《離散數(shù)學》課件1第1章 集合

本章主要內(nèi)容：集合集合間的關(guān)系集合的運算冪集與編碼集合恒等式的證明11.1集合1.1.1集合的概念集合是具有某種特定性質(zhì)的事物的全體。集合中的單個事物通常也稱為“個體”或“元素”。通常用英文大寫字母來表示集合，如A、B、C等，用小寫字母來表示集合中的元素，如a、b、c等，但不是絕對的，因為一個集合也可以作為另一個集合的元素。如果元素a是集合A中的元素，用符號a∈A來表示，讀作“元素a屬于集合A”；反之，如果元素a不是集合A中的元素，用符號a

A來表示，讀作“元素a不屬于集合A”。集合、元素和屬于是集合論中的三個最基本的概念。2例1.1判斷下列各項是否是集合。（1）英文字母表中的26個字母；（2）所有的自然數(shù)；（3）一些自行車；（4）上海財經(jīng)大學全體學生的集合。3本書中常用的集合以及相應的符號：N：全體自然數(shù)的集合；

Q：全體有理數(shù)的集合；

R：全體實數(shù)的集合；

C：全體復數(shù)的集合；

Z：全體整數(shù)的集合；

E：全體偶數(shù)的集合；

O：全體奇數(shù)的集合；

P：全體素數(shù)的集合。41.1.2集合的特性互異性：互異性是指一個集合的各個元素是可以互相區(qū)分開的，并且每個元素只能出現(xiàn)一次，如果某個元素在集合中出現(xiàn)多次，也只能看作是一個元素。如：集合{1,2,3,2}就是集合{1,2,3}。

無序性：無序性是指一個集合中所有元素之間的排列次序是任意的，即集合的表示形式是不唯一的。如集合{1,2,3}和集合{2,1,3}是同一個集合。確定性：任意一個元素是否屬于某一個集合回答是確定的。如給定元素a和集合A，元素a和集合A之間的關(guān)系是確定的，a∈A和a

A二者必有一個成立。5三大基本原理:1.外延公理:兩個集合和相等的充要條件是他們有相同的元素。(互異性和無序性)2.概括公理:純粹性—凡該集合中的元素都具有某種性質(zhì).完備性—凡具有某種性質(zhì)的元素都在該集合中.63.正則公理:不存在集合A,B,C,…,使得…CBA.(----消除了悖論)悖論：

所謂悖論是指：一個命題Q，如果從Q為真，可以推導出Q為假；又從Q為非真推導出Q為真，命題Q是一個悖論。7例1.2說謊悖論：

“我正在說謊.”問:這個人是在說謊還是在講真話?解

如果他在說謊，這表明他的斷言“我正在說謊”是謊話，也就是說他在講真話。即他說謊，推出他是講真話（即沒有說謊）。另一方面，如果他講真話，這表明他的斷言“我正在說謊”是真話，也就是說他正說謊話，即他講真話，推出他在說謊（即沒有講真話）。81）羅素將集合分成兩類：一類是集合A本身是A的一個元素，即A

A；另一類是集合A本身不是A的一個元素，即A

A；2）構(gòu)造一個集合S：S={A|A

A}}，即，S是由滿足條件A

A的那些A組成的一個新的集合。問：S是不是它自己的一個元素?即S

S,還是S

S？例1.3羅素悖論：9解我們作如下分析：如果S

S,因為集合S由所有滿足條件A

A的集合組成,由于S

S,所以S滿足對于集合S中元素的定義，即S是集合S的元素，也就是說S

S。如果S

S,因為S中任一元素A都有A

A,又由于S

S,根據(jù)集合S的規(guī)定，知S不是集合S的元素,也就是說S

S。既不是SS，也不是SS。

10羅素悖論的出現(xiàn),說明樸素集合論有問題,從而使數(shù)學的基礎發(fā)生了動搖（第3次數(shù)學危機）,引起了一些著名數(shù)學家的極大重視。經(jīng)過長期的努力，作出如下約定：先有成員才形成集合，一個正在形成的集合不能作為一個實體充當本集合的成員，否則在概念上將產(chǎn)生循環(huán)，從而導致悖論。這正是正則公理的內(nèi)容，從而消除悖論。111.1.3集合的表示方法1.列舉法：所謂列舉法就是將集合中的元素用一對花括號括起來，這個集合可以是有限集，也可以是無限集。例1.4（1）A={1，2，3，4}（2）B={a，b，c，d，…，x，y，z}（3）C＝{桌子，椅子}（4）N={0，2，4，6，8，10，…}122.描述法：描述集合的方法是通過刻畫集合中元素所具備的某種特性來表示集合。我們通常用符號P(x)來表示不同對象x所具有的性質(zhì)P，由P(x)所定義的集合常記為：{x|P(x)}例1.5（1）A={x

0<x<2，x∈R}（2）B={x

x2-1=0，x∈R}（3）C={(x，y)

x2+y2≤4，x，y∈R}（4）D={x

x是動物}說明：描述法中A={x

0<x<2}與A={y

0<y<2}是表示同一個集合。133.文氏圖用平面上封閉曲線包圍點集的圖形來表示集合（見圖1.1）。文氏圖可以形象和直觀地描述集合之間的關(guān)系和集合之間的有關(guān)運算。A圖1.1集合A144.BackusNaurForm(BNF)常用于定義高級程序設計語言的語法集合。例1.6

在PASCAL語言中，標識符集合定義如下：＜Letter＞::=＜Letter＞{＜Letter

or

Digit＞}{＜Letter

or

Digit＞}::=＜Letter＞|＜Digit＞155.遞規(guī)定義給定基礎元素，通過計算規(guī)則定義集合的其他元素。a0=1，a1=1，ai+1=2ai+ai-1(i≥1)，于是：S={a0，a1，…，an}={ak|k≥0}

161.2集合間的關(guān)系1.2.1包含關(guān)系定義1.1

包含設A和B是兩個集合,若A中的每一個元素都是B的元素,則稱A是B的子集,記作AB或BA.若AB且AB,則稱A是B的真子集,記作AB.B稱為A的超集.此外，若存在元素a

A,但a

B,則A不是B的子集.17例1.8N

I

Q

R與N

I

Q

R同時成立。例1.9

{1}

{1,2}與

{1}

{1,2}同時成立。例1.10N?N成立,但是N?N不成立。即一個集合可以是自身的子集,但不可以是自身的真子集。18集合間的包含關(guān)系具有下列性質(zhì)：自反性：A

A反對稱性：若A

B且B

A，則A=B

傳遞性：若A

B且B

C，則A

C191.2.2相等關(guān)系定義1.2

集合A和B的元素全相同，則稱A和B相等，A=B；否則稱A和B不相等，AB。由集合包含關(guān)系的定義，我們可以給出集合相等關(guān)系的另一種定義形式：定義1.3

設A和B是兩個集合，如果AB且BA,則稱A=B.20例1.11集合A={2,3}，B={x|x2-5x+6=0}，則有集合。例1.12集合A=

，B={x|x2+x+1=0,x∈R}，則有集合A=B。。21定理1.1設A和B是兩個集合，A=B的充要條件是：AB且BA，即兩個集合相等的充要條件是它們互為子集。

22定理1.1設A和B是兩個集合，A=B的充要條件是：AB且BA，即兩個集合相等的充要條件是它們互為子集。證明：必要性

A=B

AB并且BA。因為A=B，由定義A中的每個元素是在B中，所以AB，同理B中的每個元素是在A中，所以BA。充分性

AB并且BA

A=B。反證法。如果A

B，則A中至少有一個元素不在B中，與AB矛盾；或者B中至少有一個元素不在A中，與BA矛盾。所以A

B不可能成立。所以A=B。23自反性:A=A對稱性:若A=B,則B=A傳遞性:若A=B且B=C,則A=C集合間相等關(guān)系的性質(zhì):24定義1.4

集合A中所包含的不同元素的個數(shù)，稱為集合A的基數(shù)，通常用|A|或Card(A)表示。例1.13計算下列集合的基數(shù)。(1)集合A={0,1,2}。(2)空集Φ。(3)集合B={x|x2-2x+1=0}。(4)自然數(shù)集N。(5)集合C={(x,y)|x2+y2≤4}。(6)集合D={Φ,{1},{2},{1,2}}。25定義1.5

設A是集合，如果A中有有限個不同的元素，則稱A為有限集，否則稱A為無限集。對有限集A，如果含有n個不同的元素，簡稱A為n元集，它的基數(shù)為m（0

m

n）的子集稱為它的m元子集。26例1.14設集合A={a,b,c}，寫出它的全部子集。解0元子集，有C30＝1個：

；

1元子集，有C31

＝3個：{a},,{c}；

2元子集，有C32

＝3個：{a,b},{a,c},{b,c}；

3元子集，有C33＝1個：{a,b,c}。共有C30＋C31＋C32＋C33

＝8個子集。27例1.15設集合A={a,b,c},寫出它的全部子集。例1.16設集合A={Φ,{a},,{c}},寫出它的全部子集。28一般地，對于n元子集，它的m（0

m

n）元子集有個，所以集合A的不同子集總數(shù)有Cn0＋Cn1＋…＋Cnn

＝2n個。定義1.6

對于每個非空集合S，至少有兩個不同的子集?和S，稱?和S是S的平凡子集。291.2.3特殊的集合定義1.7

不包含任何元素的集合稱為空集，用符號

或{}表示。定理1.2

是一切集合的子集.證明

反證法。設存在某一集合A，使得

不是集合A的子集，則存在x∈

且xA。這與

的定義相矛盾。因此定理成立。定理1.3空集是唯一的.證明假設有2個空集

1和

2，由定理1.2得出

1

2

，且

2

1

。再由集合相等的定義有

1=

2

。故空集是唯一的。例1.17：A={x

x2+x+2=0,x

R}，這是空集。

30定義1.8在一定范圍內(nèi)，如果所有集合均為某一集合的子集，則稱該集合為全集。記作U。例如全體自然數(shù)組成了全集。全集的概念是相對的。不同的問題有不同的全集，即使同一問題也可以取不同的全集，全集的選取要看具體研究的問題。如要研究2007年全國畢業(yè)大學生的就業(yè)情況，則將2007年畢業(yè)的所有的大學生全體作為全集；若只研究上海市2007年畢業(yè)的大學生就業(yè)情況時，只需將2007年上海市畢業(yè)的大學生全體作為全集。311.3集合的運算定義1.9設A、B是兩個集合,由集合A和B中所有的元素組成的集合稱為集合A與B的并集,記作A∪B,讀作“A并B”。即A∪B是由屬于A或?qū)儆贐的元素所組成,用符號表示為A∪B={x|x∈A或x∈B}32例1.18設集合A={1,2,3},集合B={a,b}，則A∪B＝{1,2,3,a,b}。例1.19設集合A={1,2,3},集合B={a,b,1,2}，則A∪B＝{1,2,3,a,b}。例1.20設集合A={1,2,3},集合B={x|x2+x+2=0,x∈R},則A∪B={1,2,3}。33定義1.10

設A、B是兩個集合，由集合A和B中公共元素組成的集合稱為集合A與B的交集，記作A∩B，即A∩B是由既屬于A又屬于B的元素組成，用符號表示為：

A∩B＝{x|x∈A且x∈B}34例1.21設集合A={1,2,3},集合B={a,b}，則A∩B＝

。例1.22設集合A={1,2,3},集合B={a,b,1,2}，則A∩B＝{1,2}。例1.23設集合A={1,2,3},集合B={x|x2+x+2=0,x∈R},則A∩B=

。35兩個集合的并和交運算可以推廣成n個集合的并和交，我們用公式表示如下：36定義1.11

設A、B是兩個集合，由在集合A中且不在集合B中的所有元素組成的集合，稱為集合B對A的相對補集，記作A-B，用符號表示為：

A－B＝{x|x∈A且x

B}37例1.24設集合A={1,2,3},集合B={a,b}，則A-B＝{1,2,3}。例1.25設集合A={1,2,3},集合B={a,b,1,2}，則A-B＝{3}。例1.26設集合A={1,2,3},集合B={x|x2+x+2=0,x∈R},則A-B=A。38定義1.12

集合的絕對補，是對于全集而言的，設U為全集，則集合A的絕對補集是由不在集合A中的所有的元素構(gòu)成的集合，稱為A的絕對補集，記作或A

表示，絕對補集也簡稱為補集，用符號表示為：

A

=U-A={x|x

U且x

A}例1.27設集合U={1,2,3},求下列集合的補集。（1）集合A={1,2}。（2）集合A＝

。39定義1.13

集合A和B的對稱差定義如下式所示：

A

B=（A-B)∪(B-A)或用符號表示為：

A

B={x|x

A且x

B,或x

B且x

A}例1.28設集合A={1,2,3},集合B={a,b,1,2}，則A

B=(A-B)∪(B-A)={3}∪{a，b}={a，b，3}40集合運算定律（1）雙重否定律(A

)

=A（2）交換律A∪B=B∪AA∩B=B∩AA

B=B

A（3）結(jié)合律A∪(B∪C)=(A∪B)∪CA∩(B∩C)=(A∩B)∩CA

(B

C)=(A

B)

C（4）分配律A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∩(B－C)

(A-B)∪(A-C)(A∪B)－(A∪C)

A∪(B－C)41集合運算定律（5）同一律A∪=AA∩U=AA－=AA=A（6）互補律A∪A=U（7）矛盾律A∩A=（8）冪等律A∪A=AA∩A=A（9）零一律A∪U=UA∩=A－A=AA=（10）吸收律A∪(A∩B)=AA∩(A∪B)=A42集合運算定律（11）德摩根律=UU=(A∪B)=A∩B(A∩B)=A∪BA－(B∪C)=(A－B)∩(A－C)A－(B∩C)=(A－B)∪(A－C)（12）功能完備律A－B=A∩B’AB=(A∪B)－(A∩B)=(A－B)∪(B－A)=(A∩B)∪(A∩B)431.3.2有限集合的計數(shù)有了集合的運算定律，結(jié)合前面介紹的集合的基數(shù)的概念，可以求出任意一個有限集合中元素的個數(shù)，計算出有限集合中元素的個數(shù)通常有兩種方法：文氏圖法和排斥原理。下面分別來介紹這兩種方法：文氏圖法與排斥原理法。441.文氏圖法：每一條性質(zhì)定義為一個集合，用一個圓來表示，如無特殊說明，任何兩個圓畫成相交的，然后將已知集合的元素填入表示該集合的區(qū)域內(nèi)。通常從n個集合的交集填起，根據(jù)計算的結(jié)果逐步將數(shù)字填入其它各空白區(qū)域。如果交集的值是未知的，可以設為x，根據(jù)題目的條件列出方程或方程組，求出所需結(jié)果。45例1.29對24名會外語的科技人員進行掌握外語情況的調(diào)查。其統(tǒng)計結(jié)果如下：會英、日、德和法語的人分別為13，5，10和9人，其中同時會英語和日語的有2人，會英、德和法語中任兩種語言的都是4人。已知會日語的人既不懂法語也不懂德語，分別求只會一種語言(英、德、法、日)的人數(shù)和會三種語言的人數(shù)。462.排斥原理法：設U為全集,A1，A2，…，An為U的有限子集,則有如下3個公式。(1)兩個集合的排斥原理公式：|A1∪A2|=|A1|+|A2|-|A1∩A2|(2)三個集合的排斥原理公式：|A1∪A2∪A3|=|A1|+|A2|+|A3|-|A1∩A2|-|A1∩A3|-|A2∩A3|+|A1∩A2∩A3|(3)個集合的排斥原理公式

47由排斥原理，我們很容易得到如下幾個結(jié)論成立：48例1.30在20名青年有10名是公司職員，12名是學生，其中5名既是職員又是學生，問有幾名既不是職員，又不是學生。49例1.30在20名青年有10名是公司職員，12名是學生，其中5名既是職員又是學生，問有幾名既不是職員，又不是學生。解設集合A是職員集合，集合B是學生集合，根據(jù)題意有：

A

=10，

B

=12，

A∩B

=5

A∪B

=

A

+

B

-

A∩B

=10+12-5=17則

(A∪B)

=

E

-

A∪B

=20-17=3因此，有3名既不是職員又不是學生。50例1.31某班有學生60人,其中38人學習pascal語言,有16人學習C語言,有21人學習Fortran語言,有3人這三種語言都學習,有4人這三種語言都不學習,問僅學習兩門語言的學生數(shù)是多少?51解設A是學習pascal語言的學生集合，B是學習C語言的學生集合，C是學習Fortran語言的學生集合，根據(jù)題意有：|A|=38，|B|=16，|C|=21，|A∩B∩C|=3，|A∪B∪C|+4=60，即|A∪B∪C|=56因為|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|故|A∩B|+|A∩C|+|B∩C|=38+16+21+3-56=22所求僅學生兩門語言的學生人數(shù)應為|(A∩B∩C’)∪(A∩B’∩C)∪(A’∩B∩C)|=|A∩B|+|A∩C|+|B∩C|-3|A∩B∩C|=22-3

3=13即僅學習兩門語言的學生數(shù)為13人。52例1.32某市舉行中學生數(shù)學、物理、化學三科競賽，共有100人參加競賽，結(jié)果數(shù)學優(yōu)秀者為41人，物理優(yōu)秀者為46人，化學優(yōu)秀者為39人，三門課全優(yōu)者為8人，僅兩門課為優(yōu)者26人，問沒有得到優(yōu)秀的人數(shù)是多少？53解設A表示數(shù)學優(yōu)秀者的集合，B表示物理優(yōu)秀者的集合，C表示化學優(yōu)秀者的集合。由題意可得：

|A|=41，|B|=46，|C|=39，|A∩B∩C|=8僅兩門課為優(yōu)秀的人數(shù)為：|(A∩B∩C’)∪(A∩B’∩C)∪(A’∩B∩C)|=|A∩B|+|A∩C|+|B∩C|-3|A∩B∩C|即26=|A∩B|+|A∩C|+|B∩C|-3*8因此|A∩B|+|A∩C|+|B∩C|=50因此一門課為優(yōu)秀的人數(shù)為：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|=41+46+39-50+8=84因此沒有得到的優(yōu)秀的人數(shù)為100-84=16（人）54例1.33使用包含排斥原理求不超過120的素數(shù)個數(shù)。解:因為112=121,不超過120的合數(shù)(除了1和它自身還能被其他數(shù)整除的數(shù))至少有2,3,5或7這幾個素因子之一,首先考慮不能被2,3,5,7整除的整數(shù),設S={x|x∈Z,1≤x≤120}A1={x|x∈S,x是2的倍數(shù)}A2={x|x∈S,x是3的倍數(shù)}A3={x|x∈S,x是5的倍數(shù)}A4={x|x∈S,x是7的倍數(shù)}則上述集合的基數(shù)分別為|S|=120,|A1|=60,|A2|=40,|A3|=24,|A4|=17|A1∩A2|=20,|A1∩A3|=12,|A1∩A4|=8,|A2∩A3|=8,|A2∩A4|=5,|A3∩A4|=3|A1∩A2∩A3|=4,|A1∩A2∩A4|=2,|A1∩A3∩A4|=1,|A2∩A3∩A4|=1,|A1∩A2∩A3∩A4|=0根據(jù)包含排斥原理,不能被2,3,5,7整除的整數(shù)有|A'1∩A'2∩A'3∩A'4|=120-(60+40+24+17)+(20+12+8+8+5+3)-(4+2+1+1)+0=27因為2、3、5、7不滿足上述條件,但是它們都是素數(shù)。另外,1滿足上述條件,但是1不是素數(shù),因此,不超過120的素數(shù)有27+4-1=30個。551.4冪集和編碼1.4.1冪集定義1.14

給定集合A，由集合A的所有子集為元素組成的集合，稱為集合A的冪集，記為P(A)或2A，即P(A)=2A={X|X

A}。561.4冪集和編碼例1.34設集合A＝{a，b，c}，則P(A)＝{

，{a}，，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}}例1.35計算下列集合的冪集。(1)A=

。(2)B=P(

)。(3)C={

,P(

)}。57

定理1.4

如果有限集合A中有n個元素，則其冪集P(A)有2n個元素。證明由A的k個元素組成的子集的個數(shù)為Cnk，當k從0取到n時就構(gòu)成了集合A的所有的子集，因此集合A的子集的個數(shù)為：

Cn0+Cn1+…+Cnn=2n

因此P(A)的元素個數(shù)是2n

。58定理1.5設A、B是任意兩個集合，則有如下結(jié)論成立：（1）當AB當且僅當P(A)P(B)（2）P(A)∪P(B)P(A∪B)（3）P(A∩B)=P(A)∩P(B)（4）P(A’)(P(A))’59證明:(1)必要性:對

xP(A)xAxBxP(B)

因此P(A)P(B)

充分性:對

xA{x}P(A){x}P(B)xB

因此AB60(2)對xP(A)∪P(B)

xP(A)xP(B)

xAxB

xA∪B

xP(A∪B)P(A)∪P(B)P(A∪B)例:P(A)∪P(B)P(A∪B)A={1},B={2},A∪B={1,2}P(A)∪P(B)={,{1},{2}}P(A∪B)={,{1},{2},{1,2}}61(3)對xP(A∩B)

xA且xB

xP(A)且xP(B)

xP(A)∩P(B)(4)顯然成立，不用證明。621.4.2冪集元素與編碼現(xiàn)在引進一種編碼，用來唯一地表示有限集冪集的元素。設集合A中有n個元素，確定下標為n位的二進制數(shù)，每一位對應集合A中的一個元素。如果元素在某個子集中出現(xiàn)，則相應的二進制位為1，否則為0。以集合A={a,b,c}為例：是二進制數(shù)且將P（A）中的各個元素詳細描述如下：

=A000，{a}=A100，=A010，{c}=A001，{a,b}=A110，{a,c}=A101，{b,c}=A011，{a,b,c}=A11163補集的編碼表示：設Ai1i2…in是集合A的子集，i1i2…in是Ai1i2…in的二進制編碼表示，則Ai1i2…in

補集的二進制編碼表示只需將每個1換成0，0換成1即可。如A001的補集為A110。

64兩個子集交的編碼表示：兩個子集交的編碼是兩個子集編碼對應位置的布爾乘。布爾乘規(guī)則如下：1×1=1，1×0=0，0×1=0，0×0=0則A001與A101的交集為A001。兩個子集并的編碼表示：兩個子集并的編碼是兩個子集編碼對應位置的布爾加法。布爾加規(guī)則如下：1+1=1，1+0=1，0+1=1，0+0=0則A001與A101的并集為A101。65例1.36:設S={a1,a2,…,a6}.由S15和S22所表示的S的子集是什么?如何表示子集{a3,a5}和{a2,a4,a6}?解：S15=S001111={a3,a4,a5,a6}S22=S010110={a2,a4,a5}{a3,a5}=S001010=S10{a2,a4,a6}=S010101=S21661.5集合恒等式證明通過對集合恒等式的證明的練習，既可以加深對集合性質(zhì)的理解與掌握，又可以為命題邏輯中公式的基本等價式的應用打下良好的基礎。因此，集合恒等式的證明實際上是一種基本功訓練。本節(jié)主要介紹三種方法來證明集合恒等式，分別是基本定義法、公式法和集合成員表的方法。67例1.38設A、B、C是任意集合，證明

A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)

。證明:對于?x∈A-(B∪C)?x∈A且x?(B∪C)?x∈A且(x?B且x?C)?(x∈A且x?B)且(x∈A且x?C)?x∈(A-B)且x∈(A-C)?x∈(A-B)∩(A-C)因此A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)。

681.5.2公式法所謂公式法就是利用已證明過的集合恒等式去證明新的集合恒等式。在用公式法證明集合恒等式的時候，要充分利用集合的運算定律，同時注意以下幾個基本原則：(1)將集合運算表達式中其他運算符號轉(zhuǎn)換為∪和∩；(2)將補運算作用到單一集合上；(3)左邊

右邊，右邊

左邊，左邊

中間式，右邊

中間式；(4)根據(jù)基本運算符號的定義和運算定律轉(zhuǎn)換。69例1.39設A、B、C是任意三個集合，證明A∩(B-C)=(A∩B)-(A∩C)證明A∩(B-C)=A∩(B∩C

)=A∩B∩C

又(A∩B)-(A∩C)=(A∩B)∩(A∩C)

=(A∩B)∩(A

∪C

)=(A∩B∩A

)∪(A∩B∩C

)=

∪(A∩B∩C’)=A∩B∩C

所以A∩(B-C)=(A∩B)-(A∩C)70例1.40設A、B、C是任意三個集合，證明A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)證明(A∪B)∩(A∪C)=((A∪B)∩A)∪((A∪B)∩C)=(A∩(A∪B))∪(C∩(A∪B))=A∪(C∩(A∪B))=A∪((C∩A)∪(C∩B))=(A∪(A∩C))∪(B∩C)=A∪(B∩C)。所以A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)71例1.41設A、B、C是任意三個集合，證明(A∩B)∪(A∩C)∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)∩(B∪C)證明(A∩B)∪(A∩C)∪(B∩C)=(A∪A∪B