第二章波函數(shù)與薛定諤方程

第二章波函數(shù)與薛定諤方程第第頁即平面單色波的波函數(shù)在動(dòng)量表象中的表示形式為.2.5粒子在點(diǎn)的量子態(tài)為函數(shù)，試在動(dòng)量表象中寫出此量子態(tài)的形式.解：由坐標(biāo)表象與動(dòng)量表象間傅里葉變換式得函數(shù)在動(dòng)量表象中量子態(tài)的形式為即量子態(tài)為函數(shù)的波函數(shù)在動(dòng)量表象中表示形式為.2.6證明從單粒子薛定諤方程得出的粒子速度場是非旋的，即求證，其中，為概率密度，為概率流密度.證明：概率密度為概率流密度為根據(jù)薛定諤方程式可導(dǎo)出幾率守恒方程，并定義幾率流密度可見正比于一個(gè)標(biāo)量場的對(duì)數(shù)的梯度.梯度場無旋，故是一個(gè)無旋場().2.7設(shè)粒子在復(fù)勢場中運(yùn)動(dòng)，其中和為實(shí)數(shù)，證明粒子的概率不守恒，并求出在某一空間體積中粒子概率“喪失”或“增加”的速率.解：根據(jù)薛定諤方程及其復(fù)數(shù)共軛形式(2.7.1)(2.7.2)*(2.7.1)*(2.7.2)得(2.7.3)即，可以寫為(2.7.4)其中，.上式右邊不為零，這意味著粒子的幾率不守恒.將上式對(duì)空間積分，則得故某一空間體積中粒子概率“喪失”或“增加”的速率為.2.8設(shè)，問是否為定態(tài)，為什么？求.解：(1)由于定態(tài)是體系能量具有確定值的狀態(tài)，而題中波函數(shù)處于能量的本征態(tài)與能量的本征態(tài)的疊加狀態(tài)，故不是定態(tài)；(2)時(shí)刻的波函數(shù)為.2.9計(jì)算和相應(yīng)的概率流密度，并由所得結(jié)果說明這兩個(gè)波函數(shù)描述的是怎樣傳播的波.解：由微商關(guān)系式：，，(1)的概率流密度為：，或即描述的是沿徑向向外傳播的球面波；(2)的概率流密度為：，即描述的是沿徑向向內(nèi)傳播的球面波.2.10粒子在一維勢場中運(yùn)動(dòng)，若所處的外場均勻但與時(shí)間有關(guān)，即，試用分離變量法求解一維薛定諤方程.解：由一維薛定諤波動(dòng)方程，采用分離變量法求特解，令其特解可表示為，帶入一維薛定諤波動(dòng)方程有方程兩邊同時(shí)除以可得其中是既不依賴于，也不依賴于的常數(shù).(1)此時(shí)關(guān)于時(shí)間部分為：方程兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間積分得(2)關(guān)于坐標(biāo)的部分為：此二階齊次微分方程的解為由上述兩部分可知其中和均為常數(shù)，分別由歸一化條件和初試條件決定.2.11粒子在無限深方勢阱中()中運(yùn)動(dòng)，對(duì)處于定態(tài)的粒子，證明：，，，，討論的情況，并與經(jīng)典計(jì)算結(jié)果比較.解：一維無限深方勢阱內(nèi)()粒子的波函數(shù)為，能量本征值為.(1)(2)(3)(4)2.12考慮質(zhì)量為的粒子被限制在寬度為的一維無限深勢阱中運(yùn)動(dòng)，(1)粒子的能級(jí)和相應(yīng)的波函數(shù)；(2)粒子處于基態(tài)的動(dòng)量分布.解：(1)在阱內(nèi)體系所滿足的定態(tài)薛定諤方程是，(2.12.1)在阱外，定態(tài)薛定諤方程為，(2.12.2)(2.12.2)式中，.根據(jù)波函數(shù)所滿足的連續(xù)性和有限性條件，只有當(dāng)時(shí)，(2.12.2)式才能成立，所以有，(2.12.3)該條件為解(2.12.1)式時(shí)所需的邊界條件.為書寫簡便，引入記號(hào)(2.12.4)則(2.12.1)式簡寫為，它的解是，(2.12.5)根據(jù)的連續(xù)性，由(2.12.3)式，代入(2.12.5)，有，.由此得到，.(2.12.6)和不能同時(shí)為零，否則到處為零，這在物理上是沒有意義的.因此，我們得到兩組解：(1)，(2.12.7)(2)，(2.12.8)由此可求得，(2.12.9)對(duì)于第一組解，為奇數(shù)；對(duì)于第二組解，為偶數(shù).對(duì)應(yīng)于恒為零的解，等于負(fù)整數(shù)時(shí)解與等于相應(yīng)正整數(shù)時(shí)解線性相關(guān)（僅差一負(fù)號(hào)），都不取.由(2.12.4)式和(2.12.9)式，得到體系的能量為，為正整數(shù).(2.12.10)將(2.12.7)式、(2.12.8)式依次代入(2.12.5)式中，并考慮(2.12.9)及(2.12.3)兩式，得到一組解的波函數(shù)為(2.12.11)另一組解的波函數(shù)為(2.12.12)由歸一化條件可得常數(shù)；(2)粒子處于基態(tài)時(shí)，體系的能量為，波函數(shù)為，對(duì)應(yīng)于動(dòng)量空間的波函數(shù)為：其中積分項(xiàng)采用兩次分部積分求出：(=1\*ROMANI)(=2\*ROMANII)結(jié)合(=1\*ROMANI)、(=2\*ROMANII)兩式可得即.粒子處于基態(tài)的動(dòng)量分布為2.14粒子在如圖所示的勢阱中運(yùn)動(dòng)，設(shè)粒子處于第個(gè)束縛態(tài)，相應(yīng)的能級(jí)為，如，求粒子在阱外出現(xiàn)的概率.解：的情況下粒子處于束縛態(tài)：在阱外，定態(tài)波動(dòng)方程為令考慮到束縛態(tài)邊界條件（處，），方程應(yīng)取如下形式的解常數(shù)與由歸一化條件確定（由于勢場具有對(duì)稱性）.在阱內(nèi)，定態(tài)波動(dòng)方程表示為令波函數(shù)偶宇稱態(tài)的解為，奇宇稱態(tài)的解為.偶宇稱態(tài)，波函數(shù)及其微商在處是連續(xù)的；兩式相比可得到能級(jí)公式為.如，，帶入關(guān)系式得由于，所以，，粒子出現(xiàn)在阱外的概率遠(yuǎn)小于粒子出現(xiàn)在阱內(nèi)的概率粒子出現(xiàn)在阱外的概率為.2.16利用厄米多項(xiàng)式的遞推關(guān)系，，求證，，并由此證明態(tài)下，，，.證明：(1)諧振子波函數(shù)，其中，.關(guān)于Hermite多項(xiàng)式有遞推關(guān)系在上式兩邊乘以得()由此即得(2)由，代入()的變形式得(3)(4)由(1)得再乘以得(5)(6)2.17質(zhì)量為的粒子處于勢阱中，求粒子的可能能量.提示：利用諧振子波函數(shù)的奇偶性.解：線性諧振子對(duì)應(yīng)于本正函數(shù)，的本征值為.題中區(qū)域，粒子的波函數(shù)滿足.區(qū)域粒子的波函數(shù)滿足邊界條件，，由波函數(shù)的連續(xù)性可知.由諧振子波函數(shù)的奇偶性條件，我們得知只有當(dāng)取奇數(shù)時(shí)連續(xù)性條件才被滿足，故此時(shí)粒子的可能能量值為