例談核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的備課與反思 論文

第-第-頁(yè)共1頁(yè)例談核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的備課與反思摘 要：核心素養(yǎng)強(qiáng)調(diào)了學(xué)生在知識(shí)、能力、態(tài)度、品格等方面的表現(xiàn)。因此教師要構(gòu)建學(xué)生的核心素養(yǎng)，就需要在備課時(shí)，充分了解學(xué)科核心素養(yǎng)，在關(guān)注基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)習(xí)積累的同時(shí)，重視信息收集、綜合分析與應(yīng)用、解決問(wèn)題、過(guò)程體驗(yàn)與態(tài)度形成等綜合能力、綜合素質(zhì)的培養(yǎng)。在學(xué)科核心素養(yǎng)導(dǎo)向下，教反思課堂教學(xué)中的收獲與遺憾。如此方能有目的、有方向地備“立德樹(shù)人”之課。關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng)，備課，心得與反思引言：無(wú)論教師專業(yè)水平有多高、對(duì)教材有多熟悉、經(jīng)驗(yàn)有多么豐富，倘若在備課時(shí)不能創(chuàng)新，就A版必修

￡a”ab2ab作者借此與大家一起從核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的角度分享上課心得與收獲的同時(shí)，反思教學(xué)的“遺憾”，使之指導(dǎo)和引領(lǐng)數(shù)學(xué)教學(xué)中的備課環(huán)節(jié)。因篇幅有限作者把本課的教學(xué)設(shè)計(jì)另附文后，供讀者參照。一、學(xué)科素養(yǎng)導(dǎo)向下的備課環(huán)節(jié)1．要在學(xué)科核心素養(yǎng)的指導(dǎo)下重構(gòu)課程理論和實(shí)踐表明，要在學(xué)科課程教學(xué)中進(jìn)行核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，滲透核心素養(yǎng)，就要以學(xué)科核心素養(yǎng)為依據(jù)，對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行重構(gòu)，防止教學(xué)內(nèi)容的重復(fù)性和教學(xué)方式的陳舊性。教師一方面要在學(xué)科核心素養(yǎng)導(dǎo)向下對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行重構(gòu)，以滿足學(xué)生多元需求，關(guān)注學(xué)科素養(yǎng)與跨學(xué)科整合，減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)；另一方面，教師要依據(jù)學(xué)科核心素養(yǎng)對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行分析整合，設(shè)計(jì)出利于學(xué)生全面發(fā)展的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法；最后，教師還要注意在學(xué)科核心素養(yǎng)的指導(dǎo)下，盡可能由低到高、由淺入深、由表及里由此及彼地進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，以實(shí)現(xiàn)知識(shí)的學(xué)科內(nèi)整合、學(xué)科間整合、內(nèi)外資源整合及綜合性整合等。（1）課標(biāo)定位強(qiáng)調(diào)不等式的現(xiàn)實(shí)背景和實(shí)際應(yīng)用，把不等式作為刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中不等關(guān)系的數(shù)學(xué)工具，作為描述刻畫(huà)優(yōu)化問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)模型，而不是從數(shù)學(xué)到數(shù)學(xué)的純理論探討。①探索并了解基本不等式的證明過(guò)程。②會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大（?。┲祮?wèn)題，初步認(rèn)識(shí)和理解屬性值的優(yōu)化思想。（2）課程重構(gòu)本節(jié)課選自《普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)》（人教A版）第二章2.2基本不等式第

￡a的代數(shù)、幾何背景及基本不等式的證ab2ab明及應(yīng)用．它以前面已學(xué)習(xí)的有關(guān)不等式的基本知識(shí)為基礎(chǔ)，通過(guò)具體情境發(fā)現(xiàn)生活中的不等關(guān)系，從歸納猜想到嚴(yán)密推理，從特殊現(xiàn)象到一般結(jié)論，從直觀感知到理性認(rèn)識(shí)，再?gòu)娜N不同角度引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)基本不等式

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(a,bab式 ￡aab2

(a,b2兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，著重引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)不等式

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(a,b在求解實(shí)際問(wèn)題的最大、最小值中的作用。（3）數(shù)學(xué)素養(yǎng)在基本不等式

￡a的推導(dǎo)過(guò)程中滲透了分析法的解題方法，突出體現(xiàn)了分析法證ab2ab明的關(guān)鍵步驟，意在把思維的時(shí)空切實(shí)留給學(xué)生，讓學(xué)生在探究的基礎(chǔ)上體會(huì)分析法的證明思路，加大了證明不等式

￡aab2ab

(a,b容埋下伏筆，同時(shí)在公式推導(dǎo)過(guò)程中滲透數(shù)形結(jié)合等思想方法，此內(nèi)容都是學(xué)生今后學(xué)習(xí)中必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。2.教學(xué)內(nèi)容要突出數(shù)學(xué)文化的育人功能目前的教學(xué)評(píng)價(jià)更多地針對(duì)升學(xué)考試，主要關(guān)注“知識(shí)與技能”，因此在實(shí)際的教學(xué)中圍繞“知識(shí)與技能”開(kāi)展教學(xué)，也就是對(duì)“知識(shí)理解”的教學(xué)。過(guò)分偏重知識(shí)理解就是當(dāng)下的教學(xué)現(xiàn)狀。因此，在發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo)指導(dǎo)下，要實(shí)現(xiàn)由“知識(shí)理解”向“知識(shí)遷移”，進(jìn)而向“知識(shí)創(chuàng)新”提升。教學(xué)內(nèi)容的編排要避免單一的知識(shí)傳授，單一的知識(shí)教育模式，會(huì)導(dǎo)致教師只重視書(shū)本知識(shí)的傳授，忽視創(chuàng)造知識(shí)的人及蘊(yùn)含知識(shí)的整個(gè)文化。這樣教育的結(jié)果就是導(dǎo)致學(xué)生只關(guān)注書(shū)本知識(shí)的學(xué)習(xí)和考試，而忽視了綜合素質(zhì)的提高，成為讀死書(shū)的“書(shū)呆子”。為此，教師在核心素養(yǎng)導(dǎo)向性的備課，就要注意將知識(shí)教育和文化二者結(jié)合可以更好地培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。本課在拓展探究環(huán)節(jié)，展示并介紹古代弦圖，是中國(guó)古代數(shù)學(xué)中著名的一副圖，叫做弦圖．它是由我國(guó)三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽設(shè)計(jì)的．早在1300多年以前，這位數(shù)學(xué)家就巧妙的利用弦圖中的面積關(guān)系證明了勾股定理，這是世界上最早證明勾股定理的方法之一．弦圖不僅造型美觀，而且蘊(yùn)藏著很多玄機(jī)．展示24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)，2002年在我們北京召開(kāi)的第24看上去象一個(gè)風(fēng)車(chē)，這不但象征中國(guó)人民的熱情好客，同時(shí)也充分展現(xiàn)了中國(guó)古代數(shù)學(xué)對(duì)世界所做出的重大貢獻(xiàn)．教師引導(dǎo)學(xué)生從面積的關(guān)系去找相等關(guān)系或不等關(guān)系，通過(guò)問(wèn)題情境的設(shè)計(jì)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力；其次，簡(jiǎn)略介紹中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的生平，滲透數(shù)學(xué)思想、關(guān)注數(shù)學(xué)文化．3.教學(xué)過(guò)程的組織要重視知識(shí)的創(chuàng)新如果教師在課堂教學(xué)中只關(guān)注知識(shí)的傳授結(jié)果，就會(huì)導(dǎo)致教學(xué)變成了單一的知識(shí)傳授，而關(guān)于知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程和發(fā)展脈絡(luò)被置于教學(xué)場(chǎng)景之外，使學(xué)生知其然而不知其所以然。這種偏重知識(shí)的傳授結(jié)果的教學(xué)盡管在一定程度上有利于知識(shí)傳承、慧脈延續(xù)，但因?yàn)檫^(guò)于將知識(shí)絕對(duì)真理化，造成教師的教學(xué)目標(biāo)就是讓學(xué)生對(duì)這些真理無(wú)條件的相信并接受，最終形成了“結(jié)果型”的教學(xué)模式，這種教學(xué)模式以知識(shí)掌握的數(shù)量和質(zhì)量、邏輯思維訓(xùn)練的顯示度作為主要的學(xué)習(xí)結(jié)果評(píng)價(jià)指標(biāo)，造成了只關(guān)注教學(xué)結(jié)果，不關(guān)注知識(shí)的創(chuàng)造。因此，教師應(yīng)變單純的知識(shí)傳授為知識(shí)的再創(chuàng)造，注重知識(shí)的生成，教學(xué)過(guò)程中還要注意知識(shí)的創(chuàng)新。在引入課題環(huán)節(jié)，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生去猜想并證明的結(jié)果，進(jìn)一步鞏固比較兩個(gè)代數(shù)式大小的方法，并讓學(xué)生明白歸納、猜想、證明是我們發(fā)現(xiàn)世界、認(rèn)知世界的重要的思維方法．探究1認(rèn)識(shí)不等式的幾何背景，通過(guò)展示均值不等式的幾何直觀解釋，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識(shí)，并使抽象的問(wèn)題更加直觀、形象，使學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)均值不等式的理解．本課還通過(guò)對(duì)相關(guān)重要不等式特殊化，揭示其內(nèi)在聯(lián)系和適用性的差異，從而達(dá)到從形和式兩種角度認(rèn)識(shí)基本不等式，還可以從數(shù)列的中項(xiàng)與數(shù)的均值等多角度認(rèn)識(shí)基本不等式，從而建構(gòu)知識(shí)體系。4.教學(xué)設(shè)計(jì)要注意理論與實(shí)踐相結(jié)合教學(xué)設(shè)計(jì)倘若偏重理論知識(shí)學(xué)習(xí)價(jià)值，就會(huì)過(guò)于強(qiáng)調(diào)學(xué)科結(jié)構(gòu)、概念層次和嚴(yán)密性，雖然使學(xué)生通過(guò)嚴(yán)格的邏輯思維訓(xùn)練形成了完善的個(gè)人認(rèn)知結(jié)構(gòu)，但這種教學(xué)結(jié)構(gòu)易將教學(xué)內(nèi)容緊緊圈定在學(xué)科內(nèi)部，卻割斷學(xué)科知識(shí)與其他學(xué)科的聯(lián)系，并將理論知識(shí)的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用排斥在學(xué)習(xí)之外，從而導(dǎo)致理論知識(shí)與實(shí)踐知識(shí)成為兩個(gè)獨(dú)立的范疇，最終會(huì)造成學(xué)生理論知識(shí)掌握得好，實(shí)踐能力不強(qiáng)，甚至幾近喪失的結(jié)果。因此，教師要在教學(xué)方法的設(shè)計(jì)上注意將理論與實(shí)踐結(jié)合起來(lái)，注重培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用能力。本課選取了生產(chǎn)、生活中的實(shí)例，強(qiáng)調(diào)基本不等式的現(xiàn)實(shí)背景和實(shí)際應(yīng)用，注重從實(shí)際問(wèn)題中抽象出不等式模型，把不等式作為刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中不等關(guān)系的數(shù)學(xué)工具，作為描述刻畫(huà)優(yōu)化問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)模型。鼓勵(lì)學(xué)生思考交流與動(dòng)手實(shí)踐，使學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考和勇于質(zhì)疑的習(xí)慣，同時(shí)也學(xué)會(huì)與他人合作交流、建立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和不怕困難的頑強(qiáng)精神。5.練習(xí)的設(shè)置要重視隱性知識(shí)的開(kāi)發(fā)顯性知識(shí)是指包含在顯性課程資源中的知識(shí)，而顯性課程資源由外顯素材資源和外顯條件性資源組成。前者是指以文字、語(yǔ)言、符號(hào)、圖形、圖表等在教材或媒體上顯示的知識(shí)，反映的是外顯的、靜態(tài)的結(jié)果型知識(shí)。后者是指課程實(shí)施的人力、物力和財(cái)力資源，主要涉?zhèn)戎貙?duì)對(duì)學(xué)生的解題訓(xùn)練，最終使學(xué)生囿于學(xué)科圈內(nèi)的知識(shí)演繹，使知識(shí)成為學(xué)科知識(shí)的無(wú)休止組合、疊加、變式。這樣的知識(shí)應(yīng)用并非創(chuàng)造新的知識(shí)，而是對(duì)已有概念、命題的從新組合，教學(xué)內(nèi)容失去情境化，缺乏學(xué)科之間的相互融通，將隱性知識(shí)拒之門(mén)外，導(dǎo)致教學(xué)中真正能發(fā)展學(xué)生素質(zhì)的資源減少。因此，教師要重視隱性知識(shí)的開(kāi)發(fā)，要將顯性知識(shí)和隱性知識(shí)相結(jié)合。分層練習(xí)使學(xué)生在完成必修教材基本任務(wù)的同時(shí)，拓展自主發(fā)展的空間，讓不同層次的學(xué)生都可以獲得成功的喜悅，發(fā)揮自己的潛能．同時(shí)，還可以安排課外閱讀我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的生平、數(shù)學(xué)研究軼事與成果，利用勾股圓方圖中的弦圖證明勾股定理的方法，布置課題學(xué)習(xí)探尋關(guān)于基本不等式的多種幾何證明方法，清洗衣物和蔬菜中的數(shù)學(xué)問(wèn)題等。6.教學(xué)方式要注重激發(fā)學(xué)生的主動(dòng)性新課程的理念倡導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地探索知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展，但這必須是在教師的引領(lǐng)之下，否則學(xué)生很容易誤入歧途．教師應(yīng)該盡力做好學(xué)生探究活動(dòng)的引路人．在設(shè)計(jì)這節(jié)課的教學(xué)時(shí)，課堂上采取讓學(xué)生“自主、合作、探索”的教學(xué)方式，教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者和服務(wù)者，為了讓學(xué)生的探究活動(dòng)積極有效，主要設(shè)想以問(wèn)題立意，始終圍繞基本不等式的發(fā)現(xiàn)、發(fā)展這一中心問(wèn)題并滲透數(shù)型結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想．在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生在課堂上的主體地位得到充分發(fā)揮，極大的激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，這正是新課程所倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)教學(xué)理念．二、教學(xué)反思1.肯定亮點(diǎn)（1）適度要求，精簡(jiǎn)實(shí)用《標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)不等式的現(xiàn)實(shí)背景和實(shí)際應(yīng)用，把不等式作為刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中不等關(guān)系的本課在設(shè)計(jì)上采用了由特殊到一般、從具體到抽象的教學(xué)策略．利用數(shù)形結(jié)合、類比歸納的思想，層層深入，通過(guò)學(xué)生自主探究，分析、整理出推導(dǎo)公式的不同思路．同時(shí)，借助多媒教學(xué)手段上黑板板書(shū)為主結(jié)合多媒體輔助教學(xué)的方式。（2）數(shù)形結(jié)合，強(qiáng)化直觀問(wèn)題3充分利用半圓中的有關(guān)線段的大小關(guān)系以及其他圖形中相關(guān)量的大小關(guān)系，揭示在學(xué)習(xí)不等式的幾何解釋過(guò)程中，可以鼓勵(lì)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)各種不同的幾何解釋。對(duì)于基本不等式的幾何解釋實(shí)質(zhì)可認(rèn)為是：在同一個(gè)圓中，半徑不小于半弦；或者認(rèn)為是：直角三角形斜邊的一半不小于斜邊的高。不管取哪一種意義，關(guān)鍵是要求學(xué)生理解其意義。（3）設(shè)置情景，重視應(yīng)用數(shù)學(xué)背景揭示了基本不等式在數(shù)學(xué)研究中的應(yīng)用，比如描述刻畫(huà)一般規(guī)律形成數(shù)學(xué)結(jié)論，再如證明不等式以及求函數(shù)的最值；幾何背景為學(xué)生理解基本不等式提供形象直觀的素材，給相關(guān)問(wèn)題以簡(jiǎn)潔明快的解釋，有利于學(xué)生形成從數(shù)與形的角度研究數(shù)學(xué)對(duì)象的意識(shí)，同時(shí)體現(xiàn)出數(shù)與形的內(nèi)在統(tǒng)一性；現(xiàn)實(shí)背景對(duì)幫助學(xué)生理解基本不等式的實(shí)際意義有不可替代的作用，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活、應(yīng)用于生活。在課堂教學(xué)過(guò)程中設(shè)置了多重問(wèn)題情境和探究活動(dòng)，充分相信學(xué)生的認(rèn)知潛能，防止鋪墊過(guò)多、提問(wèn)過(guò)細(xì)、指導(dǎo)過(guò)濫，多為學(xué)生提供探索的時(shí)間和空間，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)地從事觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)，再“探”中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。（4）總結(jié)方法、提煉思想課堂教學(xué)中對(duì)解決問(wèn)題的方法進(jìn)行概括總結(jié)，同時(shí)，力求體現(xiàn)相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法。如從特殊到一般的歸納猜想，再嚴(yán)密推理證明數(shù)學(xué)結(jié)論的數(shù)學(xué)研究方法，及從數(shù)與形的不同角度研究數(shù)學(xué)對(duì)象的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；還突出體現(xiàn)了優(yōu)化思想，如用基本不等式解決一些簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題，將不等式作為解決優(yōu)化問(wèn)題的工具。高中數(shù)學(xué)課程中優(yōu)化方法主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面，一個(gè)是不等式，即求不等式的邊界值；另一個(gè)是函數(shù)，研究函數(shù)的變化趨勢(shì)，求函數(shù)的最值。這些都將有助于學(xué)生體會(huì)優(yōu)化思想和數(shù)學(xué)在解決優(yōu)化問(wèn)題中的廣泛應(yīng)用，養(yǎng)成數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。2.反思不足、優(yōu)化設(shè)計(jì)（1）探究活動(dòng)的安排不夠精簡(jiǎn)，感覺(jué)時(shí)間緊，活動(dòng)不夠充分本課的教學(xué)主要內(nèi)容是使學(xué)生了解基本不等式的代數(shù)、幾何背景及基本不等式的證明與探究活動(dòng)及思考活動(dòng)，但在有限的課堂里，量的增多必然影響學(xué)生對(duì)問(wèn)題“質(zhì)”的認(rèn)識(shí)。課堂上留給學(xué)生思考、反饋的時(shí)間不夠充分，學(xué)生但思維過(guò)于“緊繃”，影響了教學(xué)效果。若是教師“不貪多”，把不同幾何背景的探究活動(dòng)放在課后，既能為教學(xué)環(huán)節(jié)的充分展開(kāi)節(jié)約時(shí)間，也可以為學(xué)生的深入“探究”、“對(duì)比”、“提升”提供保證。（2）課堂想“放”，但卻沒(méi)有完全“放”開(kāi)式求最值的基本步驟。在學(xué)生展示活動(dòng)中，沒(méi)有充分發(fā)掘出學(xué)生的問(wèn)題解決的閃光點(diǎn)，對(duì)學(xué)生在建立數(shù)學(xué)模型及求解過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題處理不夠得當(dāng)，一定層度上挫傷了部分同學(xué)的積極性，也沒(méi)有盡量全面了解每個(gè)學(xué)生的個(gè)性成長(zhǎng)情況。在教學(xué)中應(yīng)該在以下幾點(diǎn)上和同學(xué)們的交流更充分些：①正確理解題意、設(shè)變量。設(shè)變量時(shí)，一般可以把欲求最值的變量視為函數(shù)。②建立有關(guān)函數(shù)關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大（小）值問(wèn)題。③在允許的范圍內(nèi)，求出最大（小）值。④根據(jù)實(shí)際問(wèn)題寫(xiě)出答案。（3）讓學(xué)生更多參與討論，展示個(gè)性收獲。展示自己的收獲，以幫助教師更好地了解每個(gè)學(xué)生個(gè)體的成長(zhǎng)，同時(shí)提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成就感，分享學(xué)習(xí)的快樂(lè)。學(xué)科素養(yǎng)的提出，對(duì)于教師而言，是一個(gè)巨大的挑戰(zhàn)。而教師要在核心素養(yǎng)的指導(dǎo)下提前做好準(zhǔn)備，注意遵循科學(xué)的原則抓住備課的關(guān)鍵，不斷反思課堂教學(xué)中的得與失。如此方能真正體現(xiàn)核心素養(yǎng)的引領(lǐng)和導(dǎo)向作用，達(dá)到通過(guò)學(xué)科教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的目的。附文：教學(xué)設(shè)計(jì)（一）教學(xué)目標(biāo)1．知識(shí)與技能（1）理解和掌握基本不等式的證明過(guò)程及幾何意義；（2）能用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大（?。┲祮?wèn)題。2．過(guò)程與方法習(xí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步拓展求最值的方法。3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過(guò)本課的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生進(jìn)一步理解和體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活、應(yīng)用于生活。（二）教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：對(duì)基本不等式的理解和掌握難點(diǎn)：利用基本不等式求最值（三）教學(xué)方法啟發(fā)誘導(dǎo)、合作探究（四）教學(xué)過(guò)程Ⅰ．創(chuàng)設(shè)情境引入課題填寫(xiě)下表，ababa2ab與a的大小關(guān)系2121814141622……【問(wèn)題1】觀察

ab與a的大小關(guān)系，從中你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？2猜想得到結(jié)論：一般的，如果a,b?

R+,那么

ab￡a2【問(wèn)題2】你能給出它的證明嗎？證法1用比較法證明：ab2

ab作差= a= ab22

b變形1 2= ab0判斷符號(hào)1 2ab2ab當(dāng)且僅當(dāng)

，即ab時(shí)取""

取等條件證法2用分析法證明：要證

a32

ab(1)ab只要證a32

ab(2)a-2

ab30（3）(a-

b)230（4）a設(shè)計(jì)意圖:猜想、證明是我們發(fā)現(xiàn)世界、認(rèn)知世界的重要的思維方法．師歸納：ababab（1）如果把 看作是正數(shù)a,b的等差中項(xiàng)， 看作是正數(shù)a,b的等比中項(xiàng)，那么該定理可以2敘述為：兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng).ab為a,b2為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).Ⅱ．自主探究深化認(rèn)識(shí)1.認(rèn)識(shí)基本不等式的幾何背景【問(wèn)題3】能否給基本不等式一個(gè)幾何解釋呢？探究：課本第110頁(yè)的“探究”

ab為a,b的幾何平均數(shù).本節(jié)定理還可敘述在右圖中，ABC是AB上的一點(diǎn)，AC,BCC作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD．你能利用這個(gè)圖形得出基本不等式嗎？

￡a的幾何解釋ab2ab易證∽，那么CD2，即CD=

ab.ab這個(gè)圓的半徑為 ，顯然，它大于或等于CD，即2

ab ，ab2ab其中當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合，即a時(shí)，等號(hào)成立.abaab因此：基本不等式設(shè)計(jì)意圖:

￡ 幾何意義是“半徑不小于半弦”2通過(guò)展示均值不等式的幾何直觀解釋，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識(shí)，并使抽象的問(wèn)題更加直觀、形象，使學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)均值不等式的理解．2.拓廣探究三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽設(shè)計(jì)的．早在1300多年以前，這位數(shù)學(xué)家就巧妙的利用弦圖中的面積關(guān)系證明了勾股定理，這是世界上最早證明勾股定理的方法之一．弦圖不僅造型美觀，而且蘊(yùn)藏著很多玄機(jī)．（展示24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)）大家現(xiàn)在看到的是2002年在我們北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)．這個(gè)會(huì)標(biāo)設(shè)計(jì)源于古代弦圖．它的色調(diào)明暗相間，使它看上去象一個(gè)風(fēng)車(chē)，這不但象征中國(guó) 教師引導(dǎo)學(xué)生從面積的關(guān)系去找相等關(guān)系或不等關(guān)系．1．探究圖形中的不等關(guān)系【問(wèn)題4】請(qǐng)觀察會(huì)標(biāo)圖形，圖中有哪些特殊的幾何圖形?它們?cè)诿娣e上有哪些相等關(guān)系和不等關(guān)系?將圖中的“風(fēng)車(chē)”抽象成如圖，在正方形ABCD中四個(gè)全等的直角三角形．設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為a,b那么正方形的邊長(zhǎng)為

a2個(gè)直角三角形的面積的和是2ab的面積為a2．由于4個(gè)直角三角形的面積小于正方形的面積，我們就得到了一個(gè)不等式：a232ab方形的面積．)【問(wèn)題5】大家看，這個(gè)圖形里還真有點(diǎn)奧妙．我們從圖中找到了一個(gè)不等式．這里a、b的取值有沒(méi)有什么限制條件?不等式中的等號(hào)什么時(shí)候成立呢？當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切危碼EFGHa2．2．得到結(jié)論：一般的，如果a,bR,那么a2b22ab(當(dāng)且僅當(dāng)a3．思考證明：你能給出它的證明嗎？證明：因?yàn)閍2b22ab(ab)2當(dāng)a1(a-b)2(a-b)2所以，(ab)20，即(a2b2)2ab.第第-0-頁(yè)共1頁(yè)師歸納：ab, 對(duì)于不等式(a2)32aba、b代替a,b，可得a32a

ab，通常我們把上式寫(xiě)作：

ab￡a(a>0,b>0)2（2）以上，我們是從數(shù)和形兩個(gè)角度充分分析了這個(gè)不等式.可見(jiàn)，數(shù)與形是一個(gè)事物的兩個(gè)方面．設(shè)計(jì)意圖:趙爽的生平，滲透數(shù)學(xué)思想、關(guān)注數(shù)學(xué)文化．Ⅲ．實(shí)際運(yùn)用強(qiáng)化新知100m2的矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少？（2）一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大．最大面積是多少？分析：（1）當(dāng)長(zhǎng)和寬的乘積確定時(shí)，問(wèn)周長(zhǎng)最短就是求長(zhǎng)和寬和的最小值（2）當(dāng)長(zhǎng)和寬的和確定時(shí)，求長(zhǎng)與寬取何值時(shí)兩者乘積最大解：（1）設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為xm,寬為ym,則xy籬笆的長(zhǎng)為2（x）mxyxxy由 3 ，2可得x321002（x）340等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x最短籬笆為40m．

=y時(shí)成立，此時(shí)x

=y10m(2)設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為xm,寬為ym,則2（