專題1.3 新定義問題（壓軸題專項講練）2023-2024學年七年級數(shù)學上冊壓軸題專項講練系列（人教版）（解析版）

第第頁專題1.3新定義問題【典例1】定義：對于確定位置的三個數(shù)：a，b，c，計算a?b，a?c2，b?c3，將這三個數(shù)的最小值稱為a，b，c的“分差”，例如，對于1，?2，3，因為1??2=3，1?32=?1，?2?33=?5（1）?2，?4，1的“分差”為______；（2）調(diào)整“?2，?4，1”這三個數(shù)的位置，得到不同的“分差”，求這些不同“分差”中的最大值．【思路點撥】（1）根據(jù)題中意思分別求出三個數(shù)，然后比較大小即可得出答案；（2）先給這三個數(shù)進行排序，分別求出其中的分差，然后比大小即可得出答案．【解題過程】（1）解：根據(jù)題意可得：?2??4=2，?2?12∵?5∴?2，?4，1的“分差”為?5故答案為：?5（2）①這三個數(shù)的位置為：?2，?4，1時，根據(jù)（1）中所求“分差”為?5②這三個數(shù)的位置為：?2，1，?4時，則?2?1=?3，?2??42=1∵?3<1<5∴?2，1，?4的“分差”為?3；③這三個數(shù)的位置為：1，?2，?4時，則1??2=3，1??4∵2∴1，?2，?4的“分差”為23④這三個數(shù)的位置為：1，?4，?2時，則1??4=5，1??2∵?2∴1，?4，?2的“分差”為?2⑤這三個數(shù)的位置為：?4，1，?2時，則?4?1=?5，?4??22=?1∵?5<?1<1，∴?4，1，?2的“分差”為?5；’⑥這三個數(shù)的位置為：?4，?2，1時，則?4??2=?2，?4?12∵?5∴?4，?2，1的“分差”為?5∵2∴這些不同“分差”中的最大值為231．（2022秋·廣東梅州·七年級?？茧A段練習）定義運算a?b=1a+1b，比如2?3=1A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④【思路點撥】根據(jù)題目中的新定義計算各項得到結(jié)果，即可做出判斷．【解題過程】解：①2??3=12?13②∵a?∴a≠0且b③∵a?b=∴a?④∵a?b+c=1∴a?（∴④錯誤．綜上，正確的結(jié)論為①②③，故選B．2．（2022秋·湖北十堰·七年級十堰市實驗中學?？计谥校┒x：如果ax=N（a>0，且a≠1），那么x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x=logxN．例如：因為72=49，所以log749=2；因為53=125，所以logA．①③ B．②③ C．①②③ D．②③④【思路點撥】由新定義可得：log7【解題過程】解：根據(jù)新定義可得：log6log3∵log4∴a+14=4解得：a=2，故③符合題意；∵log2log2∴l(xiāng)og2綜上所述，正確的序號有②③④．故選：D．3．（2022秋·河南鄭州·七年級統(tǒng)考階段練習）觀察下列兩個等：1﹣23=2×1×23﹣1，2﹣35=2×2×35﹣1給出定義如下：我們稱使等式a﹣b＝2ab﹣1成立的一對有理數(shù)a，b為“同心有理數(shù)對”，記為（a，b），如：數(shù)對（1，A．（﹣3，47） B．（4，49） C．（﹣5，611） 【思路點撥】根據(jù)題意“同心有理數(shù)對”的定義，一次檢驗四個選項是否符合定義，即可得出答案．【解題過程】解：∵?3?47=?25∴數(shù)對（﹣3，47故選項A不合題意；∵4?∴（4，49故選項B不合題意；∵?5?∴（﹣5，49故選項C不合題意；∵6?∴（6，7113故選項D符合題意；故選：D．4．（2022秋·四川樂山·七年級統(tǒng)考期中）定義兩種新運算，觀察下列式子：（1）xΘy=4x+y，例如，1Θ3=4×1+3=7；3Θ(?1)=4×3+(?1)=11；（2）x表示不超過x的最大整數(shù)，例如，2.2=2；?3.24根據(jù)以上規(guī)則，計算1Θ(?12【思路點撥】分別根據(jù)（1）的新定義xΘy=4x+y計算出兩個中括號里的值，再根據(jù)（2）的新定義x表示不超過x的最大整數(shù)去中括號，即求得最終結(jié)果．【解題過程】解：根據(jù)（1）的新定義xΘy=4x+y，1Θ(?12)(?2)Θ194=根據(jù)（2）的新定義x表示不超過x的最大整數(shù)，72=3.5∴1Θ(?1故答案為：-1．5．（2023秋·全國·七年級專題練習）定義一種對正整數(shù)n的“F運算”：①當n為奇數(shù)時，結(jié)果為3n＋5；②當n為偶數(shù)時，結(jié)果為n2k（其中k是使n2若n＝449，則第2020次“F運算”的結(jié)果是．【思路點撥】根據(jù)題意計算前幾次結(jié)果，找到規(guī)律即可求解．【解題過程】解：第一次：3×449+5=1352，第二次：1352∵其中k是使13522k∴k=3∴第二次運算：13522第三次：3×169+5=512∵2∴k=9計算結(jié)果為51229第五次：1×3+5=8，第六次：82∵2∴k=3，計算結(jié)果為82……依次為8與1的循環(huán)，當計算次數(shù)為奇數(shù)時，結(jié)果為8；當計算次數(shù)為偶數(shù)時，結(jié)果為1，∴第2020次“F運算”的結(jié)果是1．故答案為：1．6．（2022秋·全國·七年級期末）定義一種新運算“K運算”，對有理數(shù)a，b，規(guī)定：aKb=?2a+b(ab>1)?abab【思路點撥】根據(jù)?123×35=1,?2×?【解題過程】解：∵?12∴?123∴?1∵259∴259∴259∵?62∴?62即?12故答案為：2057．（2022秋·安徽馬鞍山·七年級?？计谥校┒x一種新運算“☆”，規(guī)則為：m☆n=m（1）?3☆（2）?1☆【思路點撥】（1）根據(jù)新定義的運算計算即可．（2）根據(jù)新定義的運算先計算中括號內(nèi)的，再計算括號外的即可．【解題過程】（1）解：由題意得，?3==9?6?2=1；（2）解：由題意得，?5==25?10?2=13；同理?1==?1?13?13=?27，∴?1☆8．（2022秋·江西上饒·七年級統(tǒng)考階段練習）定義新運算：m?n=m?nn+n?m（1）求?1?3（2）若b=2，且a?b+a+c+5=2，求【思路點撥】（1）根據(jù)所給的新定義列式計算即可；（2）先根據(jù)所給的新定義結(jié)合已知條件式得到a?22+2?a+a+c+5=2，即【解題過程】（1）解：由題意得，?1===?64+4=?60；（2）解：∵a?b+a+c+5=2，∴a?2+a+c+5∴a?22∴a?22∵a?22∴a?22∴a?2=0，∴a=2，∴c?a====49+2+5=56．9．（2022秋·福建寧德·七年級統(tǒng)考期中）在學習完《有理數(shù)》后，小奇對運算產(chǎn)生了濃厚的興趣．借助有理數(shù)的運算，定義了一種新運算“⊕”，規(guī)則如下：a⊕b=a×b+2×a．（1）3⊕?2（2）求?5⊕?4⊕（3）試探究這種新運算“⊕”是否滿足交換律？舉例說明【思路點撥】（1）將a=3，b=?2代入a⊕b=a×b+2×a計算可得；（2）根據(jù)法則，先計算?4⊕12=?10，再計算?5⊕（3）計算3⊕?2和?2【解題過程】（1）解：∵a⊕b=a×b+2×a，∴3⊕?2（2）解：∵a⊕b=a×b+2×a，∴?5⊕=?5⊕=?5⊕==40；（3）解：新運算“⊕”不滿足交換律．例如：由（1）知3⊕又∵?2∴3⊕?2∴新運算“⊕”不滿足交換律．10．（2022秋·全國·七年級期中）對于有理數(shù)a,b，定義一種新運算“?”，規(guī)定a?b=a+b（1）計算3??5（2）①當a,b在數(shù)軸上的位置如圖所示時，化簡a?b；

②當a?b=a?c時，是否一定有b=c或者b=?c?若是，則說明理由；若不是，則舉例說明．【思路點撥】（1）先根據(jù)新運算的定義列出運算式子，再計算有理數(shù)的加減法、化簡絕對值即可得；（2）①先根據(jù)數(shù)軸的定義判斷出a+b<0,a?b>0，再化簡絕對值即可得；②根據(jù)絕對值運算、有理數(shù)的加減法，列出反例即可．【解題過程】（1）由題意得：3??5=?2=2+8，=10；（2）①從a,b在數(shù)軸上的位置得：a+b<0,a?b>0，則a?b=a+b=?a+b=?a?b+a?b，=?2b；②當a?b=a?c，即a+b+a?b=a+c+例如：取a=5,b=4,c=3，則a+b+a+c+即此時等式成立，但b≠c且b≠?c．11．（2022秋·浙江臺州·七年級?？计谥校┒x：對于任意的有理數(shù)a，ba≠b，a⊕b=（1）探究性質(zhì)：①例：3⊕2=_________；2⊕3=_________；?3⊕2=_________；?3②可以再舉幾個例子試試，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？請用含a，b的式子表示出a⊕b的一般規(guī)律；（2）性質(zhì)應用：①運用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律求【?92.5②將?11，?10，?9，?8……，7，8這20個連續(xù)的整數(shù)，任意分為10組，每組兩個數(shù)，現(xiàn)將每組的兩個數(shù)中任一數(shù)值記作a，另一個記作b，求出a⊕b，10組數(shù)代入后可求得10個a⊕b的值，則這10個值的和的最小值是．【思路點撥】（1）①根據(jù)定義a⊕b=12(|a?b|+a+b),a≠b（2）①直接利用規(guī)律進行求解；②不妨設a>b，則代數(shù)式中絕對值符號可直接去掉，代數(shù)式等于a，由此即可解決問題．【解題過程】（1）解：①∵a⊕b=1∴3⊕2=12⊕3=1?3⊕2=?3⊕故答案為：3，3，2，?2；②例如：3⊕?2?2⊕通過以上例子發(fā)現(xiàn)，該運算是用來求大小不同的兩個有理數(shù)的最大值，用a，b的式子表示出一般規(guī)律為a⊕b=a,a>b（2）解：①【==16.33②不妨設a>b，則代數(shù)式中絕對值符號可直接去掉，∴代數(shù)式等于a，a為偶數(shù)，b=a?1最小值=?10故答案為：?10．12．（2022秋·河南南陽·七年級統(tǒng)考階段練習）在有理數(shù)的范圍內(nèi)，定義三個數(shù)之間的新運算“?”：a?b?c=a?b?c+a+b+c2（1）計算：4??2（2）計算：3??7（3）已知?67，?57，?，?17，0，19，29，?，89這十五個數(shù)中．從中任取三個數(shù)作為a，【思路點撥】（1）直接代入公式計算即可；（2）直接代入公式計算即可；（3）分析a?b?c為負數(shù)與非負數(shù)兩種情況下的最小值，最后綜合考慮即可．【解題過程】（1）原式=4?=6；（2）原式=3?=19=3；（3）當a?b?c為非負數(shù)時，a?b?c=a?b?c+a+b+c2∴當a=?67時，a?b?c的最小值為當a?b?c為負數(shù)時，a?b?c=?a+b+c+a+b+c2∴當b+c的值最小時，a?b?c的值最??；∵a?b?c為負數(shù)，∴a＜由于a最小取?6∴b+c＞綜上可得，a?b?c的最小值為?613．（2022秋·江西景德鎮(zhèn)·七年級統(tǒng)考期中）材料一：對任意有理數(shù)a，b定義運算“?”，a?b=a+b?20232，如：1?2=1+2?2023材料二：規(guī)定a表示不超過a的最大整數(shù)，如3.1=3，?2=?2，（1）2?6=______，?ππ（2）求1?2?3?4…?2022?2023的值：（3）若有理數(shù)m，n滿足m=2n=3n+1【思路點撥】（1）根據(jù)材料1新定義的運算“?”的概念即可求出2?6的值，根據(jù)材料2中的定義即可求出?ππ（2）根據(jù)新定義函數(shù)把1?2?3?4…?2022?2023變形為加減運算，再根據(jù)運算順序即可求出1?2?3?4…?2022?2023的值；（3）根據(jù)m=2n=3n+1求出m的值和n的范圍，再求出m+n【解題過程】（1）解：∵a?b=a+b?2023∴2?6=∵?π∴?ππ=故答案為：?20072，（2）依題意，1?2?3?4…?2022?2023=1+2+3+……+2023+2022×==2023；（3）∵n+1=n+1∴2n∴n=?3∴m=2×?3=?6∴m+n=?6+n∴m?m+n=?9?14．（2022秋·廣東茂名·七年級茂名市第一中學?？计谥校╊惐扔欣頂?shù)的乘方，我們定義“除方”運算，比如：2÷2÷2可寫作2③，（－3）÷（－3）÷（－3）÷（－3）寫作（－3）④，一般地把n個a相除寫作a?，讀作“a的圈n（1）直接寫出計算結(jié)果：2③＝_______；?12（2）我們知道，有理數(shù)的減法運算可以轉(zhuǎn)化為加法運算，除法運算可以轉(zhuǎn)化為乘法運算，那么除方運算如何轉(zhuǎn)化為乘方運算呢？方法如下：除方→2④=2÷2÷2÷2=2×仿照以上例子，把除方運算寫乘方形式：?3⑤＝______，1（3）算一算：122【思路點撥】（1）根據(jù)新定義的運算計算即可；（2）根據(jù)題干中的運算方法求解即可；（3）利用（1）（2）中的方法代入化簡，然后計算即可．【解題過程】（1）解：2③?12③故答案為：12，?2（2）?3⑤=(?3)÷(?3)÷(?3)÷(?3)÷(?3)=(?3)×15⑥故答案為：?133（3）122÷?13④=144÷=144÷9×=16×=1?3=?2．15．（2022秋·浙江嘉興·七年級校聯(lián)考階段練習）東東在研究數(shù)學問題時遇到一個定義：將三個已經(jīng)排好順序數(shù)：x1，x2，x3，稱為數(shù)列x1，x2，x3，計算|x1|，x1+x22，x1+x2+x33，將這三個數(shù)的最小值稱為數(shù)列x1，x2，x3東東進一步發(fā)現(xiàn)：當改變這三個數(shù)的順序時，所得到的數(shù)列都可以按照上述方法計算其相應的最佳值．如數(shù)列?1，2，3的最佳值為12；數(shù)列3，?1，2的最佳值為1；…，經(jīng)過研究，東東發(fā)現(xiàn)，對于“2，?1，3”這三個數(shù)，按照不同的排列順序得到的不同數(shù)列中，最佳值的最小值為1（1）數(shù)列?5，?4，3的最佳值為_________（2）將“?5，?4，3”這三個數(shù)按照不同的順序排列，可得到若干個數(shù)列，這些數(shù)列的最佳值的最小值為_________，取得最佳值最小值的數(shù)列為_________（寫出一個即可）；（3）將2，-8，a（a>1）這三個數(shù)按照不同的順序排列，可得到若干個數(shù)列．若這些數(shù)列的最佳值的最小值為1，求a的值．【思路點撥】（1）根據(jù)上述材料給出的方法計算其相應的最佳值為即可；（2）按照三個數(shù)不同的順序排列算出最佳值，由計算可以看出，要求得這些數(shù)列的最佳值的最小值；只有當前兩個數(shù)的和的絕對值最小，最小只能為?4+32（3）分情況算出對應的數(shù)值，建立方程求得a的數(shù)值即可．【解題過程】（1）解：因為?5=5所以數(shù)列?5，?4，3的最佳值為2．故答案為：2；（2）解：對于數(shù)列?5，?4，3，因為?5=5對于數(shù)列?5，3，?4，因為?5=5對于數(shù)列3，?5，?4，因為3=3對于數(shù)列3，?4，?5，因為3=3對于數(shù)列?4，?5，3，因為?4=4對于數(shù)列?4，3，?5，因為?4=4∴數(shù)列的最佳值的最小值為0.5，數(shù)列可以為：3，?4，?5或?4，3，?5，故答案為：3，?4，?5或?4，3，?5；（3）解：當|2+a2|=1當|?8+a2|=1當|2?8+a3|=1綜上所述：a的值為6或10或9或3．16．（2022秋·河北石家莊·七年級?？计谥校┰跀?shù)軸上，把原點記作點O，表示數(shù)1的點記作點A．對于數(shù)軸上任意一點P（不與點O，點A重合），將線段PO與線段PA的長度之比定義為點P的特征值，記作P，即P=POPA．例如：當點P是線段OA的中點時，因為PO=PA，所以P=1．如圖，點P1,P2,P3為數(shù)軸上三個點，點P

（1）點P2（2）求P1,P（3）若數(shù)軸上有一點M滿足OM=13OA【思路點撥】（1）根據(jù)相反數(shù)的定義即可解答；（2）根據(jù)P=POPA（3）根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離公式可知點M表示的數(shù)，再根據(jù)M=【解題過程】（1）解：∵點P1表示的數(shù)為?14，點P∴點P2表示的數(shù)為1故答案為14（2）解：∵點P1表示的數(shù)為?14，點A表示的數(shù)為1∴P1∵點P2表示的數(shù)為1∴P2∵點P3表示的數(shù)為2∴P3∵15∴P1（3）解：∵點A所表示的數(shù)為1，且OM=13OA∴OM=1設M點表示的數(shù)為x，∴OM=0?x∴x=13或∴點M表示的數(shù)是13或?當點M表示的數(shù)是13時，M當點M表示的數(shù)是?13時，綜上，M的值是12或117．（2022秋·廣西南寧·七年級南寧市第四十七中學?？计谥校τ跀?shù)軸上的A，B，C三點，給出如下定義：若其中一個點與另外兩個點的距離恰好滿足2倍的數(shù)量關(guān)系，則稱該點是另外兩個點的“聯(lián)盟點”．例如：數(shù)軸上點A，B，C所表示的數(shù)分別為1，3，4，此時點B是點A，C的“聯(lián)盟點”．（1）若點A表示數(shù)?3，點B表示數(shù)3，下列各數(shù)，?1，0，1所對應的點分別是C1,C2,（2）點A表示數(shù)?10，點B表示數(shù)5，P為數(shù)軸上的一個動點：①若點P在點A的左側(cè)，且點P是點A，B的“聯(lián)盟點”，求此時點P表示的數(shù)；②若點P在點B的右側(cè)，點P，A，B中，有一個點恰好是另外兩個點的“聯(lián)盟點”，求此時點P表示的數(shù)．【思路點撥】（1）根據(jù)“聯(lián)盟點”的定義列出絕對值方程即可求解；（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點的距離公式以及新定義，分類討論，列出一元一次方程，解方程即可求解．【解題過程】（1）解：設C點表示的數(shù)為x，且C點是點A，∴根據(jù)?1，0，1三個數(shù)在數(shù)A、B之間，可得CA=2CB或CB=2CA，∴x+3=2|x?3|或|x?3|=2當x+3=2|x?3|時，解得x=1或x=9當|x?3|=2x+3時，解得x=?∴C1，C故答案為：C1，C（2）①設P點表示的數(shù)是a，點P在點A的左側(cè)，∴PA＜PB，PA=?10?a，∵點P是點A，∴PB=2PA，∴2?10?a解得a=?25，即P點表示的數(shù)是?25；②設P點表示的數(shù)是b，點P在點B的右側(cè)，當P是點A，B的“聯(lián)盟點”時，∴b+10=2b?5解得b=20；當A是點P，B的“聯(lián)盟點”時，PA=2AB，∴b+10=2×15，解得b=20；當B是點P，A的“聯(lián)盟點”時，PB=2AB或AB=2PB，∴b?5=2×15或15=2b?5解得b=35或b=12.5；綜上所述：P點表示的數(shù)為20或35或12.5．18．（2022秋·江蘇·七年級期末）定義：若A，B，C為數(shù)軸上三點，若點C到點A的距離是點C到點B的距離2倍，我們就稱點C是【A，B】的美好點．例如：如圖1，點A表示的數(shù)為－1，點B表示的數(shù)為2.表示1的點C到點A的距離是2，到點B的距離是1，那么點C是【A，B】的美好點；又如，表示0的點D到點A的距離是1，到點B的距離是2，那么點D就不是【A，B】的美好點，但點D是【B，A】的美好點．如圖2，M，N為數(shù)軸上兩點，點M所表示的數(shù)為－7，點N所表示的數(shù)為2（1）點E，F(xiàn)，G表示的數(shù)分別是－3，6.5，11，其中是【M，N】美好點的是；寫出【N，M】美好點H所表示的數(shù)是．（2）現(xiàn)有一只電子螞蟻P從點N開始出發(fā)，以2個單位每秒的速度向左運動．當t為何值時，P，M和N中恰有一個點為其余兩點的美好點？【思路點撥】（1）根據(jù)美好點的定義，結(jié)合圖2，直觀考察點E，F(xiàn)，G到點M，N的距離，只有點G符合條件．結(jié)合圖2，根據(jù)美好點的定義，在數(shù)軸上尋找到點N的距離是到點M的距離2倍的點，在點的移動過程中注意到兩個點的距