構(gòu)造函數(shù)解決導(dǎo)數(shù)問題

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性〖模型總結(jié)〗1、關(guān)系式為“加”型（1）若，則構(gòu)造（2）若，則構(gòu)造（3）若，則構(gòu)造(4)若，則構(gòu)造2、關(guān)系式為“減”型（1）若，構(gòu)造（2）若，構(gòu)造（3）若，則構(gòu)造（備注：本類型僅作了解）(4)若≥0，則構(gòu)造口訣：1.加減形式積商定

2.系數(shù)不同冪來補(bǔ)

3.符號討論不能忘〖教學(xué)過程〗一、真題體驗真題體驗Ⅰ(2015年全國新課標(biāo)卷二理科數(shù)學(xué)第12題）設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)x>0時，，則使得函數(shù)成立的x的取值范圍是B．C．D．真題體驗Ⅱ（2017年淮北市第一次模擬理科數(shù)學(xué)第12題）已知定義在（0，+∞）的函數(shù)f（x），其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），滿足：f（x）＞0且總成立，則下列不等式成立的是（）A．e2e+3f（e）＜e2ππ3f（π） B．e2e+3f（π）＞e2ππ3f（e）C．e2e+3f（π）＜e2ππ3f（e） D．e2e+3f（e）＞e2ππ3f（π）二、考點(diǎn)分析通過這兩題及最近的模擬題我們發(fā)現(xiàn)：解決這類單調(diào)性問題需要借助構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系來解決，那么怎樣合理的構(gòu)造新函數(shù)就是問題的關(guān)鍵，今天我們一起系統(tǒng)的通過“兩大類型及它們蘊(yùn)含的八大小類型”來探討一下如何構(gòu)造新函數(shù)解決這類問題。三、關(guān)系式為“加”型關(guān)系式為“加”型Ⅰ：若(≤0、<0、>0，下同)，則構(gòu)造例1、設(shè)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，對于任意的正數(shù)，下面不等式恒成立的是（）則構(gòu)造例4、（2016年合肥市第二次模擬理科數(shù)學(xué)第12題）定義在R上的偶函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若對任意的實數(shù)x，都有2f（x）+xf′（x）＜2恒成立，則使x2f（x）﹣f（1）＜x2﹣1成立的實數(shù)x的取值范圍為（）{x|x≠±1} B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣1，1） D．（﹣1，0）∪（0，1）解：當(dāng)x＞0時，由2f（x）+xf′（x）﹣2＜0可知：2xf（x）﹣x2f′（x）﹣2x＜0設(shè)：g（x）=x2f（x）﹣x2則g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）﹣2x＜0，恒成立：∴g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，由x2f（x）﹣f（1）＜x2﹣1∴x2f（x）﹣x2＜f（1）﹣1即g（x）＜g（1），即x＞1；當(dāng)x＜0時，函數(shù)是偶函數(shù)，同理得：x＜﹣1。綜上可知：實數(shù)x的取值范圍為（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故選：B四、關(guān)系式為“減”型關(guān)系式為“減”型Ⅰ：若，則構(gòu)造例5、若定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則與的大小關(guān)系為（）.A、<B、=C、>D、不能確定試題分析：構(gòu)造函數(shù)，則，因為，所以；即函數(shù)在上為增函數(shù)，則，即.關(guān)系式為“減”型Ⅱ：若，則構(gòu)造例6、若函數(shù)在上可導(dǎo)，且滿足，則A.B.C.D.試題分析：設(shè)，則，∵，∴，即g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴即，故選：A．關(guān)系式為“減”型Ⅲ：若≥0，則構(gòu)造例7、已知函數(shù)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)時，，且的解集為（）A．（－∞，－3）∪（3，+∞）B．（－3，0）∪（0，3）C．（－3，0）∪（3，+∞）D．（－∞，－3）∪（0，3）試題分析：由題意是奇函數(shù)，當(dāng)時，時，，則在上為減函數(shù)，在上也為減函數(shù)，又有，則有，可知的解集為.五、小結(jié)1、關(guān)系式為“加”型（1）若，則構(gòu)造：（2）若，則構(gòu)造：（3）若，則構(gòu)造：(4)若，則構(gòu)造：2、關(guān)系式為“減”型（1）若，構(gòu)造：（2）若，構(gòu)造：（3）若，則構(gòu)造（備注：本類型僅作了解）(4)若≥0，則構(gòu)造：口訣：1.加減形式積商定

2.系數(shù)不同冪來補(bǔ)

3.符號討論不能忘3、思考：我們構(gòu)造的加減模型是根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則的加減乘除來分類構(gòu)造的，大家想一想，可否把上面八類按結(jié)構(gòu)來分類：按結(jié)構(gòu)分類：（1）若(≤0、<0、>0，下同)或，則構(gòu)造或(2)若或，則構(gòu)造或若或，則構(gòu)造或(4)若或≥0則構(gòu)造