《復變函數(shù)與積分變換》§8.3 Laplace逆變換_第1頁
《復變函數(shù)與積分變換》§8.3 Laplace逆變換_第2頁
《復變函數(shù)與積分變換》§8.3 Laplace逆變換_第3頁
《復變函數(shù)與積分變換》§8.3 Laplace逆變換_第4頁
《復變函數(shù)與積分變換》§8.3 Laplace逆變換_第5頁
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文檔簡介

§8.3Laplace逆變換實際應用中常會碰到與此相反的問題，即已知像函數(shù)求它的本節(jié)將介紹Laplace逆變換的求法，主要向讀者介紹求Laplace逆變換的留數(shù)法、部分分式法和查表法，但要提醒讀者的是，在實際求Laplace逆變換的過程中要結(jié)合Laplace的性質(zhì)靈活運用各種方法．前面我們主要討論了由已知函數(shù)求它的像函數(shù)，在像原函數(shù)．留數(shù)法一在§8.1節(jié)，我們給出了Laplace逆變換的一般公式(8.1.3)式右端的積分也稱為Laplace反演積分，這是一個復變函數(shù)的積分，計算這樣的積分通常是困難的．但當滿足一定條件時，可以利用復變函數(shù)中的留數(shù)定理求Laplace逆變換．留數(shù)法一定理1設(shè)，是的所有奇點，適當選取使這些奇點全在的范圍內(nèi)，則有(8.3.1)即留數(shù)法一圖8-7作圖8-7所示的閉曲線．其中在的區(qū)域內(nèi)是半徑為的圓弧；的所有奇點都包含在閉曲線所圍成的的奇點就是的奇點．證明的選取要使直線位于函數(shù)的實數(shù)充分大時，可以使所有奇點的右面，當在全平面上解析，所以區(qū)域內(nèi)．同時，留數(shù)法一由留數(shù)定理，有即可以證明，(Jordan引理)所以，有于是，(8.3.1)式成立．留數(shù)法一例1已知，求．解：

有三個一級極點．由(8.3.2)式可得，留數(shù)法一例2已知，求．解：

為二級極點，為的一級極點．所以部分分式法二若給定的像函數(shù)是有理分式函數(shù)，則可將其化為部分分式的代數(shù)和，再根據(jù)Laplace變換的性質(zhì)，方便地求出相應的像原函數(shù)．設(shè)是有理既約真分式，即分子和分母無公因式，且．部分分式法二歸納以上兩個結(jié)果，便有以下結(jié)論：設(shè)是有理既約真分式，是的個單根，是的重根，且則有定理2部分分式法二其中系數(shù)分別用式(3.2)與(3.3)確定，僅其中字母與字母下標要作相應修改．注意：部分分式法二設(shè)，求．解法1：

設(shè)例3部分分式法二所以設(shè)，求．例3部分分式法二設(shè)，求．解法2：

設(shè)例3比較系數(shù)得：因此部分分式法二例4設(shè)，求

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