8±2.685i,α代表系統(tǒng)實(shí)部最大的特征值)線性化系統(tǒng)Jacobi矩陣特征值有一對(duì)復(fù)共軛特征值正向穿越虛軸而使定常解失去其原有的穩(wěn)定性,該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的速度因此稱為線性臨界速度,從A點(diǎn)以亞臨界方式分岔出的不穩(wěn)定的周期解(AB段點(diǎn)線)在鞍結(jié)分岔點(diǎn)B恢復(fù)了穩(wěn)定,此處由于1位輪對(duì)的大幅擺振出現(xiàn)了輪緣接觸,之后隨著速度的增加,穩(wěn)定的周期解幅值繼續(xù)增加直到達(dá)到速度終值150m/s。通過取Poincare截面作分岔圖來說明車輛系統(tǒng)出現(xiàn)的非周期運(yùn)動(dòng),由于以前轉(zhuǎn)向架1位輪對(duì)輪緣接觸點(diǎn)處取的截面,因此圖3給出了前轉(zhuǎn)向架2位輪對(duì)195m/s<V<230m/s速度區(qū)間橫向位移分岔圖。從圖中可看出,當(dāng)速度小于VC(VC=205m/s)時(shí),2位輪對(duì)橫向位移處于周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài),之后2位輪對(duì)處于非周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài),但具體是作擬周期、概周期還是混沌運(yùn)動(dòng)不能簡(jiǎn)單的從此分岔圖中看出來,下面通過計(jì)算一些關(guān)鍵速度處的相軌線、功率譜及Lyapunov指數(shù)進(jìn)行輔助分析。圖4給出的是幾個(gè)關(guān)鍵速度下前轉(zhuǎn)向架2位輪對(duì)相軌線及功率譜圖,其中a、b、c三幅相軌線圖的橫坐標(biāo)單位均是mm,縱坐標(biāo)單位則是mm/s;與a、b、c相軌線圖逐個(gè)對(duì)應(yīng)的功率譜圖d、e、f的橫坐標(biāo)單位是Hz,縱坐標(biāo)單位則是mm2/Hz。由圖4中各分圖可看出,周期運(yùn)動(dòng)的相軌線(a)在平面上是可數(shù)的閉合細(xì)曲線,實(shí)際形成周期吸引子,周期運(yùn)動(dòng)的功率譜(d)則是分立的、離散的一些峰值,它包括基頻和其它階次頻率;擬周期運(yùn)動(dòng)的相軌線(b)在環(huán)面或平面上的軌跡會(huì)充滿整個(gè)環(huán)面或平面,實(shí)際也就形成了擬周期吸引子,擬周期運(yùn)動(dòng)的功率譜(e)也是離散的,不但包含了基頻和其它階次頻率,而且在這幾個(gè)主要頻率之間還衍生出了另外的頻率,且各頻率之間的比例為無理數(shù);混沌運(yùn)動(dòng)的相軌線(c)則是有界和雜亂的,形如一扭曲折疊的寬帶,實(shí)際形成了混沌吸引子,混沌運(yùn)動(dòng)的功率譜(f)則是連續(xù)的,并且在頂峰周圍出現(xiàn)了大量的分散帶結(jié)構(gòu)。通過上述相軌線和功率譜分析說明當(dāng)VC<V<VD(VD=220.4m/s)時(shí),系統(tǒng)處于擬周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài),當(dāng)V>VD后,系統(tǒng)則處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。當(dāng)然,說明系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的最有力證據(jù)是計(jì)算系統(tǒng)在該狀態(tài)下的Lyapunov指數(shù),它表征了相空間中相鄰軌道的平均指數(shù)發(fā)散率或收斂率,至少有一個(gè)Lyapunov指數(shù)大于零就可以說明系統(tǒng)是混沌的。圖5給出了運(yùn)行速度V=221.0m/s時(shí)車輛系統(tǒng)4個(gè)最大Lyapunov指數(shù)隨時(shí)間的收斂曲線,計(jì)算中時(shí)間步長(zhǎng)取0.5s。從圖中可看出隨著時(shí)間的不斷增加,最大的指數(shù)趨于0.8238大于零說明車輛系統(tǒng)在該速度下確實(shí)已處于混沌運(yùn)