證明1234(湘教九年級(jí)上冊(cè))

證明本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容2.4

什么叫作證明？說(shuō)一說(shuō)

從一個(gè)命題的條件出發(fā)，通過(guò)講道理(推理)，得出它的結(jié)論成立，從而判斷該命題為真，這個(gè)過(guò)程叫作證明．

于是我們?cè)谧C明一個(gè)命題時(shí)，首先要分清命題的條件是什么，結(jié)論是什么，把條件作為已知的內(nèi)容，把結(jié)論作為求證的內(nèi)容；

其次要從已知條件出發(fā)，運(yùn)用概念的定義、公理和已經(jīng)證明過(guò)的定理，通過(guò)講道理(推理)，得出它的結(jié)論成立.

這個(gè)推理的過(guò)程就是證明的過(guò)程．

注意：證明的每一步都要有根據(jù)．舉例例1證明：兩條直線被第三條直線所截，如果有一對(duì)同位角相等，那么其他幾對(duì)同位角也相等，并且內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．已知：直線AB，CD被直線MN所截，如圖2-3，∠1=∠2．

求證：∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8，∠7=∠2，∠5=∠4，∠5與∠2互補(bǔ)，∠7與∠4互補(bǔ)．

圖2-3證明:∵

∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°，(平角的定義)∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4.(等量代換)又∵∠1=∠2，(已知)∴∠3=∠4.(等量減等量，差相等)∵∠1=∠7，∠2=∠8，(對(duì)頂角相等)

∠1=∠2，(已知)∴∠7=∠8.(等量代換)同理可證∠5=∠6．圖2-3∵∠1=∠7，(對(duì)頂角相等)

∠1=∠2，(已知)∴∠7=∠2.(等量代換)同理可證∠5=∠4．∵∠1+∠5=180°，∠1=∠2，∴∠2+∠5=180°，(等量代換)即∠2與∠5互補(bǔ)．

同理可證

∠7與∠4互補(bǔ)．

圖2-3例2證明：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．

已知：如圖2-4，∠1是△ABC的一個(gè)外角，∠A，∠B是和它不相鄰的內(nèi)角，∠2是和它相鄰的內(nèi)角．

求證：∠1=∠A+∠B．圖2-4舉例證明:∵∠1+∠2=180°，(平角的定義)∠A+∠B+∠2=180°，(三角形的內(nèi)角和定理)∴∠1=180°-∠2，(等量減等量，差相等)∠A+∠B=180°-∠2，(等量減等量，差相等)從而∠1=∠A+∠B．(等量代換)圖2-4練習(xí)1.證明：兩條直線被第三條直線所截，如果有一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，那么另一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角也相等，并且同位角相等．

已知：如圖，AB、CD被MN所截，∠7=∠2．求證：∠5=∠4，∠1=∠2．證明:∵∠7+∠5=180°，∠2+∠4=180°，∴∠7+∠5=∠2+∠4.又∵∠7=∠2，∴∠5=∠4.∵∠1=∠7，∴

∠1=∠2.2.證明：三角形的外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角．已知：∠1是△ABC的外角，∠A，∠B是和它不相鄰的內(nèi)角.

求證：∠1>∠A，∠1>∠B..證明：∵∠1+∠ACB=180°，∠A+∠B+∠ACB

=180°，∴∠1=∠A+∠B.∴∠1>∠A，∠1>∠B3.利用平行線的性質(zhì)定理Ⅰ(即，兩直線平行，同位角相等)，證明：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等．已知：AB∥CD，且AB，CD與直線MN相交于M，N.求證：∠1=∠2，∠3=∠4.證明：∵AB∥CD，∴∠2=∠5.

又∠1=∠5，∴∠1=∠2.

同理可證：∠3=∠4.說(shuō)一說(shuō)

角平分線有什么性質(zhì)？

角平分線上任意一點(diǎn)到角兩邊的距離相等．

我們?cè)?jīng)在本套教材七年級(jí)下冊(cè)第5章的5.5節(jié)用軸反射證明了這條性質(zhì).現(xiàn)在我們用另一種方法來(lái)證明它.

舉例例3

證明：角平分線上任意一點(diǎn)到角兩邊的距離相等．

圖2-5已知：如圖2-5，OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P是OC上任意一點(diǎn)，PD⊥OA，垂足為D，PE⊥OB，垂足為E．求證：PD=PE．證明:在△OPD與△OPE中，∵∠1=∠2，(已知)∠ODP=∠OEP=90°，(已知)OP=OP，∴△OPD≌△OPE．(角角邊)從而PD=PE.(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)圖2-5做一做

在教材七年級(jí)下冊(cè)第5章的5.6節(jié)中，我們用軸反射證明了“有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形”.你能給出另一種證明方法嗎？請(qǐng)你完成下面的證明：

例4

證明：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形．

圖2-6證明:已知：如圖2-6，在△ABC中，∠B=∠C.

求證：AB=AC.證明作邊BC上的高AD.

在△ABD與△ACD中，∵

=

，(

)

=

=

，(

)

=

，()∴△ABD≌△ACD.(

)從而AB=AC.

(

)∠B∠C已知∠ADB∠ADC90°凡直角都相等ADADAAS同邊相等對(duì)應(yīng)邊相等圖2-6D練習(xí)1.證明：到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上．

已知：點(diǎn)P為AOB內(nèi)一點(diǎn)，且PN⊥OB于N，PM⊥OA于M，PN=PM.求證：P在∠AOB的平分線上.證明：連接OP.在Rt△OPM和Rt△OPN中，∵PN=PM，OP=OP，∴Rt△OPM≌Rt△OPN.∴∠AOP=∠BOP，∴OP為∠AOB的平分線，∴

P在∠

AOB的平分線上.2.證明：每個(gè)內(nèi)角都等于60°的三角形是等邊三角形．

已知：△ABC

中，∠A，∠B，∠C為60°，求證：△ABC為等邊三角形.ABC證明：∵∠A=∠B=∠C=60°，∴AB=AC=BC.∴△ABC為等邊三角形.3.已知：如圖2-7，△ABC的兩個(gè)外角∠EBC，∠FCB

的角平分線相交于點(diǎn)P．求證：點(diǎn)P在∠A的平分線上．提示:過(guò)點(diǎn)P作PN⊥AF于N，PM⊥BC于M，PD⊥AE于D，再利用角的平分性質(zhì)證PN=PD，則P在∠A的平分線上.圖2-7DNM證明：（角平分線上任意一點(diǎn)到角兩邊的距離相等.）作PN⊥AF于點(diǎn)N，PM⊥BC于點(diǎn)M，PD⊥AE于點(diǎn)D∵P在∠EBC的平分線上,又在∠FCB的平分線上∴PM=PD

PM=PN∴PD=PN（等量代換）∴P在∠BAC的平分線上如圖2-8，平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為O，過(guò)點(diǎn)O作一條直線分別與邊AB，DC交于點(diǎn)E，F(xiàn).

OE=OF嗎？你能給出證明嗎？動(dòng)腦筋OE=OF.圖2-8證明:∵

AB∥DC，(平行四邊形的定義)圖2-8∴∠1=∠2.(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)在△OAE與△OCF中，∵∠1=∠2，∠3=∠4，(對(duì)頂角相等)OA=OC，(平行四邊形的對(duì)角線互相平分)∴△OAE≌△OCF.(角邊角)從而OE=OF.(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)

做一做

你能利用“平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)角線的交點(diǎn)是它的對(duì)稱中心”這條性質(zhì)，來(lái)證明上題結(jié)論OE=OF嗎？圖2-8舉例例4

已知：如圖2-9，在△ABC中，邊AB，BC，AC的中點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，連接DF，F(xiàn)E.圖2-9

求證：（1）四邊形BEFD是平行四邊形；

（2）四邊形BEFD的周長(zhǎng)等于AB+BC.圖2-9

（1）四邊形BEFD是平行四邊形；證明:∵DF是△ABC的一條中位線，∴DF∥BC，DF=BC.(三角形中位線定理)

同理FE∥AB，F(xiàn)E=AB．因此四邊形BEFD是平行四邊形.(平行四邊形的定義)

（2）四邊形BEFD的周長(zhǎng)等于AB+BC.證明:由于平行四邊形的對(duì)邊相等，因此四邊形BEFD的周長(zhǎng)等于做一做已知：如圖2-10，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是邊

AB，AC，BC的中點(diǎn)，連接DE，AF．求證：AF與DE互相平分．

圖2-10證明:連接

，∵

，∴

.(

)同理

.

因此四邊形

是

.(

)從而

.(

)

DF，EFE，F(xiàn)分別為AC，BC的中點(diǎn)EF∥AB中位線定理DF∥ACADFE平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形DE與AF互相平分平行四邊形兩對(duì)角線互相平分圖2-10結(jié)論由此我們可以得到下面的結(jié)論：

三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分.練習(xí)1.證明：平行四邊形的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)到一組對(duì)邊的距離相等．

已知：平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD

相交于O，EF過(guò)O，且EF⊥AB于E，

EF⊥CD于F.求證：OE=OF.證明：在△OCF和△OAE中，∠1=∠2，

∠4=∠3，AO=OC，△OCF≌

△OAE.OE=OF.2.證明：四個(gè)角都相等的四邊形是矩形.

提示:利用四邊形的內(nèi)角和為360°，證每一個(gè)角為90°.因?yàn)槊總€(gè)角都為直角的四邊形是矩形.說(shuō)一說(shuō)

等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角有什么關(guān)系？相等.

舉例例5證明：等腰梯形上底的中點(diǎn)與下底兩端點(diǎn)的距離相等．已知：如圖2-11，在等腰梯形ABCD中，上底DC的中點(diǎn)為E，連接EA，EB．求證：EA=EB．證明:

在△ADE與△BCE中，圖2-11∵AD=BC，(等腰梯形的定義)DE=CE，(已知)∠D=∠C，(等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等)∴△ADE≌△BCE.(邊角邊)

從而EA=EB.(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)做一做

剪一個(gè)三角形紙片，用折疊的方法找出每一條邊的垂直平分線，從三條折痕看出，它們是否相交于一點(diǎn)？由此你能作出什么猜測(cè)？你能證明這個(gè)猜測(cè)為真嗎？

證明思路是：去證三角形兩條邊的垂直平分線的交點(diǎn)在第三條邊的垂直平分線上.

舉例例6已知：如圖2-12，在△ABC中，邊AB，BC的垂直平分線相交于點(diǎn)O．求證：點(diǎn)O在邊AC的垂直平分線上．證明連接OA，OB，OC．∵點(diǎn)O在線段AB的垂直平分線上，∴OA=OB.(垂直平分線的性質(zhì)定理)

同理OC=OB.

因此OA=OC.(等量代換)

從而點(diǎn)O在線段AC的垂直平分線上.(到線段兩端距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上)圖2-12結(jié)論從例6立即得到:

三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．

舉例例7證明：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角不互補(bǔ)，那么這兩條直線必相交.

已知：如圖2-13，直線AB，CD被直線MN所截，同旁內(nèi)角∠1和∠2不互補(bǔ).

求證：直線AB與CD相交.

圖2-13證明假如直線AB與CD不相交，圖2-13則它們沒(méi)有公共點(diǎn)，從而AB∥CD.于是∠1與∠2互補(bǔ)(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)).這與已知條件矛盾.因此直線AB與CD相交.

結(jié)論

像例7那樣，先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后經(jīng)過(guò)推理，得出了矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立，這種證明方法稱為反證法.

練習(xí)1.已知：在△ABC中，∠A與∠B的平分線相交于點(diǎn)O.

求證：點(diǎn)O在∠C的平分線上.

證明:過(guò)O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F.∵O在∠A的平分線上，∴OD=OE.同理OE=OF，OD=OF，∴

O在∠C的平分線上.2.從第1題中，你能得出什么結(jié)論呢？

答：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等.1.已知：在△ABC中，∠A與∠B的平分線相交于點(diǎn)O.

求證：點(diǎn)O在∠C的平分線上.

3.證明：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角不相等，那么這兩條直線必相交．已知：AB，CD被直線MN所截，同位角∠1，∠2不相等.求證：AB與CD相交.證明：假如直線AB與CD不相交，則它們無(wú)公共點(diǎn)，從而AB∥CD，于是∠1=∠2，與已知矛盾.

因此AB與CD必相交.小結(jié)與復(fù)習(xí)

本章介紹歐幾里得開(kāi)創(chuàng)的公理化方法，以基本定義和公理作為推理的出發(fā)點(diǎn)，去判斷其他命題的真假，已經(jīng)判斷為真的命題(即定理)也可以作為判斷其他命題的真假的依據(jù).

敘述一件事情的句子(陳述句)，如果要么是真的，要么是假的，那么稱這個(gè)陳述句是一個(gè)命題.

對(duì)一個(gè)概念的特征性質(zhì)的描述叫作這個(gè)概念的定義.概念是在對(duì)客觀現(xiàn)象的觀察中，抓住主要特征抽象出來(lái)的，這個(gè)主要特征就是這個(gè)概念的定義.

如果一個(gè)命題敘述的事情是真的，那么稱它是真命題.如果一個(gè)命題敘述的事情是假的，那么稱它是假命題．

在“如果……，那么……”形式的命題中，“如果”連接的部分是條件，“那么”連接的部分是結(jié)論.

從一個(gè)命題的條件出發(fā)，通過(guò)講道理(推理)，得出它的結(jié)論成立，從而判斷該命題為真，這個(gè)過(guò)程叫作證明.

找出一個(gè)例子，它符合命題的條件，但它不符合命題的結(jié)論，從而判斷這個(gè)命題為假，這個(gè)過(guò)程叫作舉反例．

如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么稱這兩個(gè)命題是互逆的命題，其中的一個(gè)叫作另一個(gè)的逆命題．

一個(gè)命題為真不能保證它的逆命題為真，有可能它的逆命題為假．

公理是指人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的公認(rèn)的真命題，作為證明的原始依據(jù).

定理是指已經(jīng)判斷為真的命題.它也可以作為判斷其他命題的真假的依據(jù).

把哪些真命題作為公理應(yīng)當(dāng)遵循下列原則：直觀，易于為大家所公認(rèn)；夠用；盡可能少；相互之間不鬧矛盾等．

根據(jù)上述原則并且考慮到同學(xué)們的實(shí)際情況，我們編寫(xiě)的這套教材到目前為止選擇了十個(gè)真命題作為公理，詳見(jiàn)本章2.3節(jié)．

如果一個(gè)定理的逆命題也是定理，那么稱它是原來(lái)定理的逆定理，這兩個(gè)定理稱為互逆的定理．

從命題的條件出發(fā)，運(yùn)用定義、公理和已證明過(guò)的定理，經(jīng)過(guò)推理，證明命題的結(jié)論成立，這種證明方法稱為綜合法．

先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后經(jīng)過(guò)推理，得出了矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立，這種證明方法稱為反證法．

在證明一個(gè)命題為真時(shí)，關(guān)鍵是通過(guò)分析所要證明的結(jié)論和已知條件，找出證明思路．

在證明過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)每一步都有根據(jù)，不能憑直觀和想當(dāng)然．

熟練地掌握已經(jīng)學(xué)過(guò)的定理、概念的定義和公理，是做好證明題的前提條件．中考試題例1