2020-2021中考數(shù)學(xué)一元二次方程組綜合題含答案解析

2020-2021中考數(shù)學(xué)一元二次方程組綜合題含答案解析一、一元二次方程1．某建材銷售公司在2019年第一季度銷售兩種品牌的建材共126件，種品牌的建材售價為每件6000元，種品牌的建材售價為每件9000元.（1）若該銷售公司在第一季度售完兩種建材后總銷售額不低于96.6萬元，求至多銷售種品牌的建材多少件？（2）該銷售公司決定在2019年第二季度調(diào)整價格，將種品牌的建材在上一個季度的基礎(chǔ)上下調(diào)，種品牌的建材在上一個季度的基礎(chǔ)上上漲；同時，與（1）問中最低銷售額的銷售量相比，種品牌的建材的銷售量增加了，種品牌的建材的銷售量減少了，結(jié)果2019年第二季度的銷售額比（1）問中最低銷售額增加，求的值.【答案】（1）至多銷售品牌的建材56件;(2)的值是30.【解析】【分析】（1）設(shè)銷售品牌的建材件，根據(jù)售完兩種建材后總銷售額不低于96.6萬元，列不等式求解；（2）根據(jù)題意列出方程求解即可.【詳解】（1）設(shè)銷售品牌的建材件.根據(jù)題意，得，解這個不等式，得，答：至多銷售品牌的建材56件.（2）在（1）中銷售額最低時，品牌的建材70件，根據(jù)題意，得，令，整理這個方程，得，解這個方程，得，∴（舍去），，即的值是30.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程和一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系和不等關(guān)系，列方程組和不等式求解．2．如圖，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度向B點(diǎn)移動，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，以2cm/s的速度向C點(diǎn)移動．如果P、Q兩點(diǎn)同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒后△PBQ的面積等于4cm2？【答案】經(jīng)過2秒后△PBQ的面積等于4cm2．【解析】【分析】作出輔助線，過點(diǎn)Q作QE⊥PB于E，即可得出S△PQB=×PB×QE，有P、Q點(diǎn)的移動速度，設(shè)時間為t秒時，可以得出PB、QE關(guān)于t的表達(dá)式，代入面積公式，即可得出答案．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)Q作QE⊥PB于E，則∠QEB＝90°．∵∠ABC＝30°，∴2QE＝QB．∴S△PQB＝?PB?QE．設(shè)經(jīng)過t秒后△PBQ的面積等于4cm2，則PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t．根據(jù)題意，?（6﹣t）?t＝4．t2﹣6t+8＝0．t2＝2，t2＝4．當(dāng)t＝4時，2t＝8，8＞7，不合題意舍去，取t＝2．答：經(jīng)過2秒后△PBQ的面積等于4cm2．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的運(yùn)用，注意對所求的值進(jìn)行檢驗(yàn)，對于不合適的值舍去．3．解方程：(x+1)(x﹣3)=﹣1．【答案】x1=1+，x2=1﹣【解析】試題分析：根據(jù)方程的特點(diǎn)，先化為一般式，然后利用配方法求解即可.試題解析：整理得：x2﹣2x=2，配方得：x2﹣2x+1=3，即（x﹣1）2=3，解得：x1=1+，x2=1﹣．4．已知x1、x2是關(guān)于x的﹣元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的兩個實(shí)數(shù)根．（1）求a的取值范圍；（2）若（x1+1）（x2+1）是負(fù)整數(shù)，求實(shí)數(shù)a的整數(shù)值．【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a的值為7、8、9或12．【解析】【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的定義及一元二次方程的解與判別式之間的關(guān)系解答即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=﹣，x1x2=，由（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣是是負(fù)整數(shù)，即可得是正整數(shù)．根據(jù)a是整數(shù)，即可求得a的值2．【詳解】（1）∵原方程有兩實(shí)數(shù)根，∴，∴a≥0且a≠6．（2）∵x1、x2是關(guān)于x的一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的兩個實(shí)數(shù)根，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣+1=﹣．∵（x1+1）（x2+1）是負(fù)整數(shù)，∴﹣是負(fù)整數(shù)，即是正整數(shù)．∵a是整數(shù)，∴a﹣6的值為1、2、3或6，∴a的值為7、8、9或12．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，能根據(jù)根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系得出關(guān)于a的不等式是解此題的關(guān)鍵．5．發(fā)現(xiàn)思考：已知等腰三角形ABC的兩邊分別是方程x2﹣7x+10=0的兩個根，求等腰三角形ABC三條邊的長各是多少？下邊是涵涵同學(xué)的作業(yè)，老師說他的做法有錯誤，請你找出錯誤之處并說明錯誤原因．涵涵的作業(yè)解：x2﹣7x+10=0a=1b=﹣7c=10∵b2﹣4ac=9＞0∴x==∴x1=5，x2=2所以，當(dāng)腰為5，底為2時，等腰三角形的三條邊為5，5，2．當(dāng)腰為2，底為5時，等腰三角形的三條邊為2，2，5．探究應(yīng)用：請解答以下問題：已知等腰三角形ABC的兩邊是關(guān)于x的方程x2﹣mx+﹣=0的兩個實(shí)數(shù)根．（1）當(dāng)m=2時，求△ABC的周長；（2）當(dāng)△ABC為等邊三角形時，求m的值．【答案】錯誤之處及錯誤原因見解析；（1）當(dāng)m=2時，△ABC的周長為；（2）當(dāng)△ABC為等邊三角形時，m的值為1．【解析】【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系可以得到等腰三角形的三條邊不能為2、2、5．（1）先解方程，再確定邊，從而求周長；（2）是等邊三角形，則兩根相等，即△=（﹣m）2﹣4（﹣）=m2﹣2m+1，可求得m.【詳解】解：錯誤之處：當(dāng)2為腰，5為底時，等腰三角形的三條邊為2、2、5．錯誤原因：此時不能構(gòu)成三角形．（1）當(dāng)m=2時，方程為x2﹣2x+=0，∴x1=，x2=．當(dāng)為腰時，+<，∴、、不能構(gòu)成三角形；當(dāng)為腰時，等腰三角形的三邊為、、，此時周長為++=．答：當(dāng)m=2時，△ABC的周長為．（2）若△ABC為等邊三角形，則方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，∴△=（﹣m）2﹣4（﹣）=m2﹣2m+1=0，∴m1=m2=1．答：當(dāng)△ABC為等邊三角形時，m的值為1．【點(diǎn)睛】本題考核知識點(diǎn)：二元一次方程的運(yùn)用.解題關(guān)鍵點(diǎn)：熟練掌握二元一次方程的解法和等腰三角形性質(zhì).6．圖1是李晨在一次課外活動中所做的問題研究：他用硬紙片做了兩個三角形，分別為△ABC和△DEF，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=，∠F=90°，∠EDF=30°，EF=2．將△DEF的斜邊DE與△ABC的斜邊AC重合在一起，并將△DEF沿AC方向移動．在移動過程中，D、E兩點(diǎn)始終在AC邊上(移動開始時點(diǎn)D與點(diǎn)A重合)．（1）請回答李晨的問題：若CD=10，則AD=；（2）如圖2，李晨同學(xué)連接FC，編制了如下問題，請你回答：①∠FCD的最大度數(shù)為；②當(dāng)FC∥AB時，AD=；③當(dāng)以線段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形，且FC為斜邊時，AD=;④△FCD的面積s的取值范圍是.【答案】（1）2；（2）①60°；②；③；④.【解析】試題分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，求出AC的長，即可得到AD的長.（2）①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時，∠FCD的角度最大，據(jù)此求解即可.②過點(diǎn)F作FH⊥AC于點(diǎn)H，應(yīng)用等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，含30度角直角三角形的性質(zhì)求解即可.③過點(diǎn)F作FH⊥AC于點(diǎn)H，AD=x，應(yīng)用含30度角直角三角形的性質(zhì)把FC用x來表示，根據(jù)勾股定理列式求解.④設(shè)AD=x，把△FCD的面積s表示為x的函數(shù)，根據(jù)x的取值范圍來確定s的取值范圍.試題解析：（1）∵∠B=90°，∠A=45°，BC=，∴AC=12.∵CD=10，∴AD=2.（2）①∵∠F=90°，∠EDF=30°，∴∠DEF=60°.∵當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時，∠FCD的角度最大，∴∠FCD的最大度數(shù)=∠DEF="60°."②如圖，過點(diǎn)F作FH⊥AC于點(diǎn)H，∵∠EDF=30°，EF=2，∴DF=.∴DH=3，F(xiàn)H=.∵FC∥AB，∠A=45°，∴∠FCH="45°."∴HC=.∴DC=DH+HC=.∵AC=12，∴AD=.③如圖，過點(diǎn)F作FH⊥AC于點(diǎn)H，設(shè)AD=x，由②知DH=3，F(xiàn)H=，則HC=.在Rt△CFH中，根據(jù)勾股定理，得.∵以線段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形，且FC為斜邊，∴，即，解得.④設(shè)AD=x，易知，即.而，當(dāng)時，；當(dāng)時，.∴△FCD的面積s的取值范圍是.考點(diǎn)：1.面動平移問題；2.等腰直角三角形的判定和性質(zhì)；3.平行的性質(zhì)；4.含30度角直角三角形的性質(zhì)；5.勾股定理；6.由實(shí)際問題列函數(shù)關(guān)系式；7.求函數(shù)值.7．有一個人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有36人患了流感．（1）求每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？（2）如果不及時控制，第三輪將又有多少人被傳染？【答案】（1）5；（2）180【解析】【分析】（1）設(shè)平均一人傳染了x人，根據(jù)有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有36人患了流感，列方程求解即可；（2）根據(jù)每輪傳染中平均一個人傳染的人數(shù)和經(jīng)過兩輪傳染后的人數(shù)，列出算式求解即可．【詳解】（1）設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，根據(jù)題意得：x+1+（x+1）x＝36，解得：x＝5或x＝﹣7（舍去）．答：每輪傳染中平均一個人傳染了5個人；（2）根據(jù)題意得：5×36＝180（個），答：第三輪將又有180人被傳染．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)題意找到等量關(guān)系并列方程.8．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0有兩根α，β．（1）求m的取值范圍；（2）若，則m的值為多少？【答案】（1）；（2）m的值為3．【解析】【分析】（1）根據(jù)△≥0即可求解,（2）化簡,利用韋達(dá)定理求出α+β，αβ,代入解方程即可.【詳解】解：（1）由題意知，（2m+3）2﹣4×1×m2≥0，解得：m≥-；（2）由根與系數(shù)的關(guān)系得：α+β=﹣（2m+3），αβ=m2，∵即=-1,∴=-1,整理得m2﹣2m﹣3=0解得：m1=﹣1，m1=3，由（1）知m≥-，∴m1=﹣1應(yīng)舍去，∴m的值為3．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式以及韋達(dá)定理，對根進(jìn)行判斷是正確解題的關(guān)鍵.9．觀察下列一組方程：；；；；它們的根有一定的規(guī)律，都是兩個連續(xù)的自然數(shù)，我們稱這類一元二次方程為“連根一元二次方程”．若也是“連根一元二次方程”，寫出k的值，并解這個一元二次方程；請寫出第n個方程和它的根．【答案】（1）x1＝7，x2＝8.（2）x1＝n－1，x2＝n.【解析】【分析】（1）根據(jù)十字相乘的方法和“連根一元二次方程”的定義,找到56是7與8的乘積,確定k值即可解題,（2）找到規(guī)律,十字相乘的方法即可求解.【詳解】解：(1)由題意可得k＝－15，則原方程為x2－15x＋56＝0，則(x－7)·(x－8)＝0，解得x1＝7，x2＝8.(2)第n個方程為x2－(2n－1)x＋n(n－1)＝0，(x－n)(x－n＋1)＝0，解得x1＝n－1，x2＝n.【點(diǎn)睛】本題考查了用因式分解法求解一元二次方程,與十字相乘聯(lián)系密切,連根一元二次方程是特殊的十字相乘,中等難度,會用十字相乘解題是解題關(guān)鍵.10．解方程：(x＋1)(x－1)＝2x.【答案】x1＝＋，x2＝－.【解析】試題分析：根據(jù)方程的特點(diǎn)，根據(jù)平方差公式化為一般式，然后可根據(jù)公式法求解即可.試題解析：(x＋1)(x－1)＝2xx2-2x-1=0∵a=1，b=-，c=-1∴△=b2-4ac=8+4=12＞0∴x==±∴x1＝＋，x2＝－.11．已知x=﹣1是關(guān)于x的方程x2+2ax+a2=0的一個根，求a的值．【答案】1【解析】試題分析：根據(jù)一元二次方程解的定義，把x=﹣1代入x2+2ax+a2=0得到關(guān)于a的一元二次方程1﹣2a+a2=0，然后解此一元二次方程即可．試題解析：把x=﹣1代入x2+2ax+a2=0得1﹣2a+a2=0，解得a1=a2=1，所以a的值為1.12．已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個實(shí)數(shù)x2+2x+a﹣2=0，有兩個實(shí)數(shù)根x1，x2．（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若x12x22+4x1+4x2=1，求a的值．【答案】（1）a≤3；（2）a=﹣1．【解析】試題分析：（1）由根的個數(shù)，根據(jù)根的判別式可求出a的取值范圍；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，代換求值即可得到a的值.試題解析：（1）∵方程有兩個實(shí)數(shù)根，∴△≥0，即22﹣4×1×（a﹣2）≥0，解得a≤3；（2）由題意可得x1+x2=﹣2，x1x2=a﹣2，∵x12x22+4x1+4x2=1，∴（a﹣2）2﹣8=1，解得a=5或a=﹣1，∵a≤3，∴a=﹣1．13．若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有實(shí)數(shù)根．（1）求a的取值范圍；（2）當(dāng)a為符合條件的最大整數(shù)，求此時方程的解．【答案】（1）a≤；（2）x=1或x=2【解析】【分析】（1）由一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則根的判別式△=b2﹣4ac≥0，建立關(guān)于a的不等式，即可求出a的取值范圍；（2）根據(jù)（1）確定出a的最大整數(shù)值，代入原方程后解方程即可得.【詳解】（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2=0有實(shí)數(shù)根，∴△≥0，即（﹣3）2﹣4（a﹣2）≥0，解得a≤；（2）由（1）可知a≤，∴a的最大整數(shù)值為4，此時方程為x2﹣3x+2=0，解得x=1或x=2．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式以及解一元二次方程，一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．14．自年月日零時起，高鐵開通，某旅行社為吸引廣大市民組團(tuán)去仙都旅游，推出了如下收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：如果人數(shù)不超過人，人均旅游費(fèi)用為元，如果人數(shù)超過人，每增加人，人均旅游費(fèi)用降低元，但人均旅游費(fèi)用不得低于元．如果某單位組織人參加仙都旅游，那么需支付旅行社旅游費(fèi)用________元；現(xiàn)某單位組織員工去仙都旅游，共支付給該旅行社旅游費(fèi)用元，那么該單位有多少名員工參加旅游？【答案】（1）2280；（2）15【解析】【分析】對于（1）根據(jù)人數(shù)超過10人，每增加1人，人均旅游費(fèi)用降低5元，但人均旅游費(fèi)用不得低于150來求解；對于（2）設(shè)這次旅游可以安排x人參加，而由10×200＝2000＜2625，可以得出人數(shù)大于10人，則根據(jù)x列出方程：（10＋x）（200－5x）＝2625，求出x，然后根據(jù)人均旅游費(fèi)用降低5元，但人均旅游費(fèi)用不得低于150來求出x的范圍，最后得出x的值.【詳解】（1）因?yàn)椋虼藚⒓尤吮热硕?，設(shè)在人基礎(chǔ)上再增加人，由題意得：．解得

，∵，∴，經(jīng)檢驗(yàn)

是方程的解且符合題意，（舍去）．答：該單位共有名員工參加旅游．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用和一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)題意作出判斷，列出一元二次方程，求解方程，舍去不符合題意的解，從而得出結(jié)果.15．閱讀下面內(nèi)容：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了《二次根式》和《乘法公式》，聰明的你可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)a＞0，b＞0時：∵（）2=a﹣2+b≥0∴a+b≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號．請利用上述結(jié)論解決以下問題：（1）請直接寫出答案：當(dāng)x＞0時，x+的最小值為．當(dāng)x＜0時，x+的最大值為；（2）