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文檔簡介
第三章晶體的宏觀對稱3.1對稱的概念3.2晶體的對稱3.3晶體的宏觀對稱元素和對稱操作3.4對稱元素的組合3.5晶體的32種點群及其符號3.6晶體的對稱分類3.7準(zhǔn)晶體的對稱分類對稱性是晶體的根本性質(zhì)之一,一切晶體都對稱的。晶體的對稱性首先最直觀地表現(xiàn)在它們的幾何多面體外形上,但不同晶體的對稱性往往又是互有差異的。因此,可以根據(jù)晶體對稱特點的差異來對晶體進行科學(xué)分類。此外,晶體的對稱性不僅包含宏觀幾何意義上的對稱,而且也包含物理性質(zhì)等宏觀意義上的對稱。對稱性對于理解晶體的一系列性質(zhì)和識別晶體,以至對晶體的利用都具有重要的意義。本章將只限于討論晶體在宏觀范疇內(nèi)所表現(xiàn)的對稱性,即晶體的宏觀對稱。3.1對稱的概念對稱〔symmetry〕:物體〔或圖形〕中相同局部之間有規(guī)律的重復(fù)。對稱的定義說明,對稱的物體或圖形,至少由兩個或兩個以上的等同局部組成,對稱的物體通過一定的對稱操作(即所謂的“有規(guī)律〞)后,各等同局部調(diào)換位置,整個物體恢復(fù)原狀,分辨不出操作前后的差異。例如建筑物的左右兩邊可以通過中平面反映彼此重合。上述對稱概念只是樸素的定義。實際上,對稱不僅是自然科學(xué)最普遍和最根本的概念之一,它也是建造大自然的一種神秘的密碼,同時也是人類文明史上永恒的審美要素。3.1對稱的概念3.1對稱的概念七律-早春〔對稱回文〕
早春寒谷寒春早
林木香茶香木林
疊疊青山青疊疊森森暮竹暮森森美蘭雨舍雨蘭美
金果田中田果金
燕喜天霄天喜燕音回一曲一回音
萬有引力公式庫倫公式形象對稱對稱操作和對稱元素共五類:反伸操作和對滿意〔centerofsymmetry〕反映操作和對稱面〔symmetryplane〕旋轉(zhuǎn)操作和對稱軸〔symmetryaxis〕旋轉(zhuǎn)反伸操作和倒轉(zhuǎn)軸〔rotoinversionaxis〕旋轉(zhuǎn)反映操作和映轉(zhuǎn)軸〔rotoreflectionaxis〕3.3晶體的宏觀對稱元素和對稱操作如果設(shè)空間中一點的坐標(biāo)為〔x,y,z〕,經(jīng)過對稱操作后變化到另一點〔X,Y,Z〕,那么有:或其中稱為對稱變換矩陣。對任一對稱操作,都有惟一的對稱變換矩陣與之對應(yīng)。
3.3晶體的宏觀對稱元素和對稱操作對滿意為一假想的幾何點,相應(yīng)的對稱操作是對于這個點的反伸。這個對稱操作的習(xí)慣符號為C,國際符號記為3.3.1對滿意
如果通過對稱中心作任意一直線,那么此直線上距對稱直線等距離的兩端,必為可找到的對應(yīng)點。一個具有對滿意的圖形,其相對應(yīng)的面、棱、角都表達為反向平行??梢酝普摮?,晶體中假設(shè)存在對滿意,其晶面必然兩兩平行而且相等。這一點可以用作判別晶體或晶體模型有無對滿意的依據(jù)。3.3.1對滿意對稱面為假想的平面,相應(yīng)的對稱操作為對此平面的反映。習(xí)慣符號為P,國際符號為m。如果m和xy平面一致,那么對稱變化矩陣為:3.3.2對稱面如果m和xz以及yz平面一致,那么相應(yīng)的對稱轉(zhuǎn)換矩陣那么可分別表示為:3.3.2對稱面如果垂直于對稱面作任一直線,那么在此直線上,位于對稱面的兩側(cè),并且距對稱面等距離的地方,必可找到性質(zhì)完全相同的對應(yīng)點。晶體中如有對稱面的存在,那么必經(jīng)過晶體的幾何中心,并能將晶體等分為互成鏡像反映的兩個相同局部。對稱面可以是垂直等分某些晶面的平面,或是包含某些晶棱的平面。3.3.2對稱面對稱軸為一假想的直線,對應(yīng)的對稱變換為圍繞此直線的旋轉(zhuǎn),每轉(zhuǎn)過一定角度,各等同局部就發(fā)生一次重復(fù)。旋轉(zhuǎn)一周重合的次數(shù)叫軸次,用n表示;整個物體復(fù)原需要的最小轉(zhuǎn)角那么稱為基轉(zhuǎn)角。n=1,為一次軸,國際符號為1。二、三、四、六次軸,國際符號分別記為2,3,4,6。對稱軸的習(xí)慣符號用Ln表示。3.3.3對稱軸晶體對稱定律〔lawofcrystalsymmetry〕:在晶體中,只可能出現(xiàn)軸次為一次、二次、三次、四次和六次的對稱軸,而不存在五次及高于六次的對稱軸。3.3.3對稱軸3.3.3對稱軸3.3.3對稱軸新位置的坐標(biāo)為:x'1=-rsin(
-
)=-r(sin
cos
-cos
sin
)x'2=rcos(
-
)=r(cos
cos
+sin
sin
)cos
=x2/r及sin
=x1/r,即x'1=x1cos-x2sin
x'2=x1sin+x2cos
在X坐標(biāo)系有一點r(x1,x2,x3),它也是從原點到此點的矢量。如果這一矢量繞X3軸轉(zhuǎn)動
角,點到達的新位置為r
(x'1,x'2,,x'3)。物體繞某個軸轉(zhuǎn)動的變換3.3.3對稱軸因此,r到r'變換的解析式是∶又可寫成r'=Rr,式中R是變換矩陣3.3.3對稱軸教材P.26更一般的情況,r繞任意方向的單位矢量S=uX1+vX2+wX3〔把S記作[uvw]〕轉(zhuǎn)動角到達r的變換矩陣是:3.3.3對稱軸二次軸的變換矩陣:3.3.3對稱軸三次軸的變換矩陣:3.3.3對稱軸因為三次旋轉(zhuǎn)軸也常選用仿射坐標(biāo)系:a1、a2軸的單位矢量長度相同夾角為120o,a1、a2軸都垂直于c軸。3.3.3對稱軸四次軸的變換矩陣:3.3.3對稱軸六次軸的變換矩陣:3.3.3對稱軸3.3.3對稱軸選用仿射坐標(biāo)系一個晶體可以沒有對稱軸,也可以有一個和假設(shè)干個對稱軸,且對稱軸的數(shù)目也可以不同。如果在對稱軸的方向上有不同軸次的對稱軸,那么只取軸次最高的那一個。在晶體中如有對稱軸存在,其可能的位置是,通過晶體的幾何中心,并且為某兩頂角的連線,或兩平行晶面中心的連線,或某兩晶棱中心的連線;如晶體無對稱中心時,那么還可能是某一晶面的中心、晶棱的中點及頂角三者任意兩者之間的連線。3.3.3對稱軸3.3.3對稱軸倒轉(zhuǎn)軸亦稱旋轉(zhuǎn)反伸軸,又稱反軸或反演軸。輔助的幾何要素有兩個:一根假想的直線和此直線上的一個定點。相應(yīng)的對稱操作就是圍繞此直線旋轉(zhuǎn)一定的角度及對于此定點的倒反〔反伸〕。3.3.4倒轉(zhuǎn)軸倒轉(zhuǎn)軸的兩個變換動作是構(gòu)成整個對稱變換的不可分割的兩個組成局部,無論是先旋轉(zhuǎn)后倒反,或是先倒反后旋轉(zhuǎn),兩者的效果完全相同,但都是在兩個變換動作連續(xù)完成以后而使晶體復(fù)原。倒轉(zhuǎn)軸同樣遵守晶體對稱定律,只有一次、二次、三次、四次和六次,國際符號分別記為,,,和。習(xí)慣符號為Lin,n為軸次。3.3.4倒轉(zhuǎn)軸變換矩陣3.3.4倒轉(zhuǎn)軸3.3.4倒轉(zhuǎn)軸我們可以得出各次倒轉(zhuǎn)軸與其它對稱要素〔或?qū)ΨQ要素的聯(lián)合〕間的等效關(guān)系如下:Li1=L1+C=CLi2=L2+P=P(PLi2)Li3=L3+C(L3Li3)Li6=L3+P(L3Li6,PL3)只有Li4是一個獨立的對稱要素,不能由其他簡單或它們的聯(lián)合來等效代替。3.3.4倒轉(zhuǎn)軸在晶體中,獨立的Li4和Li6出現(xiàn)的可能情況是:一個晶體,如沒有C,但有一L3,且垂直此L3還有一個P時,那么在此L3的方向上肯定有一個Li6存在;一個晶體,如沒有C,但有L2時,那么此L2可能就是一個Li4,但并非必定就是一個Li4;假設(shè)確為Li4時,那么此L2將被包含在Li4之間而不再獨立存在。3.3.4倒轉(zhuǎn)軸對于倒轉(zhuǎn)軸,通常只考慮其中的Li4和Li6兩者,Li4作為一種獨立的對稱要素,自然是必須考慮的。Li6雖與L3+P的聯(lián)合等效,但它在對稱分類中有特定的意義〔屬六方晶系〕,所以我們采用Li6代替L3+P的聯(lián)合。映轉(zhuǎn)軸亦稱旋轉(zhuǎn)反映軸。它的輔助幾何要素為一根假想的直線和垂直于此線的一個平面;相應(yīng)的對稱操作就是圍繞此直線旋轉(zhuǎn)一定的角度及對于此平面反映的復(fù)合。在晶體中只有一次、二次、三次、四次和六次的映轉(zhuǎn)軸。習(xí)慣符號為Lsn,n為軸次。3.3.5映轉(zhuǎn)軸3.3.5映轉(zhuǎn)軸每一個映轉(zhuǎn)軸都可以由與之等效的倒轉(zhuǎn)軸來代替:Ls1=Li2=L1+P=P(PLi2)Ls2=Li1=L1+C=CLs3=Li6=L3+P(L3
Li6,PL3)Ls6=Li3=L3+C(L3
Li3)Ls4=Li4基于這種關(guān)系,在實際工作中,通常只考慮倒轉(zhuǎn)軸的情況,而一般不再討論映轉(zhuǎn)軸時的情形。3.3.5映轉(zhuǎn)軸總結(jié)3.4對稱元素的組合對于晶體而言,對稱元素的存在往往不是孤立的。如果一個晶體的對稱元素多于一種,那么就涉及對稱元素的組合問題。晶體的宏觀對稱元素都相交于晶體的中心,并且在進行對稱操作的時候,中心這一點是不移動的,各種對稱操作構(gòu)成的集合符合數(shù)學(xué)中的群的概念,所以對稱元素的組合也叫點群〔pointgroup〕,也稱對稱型。對稱元素的組合不是任意的,必須符合對稱元素的組合定律。對稱元素組合規(guī)律可以用最根本的數(shù)學(xué)關(guān)系式來描述。歐拉定理:假設(shè)兩個基轉(zhuǎn)角分別為和的對稱軸以角度相交,那么經(jīng)過兩者之交點必定有另一種對稱軸存在,它的基轉(zhuǎn)角為,且于兩原始對稱軸的交角為′和。3.4對稱元素的組合根據(jù)上面三式可以推論,如果軸次分別為n和m的對稱軸Ln和Lm以角度斜交,那么圍繞Ln必定有n個共點且對稱分布的Lm;同時,圍繞Lm必定有m個共點且呈對稱分布的Ln;且任兩個相鄰的Ln和Lm之間的交角等于。由于對稱元素均可以表達為對稱軸(包括倒轉(zhuǎn)軸)的形式,所以對稱元素之間的組合規(guī)律就可以用上述的三個公式來描述。對于對稱軸之間的垂直與包含特殊的情況,即角度為O,90等特殊角,可以使得上述的表達更加簡化。3.4對稱元素的組合定理1:如果一個二次軸L2垂直于n次軸Ln,那么必定有n個L2垂直于Ln,且相鄰的兩個L2的夾角為Ln的基轉(zhuǎn)角的一半〔360o/2n〕。逆定理:如任二相鄰L2之間均以角相交時,那么過兩者交點之公共垂線必為一n次對稱軸Ln,n=360o/2。3.4對稱元素的組合L2Ln()LnnL2()L2(L1L2)、3L2(L22L2)、L33L2、L44L2、L66L2定理2:如果有一個對稱面P垂直于偶次對稱軸Ln,那么在其交點存在對稱中心C。逆定理:如有一個偶次對稱軸Ln與對稱中心C共存時,那么過C且垂直于Ln的平面必為一對稱面P。反之如果有一P和C共存時,那么過C點且垂直于P的直線必為一L2〔此L2有時可能包含在L4或L6內(nèi)而不以獨立對稱要素的形式出現(xiàn)〕。3.4對稱元素的組合LnP()=LnCLnPC(n=偶數(shù))L2PC、L4PC、L6PC3.4對稱元素的組合定理3:如有一個對稱面P包含一n次對稱軸Ln〔即Ln與P平行且位于P平面之內(nèi)〕時,那么必有n個P同時包含此Ln,且任二相鄰P之間的交角均等于360o/2n。逆定理:如任二相鄰P之間均以角相交時,那么兩者之交線必為一n次對稱軸Ln,n=360o/2。LnP()LnnPP(L1P)、L22P、L33P、L44P、L66P3.4對稱元素的組合定理4:如有一個對稱面P包含旋轉(zhuǎn)反伸軸Lin,或有一個二次軸L2垂直旋轉(zhuǎn)反伸軸Lin時,那么當(dāng)n為奇數(shù)那么必有n個P同時包含此Lin和n個L2垂直此Lin,且P之法線與L2平行,相鄰之間的夾角均為360o/2n;當(dāng)n為偶數(shù)時,必有n/2個P同時包含此Lin,并有n/2個共點的L2垂直此Lin,且P之法線與相鄰L2之間的夾角均為360o/2n。逆定理:如有一L2與一P斜交,P的法線與L2的交角為,那么平行P且垂直于L2的垂線必為一n次旋轉(zhuǎn)反伸軸Lin,n=360o/2。3.4對稱元素的組合3.4對稱元素的組合LinP()=LinL2()LinnL2nP(n=奇數(shù))LinP()=LinL2()Linn/2L2n/2P(n=偶數(shù))Li33L23P(L33L23PC)、Li42L22P、Li63L23P3.4對稱元素的組合在晶體外形中,表現(xiàn)出來的對稱元素只有對滿意、對稱面以及軸次為1,2,3,4,6的對稱軸和倒轉(zhuǎn)軸(映轉(zhuǎn)軸),與這些對稱元素相應(yīng)的對稱操作都是點操作。當(dāng)晶體具有一個以上的對稱元素時,這些對稱元素一定要通過一個公共點,即晶體的中心。將所有可能的對稱元素組合加起來,總共有32種類型,這32種類型相應(yīng)的對稱操作群稱為晶體學(xué)的32種點群,也叫32種對稱型。3.5晶體的32種點群及其符號3.5晶體的32種點群及其符號為了推導(dǎo)的方便,把高次軸(n>2)不多于一個的組合稱為A類組合,高次軸多于一個的組合稱為B類組合。A類組合的推導(dǎo)獨立的宏觀對稱元素,有10種:L1,L2,L3,L4,L6,C(=Li1),P〔=L3+C〕,Li4,Li6〔=L3+P〕〔1〕對稱元素單獨存在。此時可能的組合為L1、L2、L3、L4、L6、C、P、L3C、Li4和L3P〔2〕對稱軸與對稱軸的組合由于A類組合高次軸不多于一個,所以只考慮Ln和L2的組合。當(dāng)和L2平行,按照對稱軸選取原那么,只選取高次軸,所以這種情形沒有意義;當(dāng)和L2斜交,那么會出現(xiàn)多個Ln的情況,那么不屬于A類的組合。因此這里只考慮兩者垂直的組合。根據(jù)定理1,L2、3L2、L33L2、L44L2、L66L2根據(jù)定理4,L2PC、L33L23PC、L22P、Li42L22P、Li63L23P3.5晶體的32種點群及其符號〔3〕對稱軸與垂直于它的對稱面的組合根據(jù)定理2,L2PC、L4PC、L6PC。對于奇數(shù)軸,P、Li6〔4〕對稱軸與包含它的對稱面組合根據(jù)定理3,P、L22P、L33P、L44P、L66P。3.5晶體的32種點群及其符號〔5〕對稱軸與包含它的對稱面以及垂直它的對稱面的組合此種情況下由于垂直Ln的P以及包含P之交線必定為垂直Ln的L2(定理3的逆定理),所以3.5晶體的32種點群及其符號LnP()P()=LnP()P()L2()LnnL2(n+1)P當(dāng)n為偶數(shù)時,還會派生出一個對滿意〔定理2〕故可以有以下組合L22P、3L23PC、L33L24P(Li63L23P)、L44L25PC、L66L27PC可得到27種A類組合。由于B類組合高次軸多于一個,而晶體中又不存在五次和高于六次的對稱軸,根據(jù)對稱元素組合規(guī)律,推導(dǎo)出來的組合形式只有3L24L3和3L44L36L2兩種。
3.5晶體的32種點群及其符號在有幾個高次軸組合時,如Ln和Lm(m,n>2),高次軸Ln和Lm相交于O點,那么在Ln周圍必能找到n個Lm,在每個Lm上距O點等距離的地方取一點,連接這些點一定會得到一個正n邊形,Ln位于正n邊形面中心而Lm分布于正n邊形的角頂,每個角頂周圍m個正n邊形圍成一個m面角。這樣兩個高次軸相交必然產(chǎn)生凸正多面體。3.5晶體的32種點群及其符號
一個凸多面體的多面角至少需要三個面構(gòu)成,每個多面角面角之和要小于360
,因此只能是正三角形、正方形、正五邊形。多面角由3個、4個或5個正三角形分別構(gòu)成正四面體、正八面體、正三角二十面體。多面角由3個正方形構(gòu)成的是立方體。多面角由3個正五邊形構(gòu)成的是正五角十二面體。3.5晶體的32種點群及其符號3.5晶體的32種點群及其符號將3L24L3作為原始形式,〔1〕與L2組合,新增加的L2與原來3L2中的一個L2垂直,并與另外兩個L2成45交角。在此,根據(jù)定理1的逆定理,因為兩個L2成45交角,原來的3L2便變成了3L4。故對稱元素組合為3L44L36L2。3.5晶體的32種點群及其符號〔2〕3L24L3與對滿意組合因C與每個L2相組合均產(chǎn)生一個P(定理2),所以共產(chǎn)生了三個P,每一個P均與一個L2垂直。故對稱元素組合為3L24L33PC。3.5晶體的32種點群及其符號〔3〕3L24L3與包含的對稱面所加的P的方位是既包含一個L2同時又包含兩個L3,由此所產(chǎn)生的對稱面,除去重復(fù)的以外,共出現(xiàn)6個P;在此,由于P的法線與L2成45交角,根據(jù)定理4的逆定理,原來三個L2的對稱性已提高而變?yōu)長i4,故對稱要素組合為3Li44L36P?!?〕3L24L3與既有包含的對稱面也有垂直L2的組合新增加的L2與原來3L2中的一個L2垂直,并與另外兩個L2成45交角。在此,根據(jù)定理1的逆定理,因為兩個L2成45交角,原來的3L2便變成了3L4。所加的P的方位是既包含一個L2同時又包含兩個L3或兩個L2,由此所產(chǎn)生的對稱面,除去重復(fù)的以外,共出現(xiàn)9個P。因增加的L2和包含L3的P垂直,根據(jù)定理2的逆定理,必定產(chǎn)生對滿意。故對稱元素組合為3L44L36L29PC。3.5晶體的32種點群及其符號3.5晶體的32種點群及其符號
前面給出了對稱元素的國際符號和習(xí)慣符號,對稱元素還可以用圖示的符號來表達(見表7-1)。習(xí)慣符號的組合來表示點群,沒有考慮對稱元素分布的方向性,但對于初學(xué)者而言易于理解和接受。點群國際符號(也稱Hermann-Mauguin符號,或H—M符號)不是對稱元素國際符號的簡單疊加,而是更加簡潔并且表示了對稱元素的空間方位。圣佛利斯(Sch6nflies)符號也是一種常用的符號,簡單表示了對稱元素的組合方式。3.5晶體的32種點群及其符號3.5晶體的32種點群及其符號在晶體點群的國際記號中,用1,2,3,4,6分別表示相應(yīng)軸次的旋轉(zhuǎn)軸,假設(shè)數(shù)字上方配一橫線,那么表示倒轉(zhuǎn)軸,晶體中存在的倒轉(zhuǎn)軸有1,2,3,4和6。國際符號用m表示對稱面,當(dāng)對稱面包含旋轉(zhuǎn)軸時,例如包含一個三次旋轉(zhuǎn)軸,那么用3m表示;假設(shè)對稱面垂直于三次軸,那么用3/m表示。32種點群完整形式和簡化形式的國際符號(教材P.32-33)表示方式:由規(guī)定方向〔不超過三個〕上存在的對稱要素構(gòu)成,按規(guī)定方向的順序依次排列表達。各晶系點群國際符號中的三個窺視方向
3.5晶體的32種點群及其符號各晶系點群國際符號窺視方向的空間方位3.5晶體的32種點群及其符號國際符號的簡化原那么⑴省略某些對稱軸:3L23PC:2/m2/m2/m--mmm。3L44L36L29PC:4/m32/m--m3m。注意:晶體分類的特征對稱軸不能省去。L44L25PC:4/m2/m2/m--4/mmm⑵省略隱含其他對稱要素中的對稱要素L22P:mm2--mm。3.5晶體的32種點群及其符號實例說明:
--由點群L44L25PC導(dǎo)出國際符號:①L44L25PC屬四方晶系,國際符號規(guī)定的窺視方向:
co、ao、(ao+bo)。②co方向(Z軸)上存在的對稱要素有一個L4
和垂直此L4
的對稱面P,第一位寫做4/m;③ao方向(X軸)上存在的對稱要素有一個L2
和垂直此L2
的對稱面P,第二位寫做2/m;④(ao+bo)方向(X與Y軸平分線)上的對稱要素有一個L2
和垂直此L2
的對稱面P,第三位寫作2/m;⑤排列起來應(yīng)寫為:,最后簡化為mm。
3.5晶體的32種點群及其符號--L2PC的國際符號:
①L2PC屬單斜晶系,窺視方向是b0。
②b0方向上的對稱要素有一個L2
和垂直L2
的對稱面P,相應(yīng)國際符號寫做2/m。3.5晶體的32種點群及其符號3.5晶體的32種點群及其符號由國際符號mm導(dǎo)出點群:①首位6表示六方晶系,其國際符號的三個窺視方向為c0、a0、(2a0+b0)。②c0方向有一個L6和垂直L6的P,有L6×P⊥→L6P⊥C;③a0方向有一個平行L6的P,有L6×P//→L66P//④包含L6的P與垂直L6的P的交線必為垂直于L6的L2〔如圖〕,于是有L6×L⊥2→L66L⊥2;⑤最后將所有對稱要素組合得到
點群L66L27PC。1.Cn:代表Ln,C:Cyclishgroup;n:軸次。C1-L1C2-L2C3-L3C4-L4C6-
L63.5晶體的32種點群及其符號圣佛利斯(Sch6nflies)符號2.Cnh:代表Ln與水平P組合:Ln+P⊥=LnP(C)。h:horizontal。C1h-L1P=PC2h-L2PCC3h-L3P〔Li6〕C4h-L4PCC6h-L6PC3.5晶體的32種點群及其符號3.Cnv:代表Ln與直立P組合Ln+P∥=LnnP,V:VerticalC1v-L1P=PC2v-L22PC3v-L33PC4v-L44PC6v-L66P3.5晶體的32種點群及其符號4.Dn:Ln與垂直的L2組合
Ln+L2⊥=LnnL2D1-L1L2=L2,D2-L22L2=3L2,D3-L33L2D4-L44L2,D6-L66L23.5晶體的32種點群及其符號5.Dnh:Dn與水平對稱面組合:
Ln+L2⊥+P⊥=LnnL2(n+1)P(C)組合D1h-L1L22P=L22PD2h-L22L23PC=3L23PCD3h-L33L24P=Li63L23PD4h-L44L25PCD6h-L66L27PC3.5晶體的32種點群及其符號6.Dnd:d:diagonalD2d-Li42L22PD3d-Li33L23P=L33L23PC。
3.5晶體的32種點群及其符號7.i-反伸Ci-Li1=CC3i-Li3=L3C。C4i-Li48.四面體的T-3L
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