陜西省恒口高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析

陜西省恒口高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知實(shí)數(shù)，滿足不等式組，若，則的最小值為（）A. B.C. D.2．已知兩條平行直線：與：間的距離為3，則（）A.25或－5 B.25C.5 D.21或－93．點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.4．等軸雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點(diǎn)，且則的實(shí)軸長為A.1 B.2C.4 D.85．在中，內(nèi)角所對的邊為，若，，，則（）A. B.C. D.6．已知等差數(shù)列滿足，則等于（）A. B.C. D.7．設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則的值為（）A.14 B.28C.36 D.488．在下列四條拋物線中，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1的是（）A. B.C. D.9．直線的一個法向量為（）A. B.C. D.10．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為A. B.C. D.11．如果，那么下面一定成立的是（）A. B.C. D.12．在平形六面體中，其中，，，，，則的長為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為拋物線上的動點(diǎn)，，，則的最小值為________.14．（建三江）函數(shù)在處取得極小值，則=___15．設(shè)點(diǎn)是雙曲線上的一點(diǎn)，、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，已知，且，則雙曲線的離心率為________16．已知橢圓()中，成等比數(shù)列，則橢圓的離心率為_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的離心率為，橢圓的上頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)（、不是左、右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn).18．（12分）為了保證我國東海油氣田海域海上平臺的生產(chǎn)安全，海事部門在某平臺O的北偏西45°方向km處設(shè)立觀測點(diǎn)A，在平臺O的正東方向12km處設(shè)立觀測點(diǎn)B，規(guī)定經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)的圓以及其內(nèi)部區(qū)域?yàn)榘踩A(yù)警區(qū)．如圖所示：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，O的正東方向?yàn)閤軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系（1）試寫出A，B的坐標(biāo)，并求兩個觀測點(diǎn)A，B之間的距離；（2）某日經(jīng)觀測發(fā)現(xiàn)，在該平臺O正南10kmC處，有一艘輪船正以每小時km的速度沿北偏東45°方向行駛，如果航向不變，該輪船是否會進(jìn)入安全預(yù)警區(qū)？如果不進(jìn)入，請說明理由；如果進(jìn)入，則它在安全警示區(qū)內(nèi)會行駛多長時間？19．（12分）如圖，在正方體中，為棱的中點(diǎn).求證：（1）平面；（2）求直線與平面所成角的大小.20．（12分）已知數(shù)列滿足且.（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.21．（12分）在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的圓與直線相切.（1）求圓O的方程；（2）設(shè)圓O交x軸于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓O內(nèi)，且是、的等比中項(xiàng)，求的取值范圍.22．（10分）已知命題：“，”，命題：“，”，若“且”為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，然后根據(jù)線性規(guī)劃的幾何意義求得答案.【詳解】作出不等式組所對應(yīng)的可行域如圖三角形陰影部分，平行移動直線直線，可以看到當(dāng)移動過點(diǎn)A時，在y軸上的截距最小,聯(lián)立，解得，當(dāng)且僅當(dāng)動直線即過點(diǎn)時，取得最小值為，故選：B2、A【解析】根據(jù)平行直線的性質(zhì)，結(jié)合平行線間距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€：與：平行，所以有，因?yàn)閮蓷l平行直線：與：間距離為3，所以，或，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故選：A3、A【解析】由，當(dāng)三點(diǎn)共線時，取得最值【詳解】設(shè)是橢圓的右焦點(diǎn)，則又因?yàn)?，，所以，則故選：A4、B【解析】設(shè)等軸雙曲線的方程為拋物線,拋物線準(zhǔn)線方程為設(shè)等軸雙曲線與拋物線的準(zhǔn)線的兩個交點(diǎn),，則,將，代入，得等軸雙曲線的方程為的實(shí)軸長為故選5、B【解析】利用正弦定理角化邊得到，再利用余弦定理構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】，，由余弦定理得：，，.故選：B.6、A【解析】利用等差中項(xiàng)求出的值，進(jìn)而可求得的值.【詳解】因?yàn)榈茫虼耍?故選：A.7、D【解析】利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)即可求出.【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和，所以故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的計(jì)算以及等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，屬于較易題.8、D【解析】由題意可知，然后分析判斷即可【詳解】由題意知，即可滿足題意，故A，B，C錯誤，D正確.故選：D9、B【解析】直線化為，求出直線的方向向量，因?yàn)榉ㄏ蛄颗c方向向量垂直，逐項(xiàng)驗(yàn)證可得答案.【詳解】直線的方向向量為，化為，直線的方向向量為，因?yàn)榉ㄏ蛄颗c方向向量垂直，設(shè)法向量為，所以，由于，A錯誤；，故B正確；，故C錯誤；，故D錯誤；故選：B.10、D【解析】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，從而可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題11、C【解析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，以及特例法和作差比較法，逐項(xiàng)計(jì)算，即可求解.【詳解】對于A中，當(dāng)時，，所以不正確；對于B中，因?yàn)椋鶕?jù)不等式的性質(zhì)，可得，對于C中，由，可得可得，所以，所以正確；對于D中，由，可得，則，所以，所以不正確.故選：C.12、B【解析】根據(jù)空間向量基本定理、加法的運(yùn)算法則，結(jié)合空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)槭瞧叫辛骟w，所以，所以有：，因此有：，因?yàn)椋?，，，，所以，所以，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、6【解析】根據(jù)拋物線的定義把的長轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離為，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合求出最小值.【詳解】易知為拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)到準(zhǔn)線的距離為，則，而的最小值為到準(zhǔn)線的距離，故的最小值為.故答案為：614、【解析】由，令，解得或，且時，；時，；時，，所以當(dāng)時，函數(shù)取得極小值考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用；極值的條件15、【解析】由雙曲線的定義可求得、，利用勾股定理可得出關(guān)于、的齊次等式，進(jìn)而可求得該雙曲線的離心率.【詳解】由雙曲線定義可得，故，由勾股定理可得，即，可得，因此，該雙曲線的離心率為.故答案為：.16、【解析】根據(jù)成等比數(shù)列，可得，再根據(jù)的關(guān)系可得，然后結(jié)合的自身范圍解方程即可求出【詳解】∵成等比數(shù)列，∴，∴，∴，∴，又，∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的離心率的計(jì)算以及等比數(shù)列定義的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)已知條件求出、、的值，可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由已知可得出，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合韋達(dá)定理可得出關(guān)于、所滿足的等式，然后化簡直線的方程，即可求得直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo).【小問1詳解】解：橢圓上頂點(diǎn)到焦點(diǎn)距離，又橢圓離心率為，故，，因此，橢圓方程為.【小問2詳解】解：設(shè)、，由題意可知且，橢圓的右頂點(diǎn)為，則，，因?yàn)橐詾橹睆降膱A過橢圓的右頂點(diǎn)，所以有，則，即，聯(lián)立，，即，①由韋達(dá)定理得，，所以，，化簡得，即或，均滿足①式.當(dāng)時，直線，恒過定點(diǎn)，舍去；當(dāng)時，直線，恒過定點(diǎn).綜上所述，直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來證明.18、（1）；（2）會駛?cè)氚踩A(yù)警區(qū)，行駛時長為半小時【解析】（1）先求出A，B的坐標(biāo)，再由距離公式得出A，B之間的距離；（2）由三點(diǎn)的坐標(biāo)列出方程組得出經(jīng)過三點(diǎn)的圓的方程，設(shè)輪船航線所在的直線為，再由幾何法得出直線與圓截得的弦長，進(jìn)而得出安全警示區(qū)內(nèi)行駛時長.【小問1詳解】由題意得，∴；【小問2詳解】設(shè)圓的方程為，因?yàn)樵搱A經(jīng)過三點(diǎn)，∴，得到.所以該圓方程為：，化成標(biāo)準(zhǔn)方程為：.設(shè)輪船航線所在的直線為，則直線的方程為：，圓心（6，8）到直線的距離，所以直線與圓相交，即輪船會駛?cè)氚踩A(yù)警區(qū).直線與圓截得的弦長為，行駛時長小時.即在安全警示區(qū)內(nèi)行駛時長為半小時.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）連接，交于，連接，推導(dǎo)出，由此能證明平面.（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線與平面所成角的大小.【詳解】（1）證明：連接，交于，連接，∵在正方體中，是正方形，∴是中點(diǎn)，∵為棱的中點(diǎn)，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）解：以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體中棱長為2，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則，∴，∴直線與平面所成角的大小為.【點(diǎn)睛】(1)求直線與平面所成的角的一般步驟：①找直線與平面所成的角，即通過找直線在平面上的射影來完成；②計(jì)算，要把直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化到一個三角形中求解(2)作二面角的平面角可以通過垂線法進(jìn)行，在一個半平面內(nèi)找一點(diǎn)作另一個半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意可得，根據(jù)等比數(shù)列的定義，即可得證；（2）由（1）可得，可得，利用累加法即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，所以是首?xiàng)為1公比為3的等比數(shù)列（2）由（1）可知，所以因?yàn)?，所以……，，各式相加得：，又，所以，又?dāng)n=1時，滿足上式，所以21、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意設(shè)出圓方程，結(jié)合該圓與直線相切，求得半徑，則問題得解；（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)題意，求得