初二數(shù)學(xué)上冊壓軸題綜合試題附答案

初二數(shù)學(xué)上冊壓軸題綜合試題附答案1、如圖，和中，，，，邊與邊交于點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），點(diǎn)，在異側(cè)，為與的角平分線的交點(diǎn)．(1)求證：；(2)設(shè)，請用含的式子表示，并求的最大值；(3)當(dāng)時(shí)，的取值范圍為，求出，的值．2、如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，AO＝AB，∠BAO＝90°，BO＝8cm，動點(diǎn)D從原點(diǎn)O出發(fā)沿x軸正方向以acm/s的速度運(yùn)動，動點(diǎn)E也同時(shí)從原點(diǎn)O出發(fā)在y軸上以bcm/s的速度運(yùn)動，且a，b滿足關(guān)系式a2+b2﹣4a﹣2b+5＝0，連接OD，OE，設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t秒．（1）求a，b的值；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△BAD≌△OAE；（3）如圖2，在第一象限存在點(diǎn)P，使∠AOP＝30°，∠APO＝15°，求∠ABP．3、如圖，中，，．（1）如圖1，，，求證：；（2）如圖2，，，請直接用幾何語言寫出、的位置關(guān)系____________；（3）證明（2）中的結(jié)論．4、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，且，為軸上點(diǎn)右側(cè)的動點(diǎn)，以為腰作等腰，使，，直線交軸于點(diǎn)．（1）求證：；（2）求證：；（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)在軸上的位置是否發(fā)生變化，為什么？5、如圖，是等邊三角形，點(diǎn)分別是射線、射線上的動點(diǎn)，點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿著射線移動，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)沿著射線移動，點(diǎn)同時(shí)出發(fā)并且移動速度相同，連接．(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)D移動到線段的中點(diǎn)時(shí)，與的長度關(guān)系是：_______．(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)D在線段上移動但不是中點(diǎn)時(shí)，探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)D移動到線段的延長線上，并且時(shí)，求的度數(shù)．6、如圖1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上一點(diǎn)，且DE＝CE，連接BD，CD．（1）判斷與的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）如圖2，若將△DCE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)一定的角度后，BD與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？并證明；（3）如圖3，將（2）中的等腰直角三角形都換成等邊三角形，其他條件不變，求BD與AC夾角的度數(shù)．7、以點(diǎn)為頂點(diǎn)作等腰，等腰，其中，如圖1所示放置，使得一直角邊重合，連接、．（1）試判斷、的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）延長交于點(diǎn)試求的度數(shù)；（3）把兩個(gè)等腰直角三角形按如圖2放置，（1）、（2）中的結(jié)論是否仍成立？請說明理由．8、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，3），B（，0），AB=6，作∠DBO=∠ABO，點(diǎn)H為y軸上的點(diǎn)，∠CAH=∠BAO，BD交y軸于點(diǎn)E，直線DO交AC于點(diǎn)C．（1）證明：△ABE為等邊三角形；（2）若CD⊥AB于點(diǎn)F，求線段CD的長；（3）動點(diǎn)P從A出發(fā)，沿A﹣O﹣B路線運(yùn)動，速度為1個(gè)單位長度每秒，到B點(diǎn)處停止運(yùn)動；動點(diǎn)Q從B出發(fā)，沿B﹣O﹣A路線運(yùn)動，速度為2個(gè)單位長度每秒，到A點(diǎn)處停止運(yùn)動．兩點(diǎn)同時(shí)開始運(yùn)動，都要到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)才能停止．在某時(shí)刻，作PM⊥CD于點(diǎn)M，QN⊥CD于點(diǎn)N．問兩動點(diǎn)運(yùn)動多長時(shí)間時(shí)△OPM與△OQN全等？【參考答案】1、(1)見解析(2)，3(3)m＝105，n＝150【分析】（1）由條件易證，得，即可得證．（2）PD＝AD-AP＝6-x，點(diǎn)P在線段BC上且不與B、C重合時(shí)，AP有最小值，即AD⊥BC時(shí)A【解析】(1)見解析(2)，3(3)m＝105，n＝150【分析】（1）由條件易證，得，即可得證．（2）PD＝AD-AP＝6-x，點(diǎn)P在線段BC上且不與B、C重合時(shí)，AP有最小值，即AD⊥BC時(shí)AP的長度，此時(shí)PD可得最大值．（3）為與的角平分線的交點(diǎn)，應(yīng)用“三角形內(nèi)角和等于180°”及角平分線定義，即可表示出，從而得到m，n的值．(1)解：在和中，如圖1即(2)解：當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AP＝AB＝3最小，即PD＝6﹣3＝3為PD的最大值(3)解：如圖2，設(shè)則為與的角平分線的交點(diǎn)即【點(diǎn)睛】本題是一道幾何綜合題，考查了點(diǎn)到直線的距離垂線段最短，30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線定義等，解題關(guān)鍵是將PD最大值轉(zhuǎn)化為PA的最小值．2、（1）a＝2，b＝1；（2）t＝或t＝8；（3）∠ABP＝105°．【分析】（1）將a2+b2﹣4a﹣2b+5＝0用配方法得出（a﹣2）2+（b﹣1）2＝0，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，即可得出結(jié)論；（2【解析】（1）a＝2，b＝1；（2）t＝或t＝8；（3）∠ABP＝105°．【分析】（1）將a2+b2﹣4a﹣2b+5＝0用配方法得出（a﹣2）2+（b﹣1）2＝0，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，即可得出結(jié)論；（2）先由運(yùn)動得出BD＝|8﹣2t|，再由全等三角形的性質(zhì)的出貨BD＝OE，建立方程求解即可得出結(jié)論．（3）先判斷出△OAP≌△BAQ（SAS），得出OP＝BQ，∠ABQ＝∠AOP＝30°，∠AQB＝∠APO＝15°，再求出∠OAP＝135°，進(jìn)而判斷出△OAQ≌△BAQ（SAS），得出∠OQA＝∠BQA＝15°，OQ＝BQ，再判斷出△OPQ是等邊三角形，得出∠OQP＝60°，進(jìn)而求出∠BQP＝30°，再求出∠PBQ＝75°，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵a2+b2﹣4a﹣2b+5＝0，∴（a﹣2）2+（b﹣1）2＝0，∴a﹣2＝0，b﹣1＝0，∴a＝2，b＝1；（2）由（1）知，a＝2，b＝1，由運(yùn)動知，OD＝2t，OE＝t，∵OB＝8，∴DB＝|8﹣2t|∵△BAD≌△OAE，∵DB＝OE，∴|8﹣2t|＝t，解得，t＝（如圖1）或t＝8（如圖2）；（3）如圖3，過點(diǎn)A作AQ⊥AP，使AQ＝AP，連接OQ，BQ，PQ，則∠APQ＝45°，∠PAQ＝90°，∵∠OAB＝90°，∴∠PAQ＝∠OAB，∴∠OAB+∠BAP＝∠PAQ+∠BAP，即：∠OAP＝∠BAQ，∵OA＝AB，AD＝AD，∴△OAP≌△BAQ（SAS），∴OP＝BQ，∠ABQ＝∠AOP＝30°，∠AQB＝∠APO＝15°，在△AOP中，∠AOP＝30°，∠APO＝15°，∴∠OAP＝180°﹣∠AOP﹣∠APO＝135°，∴∠OAQ＝360°﹣∠OAP﹣∠PAQ＝135°﹣90°＝135°＝∠OAP，∵OA＝AB，AD＝AD，∴△OAQ≌△BAQ（SAS），∴∠OQA＝∠BQA＝15°，OQ＝BQ，∵OP＝BQ，∴OQ＝OP，∵∠APQ＝45°，∠APO＝15°，∴∠OPQ＝∠APO+∠APQ＝60°，∴△OPQ是等邊三角形，∴∠OQP＝60°，∴∠BQP＝∠OQP﹣∠OQA﹣∠BQA＝60°﹣15°﹣15°＝30°，∵BQ＝PQ，∴∠PBQ＝（180°﹣∠BQP）＝75°，∴∠ABP＝∠ABQ+∠PBQ＝30°+75°＝105°．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，主要考查了配方法、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．3、（1）見解析；（2）⊥；（3）見解析【分析】（1）根據(jù)垂直的定義可得∠ADC=∠E=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)可得∠ACD=∠BAE，然后根據(jù)AAS即可證得結(jié)論；（2）由于要得出、的位置關(guān)系，結(jié)合圖【解析】（1）見解析；（2）⊥；（3）見解析【分析】（1）根據(jù)垂直的定義可得∠ADC=∠E=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)可得∠ACD=∠BAE，然后根據(jù)AAS即可證得結(jié)論；（2）由于要得出、的位置關(guān)系，結(jié)合圖形可猜想：⊥；（3）如圖，作CP⊥AC于點(diǎn)C，延長FD交CP于點(diǎn)P，先證明△BAE≌△FCP，可得∠3=∠P，AB=CP，然后證明△ACD≌△PCD，可得∠4=∠P，進(jìn)一步即可推出∠4+∠2=90°，問題得證．【詳解】解：（1）證明：∵，，∴∠ADC=∠E=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∵，∴∠DAC+∠BAE=90°，∴∠ACD=∠BAE，在△DAC和△EBA中，∵∠ADC=∠E，∠ACD=∠BAE，AC=AB，∴（AAS）；（2）結(jié)合圖形可得：⊥；故答案為：⊥；（3）證明：如圖，作CP⊥AC于點(diǎn)C，延長FD交CP于點(diǎn)P，∵AF=CE，∴AE=CF，∵，∴∠1=∠2，∵∠BAE=∠FCP=90°，∴△BAE≌△FCP，∴∠3=∠P，AB=CP，∵，，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵∠PCP=90°，AB=CP，∴∠FCD=45°，AC=PC，∴∠ACB=∠PCD，∵CD=CD，∴△ACD≌△PCD，∴∠4=∠P，∵∠3=∠P，∴∠3=∠4，∵∠3+∠2=90°，∴∠4+∠2=90°，∴∠AGE=90°，即⊥．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，正確添加輔助線、熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4、（1）見解析；（2）見解析；（3）不變，理由見解析【分析】（1）先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出、的值，作于點(diǎn)，由定理得出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）先根據(jù)，得出，再由定理即可得出；（3）【解析】（1）見解析；（2）見解析；（3）不變，理由見解析【分析】（1）先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出、的值，作于點(diǎn)，由定理得出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）先根據(jù)，得出，再由定理即可得出；（3）設(shè)，由全等三角形的性質(zhì)可得出，故為定值，再由，可知的長度不變，故可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）證明：，，解得，，，作于點(diǎn)，，，，，在與中，，，；（2）證明：，，即，在與中，，；（3）點(diǎn)在軸上的位置不發(fā)生改變．理由：設(shè)，由（2）知，，，，為定值，，長度不變，點(diǎn)在軸上的位置不發(fā)生改變．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，熟知全等三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．5、(1)(2)，證明見詳解(3)【分析】（1）由題意可知，所以，由等邊三角形及中點(diǎn)可知，而，所以可證，進(jìn)一步可證；（2）猜測，在射線AB上截取，如圖（見詳解），利用等邊三角形的性質(zhì)及可知為等邊【解析】(1)(2)，證明見詳解(3)【分析】（1）由題意可知，所以，由等邊三角形及中點(diǎn)可知，而，所以可證，進(jìn)一步可證；（2）猜測，在射線AB上截取，如圖（見詳解），利用等邊三角形的性質(zhì)及可知為等邊三角形，再利用邊角邊即可證明，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；（3）按照第（2）問的思路，作出類似的輔助線：在射線CB上截取，如圖（見詳解），用同樣的方法證明，再根據(jù)ED⊥DC，證出為等腰直角三角形，即可求出∠DEC的度數(shù)．（1）解：，證明過程如下：由題意可知，∵D為AB的中點(diǎn)，∴，∴，∴．∵為等邊三角形，，∴．∵，∴，∴，∴．（2）解：，理由如下：在射線AB上截取，連接EF，如圖所示，∵為等邊三角形，∴，．∵，，∴為等邊三角形，∴，．由題意知，∴，∴．即．∵，∴．在和中，，∴，∴DE與DC之間的數(shù)量關(guān)系是．（3）如圖，在射線CB上截取，連接DF，如圖所示，∵為等邊三角形，∴，．∵，，∴為等邊三角形，∴，，∴．由題意知，∵，∴，即．∵，∴．在和中，，∴，∴．∵ED⊥DC，∴為等腰直角三角形，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形，等邊三角形，以及全等三角形的判定及性質(zhì)，能夠作出輔助線，并合理利用等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6、（1），；（2），；（3）．【分析】（1）先判斷出，再判定，再判斷，（2）先判斷出，再得到同理（1）可得結(jié)論；（3）先判斷出，再判斷出，最后計(jì)算即可．【詳解】解：（1）與的位置關(guān)系是：，【解析】（1），；（2），；（3）．【分析】（1）先判斷出，再判定，再判斷，（2）先判斷出，再得到同理（1）可得結(jié)論；（3）先判斷出，再判斷出，最后計(jì)算即可．【詳解】解：（1）與的位置關(guān)系是：，數(shù)量關(guān)系是．理由如下：如圖1，延長交于點(diǎn)．于，．，，，，，．，．AE⊥BC∴，，．（2）與的位置關(guān)系是：，數(shù)量關(guān)系是．如圖，線段AC與線段BD交于點(diǎn)F，線段AE與線段BD交于點(diǎn)G，，，即．，，，，．AE⊥BC∴，又∵，．（3）如圖，線段AC與線段BD交于點(diǎn)F，和是等邊三角形，，，，，，，在和中，，∴，，與的夾角度數(shù)為．【點(diǎn)睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，判斷垂直的方法，解本題的關(guān)鍵是判斷．7、（1）BD=CE，理由見解析；（2）90°；（3）成立，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AB=AC，∠BAD=∠EAC=90°，AD=AE，利用“SAS”可證明△ADB≌△A【解析】（1）BD=CE，理由見解析；（2）90°；（3）成立，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AB=AC，∠BAD=∠EAC=90°，AD=AE，利用“SAS”可證明△ADB≌△AEC，則BD=CE；（2）由△ADB≌△AEC得到∠ACE=∠DBA，利用三角形內(nèi)角和定理可得到∠BFC=180°-∠ACE-∠CDF=180°-∠DBA-∠BDA=∠DAB=90°；（3）與（1）一樣可證明△ADB≌△AEC，得到BD=CE，∠ACE=∠DBA，利用三角形內(nèi)角和定理得到∠BFC=∠DAB=90°．【詳解】（1）∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形，∴AB=AC，∠BAD=∠EAC=90°，AD=AE，∵在△ADB和△AEC中，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD=CE；（2）∵△ADB≌△AEC，∴∠ACE=∠ABD，而在△CDF中，∠BFC=180°-∠ACE-∠CDF，又∵∠CDF=∠BDA，∴∠BFC=180°-∠DBA-∠BDA=∠DAB=90°；（3）BD=CE成立，且兩線段所在直線互相垂直，即∠BFC=90°．理由如下：∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=90°，∵∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ADB和△AEC中，，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD=CE，∠ACE=∠DBA，∴∠BFC=∠DAB=90°．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì).判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”，熟知判定方法并根據(jù)題目條件選擇合適的方法進(jìn)行解答．8、（1）詳見解析；（2）CD=；（3）當(dāng)兩動點(diǎn)運(yùn)動時(shí)間為、、6秒時(shí)，△OPM與△OQN全等.【分析】（1）先證△AOB≌△EOB得到AE=BE=AB，從而可以得出結(jié)論；（2）由（1）知∠ABE=∠【解析】（1）詳見解析；（2）CD=；（3）當(dāng)兩動點(diǎn)運(yùn)動時(shí)間為、、6秒時(shí)，△OPM與△OQN全等.【分析】（1）先證△AOB≌△EOB得到AE=BE=AB，從而可以得出結(jié)論；（2）由（1）知∠ABE=∠BEA=∠EAB=60°，進(jìn)而得出∠AOF=30°，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)得到AF、OF的長．再證明∠ACF=∠AOF=30°，∠D=30°，同理得出CF