2024版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第6章立體幾何第2節(jié)空間點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系教師用書(shū)

第二節(jié)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系考試要求：1．借助長(zhǎng)方體，抽象出空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的定義．2．了解可以作為推理依據(jù)的基本事實(shí)和定理．3．能運(yùn)用基本事實(shí)、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題．一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．平面的基本性質(zhì)基本事實(shí)1：過(guò)不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．基本事實(shí)2：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)．三點(diǎn)不一定能確定一個(gè)平面．當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，過(guò)這三點(diǎn)的平面有無(wú)數(shù)個(gè)，所以必須是不在一條直線上的三點(diǎn)才能確定一個(gè)平面．基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線．基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線平行．2．空間中直線與直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類共面直線1．兩條異面直線不能確定一個(gè)平面．2．不能把異面直線誤解為分別在不同平面內(nèi)的兩條直線．(2)異面直線所成的角①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O分別作直線a′∥a，b′∥b，把直線a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．②范圍：0，(3)等角定理：如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．3．空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系(1)直線與平面的位置關(guān)系有相交、平行、在平面內(nèi)三種情況．(2)平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況．4．常用結(jié)論(1)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行．(2)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直．(3)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行．(4)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直．二、基本技能·思想·活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)1．判斷下列說(shuō)法的正誤，對(duì)的畫(huà)“√”，錯(cuò)的畫(huà)“×”．(1)如果兩個(gè)不重合的平面α，β有一條公共直線a，就說(shuō)平面α，β相交，并記作α∩β＝a. (√)(2)兩個(gè)平面α，β有一個(gè)公共點(diǎn)A，就說(shuō)α，β相交于過(guò)點(diǎn)A的任意一條直線． (×)(3)沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線． (×)(4)若a，b是兩條直線，α，β是兩個(gè)平面，且a?α，b?β，則a，b是異面直線． (×)2．已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b()A．一定是異面直線B．一定是相交直線C．不可能是平行直線D．不可能是相交直線C解析：由已知得直線c與b可能為異面直線也可能為相交直線，但不可能為平行直線．若b∥c，則a∥b，與已知a，b為異面直線相矛盾．3．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則異面直線B1C與EF所成的角的大小為()A．30° B．45°C．60° D．90°C解析：連接B1D1，D1C(圖略)，則B1D1∥EF，故∠D1B1C為所求角，又B1D1＝B1C＝D1C，所以∠D1B1C＝60°.4．已知互相垂直的平面α，β交于直線l.若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則()A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥nC解析：由已知，α∩β＝l，所以l?β.又因?yàn)閚⊥β，所以n⊥l，C正確．5．下列關(guān)于異面直線的說(shuō)法正確的是______．(填序號(hào))①若a?α，b?β，則a與b是異面直線；②若a與b異面，b與c異面，則a與c異面；③若a，b不同在平面α內(nèi)，則a與b異面；④若a，b不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，則a與b異面．④解析：①②③中的兩條直線還有可能平行或相交，由異面直線的定義可知④中說(shuō)法正確．考點(diǎn)1平面的基本性質(zhì)——綜合性(1)在三棱錐A-BCD的邊AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)．如果EF∩HG＝P，則點(diǎn)P()A．一定在直線BD上B．一定在直線AC上C．在直線AC或BD上D．不在直線AC上，也不在直線BD上B解析：如圖所示，因?yàn)镋F?平面ABC，HG?平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD．又因?yàn)槠矫鍭BC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC．(2)如圖，若直線l與平面α相交于點(diǎn)O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，則O，C，D三點(diǎn)的位置關(guān)系是________．共線解析：因?yàn)锳C∥BD，所以AC與BD確定一個(gè)平面，記作平面β，則α∩β＝直線CD．因?yàn)閘∩α＝O，所以O(shè)∈α.又因?yàn)镺∈AB?β，所以O(shè)∈直線CD，所以O(shè)，C，D三點(diǎn)共線．共面、共線、共點(diǎn)問(wèn)題的證明(1)證明共面的方法：一是先確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)；二是證明兩平面重合．(2)證明共線的方法：一是先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上；二是直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定的直線上．(3)證明線共點(diǎn)問(wèn)題的常用方法：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn)．如圖是正方體或四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點(diǎn)，則這四個(gè)點(diǎn)不共面的一個(gè)圖是()D解析：A、B、C圖中四點(diǎn)一定共面，D中四點(diǎn)不共面．考點(diǎn)2異面直線所成的角——綜合性已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，點(diǎn)A1在底面ABC上的射影為BC的中點(diǎn)，則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為()A．34 B．C．54 D．B解析：如圖，設(shè)BC的中點(diǎn)為D，連接A1D，AD，A1B，易知∠A1AB即為異面直線AB與CC1所成的角(或其補(bǔ)角)．設(shè)三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)均為1，則AD＝32，A1D＝12，A1B＝22.由余弦定理，得cos∠A1AB＝A1A本例中若把條件改為“在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1”，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為_(kāi)_______．105解析：把三棱柱ABC-A1B1C1補(bǔ)成四棱柱ABCD-A1B1C1D1連接C1D，BD，則AB1與BC1所成的角為∠BC1D(或其補(bǔ)角)．由題意可知BC1＝2，BD＝22+12-2×2×1×cos60°＝3，C1D＝AB1＝5.可知BC12＋BD2＝C1D用平移法求異面直線所成的角的步驟(1)一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角．(2)二證：證明作出的角是異面直線所成的角．(3)三求：解三角形，求出所作的角．若求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；若求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角．(2021·全國(guó)乙卷)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為B1D1的中點(diǎn)，則直線PB與AD1所成的角為()A．π2 B．C．π4 D．D解析：方法一：如圖，連接BC1，A1C1，易知AD1∥BC1，所以直線PB與AD1所成的角即為直線PB與BC1所成的角，即∠PBC1.不妨設(shè)該正方體的棱長(zhǎng)為2a，則BC1＝22a，PC1＝PB1＝2a，PB＝PB12+BB12＝6a，所以BC12＝PC12＋PB2，所以∠C1PB＝90°，則sin∠PBC方法二：如圖，連接A1B，BC1，A1C1，易證四邊形ABC1D1為平行四邊形，所以AD1∥BC1，因此∠PBC1為異面直線PB與AD1所成的角．易知△A1BC1為等邊三角形，所以∠A1BC1＝π3.在正方形A1B1C1D1中．因?yàn)镻是B1D1的中點(diǎn)，所以P是A1C1的中點(diǎn)，所以∠PBC1＝12∠A1BC1＝π6.考點(diǎn)3空間兩條直線的位置關(guān)系——綜合性考向1異面直線的判斷如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD是正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點(diǎn)，則()A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線B解析：如圖，取CD的中點(diǎn)F，連接EF，EB，BD，F(xiàn)N，MC．因?yàn)椤鰿DE為正三角形，所以EF⊥CD．設(shè)CD＝2，則EF＝3，MC＝3.因?yàn)辄c(diǎn)N是正方形ABCD的中心，所以BD＝22，NF＝1，BC⊥CD．因?yàn)槠矫鍱CD⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD，BC⊥平面ECD，所以EF⊥NF，BC⊥CM，所以在Rt△EFN中，EN＝2，在Rt△MCB中，BM＝7，所以BM≠EN.易知BM，EN是相交直線．故選B．考向2平行或相交直線的判定如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，則EF與BD1的位置關(guān)系是()A．相交但不垂直 B．相交且垂直C．異面 D．平行D解析：如圖，連接D1E并延長(zhǎng)，與AD交于點(diǎn)M，由A1E＝2ED，可得M為AD的中點(diǎn)．連接BF并延長(zhǎng)，交AD于點(diǎn)N.因?yàn)镃F＝2FA，可得N為AD的中點(diǎn)，所以M，N重合，所以EF和BD1共面，且MEED1＝12，MFBF＝12，所以ME1．空間中兩直線位置關(guān)系的判定方法2．異面直線的判定定理平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的連線與平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線．1．已知空間三條直線l，m，n，若l與m異面，且l與n異面，則()A．m與n異面B．m與n相交C．m與n平行D．m與n異面、相交、平行均有可能D解析：在如圖所示的長(zhǎng)方體中，m，n1與l都異面，但是m∥n1，所以A，B錯(cuò)誤；m，n2與l都異面，且m，n2也異面，所以C錯(cuò)誤．2．(多選題)如圖是正四面體(各面均為正三角形)的平面展開(kāi)圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中，下列結(jié)論正確的是()A．GH與EF平行B．BD與MN為異面直線C．GH與MN成60°角D．DE與MN垂直BCD解析：把正四面體的平面展開(kāi)圖還原，如圖所示，GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60°角，DE⊥MN.故BCD正確．3．(多選題)(2022·臨沂二模)如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別是AB1，BC1的中點(diǎn)，則以下結(jié)論中成立的是()A．EF與BB1垂直B．EF與BD垂直C．EF與CD異面D．EF與A1C1異面ABC解析：如圖所示，連接A1B，由幾何關(guān)系可得點(diǎn)E為A1B的中點(diǎn)，且BF＝FC1.由三角形中位線的性質(zhì)可得EF∥A1C1，即EF與A1C1不是異面直線，很明顯，EF與CD異面，由幾何關(guān)系可得A1C1⊥BB1，A1C1⊥BD，則EF⊥BB1，EF⊥BD．綜上可得，選項(xiàng)D中的結(jié)論不成立．故選ABC．課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(三十三)A組全考點(diǎn)鞏固練1．若直線上有兩個(gè)點(diǎn)在平面外，則()A．直線上至少有一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)B．直線上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)C．直線上所有點(diǎn)都在平面外D．直線上至多有一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)D解析：根據(jù)題意，兩點(diǎn)確定一條直線，那么由于直線上有兩個(gè)點(diǎn)在平面外，則直線在平面外，只能是直線與平面相交，或者直線與平面平行，那么可知直線上至多有一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)．2．(多選題)下列命題是真命題的為()A．空間四點(diǎn)共面，則其中必有三點(diǎn)共線B．空間四點(diǎn)不共面，則其中任意三點(diǎn)不共線C．空間四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線，則此四點(diǎn)共面D．空間四點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線，則此四點(diǎn)不共面BC解析：對(duì)于平面四邊形來(lái)說(shuō)不成立，故A是假命題；若四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線，則根據(jù)“直線與直線外一點(diǎn)可以確定一個(gè)平面”知四點(diǎn)共面，與四點(diǎn)不共面矛盾，故B是真命題；由B的分析可知C是真命題；平面四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，故D是假命題．3．(2022·威海模擬)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BC，BB1的中點(diǎn)，則下列直線中與直線EF相交的是()A．直線AA1 B．直線A1B1C．直線A1D1 D．直線B1C1D解析：通過(guò)圖象易知：直線AA1、直線A1B1、直線A1D1與直線EF不在同一平面內(nèi)，直線B1C1與EF在同一平面內(nèi)且不平行，故直線B1C1與EF相交．故選D．4．若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，則下列結(jié)論一定正確的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1與l4既不垂直也不平行D．l1與l4的位置關(guān)系不確定D解析：構(gòu)造如圖所示的正方體ABCD-A1B1C1D1，取l1為AD，l2為AA1，l3為A1B1，當(dāng)取l4為B1C1時(shí)，l1∥l4，當(dāng)取l4為BB1時(shí)，l1⊥l4，故排除A，B，C．故選D．5．空間中有三條線段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直線AB與CD的位置關(guān)系是()A．平行B．異面C．相交或平行D．平行或異面或相交均有可能D解析：如圖，可知AB，CD有相交、平行、異面三種情況．故選D．6．已知ABCD-A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為2的正方體，E，F(xiàn)，G分別為AA1，D1C1，BC的中點(diǎn)，過(guò)E，F(xiàn)，G的平面截正方體的截面面積為()A．3 B．2C．33 D．32C解析：如圖，分析正方體結(jié)構(gòu)可以得知，該截面為一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正六邊形，此正六邊形分成6個(gè)全等的三角形，所以其面積為6×12×2×2×37．在三棱錐S-ABC中，G1，G2分別是△SAB和△SAC的重心，則直線G1G2與BC的位置關(guān)系是________．平行解析：如圖所示，連接SG1并延長(zhǎng)交AB于M，連接SG2并延長(zhǎng)交AC于N，連接MN.由題意知SM為△SAB的中線，且SG1＝23SM，SN為△SAC的中線，且SG2＝23SN，所以在△SMN中，SG所以G1G2∥MN，易知MN是△ABC的中位線，所以MN∥BC，所以G1G2∥BC．8．如圖，已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，C是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn)，C1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn)，那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為_(kāi)_______．2解析：取圓柱下底面弧AB的另一中點(diǎn)D，連接C1D，AD．因?yàn)镃是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn)，所以AD∥BC，所以直線AC1與AD所成的角即為異面直線AC1與BC所成的角，因?yàn)镃1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn)，所以C1D垂直于圓柱下底面，所以C1D⊥AD．因?yàn)閳A柱的軸截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝2AD，所以直線AC1與AD所成角的正切值為2，所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為2.9．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點(diǎn)．已知∠BAC＝π2，AB＝2，AC＝23，PA＝2.(1)三棱錐P-ABC的體積；(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值．解：(1)S△ABC＝12×2×23＝23，三棱錐P-ABC的體積為V＝13S△ABC·PA＝13×23×2(2)如圖，取PB的中點(diǎn)E，連接DE，AE，則ED∥BC，所以∠ADE是異面直線BC與AD所成的角(或其補(bǔ)角)．在△ADE中，DE＝2，AE＝2，AD＝2，cos∠ADE＝AD2+DE2故異面直線BC與AD所成角的余弦值為34B組新高考培優(yōu)練10．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于()A．30° B．45°C．60° D．90°C解析：如圖，延長(zhǎng)CA到點(diǎn)D，使得AD＝AC，連接DA1，BD，則四邊形ADA1C1為平行四邊形，所以∠DA1B就是異面直線BA1與AC1所成的角．又A1D＝A1B＝DB，所以△A1DB為等邊三角形，所以∠DA1B＝60°.故選C．11．(多選題)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，AA1＝3，則()A．異面直線A1B與B1D1所成角的余弦值為2B．異面直線A1B與B1D1所成角的余弦值為3C．A1B∥平面B1D1CD．點(diǎn)B1到平面A1BD1的距離為12ACD解析：因?yàn)锳1B∥D1C，所以∠B1D1C或其補(bǔ)角即為異面直線A1B與B1D1所成角．又因?yàn)锽1D1＝42，D1C＝5，B1C＝5，所以cos∠B1D1C＝B1D12+D1C2-B1C22B1D1·D1C＝225，故A正確，B錯(cuò)誤．因?yàn)锳1B∥D1C，A1B?平面B1D1C，D1C?平面B1D1C，所以A1B∥平面B1D1C，故C正確．設(shè)點(diǎn)B1到平面A1BD1的距離為h.因?yàn)閂B-A1B1D1＝VB1-12．(多選題)如圖是一幾何體的平面展開(kāi)圖，其中四邊形ABCD為矩形，E，F(xiàn)分別為PA，PD的中點(diǎn)．在此幾何體中，給出下列結(jié)論，其中正確的是()A．直線BE與直線CF異面B．直線BE與直線AF異面C．直線EF∥平面PBCD．平面BCE⊥平面PADBC解析：將平面展開(kāi)圖還原成直觀圖如圖所示．因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PA，PD的中點(diǎn)，所以EF∥AD．又四邊形ABCD為矩形，所以AD∥BC，所以EF∥BC，所以B，C，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面．所以直線BE與直線CF共面，不是異面直線，故A錯(cuò)誤．因?yàn)镋∈平面PAD，AF?平面PAD，點(diǎn)E不在直線AF上，B?平面PAD，所以直線BE與直線AF為異面直線，故B正確．因?yàn)镋F∥BC，BC?平面PBC，EF?平面PBC，所以EF∥平面PBC，故C正確．假設(shè)平面BCE⊥平面PAD，即平面BCFE⊥平面PAD，又平面BCFE∩平面PAD＝EF，作PM⊥EF，垂足為M，可得PM⊥平面BCE，但由題中條件無(wú)法證得PM⊥平面BCE，故假設(shè)不成立，故D錯(cuò)誤．13．(2022·廣東一模)如圖為四棱錐A-DEFG的側(cè)面展開(kāi)圖(點(diǎn)G1，G2重合為點(diǎn)G)，其中AD＝AF，G1D＝G2F.E是線段DF的中點(diǎn)，請(qǐng)寫(xiě)出四棱錐A-DEFG中一對(duì)一定相互垂直的異面直線：___________．(填上你認(rèn)為正確的一個(gè)結(jié)論即可，不必考慮所有可能的情形)AE，DF(或AE，DG，或AE，GF或AG，DF)解析：如圖所示，連接DF和GE，相交于點(diǎn)O，連接AO，因?yàn)镈G＝FG，DE＝EF，GE＝GE，所以△GDE≌△GFE，所以∠DGO＝∠FGO，又因?yàn)镈G＝FG，GO＝GO，所以△DGO≌△FGO，所以DO＝OF，∠GOD＝∠GOF＝π2，所以DF⊥OE因?yàn)锳D＝AF，OD＝OF，所以A