工圖課件第4章直線平對位置

第4章直線與平面的相對位置

兩平面的相對位置§4-1直線與平面平行?兩平面平行§4-2直線與平面的交點?兩平面的交線§4-3直線與平面垂直?兩平面垂直

基本要求基本要求（一）平行問題

1．熟悉線、面平行，面、面平行的幾何條件；

2．熟練掌握線、面平行，面、面平行的投影特性及作圖方法。（二）相交問題

1．熟練掌握特殊位置線、面相交（其中直線或平面的投影具有積聚性）交點的求法和作兩個面的交線（其中一平面的投影具有積聚性）。

2．熟練掌握一般位置線、面相交求交點的方法；掌握一般位置面、面相交求交線的作圖方法。

3．掌握利用重影點判別投影可見性的方法。（三）垂直問題

掌握線面垂直、面面垂直的投影特性及作圖方法。（四）點、線、面綜合題

1．熟練掌握點、線、面的基本作圖方法；

2．能對一般畫法幾何綜合題進行空間分析，了解綜合題的一般解題步驟和方法。

§4-1直線與平面平行?兩平面平行一、直線與平面平行幾何條件若平面外的一條直線與平面內的一條直線平行，則該直線與該平面平行。這是解決直線與平面平行作圖問題的依據(jù)。有關線、面平行的作圖問題有：判別已知線面是否平行；作直線與已知平面平行；包含已知直線作平面與另一已知直線平行。

例題1

例題2二、平面與平面平行幾何條件若一個平面內的相交二直線與另一個平面內的相交二直線對應平行，則此兩平面平行。這是兩平面平行的作圖依據(jù)。兩面平行的作圖問題有：判別兩已知平面是否相互平行；過一點作一平面與已知平面平行；已知兩平面平行，完成其中一平面的所缺投影。

例題3

例題4

例題5一、直線與平面平行

若一直線平行于屬于定平面的一直線，則該直線與平面平行[例題1]試判斷直線AB是否平行于定平面fg

f

g結論：直線AB不平行于定平面[例題2]試過點K作水平線AB平行于ΔCDE平面b

a

af

fb二、兩平面平行

若屬于一平面的相交兩直線對應平行于屬于另一平面的相交兩直線，則此兩平面平行EFDACB[例題3]試判斷兩平面是否平行m

n

mnr

rss

結論：兩平面平行[例題4]已知定平面由平行兩直線AB和CD給定。試過點K作一平面平行于已知平面。em

n

mnf

e

fsr

s

rk

k[例題5]試判斷兩平面是否平行。結論：因為PH平行SH，所以兩平面平行§4-2直線與平面的交點、兩平面的交線一、直線與平面相交只有一個交點二、兩平面的交線是直線三、特殊位置線面相交四、一般位置平面與特殊位置平面相交五、直線與一般位置平面相交六、兩一般位置平面相交一、直線與平面相交直線與平面相交只有一個交點，它是直線與平面的共有點。BKAM二、平面與平面相交兩平面的交線是一條直線，這條直線為兩平面所共有FKNL三、特殊位置線面相交直線與特殊位置平面相交判斷直線的可見性特殊位置直線與一般位置平面相交b

ba

acc

m

mnn

直線與特殊位置平面相交由于特殊位置平面的某個投影有積聚性，交點可直接求出。kk

判斷直線的可見性b

ba

acc

m

mn

kk

n

特殊位置線面相交，根據(jù)平面的積聚性投影，能直接判別直線的可見性。()

求鉛垂線EF與一般位置平面△ABC的交點并判別其可見性。k21k'2'1'四、一般位置平面與特殊位置平面相交

求兩平面交線的問題可以看作是求兩個共有點的問題,由于特殊位置平面的某個投影有積聚性，交線可直接求出。一般位置平面與特殊位置平面相交判斷平面的可見性一般位置平面與特殊位置平面相交nlmm

l

n

bacc

a

b

fkf

k

MmnlPBCacbPHAFKNLkf判斷平面的可見性結果判斷平面的可見性五、直線與一般位置平面相交

以正垂面為輔助平面求線面交點

示意圖以鉛垂面為輔助平面求線面交點

示意圖判別可見性

示意圖1

2

以正垂面為輔助平面求線面交點QV21kk

步驟：1．過EF作正垂平面Q。2．求Q平面與ΔABC的交線ⅠⅡ。3．求交線ⅠⅡ與EF的交點K。示意圖ABCQ過EF作正垂面QFE以正垂面為輔助平面求線面交點示意圖12以鉛垂面為輔助平面求線面交點。PH1

步驟：1．過EF作鉛垂平面P。2．求P平面與ΔABC的交線ⅠⅡ。3．求交線ⅠⅡ與EF的交點K。k

k2

示意圖CAB過MN作鉛垂面PⅠPEⅡK以鉛垂面為輔助平面求線面交點示意圖Ff

e

e直線EF與

ABC相交，判別可見性。利用重影點判別可見性124

3

（

）kk

34示意圖(

)2

1

直線EF與平面ΔABC相交，判別可見性示意圖ⅠⅡⅢ1

(2

)(4)3利用重影點。判別可見性Ⅳ六、兩一般位置平面相交

求兩平面交線的問題可以看作是求兩個共有點的問題,

因而可利用求一般位置線面交點的方法找出交線上的兩個點，將其連線即為兩平面的交線。兩一般位置平面相交求交線

示意圖判別可見性例題6

兩一般位置平面相交，求交線步驟：1．用求直線與平面交點的方法，作出兩平面的兩個共有點K、E。求兩平面的交線ll

nmm

n

PVQV1

2

21k

ke

e2．連接兩個共有點，畫出交線KE。示意圖兩一般位置平面相交求交線的方法示意圖

利用求一般位置線面交點的方法找出交線上的兩個點，將其連線即為兩平面的交線。MBCAEKNL利用重影點判別可見性兩平面相交，判別可見性3

4

()3421()1

2

[例題6]試過K點作一直線平行于已知平面ΔABC，并與直線EF相交。分析

過已知點K作平面P平行于

ABC；直線EF與平面P交于G；連接KG，KG即為所求。FPEKG作圖m

n

g

gnmPV1

12

21．過點K作平面KMN//

ABC平面。2．求直線EF與平面KMN的交點G。3．連接KG，KG即為所求?！?-3直線與平面垂直、兩平面垂直一、直線與平面垂直

幾何條件

定理1

定理2

例題7

例題8

例題9

例題10二、兩平面垂直

幾何條件

例題11

例題12

例題13直線與平面垂直的幾何條件：若一直線垂直于一平面，則必垂直于屬于該平面的一切直線。

定理1若一直線垂直于一平面、則直線的水平投影必垂直于屬于該平面的水平線的水平投影；直線的正面投影必垂直于屬于該平面的正平線的正面投影。knk

n

定理2（逆）若一直線的水平投影垂直于屬于平面的水平線的水平投影；直線的正面投影垂直于屬于平面的正平線的正面投影，則直線必垂直于該平面。若直線垂直于平面內的兩條直線，則直線垂直于平面。[例題7]平面由

BDF給定，試過定點K作平面的法線。a

cac

n

nkk

h

[例題8]試過定點K作特殊位置平面的法線。hhhh

h

（a）（c）（b）[例題9]平面由兩平行線AB、CD給定，試判斷直線MN是否垂直于該平面。e

f

ef[例題11]試過點N作一平面，使該平面與V面的夾角為60°，與H面的夾角為45°。分析：平面的法線與平面的最大斜度線對同一投影面的夾角互為余角直徑任取NM

作圖過程|yM-yN||zM-zN|m

h

mnmk|zM-zN||yM-yN|30°45°mnm

n

k

hn

n兩平面垂直的幾何條件

若一直線垂直于一定平面，則包含這條直線的所有平面都垂直于該平面。AD

反之，兩平面相互垂直，則由屬于第一個平面的任意一點向第二個平面作的垂線必屬于第一個平面。兩平面垂直兩平面不垂直g

[例題12]平面由

BDF給定，試過定點K作已知平面的垂面。ha

cac

h

g[例題13]試判斷

ABC與相交兩直線KG和KH所給定的平面是否垂直。f

fd

d結論：因為AD直線不在

ABC平面上，所以兩平面不垂直。[例題14]試過定點A作直線與已知直線EF正交。EQ分析

過已知點A作平面垂直于已知直線EF，并交于點K，連接AK，AK即為所求。FAK作圖2

1a

efaf

e

1

22

1PV1

2k

k[例題15]求點K到直線AB的距離。a′bab′kk′m′mn′nKL真長l′l△ZKL△ZKL作圖步驟1、過點A作直線A