2022-2023學(xué)年河南省洛陽市高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省洛陽市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，共150分.考試時間120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號填寫在答題卡上.2．考試結(jié)束，將答題卡交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)的模等于（）A.5 B. C. D.1〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以對?yīng)復(fù)數(shù)為，其模為.故選：B.2.已知集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得，則，所以，又集合，所以故選：D3.（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由二倍角正弦公式可得，故選：A4.已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（）A若，則B.若，則C.若，則D.若，則〖答案〗C〖解析〗對于選項(xiàng)A，若，，，，由面面平行判定定理知，得不出，故選項(xiàng)A錯誤；對于選項(xiàng)B，若，則直線與平面，可平行、相交或在平面內(nèi)，故選項(xiàng)B錯誤；對于選項(xiàng)C，因?yàn)椋灾本€的方向向量互相垂直，又，則，故選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D，若，，，則或異面，故選項(xiàng)D錯誤.故選：C.5.從A班隨機(jī)抽一名學(xué)生是女生的概率是，從B班隨機(jī)抽一名學(xué)生是女生的概率是，現(xiàn)從兩個班各隨機(jī)抽一名學(xué)生，那么兩名學(xué)生不全是女生的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗從A班選一名女生從B班選一名男生的概率為：；從A班選一名男生從B班選一名女生的概率為：；從A班選一名男生從B班選一名男生的概率為：，所以兩名學(xué)生不全是女生的概率是，故選：A6.已知是偶函數(shù)，則a=（）A.2 B.1 C.－1 D.－2〖答案〗A〖解析〗根據(jù)偶函數(shù)的定義：即，得，即，可得，即，故選：A7.如圖，二面角為，點(diǎn)，在棱l上的射影分別是，，若，則AB長度為（）A.2 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意：，，，的夾角為，所以，,，，所以故選：D8.已知單位圓O是△ABC的外接圓，若，則的最大值為（）A. B. C.1 D.〖答案〗C〖解析〗如圖所示：因?yàn)閱挝粓AO是△ABC的外接圓，，所以，且，，故當(dāng)共線反向時，取到最大值1，故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.某廠7月生產(chǎn)A型、B型產(chǎn)品共900件，其中A型400件．按型號進(jìn)行分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法，從7月產(chǎn)品中抽取一個容量為45的樣本，如果樣本按比例分配，下列說法中正確的有（）A.應(yīng)抽取的A型產(chǎn)品件數(shù)為20B.應(yīng)抽取的B型產(chǎn)品件數(shù)為25C.應(yīng)抽取的A型產(chǎn)品件數(shù)為25D.應(yīng)抽取的B型產(chǎn)品件數(shù)為20〖答案〗AB〖解析〗應(yīng)抽取的A型產(chǎn)品件數(shù)為，應(yīng)抽取的B型產(chǎn)品件數(shù)為，故選：AB10.已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A.的圖象的一條對稱軸為直線B.在上單調(diào)遞增C.的圖象可由函數(shù)圖象向右平移個單位得到D.函數(shù)是奇函數(shù)〖答案〗AC〖解析〗對于A，,所以的圖象的一條對稱軸為直線，故A正確；對于B，時，，因?yàn)?，所以在上不單調(diào)，故B錯誤；對于C，函數(shù)圖象向右平移個單位得到,所以的圖象可由函數(shù)圖象向右平移個單位得到，故C正確；對于D，，為偶函數(shù)，故D錯誤.故選:AC.11.在棱長為1的正方體中，M，N分別是，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.∥平面B.平面截正方體所得截面為等腰梯形C.D.異面直線MN與所成角的正弦值為〖答案〗ABD〖解析〗對于A，連接，因?yàn)镸，N分別是，的中點(diǎn)，所以∥，因?yàn)樵谡襟w中，∥，所以∥，因?yàn)槠矫?，平面，所以∥平面，所以A正確，對于B，連接，由選項(xiàng)A，知∥，所以平面截正方體所得截面為平面，因?yàn)镸，N分別是，的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以≌，所以，因?yàn)椤危?，所以四邊形為等腰梯形，所以B正確，對于C，連接，因?yàn)椤?，所以與所成的角為，因在正方體中，，所以為正三角形，所以，所以與不垂直，所以C錯誤，對于D，因?yàn)椤危援惷嬷本€MN與所成角為，因?yàn)槠矫妫矫?，所以在中，，則，所以，所以D正確，故選：ABD12.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，且滿足，，當(dāng)時，．則下列說法正確的是（）A.B.為偶函數(shù)C.當(dāng)時，的取值范圍為D.函數(shù)與圖象僅有個不同的交點(diǎn)〖答案〗BCD〖解析〗依題意，當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)的定義域?yàn)?，由，可知的圖象關(guān)于對稱，由，則，的圖象關(guān)于對稱，又，因此有，即，于是有，從而得函數(shù)的周期，又，令可得，所以，對于A，，故A不正確；對于B，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，B正確；對于C，當(dāng)時，，有，則，當(dāng)時，，，，所以，所以當(dāng)時，的取值范圍為，C正確；對于D，在同一坐標(biāo)平面內(nèi)作出函數(shù)、的部分圖象，如圖：方程的實(shí)根，即是函數(shù)與的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，觀察圖象知，函數(shù)與的圖象有個交點(diǎn)，因此方程僅有個不同實(shí)數(shù)解，D正確.故選：BCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.______．〖答案〗5〖解析〗，故〖答案〗為：514.從1，2，3，4，5，6中任取兩個不同的數(shù)，則這兩個數(shù)的積為奇數(shù)的概率為______．〖答案〗〖解析〗設(shè)取的兩個數(shù)為，則所有可能結(jié)果為：，，共15種情況，這兩個數(shù)的積為奇數(shù)有：，共3種情況，則這兩個數(shù)的積為奇數(shù)的概率為，故〖答案〗為：.15.已知實(shí)數(shù)M，N滿足，則的最小值是______．〖答案〗4〖解析〗因?yàn)閷?shí)數(shù)a，b滿足，所以，且，即，可得，當(dāng)且僅當(dāng)取得最小值.故〖答案〗為：.16.如圖，在三棱錐中，平面，，，若三棱錐外接球的表面積為，則三棱錐體積的最大值為__________.〖答案〗〖解析〗如圖所示：設(shè)三棱錐的外接球球心為，半徑為，外接圓半徑為，圓心為M，連接，AO，AM，則，解得，在，，故：，故，又，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，三棱錐的體積.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程及演算步驟．17.已知復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)．（1）求b；（2）設(shè)復(fù)數(shù)滿足，且復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1），∵是純虛數(shù)，∴∴．（2）復(fù)數(shù)，∵復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，∴解得：．∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為．18.已知向量，，滿足：．（1）若，求向量在向量方向上的投影向量；（2）求的最小值．解：（1）向量在向量方向上的投影向量為.（2）,當(dāng)時，，即.19.在中，角、、的對邊分別為、、．已知．（1）求；（2）若角的平分線與交于點(diǎn)，且，，求的面積．解：（1）因?yàn)椋?，，整理可得，即，因?yàn)?，則，由余弦定理可得，因?yàn)椋?（2）由，即，即，解得，所以，的面積為.20.某單位組織一場黨史知識競賽活動，隨機(jī)抽取100名員工的成績作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示頻率分布表：分組頻率0.050.150.250.30.20.05（1）求樣本成績的第80百分位數(shù)；（2）試?yán)帽砀裰袛?shù)據(jù)估算這次黨史知識競賽的平均成績；（3）已知樣本中成績落在區(qū)間內(nèi)的員工男女比例為，現(xiàn)從該樣本中分?jǐn)?shù)在的員工中隨機(jī)抽出2人，求至少有1人是女員工的概率．解：（1）樣本中成績在的頻率為，樣本中成績在的頻率為，所以樣本中成績的第80百分位數(shù)在，所以樣本中成績的第80百分位數(shù)為：.（2）樣本平均值為：（分），估計(jì)這次黨史知識競賽的平均成績?yōu)?1分．（3）這次黨史競賽成績落在區(qū)間內(nèi)的員工有名，男員工3人，女員工2人，記“至少有一個女員工被選中”為事件A，記這5人為1，2，3，4，5號，其中女員工為1，2號，則樣本空間：，其中，所以至少有1人是女員工的概率為.21.如圖，在三棱柱中，，，．（1）證明：；（2）求與平面所成角的正弦值．（1）證明：取BC中點(diǎn)為N，連接，∵，∴，又∵，∴，∵，平面，∴平面，∵平面，∴，又∵，∴；（2）解：∵，∴，∴，∴，由（1）BC⊥平面，平面，所以，∵，平面，∴平面，∴為在平面內(nèi)的射影，∴為與平面所成的角，在直角中，，∴，即與平面所成角的正弦值為．22.已知函數(shù)有兩個零點(diǎn)．（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）設(shè)，是g（x）的兩個零點(diǎn)，證明：．（1）解：．由可得，令，由可得，故．當(dāng)或，即或時，無解，所以g（x）不存在零點(diǎn)；當(dāng)，即時，有一解，此時x僅有一解，所以g（x）只存在一個零點(diǎn)；當(dāng)，即時，有兩解，此時在各有一解，故g（x）有兩個零點(diǎn)．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．（2）證明：函數(shù)g（x）有兩個零點(diǎn)，，令，則，為方程的兩根，則，，所以，兩邊平方得，因?yàn)?，所以，所以，由可得，所以，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，即河南省洛陽市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，共150分.考試時間120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號填寫在答題卡上.2．考試結(jié)束，將答題卡交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)的模等于（）A.5 B. C. D.1〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以對?yīng)復(fù)數(shù)為，其模為.故選：B.2.已知集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得，則，所以，又集合，所以故選：D3.（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由二倍角正弦公式可得，故選：A4.已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（）A若，則B.若，則C.若，則D.若，則〖答案〗C〖解析〗對于選項(xiàng)A，若，，，，由面面平行判定定理知，得不出，故選項(xiàng)A錯誤；對于選項(xiàng)B，若，則直線與平面，可平行、相交或在平面內(nèi)，故選項(xiàng)B錯誤；對于選項(xiàng)C，因?yàn)?，所以直線的方向向量互相垂直，又，則，故選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D，若，，，則或異面，故選項(xiàng)D錯誤.故選：C.5.從A班隨機(jī)抽一名學(xué)生是女生的概率是，從B班隨機(jī)抽一名學(xué)生是女生的概率是，現(xiàn)從兩個班各隨機(jī)抽一名學(xué)生，那么兩名學(xué)生不全是女生的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗從A班選一名女生從B班選一名男生的概率為：；從A班選一名男生從B班選一名女生的概率為：；從A班選一名男生從B班選一名男生的概率為：，所以兩名學(xué)生不全是女生的概率是，故選：A6.已知是偶函數(shù)，則a=（）A.2 B.1 C.－1 D.－2〖答案〗A〖解析〗根據(jù)偶函數(shù)的定義：即，得，即，可得，即，故選：A7.如圖，二面角為，點(diǎn)，在棱l上的射影分別是，，若，則AB長度為（）A.2 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意：，，，的夾角為，所以，,，，所以故選：D8.已知單位圓O是△ABC的外接圓，若，則的最大值為（）A. B. C.1 D.〖答案〗C〖解析〗如圖所示：因?yàn)閱挝粓AO是△ABC的外接圓，，所以，且，，故當(dāng)共線反向時，取到最大值1，故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.某廠7月生產(chǎn)A型、B型產(chǎn)品共900件，其中A型400件．按型號進(jìn)行分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法，從7月產(chǎn)品中抽取一個容量為45的樣本，如果樣本按比例分配，下列說法中正確的有（）A.應(yīng)抽取的A型產(chǎn)品件數(shù)為20B.應(yīng)抽取的B型產(chǎn)品件數(shù)為25C.應(yīng)抽取的A型產(chǎn)品件數(shù)為25D.應(yīng)抽取的B型產(chǎn)品件數(shù)為20〖答案〗AB〖解析〗應(yīng)抽取的A型產(chǎn)品件數(shù)為，應(yīng)抽取的B型產(chǎn)品件數(shù)為，故選：AB10.已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A.的圖象的一條對稱軸為直線B.在上單調(diào)遞增C.的圖象可由函數(shù)圖象向右平移個單位得到D.函數(shù)是奇函數(shù)〖答案〗AC〖解析〗對于A，,所以的圖象的一條對稱軸為直線，故A正確；對于B，時，，因?yàn)?，所以在上不單調(diào)，故B錯誤；對于C，函數(shù)圖象向右平移個單位得到,所以的圖象可由函數(shù)圖象向右平移個單位得到，故C正確；對于D，，為偶函數(shù)，故D錯誤.故選:AC.11.在棱長為1的正方體中，M，N分別是，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.∥平面B.平面截正方體所得截面為等腰梯形C.D.異面直線MN與所成角的正弦值為〖答案〗ABD〖解析〗對于A，連接，因?yàn)镸，N分別是，的中點(diǎn)，所以∥，因?yàn)樵谡襟w中，∥，所以∥，因?yàn)槠矫?，平面，所以∥平面，所以A正確，對于B，連接，由選項(xiàng)A，知∥，所以平面截正方體所得截面為平面，因?yàn)镸，N分別是，的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以≌，所以，因?yàn)椤?，，所以四邊形為等腰梯形，所以B正確，對于C，連接，因?yàn)椤?，所以與所成的角為，因在正方體中，，所以為正三角形，所以，所以與不垂直，所以C錯誤，對于D，因?yàn)椤?，所以異面直線MN與所成角為，因?yàn)槠矫妫矫?，所以在中，，則，所以，所以D正確，故選：ABD12.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，且滿足，，當(dāng)時，．則下列說法正確的是（）A.B.為偶函數(shù)C.當(dāng)時，的取值范圍為D.函數(shù)與圖象僅有個不同的交點(diǎn)〖答案〗BCD〖解析〗依題意，當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)的定義域?yàn)?，由，可知的圖象關(guān)于對稱，由，則，的圖象關(guān)于對稱，又，因此有，即，于是有，從而得函數(shù)的周期，又，令可得，所以，對于A，，故A不正確；對于B，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，B正確；對于C，當(dāng)時，，有，則，當(dāng)時，，，，所以，所以當(dāng)時，的取值范圍為，C正確；對于D，在同一坐標(biāo)平面內(nèi)作出函數(shù)、的部分圖象，如圖：方程的實(shí)根，即是函數(shù)與的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，觀察圖象知，函數(shù)與的圖象有個交點(diǎn)，因此方程僅有個不同實(shí)數(shù)解，D正確.故選：BCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.______．〖答案〗5〖解析〗，故〖答案〗為：514.從1，2，3，4，5，6中任取兩個不同的數(shù)，則這兩個數(shù)的積為奇數(shù)的概率為______．〖答案〗〖解析〗設(shè)取的兩個數(shù)為，則所有可能結(jié)果為：，，共15種情況，這兩個數(shù)的積為奇數(shù)有：，共3種情況，則這兩個數(shù)的積為奇數(shù)的概率為，故〖答案〗為：.15.已知實(shí)數(shù)M，N滿足，則的最小值是______．〖答案〗4〖解析〗因?yàn)閷?shí)數(shù)a，b滿足，所以，且，即，可得，當(dāng)且僅當(dāng)取得最小值.故〖答案〗為：.16.如圖，在三棱錐中，平面，，，若三棱錐外接球的表面積為，則三棱錐體積的最大值為__________.〖答案〗〖解析〗如圖所示：設(shè)三棱錐的外接球球心為，半徑為，外接圓半徑為，圓心為M，連接，AO，AM，則，解得，在，，故：，故，又，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，三棱錐的體積.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程及演算步驟．17.已知復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)．（1）求b；（2）設(shè)復(fù)數(shù)滿足，且復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1），∵是純虛數(shù)，∴∴．（2）復(fù)數(shù)，∵復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，∴解得：．∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為．18.已知向量，，滿足：．（1）若，求向量在向量方向上的投影向量；（2）求的最小值．解：（1）向量在向量方向上的投影向量為.（2）,當(dāng)時，，即.19.在中，角、、的對邊分別為、、．已知．（1）求；（2）若角的平分線與交于點(diǎn)，且，，求的面積．解：（1）因?yàn)?，所以，，整理可得，即，因?yàn)?，則，由余弦定理可得，因?yàn)?，?（2）由，即，即，解得，所以，的面積為.20.某單位組織一場黨史知識競賽活動，隨機(jī)抽取100名員工的成績作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示頻率分