《復(fù)變函數(shù)與積分變換》§4.2 復(fù)變函數(shù)項級數(shù)

§4.2復(fù)變函數(shù)項級數(shù)復(fù)變函數(shù)項級數(shù)一定義4.4表達式稱為復(fù)變函數(shù)項級數(shù)，稱為函數(shù)項級數(shù)(1)的部分和函數(shù)．設(shè)復(fù)變函數(shù)序列在區(qū)域D內(nèi)有定義，記作(1)它的前項和復(fù)變函數(shù)項級數(shù)一若級數(shù)收斂，則稱為函數(shù)項級數(shù)(1)的收斂點；若級數(shù)發(fā)散，則稱為函數(shù)項級數(shù)(1)的發(fā)散點．的一切收斂點所組成的集合稱為它的收斂域．函數(shù)項級數(shù)若區(qū)域D是函數(shù)項級數(shù)的收斂域，則函數(shù)(2)稱為它的和函數(shù)．冪級數(shù)二形如或的函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù)．z=0是級數(shù)的收斂點．如果冪級數(shù)在處收斂，那么對的一切z，級數(shù)必絕對收斂．若冪級數(shù)在處發(fā)散，則對滿足的一切z，必發(fā)散．級數(shù)冪級數(shù)的收斂域

1定理1(Abel)滿足冪級數(shù)二Abel定理證明收斂，由于級數(shù)根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件有因而存在正數(shù)M,使對一切自然數(shù)n，有從而如果那么級數(shù)收斂，根據(jù)正項級數(shù)的比較判別法收斂，知級數(shù)即當時，絕對收斂．冪級數(shù)冪級數(shù)二另一部分的證明用反證法若當時，冪級數(shù)收斂，則由上面的討論知，級數(shù)絕對收斂，與題設(shè)矛盾．冪級數(shù)二冪級數(shù)的收斂半徑2利用阿貝爾定理，可以確定冪級數(shù)的收斂范圍．對冪級數(shù)來說，它的收斂情況可以分為下列3種：只在原點z=0處收斂，其它點處處發(fā)散，如冪級數(shù)在全復(fù)平面上處處絕對收斂，如級數(shù)

在復(fù)平面上有非零的收斂點，也有發(fā)散點．

冪級數(shù)二定義4.5若存在實數(shù)使冪級數(shù)在圓域內(nèi)內(nèi)發(fā)散，而在則稱為冪級數(shù)的R為收斂半徑．對于前面所說的冪級數(shù)的3種收斂情況，可知：若只在原點收斂，則收斂半徑若在全平面上處處收斂，則收斂半徑若既有非零收斂的點，也有發(fā)散點，則收斂半徑滿足絕對收斂，收斂圓，冪級數(shù)二例1求下列級數(shù)的收斂半徑．解：所以當時，級數(shù)收斂；而當時，不收斂，級數(shù)發(fā)散．所以，原級數(shù)的收斂半徑為收斂域為并且冪級數(shù)二定理4.8設(shè)冪級數(shù)若下列條件之一成立1）（比值法，達朗貝爾公式)．2）（根值法，柯西公式)．則它的收斂半徑冪級數(shù)二例2求下列冪級數(shù)的收斂半徑．解：1）其中2）3）1）2）3）冪級數(shù)的運算和性質(zhì)三冪級數(shù)的四則運算1設(shè)及的收斂半徑為R1

和R2，且則，其中冪級數(shù)的運算和性質(zhì)三冪級數(shù)的復(fù)合運算2設(shè)冪級數(shù)而函數(shù)g(z)在內(nèi)解析,且滿足則特別地，若則冪級數(shù)此時，也稱R為冪級數(shù)的收斂半徑，為它的收斂圓．冪級數(shù)的運算和性質(zhì)三例3求冪級數(shù)的收斂域．解：收斂圓為，在上是收斂的，所以原級數(shù)的收斂域為冪級數(shù)的運算和性質(zhì)三例4求以下冪級數(shù)的收斂半徑．解：本題缺偶數(shù)次方項，不能直接套定理當即時，級數(shù)收斂．收斂半徑為冪級數(shù)的運算和性質(zhì)三例5試把表示成形如的冪級數(shù)．將f(z)變形，解：使之成為的函數(shù)．冪級數(shù)的運算和性質(zhì)三冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)部的性質(zhì)3定理4.9設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為R>0，在收斂圓內(nèi)部的和函數(shù)f(z),即冪級數(shù)的運算和性質(zhì)三（2）逐項積分：沿收斂圓域內(nèi)的任一條簡單光滑(或分段光滑)曲線可對積分，并且對級數(shù)可逐項積分，且收斂半徑不變，即有則在收斂圓內(nèi)部有以下性質(zhì)：（