2021年高考數(shù)學(xué)的多選題附答案

一、函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)多選題1．已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)a，使得，則a的個(gè)數(shù)不是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】ABD【分析】令，即滿(mǎn)足，對(duì)t進(jìn)行分類(lèi)討論，結(jié)合已知函數(shù)解析式代入即可求得滿(mǎn)足題意的t，進(jìn)而求得a.【詳解】令，即滿(mǎn)足，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與有交點(diǎn)，結(jié)合圖像由圖可知，有兩個(gè)根或（1）當(dāng)，即，由，得時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)均滿(mǎn)足題意；（2）當(dāng)，即，當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，，解得：；綜上所述：共有4個(gè)a．故選：ABD．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解2．已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）有唯一零點(diǎn)，則的值可以為（）A．1 B． C．2 D．【答案】BC【分析】由已知，換元令，可得，從而為偶函數(shù)，圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，結(jié)合函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性分析可得結(jié)論.【詳解】∵，令，則，定義域?yàn)椋?，故函?shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，要使得函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則，即，解得或①當(dāng)時(shí)，由基本不等式有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得故，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)故此時(shí)有唯一零點(diǎn)②當(dāng)時(shí)，，同理滿(mǎn)足題意.故選：BC．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：①函數(shù)軸對(duì)稱(chēng)：如果一個(gè)函數(shù)的圖像沿一條直線對(duì)折，直線兩側(cè)的圖像能夠完全重合，則稱(chēng)該函數(shù)具備對(duì)稱(chēng)性中的軸對(duì)稱(chēng)，該直線稱(chēng)為該函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸.②的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)3．函數(shù)，以下四個(gè)結(jié)論正確的是（）A．的值域是B．對(duì)任意，都有C．若規(guī)定，則對(duì)任意的D．對(duì)任意的，若函數(shù)恒成立，則當(dāng)時(shí)，或【答案】ABC【分析】由函數(shù)解析式可得函數(shù)圖象即可知其值域、單調(diào)性；根據(jù)C中的描述結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法可推得結(jié)論成立；由函數(shù)不等式恒成立，利用變換主元法、一元二次不等式的解法即可求參數(shù)范圍.【詳解】由函數(shù)解析式可得，有如下函數(shù)圖象：∴的值域是，且單調(diào)遞增即(利用單調(diào)性定義結(jié)合奇偶性也可說(shuō)明)，即有AB正確；對(duì)于C，有，若，∴當(dāng)時(shí)，，故有.正確.對(duì)于D，上，若函數(shù)恒成立，即有，恒成立，令，即上，∴時(shí)，，有或（舍去）；時(shí)，故恒成立；時(shí)，，有或（舍去）；綜上，有或或；錯(cuò)誤.故選：ABC【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1、對(duì)于簡(jiǎn)單的分式型函數(shù)式畫(huà)出函數(shù)圖象草圖判斷其值域、單調(diào)性.2、數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)結(jié)論成立，若時(shí)結(jié)論也成立，證明時(shí)結(jié)論成立即可.3、利用函數(shù)不等式恒成立，綜合變換主元法、一次函數(shù)性質(zhì)、一元二次不等式解法求參數(shù)范圍.4．下列命題正確的有（）A．已知且，則B．，則C．的極大值和極小值的和為D．過(guò)的直線與函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn)，則該直線斜率的取值范圍是【答案】ACD【分析】由等式關(guān)系、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求的范圍；利用指對(duì)數(shù)互化，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法求；利用導(dǎo)數(shù)確定零點(diǎn)關(guān)系，結(jié)合原函數(shù)式計(jì)算極值之和即可；由直線與有三個(gè)交點(diǎn)，即可知有兩個(gè)零點(diǎn)且不是其零點(diǎn)即可求斜率范圍.【詳解】A選項(xiàng)，由條件知且，所以，即；B選項(xiàng)，有，，而；C選項(xiàng)，中且開(kāi)口向上，所以存在兩個(gè)零點(diǎn)且、，即為兩個(gè)極值點(diǎn)，所以；D選項(xiàng)，令直線為與有三個(gè)交點(diǎn)，即有三個(gè)零點(diǎn)，所以有兩個(gè)零點(diǎn)即可∴，解得故選：ACD【點(diǎn)睛】本題考查了指對(duì)數(shù)的運(yùn)算及指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)研究極值，由函數(shù)交點(diǎn)情況求參數(shù)范圍，屬于難題.5．已知函數(shù)，方程在區(qū)間()上的所有根的和為，則（）A． B．C． D．【答案】BC【分析】先推導(dǎo)出在上的解析式，然后畫(huà)出與的圖象，得出時(shí)，所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后得出.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，則，故，即時(shí)，，同理當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，則；………故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以，故B正確；作出與的圖象如圖所示，則當(dāng)且時(shí)，的值分別為：則，故C正確.故選：BC.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)綜合問(wèn)題，難度較大，推出原函數(shù)在每一段上的解析式并找到其規(guī)律是關(guān)鍵.6．已知函數(shù)，當(dāng)實(shí)數(shù)取確定的某個(gè)值時(shí)，方程的根的個(gè)數(shù)可以是（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．4個(gè)【答案】ABC【分析】令，畫(huà)出，結(jié)合的解的情況可得正確的選項(xiàng).【詳解】，故當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，而且當(dāng)時(shí)，恒成立，故的圖象如圖所示：考慮方程的解的情況.，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程有兩個(gè)不等的正根，因?yàn)?，故，，由圖象可知方程的解的個(gè)數(shù)為2，方程的解的個(gè)數(shù)為0，故方程的根的個(gè)數(shù)是2.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程有兩個(gè)相等的正根，由圖象可知方程的解的個(gè)數(shù)為1，故方程的根的個(gè)數(shù)是1.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程無(wú)解，故方程的根的個(gè)數(shù)是0.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程有兩個(gè)相等的負(fù)根，由圖象可知方程的解的個(gè)數(shù)為1，故方程的根的個(gè)數(shù)是1.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程有兩個(gè)不等的負(fù)根，由圖象可知方程的解的個(gè)數(shù)為1，方程的解的個(gè)數(shù)為1，故方程的根的個(gè)數(shù)是2.故選：ABC．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合方程的解，此類(lèi)問(wèn)題，一般用換元法來(lái)考慮，其中不含的參數(shù)的函數(shù)的圖象應(yīng)利用導(dǎo)數(shù)來(lái)刻畫(huà)，本題屬于難題．7．已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（）A．是周期為2的函數(shù)B．C．的值域?yàn)閇-1，1]D．的圖象與曲線在上有4個(gè)交點(diǎn)【答案】BCD【分析】對(duì)于A，由為R上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，得，則是周期為4的周期函數(shù)，可判斷A；對(duì)于B，由是周期為4的周期函數(shù)，則，，可判斷B．對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，有，又由為R上的奇函數(shù)，則時(shí)，，可判斷C．對(duì)于D，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法求出單調(diào)區(qū)間，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，即可判斷D．【詳解】根據(jù)題意，對(duì)于A，為R上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，即則是周期為4的周期函數(shù)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，則，是周期為4的周期函數(shù)，則；當(dāng)時(shí)，，則，則，則；故B正確．對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有，又由為R上的奇函數(shù)，則時(shí)，，，函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)的值域．故C正確．對(duì)于D，，且時(shí)，，，，，是奇函數(shù)，，的周期為，，，，設(shè)，當(dāng)，，設(shè)在恒成立，在單調(diào)遞減，即在單調(diào)遞減，且，存在，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，，所以在有唯一零點(diǎn)，在沒(méi)有零點(diǎn)，即，的圖象與曲線有1個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，則，，則，所以在上單調(diào)遞增，且，所以存在唯一的，使得，所以，，在單調(diào)遞減，，，在單調(diào)遞增，又，所以，又，所以在上有一個(gè)唯一的零點(diǎn)，在上有唯一的零點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，的圖象與曲線有2個(gè)交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，同，的圖象與曲線有1個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)，的圖象與曲線沒(méi)有交點(diǎn)，所以的圖象與曲線在上有4個(gè)交點(diǎn)，故D正確；故選：BCD．【點(diǎn)睛】本題考查抽象函數(shù)的奇偶性、周期性、兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)，屬于較難題.8．定義：若函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，則稱(chēng)區(qū)間是函數(shù)的“完美區(qū)間”，另外，定義區(qū)間的“復(fù)區(qū)間長(zhǎng)度”為，已知函數(shù)，則（）A．是的一個(gè)“完美區(qū)間”B．是的一個(gè)“完美區(qū)間”C．的所有“完美區(qū)間”的“復(fù)區(qū)間長(zhǎng)度”的和為D．的所有“完美區(qū)間”的“復(fù)區(qū)間長(zhǎng)度”的和為【答案】AC【分析】根據(jù)定義，當(dāng)時(shí)求得的值域，即可判斷A；對(duì)于B，結(jié)合函數(shù)值域特點(diǎn)即可判斷；對(duì)于C、D，討論與兩種情況，分別結(jié)合定義求得“復(fù)區(qū)間長(zhǎng)度”，即可判斷選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，則其值域?yàn)?，滿(mǎn)足定義域與值域的范圍相同，因而滿(mǎn)足“完美區(qū)間”定義，所以A正確；對(duì)于B，因?yàn)楹瘮?shù)，所以其值域?yàn)?，而，所以不存在定義域與值域范圍相同情況，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由定義域?yàn)椋芍?，?dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，則滿(mǎn)足，化簡(jiǎn)可得，即，所以或，解得（舍）或，由解得或（舍），所以，經(jīng)檢驗(yàn)滿(mǎn)足原方程組，所以此時(shí)完美區(qū)間為，則“復(fù)區(qū)間長(zhǎng)度”為；當(dāng)時(shí)，①若，則，此時(shí).當(dāng)在的值域?yàn)椋瑒t，因?yàn)?，所以，即滿(mǎn)足，解得，（舍）.所以此時(shí)完美區(qū)間為，則“復(fù)區(qū)間長(zhǎng)度”為；②若，則，，此時(shí)在內(nèi)單調(diào)遞增，若的值域?yàn)?，則，則為方程的兩個(gè)不等式實(shí)數(shù)根，解得，，所以，與矛盾，所以此時(shí)不存在完美區(qū)間.綜上可知，函數(shù)的“復(fù)區(qū)間長(zhǎng)度”的和為，所以C正確，D錯(cuò)誤；故選：AC.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)新定義的綜合應(yīng)用，由函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)的值域，函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，分類(lèi)討論思想的綜合應(yīng)用，屬于難題.9．已知，則關(guān)于的方程，下列正確的是（）A．存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有1個(gè)不同的實(shí)數(shù)解；B．存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解；C．存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解；D．存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)解；【答案】ACD【分析】令，根據(jù)判別式確定方程根的個(gè)數(shù)，作出的大致圖象，根據(jù)根的取值，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】令，則關(guān)于的方程，可得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程僅有一個(gè)根；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程有兩個(gè)根，且，此時(shí)至少有一個(gè)正根；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程無(wú)根；作出的大致圖象，如下：當(dāng)時(shí)，此時(shí)，由圖可知，有個(gè)不同的交點(diǎn)，C正確；當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程有兩個(gè)根，且，此時(shí)至少有一個(gè)正根，當(dāng)、，且時(shí)，，有個(gè)不同的交點(diǎn)，D正確；當(dāng)方程有兩個(gè)根，一個(gè)大于1，另一個(gè)小于0，此時(shí)，僅有個(gè)交點(diǎn)，故A正確；當(dāng)方程有兩個(gè)根，一個(gè)等于1，另一個(gè)等于0，，有個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程無(wú)根.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了根的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，解題的關(guān)鍵是利用換元法將方程化為，根據(jù)方程根的分布求解，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，分類(lèi)討論的思想.10．已知正數(shù)，滿(mǎn)足，則（）A． B．C． D．【答案】AC【分析】令，根據(jù)指對(duì)互化和換底公式得：，再依次討論各選項(xiàng)即可.【詳解】由題意，可令，由指對(duì)互化得：，由換底公式得：，則有，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)A，，所以，又，所以，所以，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)C?D，因?yàn)?，所以，所以，所以，則，則，所以選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：AC.【點(diǎn)睛】本題考查指對(duì)數(shù)的運(yùn)算，換底公式，作差法比較大小等，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于令，進(jìn)而得，再根據(jù)題意求解.二、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用多選題11．已知偶函數(shù)對(duì)于任意的滿(mǎn)足（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式中不成立的是（）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和對(duì)稱(chēng)性可知為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，即可得，從而可判斷ABD選項(xiàng)，由可判斷C選項(xiàng).【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)對(duì)于任意的滿(mǎn)足，所以構(gòu)造函數(shù)，則，∴為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，，，，由函數(shù)單調(diào)性可知，即，對(duì)于AB，，故AB錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，即，故D正確；故選：ABC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是利用已知條件構(gòu)造對(duì)應(yīng)的新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而比較大小，考查學(xué)生的邏輯推理能力與轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.12．關(guān)于函數(shù)，，下列說(shuō)法正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，在處的切線方程為；B．當(dāng)時(shí)，存在唯一極小值點(diǎn)，且；C．對(duì)任意，在上均存在零點(diǎn)；D．存在，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).【答案】ABD【分析】當(dāng)時(shí)，，求出，得到在處的切線的點(diǎn)斜式方程，即可判斷選項(xiàng)A；求出的解，確定單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，以及極值范圍，可判斷選項(xiàng)B；令，當(dāng)時(shí)，分離參數(shù)可得，設(shè)，求出的極值最值，即可判斷選項(xiàng)C，D的真假.【詳解】A.當(dāng)時(shí)，，所以，，，所以在處的切線方程為，故正確；B.因?yàn)?，所以單調(diào)遞增，又，，又，即，則，所以存在，使得，即，則在上，在上，，所以存在唯一極小值點(diǎn)，因?yàn)?，，所以，，故正確；C.令，當(dāng)時(shí)，可得，設(shè)，則，令，解得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)，時(shí)，取得極小值，即取得極小值，又，因?yàn)樵谏?，遞減，所以，所以當(dāng)，時(shí)，取得極大值，即取得極大值，又，所以，所以時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，在上不存在零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；D.當(dāng)，即時(shí)，與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，所以存在，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故D正確；故選：ABD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，一方面用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助零點(diǎn)存在性定理判斷；另一方面，也可將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合來(lái)解決．13．已知，則下列正確的是（）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】構(gòu)造函數(shù)證明其在單調(diào)遞減，即可得即可判斷選項(xiàng)A；作出和的函數(shù)圖象可判斷選項(xiàng)B；作出，的圖象可判斷選項(xiàng)C；構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷其在上的單調(diào)性即可判斷選項(xiàng)D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，所以，令，，在單調(diào)遞減，所以，即，所以即，可得，故A正確，對(duì)于選項(xiàng)B：由圖象可得，恒成立，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：要證，令，，是奇函數(shù)，，是偶函數(shù)，令，則，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增，而單調(diào)遞增，由符合函數(shù)的單調(diào)性可知在單調(diào)遞增，其函數(shù)圖象如圖所示：由圖知當(dāng)時(shí)恒成立，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：令，，，所以在單調(diào)遞減，所以，即，可得，故選項(xiàng)D不正確.故選：ABC【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：證明不等式恒成立（或能成立）一般可對(duì)不等式變形，分離參數(shù)，根據(jù)分離參數(shù)后的結(jié)果，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的最值，進(jìn)而可求出結(jié)果；有時(shí)也可根據(jù)不等式，直接構(gòu)成函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法，利用分類(lèi)討論求函數(shù)的最值，即可得出結(jié)果.14．下列說(shuō)法正確的是（）A．函數(shù)的最大值是B．函數(shù)的值域?yàn)镃．函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是D．函數(shù)的最大值為，最小值為，若，則【答案】ACD【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)解析式為，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)的正誤；令，可得，利用導(dǎo)數(shù)法可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可判斷C選項(xiàng)的正誤；計(jì)算出，利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】A選項(xiàng)，，又可得：，則當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最大值，A對(duì)；B選項(xiàng)，，設(shè)，則，則，，，，，令，，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，所以，函數(shù)的值域?yàn)?，B錯(cuò)；C選項(xiàng)，在區(qū)間上是增函數(shù)，，即，令，，即，，令，則，在遞減，，C對(duì)；D選項(xiàng)，，所以，，，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以，，可得，D對(duì).故選：ACD.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，可按照以下原則進(jìn)行：（1）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增在區(qū)間上恒成立；（2）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減在區(qū)間上恒成立；（3）函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)在區(qū)間上存在異號(hào)零點(diǎn)；（4）函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，使得成立；（5）函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間，使得成立.15．阿基米德是偉大的物理學(xué)家，更是偉大的數(shù)學(xué)家，他曾經(jīng)對(duì)高中教材中的拋物線做過(guò)系統(tǒng)而深入的研究，定義了拋物線阿基米德三角形：拋物線的弦與弦的端點(diǎn)處的兩條切線圍成的三角形稱(chēng)為拋物線阿基米德三角形.設(shè)拋物線：上兩個(gè)不同點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，，以為切點(diǎn)的切線交于點(diǎn).則關(guān)于阿基米德三角形的說(shuō)法正確的有（）A．若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，則點(diǎn)一定在拋物線的準(zhǔn)線上B．若阿基米德三角形為正三角形，則其面積為C．若阿基米德三角形為直角三角形，則其面積有最小值D．一般情況下，阿基米德三角形的面積【答案】ABC【分析】設(shè)出直線的斜截式方程、點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的方程，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，將直線的方程和拋物線方程聯(lián)立，得到一元二次方程以及該方程兩根的和、積的關(guān)系.A：把拋物線焦點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的斜截式方程中，根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程進(jìn)行判斷即可；B：根據(jù)正三角形的性質(zhì)，結(jié)合正三角形的面積公式進(jìn)行判斷即可；C：根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合直角三角形的面積公式進(jìn)行判斷即可；D：根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式、兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解判斷即可..【詳解】由題意可知：直線一定存在斜率，所以設(shè)直線的方程為：，由題意可知：點(diǎn)，不妨設(shè)，由，所以直線切線的方程分別為：，兩方程聯(lián)立得：，解得：，所以點(diǎn)坐標(biāo)為：，直線的方程與拋物線方程聯(lián)立得：.A：拋物線：的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)檫^(guò)拋物線的焦點(diǎn)，所以，而，顯然點(diǎn)一定在拋物線的準(zhǔn)線上，故本選項(xiàng)說(shuō)法正確；B：因?yàn)榘⒒椎氯切螢檎切?，所以有，即，因?yàn)?，所以化?jiǎn)得：，此時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為：，因?yàn)榘⒒椎氯切螢檎切?，所以有，所以，因此正三角形的邊長(zhǎng)為，所以正三角形的面積為，故本選項(xiàng)說(shuō)法正確；C：阿基米德三角形為直角三角形，當(dāng)時(shí)，所以，直線的方程為：所以點(diǎn)坐標(biāo)為：，點(diǎn)到直線的距離為：，，因?yàn)椋?，因此直角的面積為：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，顯然其面積有最小值，故本說(shuō)法正確；D：因?yàn)?，所以，點(diǎn)到直線的距離為：所以阿基米德三角形的面積，故本選項(xiàng)說(shuō)法不正確.故選：ABC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵就是一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的整體代換應(yīng)用，本題重點(diǎn)考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的應(yīng)用.16．設(shè)函數(shù)，下列條件中，使得有且僅有一個(gè)零點(diǎn)的是（）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】求導(dǎo)，分和進(jìn)行討論，當(dāng)時(shí)，可知函數(shù)單調(diào)遞增，有且只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性，要使函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，則需比較函數(shù)的極大值與極小值與0的關(guān)系，再驗(yàn)證選項(xiàng)即可得解.【詳解】，求導(dǎo)得當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；由零點(diǎn)存在性定理知，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故A，C滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，令，即，解得，當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：極大值極小值故當(dāng)，函數(shù)取得極大值，當(dāng)，函數(shù)取得極小值又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；要使函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，作草圖或則需，即，即，B選項(xiàng)，，滿(mǎn)足上式，故B符合題意；則需，即，即，D選項(xiàng)，，不一定滿(mǎn)足，故D不符合題意；故選：ABC【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得，這個(gè)c也就是方程的根，考查學(xué)生的邏輯推理與運(yùn)算能力，屬于較難題.17．對(duì)于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，若同時(shí)滿(mǎn)足：①；②當(dāng)且時(shí)，都有；③當(dāng)且時(shí)，都有，則稱(chēng)為“偏對(duì)稱(chēng)函數(shù)”.下列函數(shù)是“偏對(duì)稱(chēng)函數(shù)”的是（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】結(jié)合“偏對(duì)稱(chēng)函數(shù)”的性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)的方法，分別討論四個(gè)函數(shù)是否滿(mǎn)足三個(gè)條件，即可得到所求結(jié)論．【詳解】條件①；由選項(xiàng)可得：，，，，即ABCD都符合；條件②，或；即條件②等價(jià)于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；對(duì)于，則，由可得，，即函數(shù)單調(diào)遞增；由可得，，即函數(shù)單調(diào)遞減；滿(mǎn)足條件②；對(duì)于，則顯然恒成立，所以在定義域上單調(diào)遞增，不滿(mǎn)足條件②；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，顯然單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，顯然單調(diào)遞增；滿(mǎn)足條件②；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，顯然單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，顯然單調(diào)遞增，滿(mǎn)足條件②；因此ACD滿(mǎn)足條件②；條件③當(dāng)且時(shí)，，都有，即，對(duì)于，，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，又，所以，則令，，所以在上顯然恒成立，因此在上單調(diào)遞增，所以，即，所以滿(mǎn)足條件③；對(duì)于，，令，，則在上顯然恒成立，所以，則，即滿(mǎn)足條件③；對(duì)于，，令，，則在上顯然恒成立，所以，則，即滿(mǎn)足條件③；綜上，ACD選項(xiàng)是“偏對(duì)稱(chēng)函數(shù)”，故選：ACD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解此類(lèi)函數(shù)新定義問(wèn)題時(shí)，需要結(jié)合函數(shù)新定義的概念及性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)基本性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)的方法，通過(guò)研究函數(shù)單調(diào)性，值域等，逐項(xiàng)判斷，即可求解.（有時(shí)也需要構(gòu)造新的函數(shù)，進(jìn)行求解.）18．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．函數(shù)是偶函數(shù)，且在上不單調(diào)B．函數(shù)是奇函數(shù)，且在上不單調(diào)遞增C．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．對(duì)任意，都有，且【答案】AD【分析】由函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的單調(diào)性即可判斷A、B、C、D.【詳解】解：對(duì)A，，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，，是偶函數(shù)，其圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，在上不單調(diào)，故A正確；對(duì)B，，，是奇函數(shù)，令，則，在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，，且在上單調(diào)遞增，又，時(shí)，，在上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，，且，故D正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或判斷函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意如下幾方面：(1)在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先要確定函數(shù)的定義域；(2)不能隨意將函數(shù)的2個(gè)獨(dú)立的單調(diào)遞增（或遞減）區(qū)間寫(xiě)成并集形式；(3)利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題時(shí)，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題，解題過(guò)程中要注意分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.19．下列命題正確的有（）A．已知且，則B．，則C．的極大值和極小值的和為D．過(guò)的直線與函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn)，則該直線斜率的取值范圍是【答案】ACD【分析】由等式關(guān)系、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求的范圍；利用指對(duì)數(shù)互化，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法求；利用導(dǎo)數(shù)確定零點(diǎn)關(guān)系，結(jié)合原函數(shù)式計(jì)算極值之和即可；由直線與有三個(gè)交點(diǎn)，即可知有兩個(gè)零點(diǎn)且不是其零點(diǎn)即可求斜率范圍.【詳解】A選項(xiàng)，由條件知且，所以，即；B選項(xiàng)，有，，而；C選項(xiàng)，中且開(kāi)口向上，所以存在兩個(gè)零點(diǎn)且、，即為兩個(gè)極值點(diǎn)，所以；D選項(xiàng)，令直線為與有三個(gè)交點(diǎn)，即有三個(gè)零點(diǎn)，所以有兩個(gè)零點(diǎn)即可∴，解得故選：ACD【點(diǎn)睛】本題考查了指對(duì)數(shù)的運(yùn)算及指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)研究極值，由函數(shù)交點(diǎn)情況求參數(shù)范圍，屬于難題.20．已知函數(shù)，下列是關(guān)于函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，其中正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn) B．當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)C．當(dāng)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn) D．當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)【答案】CD【分析】令y＝0得，利用換元法將函數(shù)分解為f（x）＝t和f（t）＝﹣1，作出函數(shù)f（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．【詳解】令，得，設(shè)f（x）＝t，則方程等價(jià)為f（t）＝﹣1，①若k＞0，作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：∵f（t）＝﹣1，∴此時(shí)方程f（t）＝﹣1有兩個(gè)根其中t2＜0，0＜t1＜1，由f（x）＝t2＜0，此時(shí)x有兩解，由f（x）＝t1∈（0，1）知此時(shí)x有兩解，此時(shí)共有4個(gè)解，即函數(shù)y＝f[f（x）]+1有4個(gè)零點(diǎn)．②若k＜0，作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：∵f（t）＝﹣1，∴此時(shí)方程f（t）＝﹣1有一個(gè)根t1，其中0＜t1＜1，由f（x）＝t1∈（0，1），此時(shí)x只有1個(gè)解，即函數(shù)y＝f[f（x）]+1有1個(gè)零點(diǎn)．故選：CD．【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)的判斷，利用換元法和數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，屬于難題．三、三角函數(shù)與解三角形多選題21．在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且，，有以下四個(gè)命題中正確的是（）A．滿(mǎn)足條件的不可能是直角三角形B．面積的最大值為C．當(dāng)A=2C時(shí)，的周長(zhǎng)為D．當(dāng)A=2C時(shí)，若O為的內(nèi)心，則的面積為【答案】BCD【分析】對(duì)于A，利用勾股定理的逆定理判斷；對(duì)于B，利用圓的方程和三角形的面積公式可得答案；對(duì)于C，利用正弦定理和三角函數(shù)恒等變形公式可得答案對(duì)于D，由已知條件可得為直角三角形，從而可求出三角形的內(nèi)切圓半徑，從而可得的面積【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼?，，若是直角三角形的斜邊，則有，即，得，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，所以點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，所以面積的最大值為，所以B正確；對(duì)于C，由A=2C，可得，由得，由正弦定理得，，即，所以，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以化?jiǎn)得，因?yàn)?，所以，所以，則，所以，所以，，，因?yàn)?，所以，所以的周長(zhǎng)為，所以C正確；對(duì)于D，由C可知，為直角三角形，且，，，，所以的內(nèi)切圓半徑為，所以的面積為所以D正確，故選：BCD【點(diǎn)睛】此題考查三角形的正弦定理和面積公式的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的恒等變換，考查轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力，屬于難題.22．在中，下列說(shuō)法正確的是（）A．若，則B．存在滿(mǎn)足C．若，則為鈍角三角形D．若，則【答案】ACD【分析】A項(xiàng)，根據(jù)大角對(duì)大邊定理和正弦定理可判斷；B項(xiàng)，由和余弦函數(shù)在遞減可判斷；C項(xiàng)，顯然，分和兩種情況討論，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷；D項(xiàng)，根據(jù)和正弦函數(shù)的單調(diào)性得出和，再由放縮法可判斷.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，若，則，則，即，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由，則，且，在上遞減，于是，即，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤﹔對(duì)于C選項(xiàng)，由，得，在上遞減，此時(shí)：若，則，則，于是；若，則，則，于是，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，由，則，則，在遞增，于是，即，同理，此時(shí)，所以D選項(xiàng)正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：正余弦函數(shù)的單調(diào)性，正弦定理的邊角互化，大邊對(duì)大角定理以及大角對(duì)大邊定理，不等式的放縮等等，綜合使用以上知識(shí)點(diǎn)是解決此類(lèi)題的關(guān)鍵.23．如圖，的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，．若，且，是外一點(diǎn)，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A．是等邊三角形B．若，則，，，四點(diǎn)共圓C．四邊形面積最大值為D．四邊形面積最小值為【答案】AC【分析】利用三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)已知等式可求，再利用，可知為等邊三角形，從而判斷；利用四點(diǎn)，，，共圓，四邊形對(duì)角互補(bǔ)，從而判斷；設(shè)，，在中，由余弦定理可得，利用三角形的面積公式，三角函數(shù)恒等變換的，可求，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，求出最值，判斷．【詳解】由正弦定理，得，，，B是等腰的底角，，是等邊三角形，A正確；B不正確：若四點(diǎn)共圓，則四邊形對(duì)角互補(bǔ)，由A正確知，但由于時(shí)，，∴B不正確．C正確，D不正確：設(shè)，則，，，，，，，，∴C正確，D不正確；故選：AC.．【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理，余弦定理，三角函數(shù)恒等變換，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．24．已知θ，且sinθ+cosθ＝a，其中a∈（0，1），則關(guān)于tanθ的值，在以下四個(gè)答案中，可能正確的是（）A．﹣3 B． C． D．【答案】CD【分析】先由已知條件判斷，，得到，對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)得到正確答案.【詳解】∵sinθ+cosθ＝a，其中a∈（0，1），∴兩邊平方得：1+2，∴，∵，∴可得，，∴，又sinθ+cosθ＝a，所以cosθ＞﹣sinθ，所以所以，所以tanθ的值可能是，．故選：CD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求出的取值范圍是本題解題關(guān)鍵．25．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則下列關(guān)于函數(shù)的說(shuō)法中正確的是（）A．函數(shù)最靠近原點(diǎn)的零點(diǎn)為B．函數(shù)的圖像在軸上的截距為C．函數(shù)是偶函數(shù)D．函數(shù)在上單調(diào)遞增【答案】ABC【分析】首先根據(jù)圖象求函數(shù)的解析式，利用零點(diǎn)，以及函數(shù)的性質(zhì)，整體代入的方法判斷選項(xiàng).【詳解】根據(jù)函數(shù)的部分圖像知，，設(shè)的最小正周期為，則，∴，．∵，且，∴，故．令，得，，即，，因此函數(shù)最靠近原點(diǎn)的零點(diǎn)為，故A正確；由，因此函數(shù)的圖像在軸上的截距為，故B正確；由，因此函數(shù)是偶函數(shù)，故C正確；令，，得，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故D不正確．故選：ABC．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查的解析式和性質(zhì)的判斷，可以整體代入驗(yàn)證的方法判斷函數(shù)性質(zhì)：（1）對(duì)于函數(shù)，其對(duì)稱(chēng)軸一定經(jīng)過(guò)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)一定是函數(shù)的零點(diǎn)，因此判斷直線或點(diǎn)是否是函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸和對(duì)稱(chēng)中心時(shí)，可通過(guò)驗(yàn)證的值進(jìn)行判斷；（2）判斷某區(qū)間是否是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，也可以求的范圍，驗(yàn)證此區(qū)間是否是函數(shù)的增或減區(qū)間.26．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，則下列說(shuō)法正確的是（）A．B．是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心C．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．函數(shù)在上的值域是【答案】BC【分析】首先求得函數(shù)，再根據(jù)選項(xiàng)，整體代入，判斷函數(shù)的性質(zhì).【詳解】，，故A錯(cuò)誤；，故B正確；時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C正確；時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值-1，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，所以函數(shù)的值域是.故選：BC【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查的解析式和性質(zhì)的判斷，可以整體代入驗(yàn)證的方法判斷函數(shù)性質(zhì)：（1）對(duì)于函數(shù)，其對(duì)稱(chēng)軸一定經(jīng)過(guò)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)一定是函數(shù)的零點(diǎn)，因此判斷直線或點(diǎn)是否是函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸和對(duì)稱(chēng)中心時(shí)，可通過(guò)驗(yàn)證的值進(jìn)行判斷；（2）判斷某區(qū)間是否是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，也可以求的范圍，驗(yàn)證此區(qū)間是否是函數(shù)的增或減區(qū)間.27．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（）A．函數(shù)的周期為B．函數(shù)在單調(diào)遞減C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)D．該圖象向右平移個(gè)單位可得的圖象【答案】ACD【分析】先根據(jù)圖像求出的解析式，再分別驗(yàn)證A、B、C、D是否正確.對(duì)于A：利用周期公式求周期；對(duì)于B：利用復(fù)合函數(shù)“同增異減”求單調(diào)區(qū)間；對(duì)于C：計(jì)算，看是否經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)；對(duì)于D：利用“左加右減”判斷.【詳解】由圖像可知：A=2，周期；由解得：故函數(shù)對(duì)于A：，故A正確；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，所以在上不單調(diào).故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，即直線是的一條對(duì)稱(chēng)軸.故C正確；對(duì)于D：向右平移個(gè)單位得到，故D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】求三角函數(shù)解析式的方法：(1)求A通常用最大值或最小值；(2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函數(shù)上的點(diǎn)帶入即可求解.28．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)B．在區(qū)間上單調(diào)遞減C．在上有且僅有個(gè)最小值點(diǎn)D．的值域?yàn)椤敬鸢浮緽C【分析】利用特殊值法可判斷A選項(xiàng)的正誤；化簡(jiǎn)函數(shù)在區(qū)間上的解析式，利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷B選項(xiàng)的正誤；由可得的周期為，再在上討論函數(shù)的單調(diào)性、最值，可判斷CD選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)椋?，所以，所以的圖象不關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，所以為函數(shù)的周期.當(dāng)時(shí)，，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，，；由B選項(xiàng)可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，.所以，函數(shù)在上有且只有個(gè)最小值點(diǎn)，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)可知，函數(shù)的值域?yàn)?，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求函數(shù)在區(qū)間上值域的一般步驟：第一步：三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，一般化成形如的形式或的形式；第二步：由的取值范圍確定的取值范圍，再確定（或)的取值范圍；第三步：求出所求函數(shù)的值域（或最值）.29．已知函數(shù)，現(xiàn)給出下列四個(gè)命題，其中正確的是（）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)的最大值為C．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的函數(shù)解析式為【答案】BD【分析】首先利用三角恒等變形化簡(jiǎn)函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)依次判斷選項(xiàng)，AB選項(xiàng)根據(jù)解析式直接判斷，C選項(xiàng)可以先求的范圍，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，D選項(xiàng)根據(jù)平移規(guī)律直接求解平移后的解析式.【詳解】，函數(shù)的周期，故A不正確；B.函數(shù)的最大值是，故B正確；C.時(shí)，，當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，即時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，故C不正確；D.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，故D正確.故選：BD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查的解析式和性質(zhì)的判斷，可以整體代入驗(yàn)證的方法判斷函數(shù)性質(zhì)：（1）對(duì)于函數(shù)，其對(duì)稱(chēng)軸一定經(jīng)過(guò)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)一定是函數(shù)的零點(diǎn)，因此判斷直線或點(diǎn)是否是函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸和對(duì)稱(chēng)中心時(shí)，可通過(guò)驗(yàn)證的值進(jìn)行判斷；（2）判斷某區(qū)間是否是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，也可以求的范圍，驗(yàn)證此區(qū)間是否是函數(shù)的增或減區(qū)間.30．已知函數(shù)，為奇函數(shù)，則下述四個(gè)結(jié)論中說(shuō)法正確的是（）A．B．在上存在零點(diǎn)，則的最小值為C．在上單調(diào)遞增D．的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位得到【答案】ABC【分析】首先得到的解析式，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出參數(shù)，最后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)一一驗(yàn)證即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則，即，所以，，因?yàn)椋?；?duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，令，得，，若在上存在零點(diǎn)，則且a的最小值為，故B正確；對(duì)于C，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，故C正確.對(duì)于D，因?yàn)?，，根?jù)“左加右減”，的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位得到，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是先根據(jù)為奇函數(shù)，確定參數(shù)的值，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.四、數(shù)列多選題31．在數(shù)學(xué)課堂上，教師引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造新數(shù)列：在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列.將數(shù)列1,2進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1,3,2；第2次得到數(shù)列1,4,3,5,2；…；第次得到數(shù)列1，，2；…記，數(shù)列的前項(xiàng)為，則（）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)數(shù)列的構(gòu)造方法先寫(xiě)出前面幾次數(shù)列的結(jié)果，尋找規(guī)律，再進(jìn)行推理運(yùn)算即可.【詳解】由題意可知，第1次得到數(shù)列1,3,2，此時(shí)第2次得到數(shù)列1,4,3,5,2，此時(shí)第3次得到數(shù)列1,5,4,7,3,8,5,7,2，此時(shí)第4次得到數(shù)列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此時(shí)第次得到數(shù)列1，，2此時(shí)所以，故A項(xiàng)正確；結(jié)合A項(xiàng)中列出的數(shù)列可得：用等比數(shù)列求和可得則又所以，故B項(xiàng)正確；由B項(xiàng)分析可知即，故C項(xiàng)錯(cuò)誤.，故D項(xiàng)正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題需要根據(jù)數(shù)列的構(gòu)造方法先寫(xiě)出前面幾次數(shù)列的結(jié)果，尋找規(guī)律，對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題，著名數(shù)學(xué)家華羅庚指出:善于“退”，足夠的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅.所以對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題我們應(yīng)該先足夠的退到我們最容易看清楚的地方,認(rèn)透了,鉆深了,然后再上去，這就是以退為進(jìn)的思想.32．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，.則下列選項(xiàng)正確的為（）A．B．?dāng)?shù)列是以2為公比的等比數(shù)列C．對(duì)于任意的，D．的最小正整數(shù)n的值為15【答案】ABD【分析】根據(jù)題設(shè)的遞推關(guān)系可得，從而可得，由此可得的通項(xiàng)和的通項(xiàng)，從而可逐項(xiàng)判斷正誤.【詳解】由題設(shè)可得，因?yàn)椋?，故，所以，所以，所以，因?yàn)?，故，所以，所以為等比?shù)列，所以即，故，故A對(duì)，C錯(cuò).又，故，所以，即是以2為公比的等比數(shù)列，故B正確.，，故的最小正整數(shù)n的值為15，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：題設(shè)中給出的是混合遞推關(guān)系，因此需要考慮奇數(shù)項(xiàng)的遞推關(guān)系和偶數(shù)項(xiàng)的遞推關(guān)系，另外討論D是否成立時(shí)注意先考慮的值.33．已知數(shù)列滿(mǎn)足，，，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B．C． D．【答案】CD【分析】根據(jù)數(shù)列滿(mǎn)足，，得到，兩式相減得：，然后利用等差數(shù)列的定義求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再逐項(xiàng)判斷.【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿(mǎn)足，，，所以，兩式相減得：，所以奇數(shù)項(xiàng)為1，3，5，7，….的等差數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)為2，4，6，8，10，….的等差數(shù)列；所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是，A.令時(shí)，，而，故錯(cuò)誤；B.令時(shí)，，而，故錯(cuò)誤；C.當(dāng)時(shí)，，而，成立，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以，故正確；D.因?yàn)?，令，因?yàn)?，所以得到遞增，所以，故正確；故選：CD【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的定義，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式以及數(shù)列的單調(diào)性和放縮法的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化求解問(wèn)題的能力，屬于較難題.34．設(shè)是公差為的無(wú)窮等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列命題正確的是（）A．若，則數(shù)列有最大項(xiàng)B．若數(shù)列有最大項(xiàng)，則C．若對(duì)任意，均有，則數(shù)列是遞增數(shù)列D．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則對(duì)任意，均有【答案】ABC【分析】由等差數(shù)列的求和公式可得，可看作關(guān)于的二次函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證可得.【詳解】由等差數(shù)列的求和公式可得，選項(xiàng)，若，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得數(shù)列有最大項(xiàng)，故正確；選項(xiàng)，若數(shù)列有最大項(xiàng)，則對(duì)應(yīng)拋物線開(kāi)口向下，則有，故正確；選項(xiàng)，若對(duì)任意，均有，對(duì)應(yīng)拋物線開(kāi)口向上，，可得數(shù)列是遞增數(shù)列，故正確；選項(xiàng)，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則對(duì)應(yīng)拋物線開(kāi)口向上，但不一定有任意，均有，故錯(cuò)誤.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的求和公式的應(yīng)用，可看成是二次函數(shù)，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題，考查分析和轉(zhuǎn)化能力，屬于?？碱}.35．下列說(shuō)法正確的是（）A．若為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，則，，，…仍為等差數(shù)列B．若為等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，則，，，仍為等比數(shù)列C．若為等差數(shù)列，，，則前項(xiàng)和有最大值D．若數(shù)列滿(mǎn)足，則【答案】ACD【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義，可判定A正確；當(dāng)時(shí)，取，得到，可判定B錯(cuò)誤；根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可判定C正確；化簡(jiǎn)得到，利用裂項(xiàng)法，可判定D正確.【詳解】對(duì)于A中，設(shè)數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，，，可得，所以，，，?gòu)成等差數(shù)列，故A正確；對(duì)于B中，設(shè)數(shù)列的公比為，當(dāng)時(shí)，取，此時(shí)，此時(shí)不成等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，當(dāng)，時(shí)，等差數(shù)列為遞減數(shù)列，此時(shí)所有正數(shù)項(xiàng)的和為的最大值，故C正確；對(duì)于D中，由，可得，所以或，則，所以，所以.因?yàn)椋?，可得，所以，故D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：由，得到，進(jìn)而得出，結(jié)合“裂項(xiàng)法”求解是解答本題的難點(diǎn)和關(guān)鍵.36．設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則（）A． B．公差C． D．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為【答案】BCD【分析】根據(jù)已知條件求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，即