基于中值絕對偏差的分形維數(shù)計算方法

基于中值絕對偏差的分形維數(shù)計算方法

0基于自相似性分形幾何是法國哲學家b.b.mantelbrowt創(chuàng)造的新數(shù)學分支。維數(shù)是分形幾何理論中最重要的基本概念之一。對于某一集合,一般而言,如果它的Hausdorff維數(shù)嚴格大于其拓撲維數(shù),則該集合可稱為分形集合。考慮n維歐氏空間的有界集A,如果集合A表示為自身的Nr個互不重疊的子集的并集時,則得出集合A具有自相似性。而此時,集合A的分形相似維數(shù)D可由關(guān)系式(1)表示:其中,r表示所有坐標方向上的尺度因子,Nr表示有界集A的互不覆蓋的子集數(shù)目。然而,自然界的景物并不嚴格地滿足自相似性,它們僅呈現(xiàn)出某種統(tǒng)計意義上的自相似性,因此很難直接利用式(1)計算分維數(shù)。文獻提出了一些計算圖像分形維的方法。例如,Sarkar等提出了一種差分盒計數(shù)法(DBC),該方法給出了較寬的分形維動態(tài)范圍和較高的計算效率,但缺點是對噪聲非常敏感;此后,Lee等提出了一種魯棒的差分盒計數(shù)法(RDBC),該方法對高斯噪聲具有很好的抗噪性,但不適用于椒鹽噪聲等其他噪聲情況。本文提出一種基于中值絕對偏差(MAD)的差分盒計數(shù)法(MAD-DBC),該方法針對椒鹽噪聲具有很好的魯棒性,能對椒鹽噪聲圖像進行可靠的分形維估計。1圖像分形維ro棒差分盒計數(shù)法(DBC)的基本思想是通過計算覆蓋圖像灰階表面所需的盒子數(shù)來確定分形維。對于面積為M×M的圖像,若它被劃分成大小為s×s的網(wǎng)格,其中s是介于1到M/2之間的整數(shù),則r=s/M。若把灰度圖像的像素看成三維空間的一個坐標(x,y,z),其中(x,y)為二維圖像的像素點的坐標,z為圖像灰度值。則認為在每一個網(wǎng)格上都堆疊了一系列體積為s×s×h的小盒子,其中盒子高h可通過圖像的總灰度級G來計算:[G/h]=[M/s],通常G表示圖像的最大灰度級與最小灰度級之差,[x]代表小于x的最大整數(shù)。若在圖像的第(i,j)個網(wǎng)格內(nèi)灰度最小值和灰度最大值相對應(yīng)的分別落在第l個和第u個小盒子內(nèi),則覆蓋第(i,j)區(qū)域所需盒子數(shù)目nr(i,j)為:統(tǒng)計圖像的盒子總數(shù)Nr為:對不同的尺度r,得到相應(yīng)盒子數(shù)Nr的值。由式(1)的定義,采用最小二乘法可以擬合出log(Nr)~log(1/r)的斜率,即可得到對應(yīng)圖像的分維值D。在DBC基礎(chǔ)上,基于標準差的魯棒差分盒維數(shù)法(RDBC)采用網(wǎng)格中像素的灰階標準差替代最大與最小灰階之差,來計算此網(wǎng)格中圖像灰階表面所占的盒子個數(shù)。具體地,若給定尺度縮放的比例為r,設(shè)圖像第(i,j)個網(wǎng)格中像素的灰階標準差為σr(i,j),則由下式計算盒子數(shù)nr(i,j):然后利用式(3)計算相應(yīng)的總盒子數(shù)Nr,同DBC一樣利用式(1)的定義,采用最小二乘法可以擬合出log(Nr)~log(1/r)的斜率,所得斜率即為估計的圖像分形維D?；跇藴什畹聂敯舨罘趾芯S數(shù)法證明對高斯噪聲的敏感性較小,從而使得RDBC對高斯噪聲具有較好的抗噪性。然而對于諸如椒鹽噪聲,這種噪聲對灰階標準差的影響較大,從而將導(dǎo)致利用RDBC對加有椒鹽噪聲的圖像效果變差。2改進差分盒維數(shù)法在DBC和RDBC算法中,在計算圖像第(i,j)個網(wǎng)格中的盒子個數(shù)nr時,采用的是此網(wǎng)格中最大與最小灰階之差或像素值標準差,但都易受到椒鹽噪聲的干擾。根據(jù)椒鹽噪聲的特點,它是將圖像的中灰度值變化到一個比較極端的值,因此會使得原有的最大最小像素值都變化,圖像加噪以后,在某些網(wǎng)格中最大的灰度值u比原來的最大灰度值更大,最小灰度級l比原來的最小灰度值更小,一般情況下,在網(wǎng)格尺度不變,即壓縮比例r不改變下,nr(i,j)=u-l+1的計算值偏大,從而使得Nr的估算值偏大。于是,當log(1/r)不變時,log(Nr)增大,從而使得采用最小二乘法可以擬合出log(Nr)~log(1/r)的斜率偏大,即分形維數(shù)通常將偏大。類似地,椒鹽噪聲往往使得像素值標準差變大,從而影響RDBC分形維數(shù)估計。由于中值偏差(MAD)具有對椒鹽噪聲魯棒性特點,本文提出的改進差分盒維數(shù)法將魯棒差分盒維數(shù)法中的網(wǎng)格中的灰階標準差σr(i,j)用灰階的中值絕對偏差(MAD)代替。通常,中值絕對偏差(MAD)用下列公式計算:其中,med(uij)表示計算第(i,j)個網(wǎng)格中圖像像素值的中值。若給定尺度縮放的比例為r,設(shè)圖像第(i,j)個網(wǎng)格中像素的灰階中值絕對偏差為ρr(i,j),則由下式計算盒子數(shù)nr(i,j):隨后,利用式(3)計算相應(yīng)的總盒子數(shù)目Nr。同DBC一樣利用式(1)的定義,采用最小二乘法可以擬合出log(Nr)~log(1/r)的斜率,所得斜率即為估計的圖像分形維D。綜上討論,改進算法如下:目標:計算Nr輸入:圖像(圖像大小為M×M)r=L/M;end3數(shù)值實驗3.1求取分形維數(shù)單一的分形維數(shù)并不能完全區(qū)分不同圖像紋理,而基于小波的多分辨率分析的分形特征矢量提取能克服單一分形維數(shù)的缺點。在不同的分辨率下對圖像求取分形維數(shù),構(gòu)成特征矢量,即利用小波變換對圖像進行頻域分解,對分解后的各部分頻域圖像求取它們的分形維數(shù),作為一類圖片的特征向量。如圖1所示,設(shè)原始圖像的分形維為D3.0,第一級分解的LL1,HL1,LH1和HH1的分形維分別為D2.1,D2.2,D2.3,D2.4,第二級分解的LL2,HL2,LH2,HH2的分形維分別為D1.1,D1.2,D1.3,D1.4。于是,分形維特征向量為:(D3.0,D2.1,D2.2,D2.3,D2.4,D1.1,D1.2,D1.3,D1.4)3.2分類結(jié)果的比較從Brodatz紋理庫中挑選了16種自然紋理圖像,如圖2所示,(D3,D5,D7,D13,D18,D31,D24,D51,D56,D66,D72,D87,D94,D99,D102,D112)作為數(shù)據(jù)集。在每種紋理圖像中,分割選取30幅大小為256×256像素的樣本圖像,其中20幅用于分類器的訓練,另10幅用于測試,組成320幅訓練圖像和160幅測試圖像。分別利用Sarkar的DBC法、Lee等的RDBC法以及本文提出的改進差分盒維數(shù)的方法,從以上的320幅訓練樣本圖像中計算分形維矢量構(gòu)成相應(yīng)的訓練集,從160幅測試樣本中得到的分形維矢量構(gòu)成相應(yīng)的測試集。在訓練和測試樣本中加入如表1中的噪聲,其中d表示椒鹽噪聲的強度參數(shù),即椒鹽噪聲的影響圖像的百分比。為了比較改進的方法與其他幾種方法估算分形維數(shù)的優(yōu)越性,這里選擇了4種分類器,即Bayes、k-NN、BPNN、PNN。分類的結(jié)果在表2~表4中。通過重復(fù)分類實驗,對表2、表3分析可知,差分盒維法和魯棒差分盒維法,在椒鹽噪聲強度低時,受影響不大,但隨著噪聲參數(shù)的增大,分類正確率明顯下降。結(jié)合表4可知,利用本文改進的方法計算的分形維數(shù),分類正確率總體上比其他幾種方法都要高,特別是在較高噪聲情形下,仍能保持較高的識別率。上述結(jié)果顯示,對于椒鹽噪聲,新方法具有更好的噪聲魯棒性,可保持更高更穩(wěn)定的分類識別能力。4群體圖像的brodatz編碼實驗本文探討一種針對椒鹽噪聲的魯棒性分形維數(shù)計算方法,該方法利用MAD進行差分盒計數(shù),對椒鹽噪聲具有很好的魯棒性特點。利用多分辨率的DBC、RDBC和本文MAD-DBC對椒鹽噪聲的16種Brodatz紋理圖像進行分類,實驗結(jié)果表明,本文提出的