圖形的放大與縮小位似變換2

圖形的放大與縮小，

位似變換本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容3.5

如何把一個(gè)圖形放大或縮??？通過(guò)下面的觀察和探究，同學(xué)們將學(xué)會(huì)一種簡(jiǎn)單可行的方法．

電影膠片上的圖像與銀幕上的圖像有什么關(guān)系？觀察

我們常見(jiàn)的幻燈機(jī)的燈片上的圖像與銀幕上的圖像是否也有這種關(guān)系？

你還能舉出其他的例子嗎？同學(xué)們互相交流看法.

圖3-46是具有這種關(guān)系的，兩個(gè)圖形有什么關(guān)系？

圖3-46相似.

分別在圖3-46中左、右兩個(gè)小狗的頭頂上取一點(diǎn)A，A′；再分別在狗尾巴尖上取一點(diǎn)B，B′.圖3-46點(diǎn)A，A′與點(diǎn)O在一條直線上嗎？點(diǎn)B，B′與點(diǎn)O在一條直線上嗎？AA′BB′O

分別量出線段OA，OA′，OB，OB′的長(zhǎng)度，計(jì)算(精確到0.1)：

繼續(xù)在左、右兩個(gè)小狗上找出一些對(duì)應(yīng)點(diǎn)，考察每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)是否都與點(diǎn)O在一條直線上；圖3-46

，

.

計(jì)算每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)O的連線段的比，看它們是否與上述

，

相等.動(dòng)腦筋

現(xiàn)在你能發(fā)現(xiàn)圖3-46中右邊的小狗是如何從左邊的小狗畫出來(lái)的嗎？

如何畫出右邊小狗頭頂上的點(diǎn)A′和尾巴尖上的點(diǎn)B′？對(duì)于左邊小狗上每一個(gè)點(diǎn)，如何畫出右邊小狗上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)？

圖3-46

從上述畫右邊小狗的方法以及類似問(wèn)題，我們抽象出下述概念：

取定一點(diǎn)O，把圖形上任意一點(diǎn)P對(duì)應(yīng)到射線OP(或它的反向延長(zhǎng)線)上一點(diǎn)P′，使得線段OP′與OP的比等于常數(shù)k(k>0)，點(diǎn)O對(duì)應(yīng)到它自身，這種變換叫作位似變換；

點(diǎn)O叫作位似中心，常數(shù)k叫作位似比，一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)位似變換得到的圖形叫作與原圖形位似的圖形.從位似變換和位似的圖形的定義立即得出：結(jié)論

兩個(gè)位似的圖形上每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)都與位似中心在一條直線上，并且新圖形與原圖形上對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比．練習(xí)1.在圖3-47中，以點(diǎn)O為位似中心，位似比為2.5，畫出△ABC在這個(gè)位似變換下的像.

圖3-47答：過(guò)OC，OA，OB作射線，分別在射線上取OA′=2.5OA，

OB′=2.5OB，OC′=2.5OC.

連結(jié)，，則△為△ABC在這個(gè)位似變換下的像.2.在圖3-48中，以矩形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)O為位似中心，位似比為0.6，畫出矩形ABCD在這個(gè)位似變換下的像.

圖3-48

利用位似變換可以把一個(gè)圖形放大或縮小.當(dāng)位似比k＞1時(shí)，一個(gè)圖形被放大成原圖形的k倍；當(dāng)位似比k＜1時(shí)，一個(gè)圖形被縮小成原圖形的k倍.舉例例把圖3-49中的五角星放大成原圖形的2倍.

圖3-49解:選取五角星的特征點(diǎn)：五個(gè)角尖點(diǎn)

以五角星的中心O為位似中心，分別作射線圖3-49在這些射線上分別取一個(gè)點(diǎn)，使得連結(jié)則得到的五角星

是原五角星A1A2A3A4A5的2倍.做一做

在圖3-49中，證明：圖3-49證明:∴△OA1A3∽△

圖3-50中，圖形(1)經(jīng)過(guò)什么變換得到圖形(2)？觀察圖形(2)經(jīng)過(guò)哪些變換得到圖形(3)？由此得出：圖3-50圖形(2)與圖形(1)是什么關(guān)系？圖形(3)與圖形(2)是什么關(guān)系？圖形(3)與圖形(1)是什么關(guān)系？答：圖形(2)與圖形(1)相似.答：圖形(3)與圖形(2)相似.答：圖形(3)與圖形(1)相似.圖3-50結(jié)論

圖3-50中圖形(3)與圖形(1)的關(guān)系表明：一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)位似變換和平移、旋轉(zhuǎn)，最后得到的圖形與原圖形相似．

舉出生活中相似的圖形的例子，它們中的一個(gè)能不能從另一個(gè)經(jīng)過(guò)位似變換和平移、旋轉(zhuǎn)或軸反射得到？

1.把圖3-51中的正方形ABCD縮小為原圖形的0.6.練習(xí)答：連結(jié)AC與BD，則AC與BD相交于O，在射線OA，OB，OC，OD上取OA′=0.6OA，

OB′=0.6OB，OC′=0.6OC，OD′=0.6OD.

連結(jié)，則正方形為正方形ABCD在這個(gè)位似變換下的像.圖3-51ABDC2.把圖3-52中的菱形ABCD放大為原圖形的1.5倍．

圖3-52答：連結(jié)AC與BD，則AC與BD相交于O，在射線OA，OB，OC，OD上取OA′=1.5OA，

OB′=1.5OB，OC′=1.5OC，OD′=1.5OD.

連結(jié)，則菱形為菱形ABCD在這個(gè)位似變換下的像.小結(jié)與復(fù)習(xí)

本章的中心內(nèi)容是研究圖形的放大與縮小，即圖形的相似.它的基礎(chǔ)概念是線段的比.

我們著重研究了相似三角形的判定方法和性質(zhì)；相似多邊形的判定方法和性質(zhì).

我們還研究了用位似變換把圖形放大或縮小的方法.圖形的相似在許多實(shí)際問(wèn)題中有重要應(yīng)用.

一、基本概念1.相似的圖形．

直觀上，把一個(gè)圖形放大（或縮?。┑玫降膱D形是與原圖形相似的．2.相似三角形．

三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，且三條邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形叫作相似三角形.相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比叫作相似比．3.相似多邊形．

對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫作相似多邊形.

相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊的比叫作相似比.4.線段的比，成比例線段，黃金分割．

在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫作成比例線段.

如果選用同一長(zhǎng)度單位量得兩條線段PQ，

的長(zhǎng)度分別為m，n，那么把它們的長(zhǎng)度的比

叫作這兩條線段的比，記作

，或

PQP′Q′

將一條線段AB分成不相等的兩部分，使較短線段CB與較長(zhǎng)線段AC的比等于AC與原線段AB的比，那么稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫作線段AB的黃金分割點(diǎn)，較長(zhǎng)線段AC與原線段AB的比叫作黃金分割比.ACCB5.位似變換，位似的圖形．

取定一點(diǎn)O，把圖形上每一個(gè)點(diǎn)P對(duì)應(yīng)到射線OP(或它的反向延長(zhǎng)線)上一點(diǎn)P′，使得線段OP′與OP的比等于常數(shù)k(k＞0)，點(diǎn)O對(duì)應(yīng)到它自身，這種變換叫作位似變換，點(diǎn)O叫作位似中心，常數(shù)k叫作位似比，一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)位似變換得到的圖形叫作與原圖形位似的圖形.二、成比例線段的基本性質(zhì)

如果四條線段a，b，c，d是成比例線段，即那么ad=bc.

三、相似三角形的性質(zhì)性質(zhì)1相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例．性質(zhì)2

相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等．性質(zhì)3相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比，相似三角形面積的比等于相似比的平方.四、相似三角形的判定

判定定理1

三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似．判定定理2

兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．判定定理3

兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似．五、相似多邊形的性質(zhì)性質(zhì)1相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例．性質(zhì)2

相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等．性質(zhì)3

相似多邊形周長(zhǎng)的比等于相似比，相似多邊形面積的比等于相似比的平方.六、相似多邊形的判定

對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形相似．七、利用位似變換可以把一個(gè)圖形放大或縮小中考試題例1

如圖，圖中的小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，△ABC與△是關(guān)于點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，它們的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上.（1）畫出位似中心點(diǎn)O；（2）求出△ABC與△的位似比；（3）以點(diǎn)O為位似中心，再畫一個(gè)△A1B1C1，使它與△ABC的位似比等于1.5.（1）、（3）的解答如圖2所示.（2）因?yàn)椤鰽BC與△是位似圖形，所以其位似比實(shí)際上就是這兩個(gè)三角形的相似比.又由勾股定理可得：AC=

，，所以△ABC與△的位似比=

=1：2.解如圖2如圖1中考試題例2

檢查視力時(shí)，規(guī)定人與視力表之間的距離為5m.現(xiàn)因房間兩面墻的距離為3m，因此使用平面鏡來(lái)解決房間小的問(wèn)題.若使墻面鏡子能呈現(xiàn)完整的視力表，如圖所示，由平面鏡成像原理，作出光路圖，其中視力表AB的上下邊沿A、B發(fā)出的光線經(jīng)平面鏡MM′的上下邊沿反射后射入人眼C處，