無(wú)限中的有限

學(xué)校代碼：11059學(xué)號(hào)：0707021025本科畢業(yè)論文BACHELORDISSERTATION論文題目：無(wú)限過(guò)程中的有限（淺談數(shù)列與級(jí)數(shù)的收斂性及其應(yīng)用）學(xué)位類別： 理學(xué)學(xué)士 學(xué)科專業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 作者姓名： 何李貝導(dǎo)師姓名： 姚玉武 無(wú)限中的有限（淺談數(shù)列與級(jí)數(shù)的收斂性及其應(yīng)用）摘要無(wú)限過(guò)程中的有限，無(wú)論從數(shù)學(xué)世界中還是現(xiàn)實(shí)世界中，其研究面廣且具有研究?jī)r(jià)值。純粹意思上理論的，數(shù)列和級(jí)數(shù)的收斂性已經(jīng)研究的比較透徹。數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)都是由于對(duì)無(wú)限本身的矛盾認(rèn)識(shí)而引起的，了解到無(wú)限和有限在數(shù)學(xué)史上的發(fā)展過(guò)程，有限和無(wú)限在數(shù)列求極限中的區(qū)別和聯(lián)系，再通過(guò)即無(wú)限中包括了有限。在級(jí)數(shù)中有限和無(wú)限的研究。無(wú)限是由有限構(gòu)成的，例如對(duì)一些無(wú)限事物確定性研究，如Koch雪花的研究，并且在一些數(shù)列和級(jí)數(shù)中通過(guò)有限和無(wú)限之間的關(guān)系，從而得出一些不同與常規(guī)的結(jié)論。關(guān)鍵詞：有限；無(wú)限；數(shù)列；正項(xiàng)級(jí)數(shù)；Koch雪花；FiniteorInfinite(infinitetheconvergenceforseriesofsequenceanditsapplications)ABSTRACTInfiniteprocessislimited,regardlessofthemathematicalworldistherealworld,awiderangeofitsresearchandresearchvalue.Puretheoryofmeaning,thenumberofcolumnsandtheconvergenceofserieshavebeenmorethoroughstudy.Mathematicsinthehistoryofthethreecrisesareduetoawarenessoftheinfiniteitselfcausedtheconflict,understandthehistoryofunlimitedandlimitedthedevelopmentofmathematics,finiteandinfiniteseriesoflimitinthedistinctionandconnection,andthroughthatinfiniteincludeslimited.Intheseriesoffiniteandinfinite.Unlimitedisalimitedform,forexample,someuncertaintiesofinfinitethings,suchaskochsnow,andinsomeseriesbyseriesandtherelationshipbetweenthefiniteandinfinite,sodifferentfromtheconventionaldrawsomeconclusions.KEYWORD:Limited;Infinite;Series;PositiveSeries;KochSnow；TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"第一章前言 1\o"CurrentDocument"1.1三次數(shù)學(xué)危機(jī)與無(wú)限思想 2\o"CurrentDocument"1.2空間概念的發(fā)展與無(wú)限思想 4\o"CurrentDocument"1.3現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的三大學(xué)派與無(wú)限思想 4\o"CurrentDocument"第二章無(wú)限與有限的關(guān)系 62.1無(wú)限蘊(yùn)含著有限一一談數(shù)列與級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散 72.1.1數(shù)列的收斂與發(fā)散 72.1.2級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散 7\o"CurrentDocument"2.2無(wú)限由有限組成，同時(shí)由有限可以推演出無(wú)限 8\o"CurrentDocument"2.2數(shù)列與級(jí)數(shù)中的無(wú)限與有限 102.2.1數(shù)列的收斂性 102.2.2級(jí)數(shù)的收斂性 11\o"CurrentDocument"第三章無(wú)限過(guò)程中的有限應(yīng)用 15\o"CurrentDocument"3.1Koch雪花 15\o"CurrentDocument"3.2正項(xiàng)數(shù)列收斂性的應(yīng)用一收斂速度 17\o"CurrentDocument"結(jié)束語(yǔ) 19\o"CurrentDocument"參考文獻(xiàn) 20致謝 21第一章前言無(wú)限是數(shù)學(xué)上最重要的研究對(duì)象，也是哲學(xué)上最重要的范疇之一。數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)都是由于對(duì)無(wú)限本身的矛盾認(rèn)識(shí)而引起的：空間概念的發(fā)展也經(jīng)歷了從有限到無(wú)限的過(guò)程；現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的三大學(xué)派的無(wú)窮觀也各不相同?？傊?，對(duì)“無(wú)限”的認(rèn)識(shí)也是一個(gè)無(wú)限的過(guò)程。無(wú)限，又稱“無(wú)窮”。在傳統(tǒng)的無(wú)窮理論體系中，哲學(xué)里的無(wú)窮觀與數(shù)學(xué)里的無(wú)窮觀并沒(méi)有什么本質(zhì)區(qū)別，其核心概念是“無(wú)窮”，指科學(xué)中某存在之物在大小、多少或長(zhǎng)短等性質(zhì)上的沒(méi)有止境。在傳統(tǒng)無(wú)窮觀中“無(wú)窮”僅是個(gè)定性的概念，具體可表述為沒(méi)有限度、無(wú)始無(wú)終、無(wú)邊無(wú)際、不可窮盡、有始無(wú)終、有終無(wú)始、無(wú)窮大、無(wú)窮小、無(wú)窮集合等。1.1三次數(shù)學(xué)危機(jī)與無(wú)限思想回顧數(shù)學(xué)的演變與紛爭(zhēng)的歷史，是人類從有限走向無(wú)限的認(rèn)識(shí)歷程。無(wú)限是人類在數(shù)學(xué)上最重要的對(duì)象，也是哲學(xué)上最重要的范疇之一。數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)都與無(wú)限有關(guān)：希帕索斯的無(wú)理數(shù)悖論、貝克萊的無(wú)窮小悖淪、羅素的集合論悖論，分別是對(duì)無(wú)限不循環(huán)量、無(wú)窮小量、無(wú)窮大量本身的矛盾的認(rèn)識(shí)而引起的。公元前五世紀(jì)，一個(gè)希臘人 畢達(dá)哥拉斯(Py—thagoras)學(xué)派的門(mén)徒希帕索斯，發(fā)現(xiàn)了等腰直角三角形的直角邊與斜邊不可通約，從而導(dǎo)致了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。當(dāng)時(shí)畢氏學(xué)派的“萬(wàn)物皆數(shù)”觀不僅深信數(shù)的和諧與數(shù)是萬(wàn)物的本源，而且宇宙問(wèn)的一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)比已成為他們的信條。事實(shí)上，希帕索斯發(fā)現(xiàn)的就是無(wú)理數(shù)^2，而無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。當(dāng)時(shí)人們只有有理數(shù)的概念，普遍確信一切量都可以用有理數(shù)來(lái)表示。這樣希帕索斯的這一發(fā)現(xiàn)，就成為荒謬和違反常識(shí)的事，不僅嚴(yán)重觸犯了畢氏學(xué)派的信條，同時(shí)沖擊了當(dāng)時(shí)希臘人的普遍見(jiàn)解，不能不使人們感到驚奇不安。相傳，畢氏學(xué)派就因這一發(fā)現(xiàn)而把希帕索斯投入海中。但是希帕索斯的偉大發(fā)現(xiàn)卻是淹不死的，它以頑強(qiáng)的生命力被廣為流傳，迫使人們?nèi)フJ(rèn)識(shí)和理解自然數(shù)及其比(有理數(shù))不能包括切幾何量，也迫使畢氏學(xué)派承認(rèn)這一悖論并提出單子概念去解決它。單子概念是一種如此之小的度量單位，以致本身不可度量卻又要保持為一種單位。這或許是企圖通過(guò)無(wú)限來(lái)解決問(wèn)題的最早努力。但是，畢氏學(xué)派的努力卻又引起了芝諾的關(guān)注，他認(rèn)為：一個(gè)單子或者是0或者不是0,如果是0,則無(wú)窮多個(gè)單子相加也產(chǎn)生不了長(zhǎng)度；如果不是0,則無(wú)窮多個(gè)單子組成的有限長(zhǎng)線段應(yīng)該是無(wú)限長(zhǎng)的，不論何說(shuō)都矛盾。所以，連同著名的芝諾悖論在內(nèi)也都列為數(shù)學(xué)第一次危機(jī)的組成部分。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)促使人們從依靠直覺(jué)、經(jīng)驗(yàn)而轉(zhuǎn)向依靠證明，導(dǎo)致了公理幾何學(xué)與邏輯學(xué)的誕生。數(shù)學(xué)史上把18世紀(jì)微積分誕生以來(lái)在數(shù)學(xué)界出現(xiàn)的混亂局面，稱為第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。英國(guó)牛頓基于運(yùn)動(dòng)學(xué)觀點(diǎn)提出了“流數(shù)術(shù)”，而德國(guó)萊布尼茲則從幾何學(xué)角度出發(fā)，提出“一種求極大、極小和切線的新方法，以及這種新方法的奇妙類型的計(jì)算”。兩者都有些含糊不清。如牛頓的“剎那”或無(wú)窮小量，有時(shí)是0,有時(shí)不是0,而是有限小量。萊布尼茲的dx也不能自圓其說(shuō)。dx表示兩個(gè)相鄰的X間的差是什么意思?極限是什么？無(wú)窮小是什么？都十分含糊。馬克思稱這個(gè)時(shí)期的微積分為神秘的微分學(xué)。由于神秘的微分學(xué)在數(shù)學(xué)的根本性問(wèn)題上說(shuō)不清楚，當(dāng)時(shí)鼎鼎大名的唯心論哲學(xué)家貝克萊（1685—1753，愛(ài)爾蘭大主教）提出了《分析學(xué)家：或一篇致不信神數(shù)學(xué)家的論文，其中審查一下近代分析學(xué)的對(duì)象、原則及論斷是不是比宗教的神秘、教義的主旨有更清晰的陳述，或更明顯的推理》這篇標(biāo)題很長(zhǎng)的書(shū)。他嘲笑說(shuō)無(wú)窮小量是“已經(jīng)死去了的量的鬼魂幽靈”，怎么能說(shuō)既是0又不是0呢？貝克萊之激烈攻擊微積分，主要是出于他極端恐懼當(dāng)時(shí)自然科學(xué)的發(fā)展所造成的對(duì)宗教信仰的日益增長(zhǎng)的威脅，但也正由于當(dāng)時(shí)的微積分理論沒(méi)有一個(gè)牢固的基礎(chǔ)，致使來(lái)自各方面的非難和攻擊似乎言之有理。歷史上，曾稱貝克萊如上之論述為貝克萊悖論，而且迫使數(shù)學(xué)家不能不認(rèn)真對(duì)待這一悖論，借以解除數(shù)學(xué)的第二次危機(jī)?？挛髟敿?xì)而又系統(tǒng)地發(fā)展極限論，戴德金（Dedekind）在實(shí)數(shù)理論的基礎(chǔ)上證明極限論的基本定理，還有康托與維爾斯特拉斯都加入了為微積分理論尋找牢固基礎(chǔ)的工作，發(fā)展了極限理論。普遍認(rèn)為，由于嚴(yán)格的微積分理論的建立，上述數(shù)學(xué)史上的兩次危機(jī)已經(jīng)解決。但在事實(shí)上，建立嚴(yán)格的分析理論是以實(shí)數(shù)理論為基礎(chǔ)的，而要建立嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論，又必須以集合論為基礎(chǔ)；而集合論的誕生與發(fā)展，卻又偏偏出現(xiàn)了一系列的悖論，如著名的羅素悖論、康托悖論等，由此而構(gòu)成了更大的危機(jī)。在今天，人們恰當(dāng)?shù)匕鸭险撱Ｕ摰某霈F(xiàn)及其所引起的爭(zhēng)論局面，稱之為第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。這樣人們就不得不重新審視“無(wú)限”這個(gè)包含著矛盾的概念。人們?cè)缇桶l(fā)現(xiàn)，對(duì)待無(wú)限或無(wú)限過(guò)程可以有兩種截然不同的、在概念上互相排斥的理解方式，是把“無(wú)限”看成為永遠(yuǎn)在延伸著的（即不斷在創(chuàng)造著的完成不了的）進(jìn)程。例如不斷延伸的自然數(shù)列1，2,3,…，n，n+l，…就具有這樣的性質(zhì)。二是把無(wú)限對(duì)象看成為可以自我完成的過(guò)程或無(wú)窮整體。例如把自然數(shù)全體理解為一個(gè)真無(wú)限集合f1，2,3,…，n，…}。顯然，這兩種理解方式足彼此排斥的。因?yàn)榍罢甙褵o(wú)限理解為永遠(yuǎn)不能完成的進(jìn)程，而后者則把無(wú)限理解為可以完成的過(guò)程?？梢?jiàn)，承認(rèn)不承認(rèn)無(wú)限能否完成或形成整體，這是問(wèn)題的關(guān)鍵所在。其實(shí)，在認(rèn)識(shí)論上最根本的關(guān)鍵問(wèn)題還在于承認(rèn)不承認(rèn)人腦的思維能夠模寫(xiě)運(yùn)動(dòng)和反映“飛躍”。在數(shù)學(xué)哲學(xué)上，把進(jìn)程式的無(wú)限稱為潛無(wú)限或假無(wú)限，把過(guò)程式的無(wú)限或完成了的無(wú)限稱之為實(shí)無(wú)限或真無(wú)限?，F(xiàn)代的反映論者是承認(rèn)人腦的思維運(yùn)動(dòng)能夠反映客觀存在的飛躍過(guò)程的。根據(jù)這樣的觀點(diǎn)，也就自然能夠接受自然數(shù)序列做成無(wú)窮集合的概念。事實(shí)上，為了從直觀上掌握自然數(shù)序列的整體性概念，可以設(shè)想在坐標(biāo)軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)從坐標(biāo)1處向原點(diǎn)0處移動(dòng)，而當(dāng)動(dòng)點(diǎn)達(dá)到0時(shí)，也就通過(guò)了無(wú)窮點(diǎn)集（數(shù)集）1111{1，-，-，…，-，…）中的一切點(diǎn)，又因?yàn)?與自然數(shù)n做成一一對(duì)應(yīng)，所以一切2 3n n自然數(shù)這個(gè)概念也就被確定了下來(lái)。在上述思維形式中，實(shí)際上思維在模寫(xiě)運(yùn)動(dòng)：在動(dòng)點(diǎn)1滑到0的過(guò)程中，該動(dòng)點(diǎn)逐次走過(guò)坐標(biāo)點(diǎn)-(n=l,2,3，)，心像也就跟蹤前進(jìn)。既然運(yùn)n動(dòng)的實(shí)質(zhì)是聯(lián)結(jié)與過(guò)渡，所以該動(dòng)點(diǎn)必然會(huì)達(dá)到0點(diǎn)，而在這一時(shí)刻也就在人們思想里立即呈現(xiàn)了(完成了)一切n的概念。這是思維運(yùn)動(dòng)里的一個(gè)飛躍，它正好對(duì)應(yīng)地反映了運(yùn)動(dòng)中的一個(gè)階段性飛躍，即動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)從非零數(shù)值變?yōu)榱愕哪莻€(gè)飛躍?？低幸M(jìn)最小的超窮序列數(shù)a時(shí)已十分明確：自然數(shù)序列的形成過(guò)程包含著兩個(gè)階段：一是延伸(進(jìn)展)，二是窮竭。只有經(jīng)過(guò)延伸到窮竭，才徹底揚(yáng)棄有限性，完成真無(wú)限過(guò)程。仔細(xì)說(shuō)來(lái)，上述過(guò)程的真無(wú)限性是由“飛躍”形成的。因此，自然數(shù)序列的過(guò)程結(jié)構(gòu)理應(yīng)表示成下列形式：｛1，2,3，(...)，n，(...)｝在這個(gè)表示法中，n代表任意自然數(shù),01(...)表示著自然數(shù)的不斷有限延伸，即量變階段；而(...)表示著那揚(yáng)棄了有限性重復(fù)發(fā)01生現(xiàn)象的飛躍階段，即質(zhì)變階段。由上已知，自然數(shù)的真無(wú)限過(guò)程是由飛躍階段(...)來(lái)完成的，所以(...)中已經(jīng)蘊(yùn)含了11真無(wú)限性?？墒瞧渲械某蓡T(自然數(shù))按照康托的觀點(diǎn)看來(lái)又都是有限的序號(hào)數(shù)，有限序號(hào)數(shù)增長(zhǎng)到無(wú)限就否定了序數(shù)自身的有限性，可見(jiàn)(...)中之有“無(wú)限多的有限序號(hào)數(shù)”這一1概念本身就隱含著矛盾。按照恩格斯《反杜林論》里的話來(lái)說(shuō)，無(wú)限性是矛盾，而且是滿含矛盾。無(wú)限性只能由有限的量來(lái)構(gòu)成，這已是一種矛盾，可是事實(shí)上就是如此1.2空間概念的發(fā)展與無(wú)限思想空間概念的發(fā)展，也經(jīng)歷了從有限到無(wú)限的過(guò)程。人們最初只有三維空間的概念，經(jīng)歷了很長(zhǎng)時(shí)間才突破到四維空間，接著就產(chǎn)生了n維空間的概念，這些都是有限維空間。隨著空間概念向各個(gè)數(shù)學(xué)分支的滲透，在泛函分析中建立了函數(shù)空間，即把點(diǎn)集論推廣到函數(shù)的集合中去而導(dǎo)致了無(wú)限維空間的產(chǎn)生。無(wú)限維空間的典型實(shí)例是希爾伯特空間——無(wú)限維歐幾里得空間，這種空間的元素的坐標(biāo)是函數(shù)展成正交函數(shù)的級(jí)數(shù)的系數(shù)，空間中任意兩元素x(t)、y(t)之間的距離S二寸〕bx(t)-y(t開(kāi)dt正好對(duì)應(yīng)著有限維歐氏空間兩點(diǎn)"a問(wèn)的距離S= (x-y)2。這里，歐氏空間中兩點(diǎn)X、y的坐標(biāo)分別是n個(gè)，而希爾伯特空'i=1間中兩點(diǎn)x(t)、y(t)的坐標(biāo)數(shù)是無(wú)限多1.3現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的三大學(xué)派與無(wú)限思想對(duì)于什么是數(shù)學(xué)、什么是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，以及對(duì)于數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題、數(shù)學(xué)理論等奠基性的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題，存在著不同的觀點(diǎn)與看法。人們從不同的哲學(xué)觀點(diǎn)出發(fā),發(fā)表對(duì)數(shù)學(xué)中具有普遍性和本質(zhì)性的問(wèn)題的看法，在歷史上就形成了不同的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)派。20世紀(jì)上半葉，在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中，論戰(zhàn)得最多、影響最大的有三大學(xué)派，即邏輯主義、直覺(jué)主義和形式公理主義三大學(xué)派。在這里我們只談一談這三大學(xué)派的無(wú)限思想，即他們的無(wú)窮觀。邏輯主義派的主要代表人物是羅素。邏輯主義派的主要宗旨是把數(shù)學(xué)劃歸為邏輯，也就是說(shuō)：第一，數(shù)學(xué)的概念可以從邏輯的概念出發(fā)，經(jīng)由明顯的定義而得出；第二，數(shù)學(xué)的定理可以從邏輯的命題出發(fā)，經(jīng)由邏輯的演繹推理而得出。因此，全部數(shù)學(xué)都可以從基本的邏輯概念和邏輯規(guī)則推導(dǎo)出來(lái)，這樣一來(lái)，數(shù)學(xué)也就成了邏輯的分支。就無(wú)限觀而言,邏輯主義派是實(shí)無(wú)限論者，即確認(rèn)實(shí)無(wú)限性研究對(duì)象在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的合理性。普遍認(rèn)為羅素及其追隨者明顯地承認(rèn)無(wú)限性對(duì)象的存在性。但由于羅素為排除集合論的悖論而發(fā)展他的分支類型論，從而在羅素系統(tǒng)中的實(shí)無(wú)限性對(duì)象就在不同的類和級(jí)中表現(xiàn)為一定的層次結(jié)構(gòu)，這是符合反映論的見(jiàn)解的直覺(jué)主義派的主要代表人物是荷蘭數(shù)學(xué)家布羅瓦（Brouwer）。直覺(jué)主義派的根本出發(fā)點(diǎn)是關(guān)于數(shù)學(xué)概念和方法的“可信性”考慮。因此，認(rèn)識(shí)論上的可信性就唯一地決定了直覺(jué)主義的前提。直覺(jué)主義派的著名口號(hào)是：“存在必須被構(gòu)造”，亦即數(shù)學(xué)中的概念和方法都必須是構(gòu)造性的。直覺(jué)主義認(rèn)為“邏輯不是發(fā)現(xiàn)真理的絕對(duì)可靠的工具”，并認(rèn)為在真正的數(shù)學(xué)證明中，不能使用“排中律”，因?yàn)榕胖新珊推渌?jīng)典邏輯規(guī)律是從有窮集抽象出來(lái)的，因此不能無(wú)限制地使用到無(wú)窮集上去，同樣，也不能在數(shù)學(xué)中使用反證法。就無(wú)限觀而言，根據(jù)直覺(jué)主義的基本觀點(diǎn)，勢(shì)必導(dǎo)致對(duì)實(shí)無(wú)限概念的排斥。因?yàn)閺纳傻挠^點(diǎn)來(lái)看，任何一個(gè)無(wú)窮集合或?qū)崯o(wú)限對(duì)象都是不可構(gòu)造的。若以簡(jiǎn)單的自然數(shù)集為例討論的話，按照能行性的要求必然否定自然數(shù)全體這個(gè)概念，因?yàn)槿魏斡懈F多個(gè)步驟都不能把所有的自然數(shù)構(gòu)造出來(lái)，更談不上匯成整體。由此可見(jiàn)，在無(wú)窮觀的問(wèn)題上，直覺(jué)主義派是十分徹底地采納了潛無(wú)限論者的觀點(diǎn)。形式公理主義學(xué)派的創(chuàng)始人是希爾伯特。形式公理主義學(xué)派認(rèn)為，數(shù)學(xué)是研究推理或形式推理的，就是從一定的形式前提（公理）出發(fā)，按照演繹推理的規(guī)則，把一定的語(yǔ)句作為數(shù)學(xué)定理推導(dǎo)出來(lái)。因此，他們認(rèn)為數(shù)學(xué)實(shí)際上就是一個(gè)形式系統(tǒng)，即一個(gè)符號(hào)形式的系統(tǒng)，數(shù)學(xué)是一種純粹的符號(hào)游戲，對(duì)這種符號(hào)游戲的唯一要求是從形式前提（形式公理）出發(fā)推導(dǎo)不出矛盾。就“無(wú)窮觀”問(wèn)題而言，形式公理主義派的觀點(diǎn)認(rèn)為古典數(shù)學(xué)中那些包含著“絕對(duì)無(wú)窮”（實(shí)無(wú)限）概念的命題確實(shí)是“超越人們直觀性證據(jù)之外”的東西。但是，他們并不同意直覺(jué)主義者由于這樣的理由而放棄古典數(shù)學(xué)，包括康托集合論。既然肯定了實(shí)無(wú)限概念，也就承認(rèn)了超窮集合的概念。例如，他們承認(rèn)全體自然數(shù)做成一個(gè)完成了的無(wú)窮集合。因此，無(wú)論就有限論域或無(wú)限論域而言，他們都主張經(jīng)典邏輯里的“排中律”是普遍有效的。希爾伯特甚至說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)家使用的排中律就像天文學(xué)家手中的望遠(yuǎn)鏡那樣重要，是萬(wàn)萬(wàn)不能丟棄的?！睆臍v史上亞里士多德(Aristotle)第一次明確地只承認(rèn)潛無(wú)限而反對(duì)實(shí)無(wú)限，到I960年美國(guó)數(shù)理邏輯學(xué)家魯濱遜(A.Robinson)在他創(chuàng)立的非標(biāo)準(zhǔn)分析中確立了無(wú)窮小量和無(wú)窮大量的合法地位，隨著人們對(duì)“無(wú)限”的認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)也在一步步深化?？梢韵嘈?，隨著人們對(duì)“無(wú)限”的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)，不僅數(shù)學(xué)而且其他學(xué)科也會(huì)得到進(jìn)一步的發(fā)展。也許，人們對(duì)“無(wú)限”的認(rèn)識(shí)也是一個(gè)無(wú)限的過(guò)程。第二章無(wú)限與有限的關(guān)系2.1無(wú)限蘊(yùn)含著有限一談數(shù)列與級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散2.1.1數(shù)列的收斂與發(fā)散一個(gè)數(shù)列｛x｝，其子數(shù)列一般記為fr｝,X,x，…，x,n nk ni n2 nk其中n<n<...<n<n<...，而n的下標(biāo)k是子數(shù)列的項(xiàng)的序號(hào)（即子列的第k項(xiàng)的序TOC\o"1-5"\h\z12 kk+1 k號(hào)）。研究當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，對(duì)應(yīng)的x=f（n）的變化趨勢(shì)，這就是數(shù)列極限。n對(duì)于給定的數(shù)列｛x｝,若當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，其同項(xiàng)x無(wú)限接近于某個(gè)常數(shù)a，則稱數(shù)列｛x｝n n n以a為極限，或數(shù)列｛x｝收斂于a，記為limx二a或x-a（n-）。若數(shù)列｛x｝不趨近n n—gn n n于某個(gè)確定的常數(shù)，則稱數(shù)列｛x｝沒(méi)有極限，或稱數(shù)列｛x｝發(fā)散。n n2.1.2級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散定義1：設(shè)是按一定順序排列起來(lái)的一個(gè)無(wú)窮數(shù)列，記作｛U｝，對(duì)其各項(xiàng)依次用加號(hào)連接起來(lái)的表達(dá)n式TOC\o"1-5"\h\zu+u+u+...+u+… (1)1 2 3 n叫做（常數(shù)項(xiàng)）無(wú)窮級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)或級(jí)數(shù)，記作藝u，其中第n項(xiàng)u叫做級(jí)數(shù)的一n nn=1般項(xiàng)（或者叫同項(xiàng)）。級(jí)數(shù)（1）的前n項(xiàng)（有限項(xiàng)）的和s=工u=u+u+u+...+u叫做級(jí)數(shù)的部分和。當(dāng)n依次取1,2，3，...時(shí)，級(jí)數(shù)的部分n k12 3 nk=1和構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列s,s，…,s，…,稱之為級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列，記為｛s｝。1 2 n n定義2：當(dāng)nX時(shí)，如果級(jí)數(shù)（1）的部分和數(shù)列｛s｝存在極限，即存在s，使得lims二s，則n nsn稱級(jí)數(shù)（1）收斂，也稱級(jí)數(shù)（1）收斂于s，極限值s稱為級(jí)數(shù)（1）的和，記作su+u+u+...+u+...;如果級(jí)數(shù)（1）的部分和數(shù)列｛s｝的極限不存在，則稱級(jí)數(shù)（1）12 3 n n發(fā)散。級(jí)數(shù)的收斂性和發(fā)散性統(tǒng)稱為級(jí)數(shù)的斂散性，由定義可知，級(jí)數(shù)d）與其部分和數(shù)列｛s｝n具有相同的斂散性。記：r=藝u=u+u+...n k n+1n+2k=n+1稱r為級(jí)數(shù)（1）的第n項(xiàng)后的余項(xiàng)。當(dāng)級(jí)數(shù)（1）收斂時(shí)，有r=s-s，因此n n n|r|=|s-s|表示用s近似代替s時(shí)所產(chǎn)生的絕對(duì)誤差，這為近似計(jì)算的誤差估計(jì)提供了分n n n析和處理的方法，此時(shí)limr=0nns將s=a+a+...+a=工a稱為級(jí)數(shù)的部分和，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)n 1 2 n ii=1即無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂（發(fā)散）=極限存在（不存在）2.2無(wú)限由有限組成，同時(shí)由有限可以推演出無(wú)限有限范圍內(nèi)封閉無(wú)限。如在數(shù)軸上0與1之間的有限長(zhǎng)度上有無(wú)限多個(gè)點(diǎn)，甚至不知為什么對(duì)這樣的概念難以理解，但無(wú)論什么情況下.都是無(wú)限封閉在有限里。又如在正五角形、正方形等圖形中，可以作出無(wú)限多個(gè)與其自身相似的圖形。也就是說(shuō)可以將無(wú)限封閉在這種正五角形、正方形中（如圖l和圖2）。

圓周率等、等等有限數(shù)可作為近似值表示，但實(shí)際卻是無(wú)限非循環(huán)小數(shù)，可用其它無(wú)限小數(shù)表示的數(shù)很多。圓周率（萊布尼茨公式）兀=4x1--+---+--—+...L357911 」11 1（1\自然對(duì)數(shù)的底e=1++ + +...=lim1+1!2!3! “Jn丿習(xí)慣上，人們總認(rèn)為，無(wú)限比有限大，比有限多，無(wú)限應(yīng)包含有限，無(wú)限由有限組成。然而，現(xiàn)在我們知道，這種看法并不總是正確的?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展，使我們看到有限中的無(wú)限，有限與無(wú)限的這種新的聯(lián)系，是由數(shù)學(xué)家首次發(fā)現(xiàn)并運(yùn)用的。在數(shù)學(xué)中，有限的延伸就是無(wú)限，在通過(guò)有限的步驟后得到我們?cè)瓉?lái)需要無(wú)限步后得到的普遍定理呢？是通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法。通常將數(shù)學(xué)歸納法陳述如下：若一個(gè)命題P（n），當(dāng)n二l時(shí)成立。假定該命題當(dāng)n=k時(shí)成立的情況下，能證明當(dāng)n=k+l時(shí)也成立。那么就可以斷言這個(gè)命題對(duì)于所有的自然數(shù)都成立。例如，在自然數(shù)序列中，考察連續(xù)自然數(shù)的平方和1x（1+1）x（2x1+1）12=1=62x（2+1）x（2x2+1）12+22=5=63x（3+1）x（2x3+1）12+22+32=14=64x（4+1）x（2x4+1）12+22+32+42=30=65x（5+1）x（2x5+1）12+22+32+42+52=55=

(n+1)x(2n+1)我們發(fā)現(xiàn)：自然數(shù)序列前一個(gè)，二個(gè)，，n個(gè)連續(xù)自然數(shù)的平方和等于n(n+1)x(2n+1)12+22+32+...+n2=但這僅是一個(gè)猜想而已，對(duì)所有的自然數(shù)都成立么？若不成立，舉反例即可；若成立必須作進(jìn)一步證明。用自然數(shù)一個(gè)一個(gè)地驗(yàn)算是不行的，因?yàn)樽匀粩?shù)有無(wú)數(shù)多個(gè)，無(wú)論我們用了多少個(gè)自然數(shù)，也無(wú)法得到對(duì)于一切自然數(shù)都成立的普遍定理。這時(shí)就必須采用數(shù)學(xué)歸納法。這種數(shù)學(xué)歸納法也叫“將棋一個(gè)壓一個(gè)橫倒論證法”或“多米諾骨牌橫倒論證法”。這是因?yàn)樽畛醯囊粋€(gè)骨牌滑倒下去后，后面的骨牌就跟著一個(gè)壓一個(gè)無(wú)限地倒下去。龐加勒在講到數(shù)學(xué)歸納法的作用時(shí)指出：“棋手能預(yù)料四五步棋，不管他多么非凡，他也只能準(zhǔn)備有限步棋，假使把他的本領(lǐng)用于算術(shù)，他也不能憑借單一的直覺(jué)直接洞察算術(shù)的普遍原理，為了獲得最普遍的定理，他也不得不借助于遞推原理，因?yàn)檫@是能使我們從有限向無(wú)限延伸的工具?！比绻覀儾荒軓挠邢拮呦驘o(wú)限，證明一個(gè)定理對(duì)一切自然數(shù)都成立，就得不到普遍定理。2.2數(shù)列與級(jí)數(shù)中的無(wú)限與有限2.2.1數(shù)列的收斂性數(shù)列的概念是由某些實(shí)際延伸出的，數(shù)列是一些具有某些特征的數(shù)字或事物組成的集合。例如：達(dá)依爾的問(wèn)題，在國(guó)際象棋棋盤(pán)放麥子：第一個(gè)格上放一粒麥子，第二個(gè)格子上放二粒，第三個(gè)格子上放4粒，以后按此比例每一格加一倍，一直放到第六十四格。那么在第六十四格上放有多少粒麥子？由數(shù)列的知識(shí)可以得出最終結(jié)果為264—1粒。但并不是所有的數(shù)列我們都能夠預(yù)測(cè)其最終結(jié)果，例如：某人第一次向銀行存100元，第二次存500元，第三次存800元，第四次存80元，問(wèn)第十次存了多少錢(qián)？第n次存了多少錢(qián)？顯然并不能用所學(xué)的數(shù)列知識(shí)求解出答案。再如數(shù)列：｛1,0,1丄100,10,1???｝，預(yù)測(cè)不出其最終結(jié)果。在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上，我們給出了數(shù)列收斂的精確定義：設(shè)｛x｝為一數(shù)列。如果存在常數(shù)a，n對(duì)于任意給定的正數(shù)￡，都存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，不等式lx-a<e恒成立，則n稱數(shù)列｛x｝收斂于a，或稱a是數(shù)列｛x｝的極限，記為limx二a或x-》a(n-)on n n—8n n

收斂數(shù)列具有一下的性質(zhì):唯一性：設(shè)limx=a且limx=b，則必有a=b。n n則｛x｝有界。則｛x｝有界。n有界性：若limx=a存在,nn—g保號(hào)性：設(shè)limx=a，則nn—g（1）a>0（或a<0）時(shí)，存在正整數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，x>0（或x<0）；n n（2）若存在正整數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，x>0（或x<0），則必有a>0（或a<0）。n n收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系：若數(shù)列｛x｝收斂于a，則它的任一子數(shù)列也收斂于a。n即數(shù)列若收斂，必然其任何子數(shù)列都收斂于同一個(gè)常數(shù)；反之，若數(shù)列的兩個(gè)子數(shù)列不能收斂于同一個(gè)常數(shù)，則此數(shù)列就一定沒(méi)有極限。2.2.2級(jí)數(shù)的收斂性收斂級(jí)數(shù)的一些性質(zhì):性質(zhì)1:如果級(jí)數(shù)藝u收斂于s，則級(jí)數(shù)藝ku（k為常數(shù)）也收斂，且其和為ks。n nn=1 n=1性質(zhì)2：如果級(jí)數(shù)藝u，藝u分別收斂于s，b，則級(jí)數(shù)藝（u±u）也收斂，其和為n n n nn=1 n=1 n=1S+b。性質(zhì)3:在級(jí)數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng)，不會(huì)改變級(jí)數(shù)的斂散性。性質(zhì)4：如果級(jí)數(shù)藝u收斂，則在不改變?cè)摷?jí)數(shù)項(xiàng)的次序情況下，任意加括號(hào)后所成nn=1的新級(jí)數(shù)仍收斂，其和不變。性質(zhì)5：如果級(jí)數(shù)蘭u收斂，那么limu=0。n n—gnn=1正項(xiàng)級(jí)數(shù)是常數(shù)項(xiàng)數(shù)中的一類特殊級(jí)數(shù)，其他許多級(jí)數(shù)的斂散性往往可借助于正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性得以判定，因此我們研究級(jí)數(shù)的收斂性，在本課題中主要研究正項(xiàng)級(jí)數(shù)。TOC\o"1-5"\h\z正項(xiàng)級(jí)數(shù)定義：如果級(jí)數(shù)藝u中的每一項(xiàng)u>0(n=1,2,3,...)，則稱級(jí)數(shù)藝u為正項(xiàng)n n nn=1 n=1級(jí)數(shù)。定理1：正項(xiàng)級(jí)數(shù)藝u收斂的充要條件是它的部分和數(shù)列｛s｝有界。該定理說(shuō)的就是,n nn=1一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有界，則該級(jí)數(shù)也是收斂的。定理2：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間上非負(fù)連續(xù)，且單調(diào)減少，則正項(xiàng)級(jí)數(shù)藝f(n)與n=1反常積分f(xjdx具有相同的斂散性。1證：由積分性質(zhì)知，在區(qū)間[k-1,k] (k=2,3,)上有f(k)<fkf(x)dx<f(k-1)，對(duì)k從2到n將上式依次相加得k-1工f(k)<Jnf(x)dx<藝f(k)k=2 1 k=1記s為級(jí)數(shù)藝f(n)的前n項(xiàng)部分和，則nn=1s一f(1)<Jnf(x)dx<sn 1 n-1如果反常積分f(x)dx收斂，由上式可得1f(1)+Jnf(x)dx<f(1)+J+8f(x>dx11即部分和數(shù)列｛s｝有界，則正項(xiàng)級(jí)數(shù)藝f(n)收斂。如果正項(xiàng)級(jí)數(shù)藝f(n),則知其部nn=1 n=1分和數(shù)列｛s｝有界，又因?yàn)閒(x)>0，xel1,+?)，所以對(duì)任意A[n—1,n](n=2,3,...)，n有0<Jn-1f(x)dx<JAf(x》x<Jnf(x)dx<s<藝f(n)1 1 1 n-1n=1

可得數(shù)列｛nf(x)dxk單調(diào)遞增且為有界數(shù)列，從而一定收斂，記limJnf(x)dx二I,1 nT+w1則有l(wèi)imJn_1f(x)dx二I,又At+w與nT+w是等價(jià)的，故由迫斂準(zhǔn)則得nT+w1J+wf(x)dx二limJAf(x二I，1 At+w1即J+wf(x認(rèn)收斂。1綜上所述，正項(xiàng)級(jí)數(shù)藝f(n)與反常積分J+wf(x認(rèn)具有相同的斂散性。1n=1定理3:設(shè)藝u和藝u都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且u<u (n=1,2,)，TOC\o"1-5"\h\zn n n nn=1 n=1若級(jí)數(shù)藝。收斂，則級(jí)數(shù)藝u也收斂;n nn=1 n=1若級(jí)數(shù)藝u發(fā)散，則級(jí)數(shù)藝。也發(fā)散。n nn=1 n=1（D（D,Alembert判別法）設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)藝u滿足limJ=P,則(1)當(dāng)P<1時(shí)，級(jí)數(shù)藝u收斂；nn=1(2)當(dāng)P>1或P=+w時(shí)，級(jí)數(shù)藝u發(fā)散；nn=1(3)當(dāng)P=1時(shí)，級(jí)數(shù)藝u可能收斂也可能發(fā)散。nn=1nn=1nTwun(本課題中主要討論級(jí)數(shù)的收斂性)證：(1)設(shè)p<1，取￡>0使得p+e=q<1，由極限的定義知，存在正整數(shù)M,當(dāng)n>M時(shí)有不等式u—n+i<p+￡=q,un這樣u<qu,TOC\o"1-5"\h\zM+1 Mu<qu <q2u,M+2 M+1 Mu<qu<...<q2uM+k M+k-1 M由于q<1,級(jí)數(shù)由于q<1,級(jí)數(shù)藝qkuMn=1nn=1（Cauchy判別法）設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)藝u的一般項(xiàng)u滿足n nn=1limnu=p，nnT8則（1）當(dāng)p<1時(shí)，級(jí)數(shù)藝u收斂;nn=1（2）當(dāng)p>1或p=+w時(shí)，級(jí)數(shù)藝u發(fā)散;nn=1（3）當(dāng)p=1時(shí)，級(jí)數(shù)藝u可能收斂也可能發(fā)散。nn=1證：（1）當(dāng)p<1時(shí)，取q滿足p<q<1，可知存在正整數(shù)N，使得對(duì)一切n>N，成立nx<q，從而x<qn，0<q<1，Yn n可知藝x收斂。nn=1

（2）當(dāng)P>1，由于p是數(shù)列匕｝的極限點(diǎn)，可知存在無(wú)窮多個(gè)n滿足nx>1，這說(shuō)明數(shù)列｛x｝不是無(wú)窮小量，從而級(jí)數(shù)藝x發(fā)散。TOC\o"1-5"\h\zn nn=1（3）當(dāng)p=1，可以通過(guò)級(jí)數(shù)為丄與藝1知道判別法失效。n2 nn=1 n=1例如:討論級(jí)數(shù)h—聲、的斂散性，收斂的話，求出級(jí)數(shù)之和。nIn+2丿n=1解:(1_1、n(n+2丿 2(nn+2丿解:1111111

_+_+...+一+2435n一1n+1nlimSlimS=limnnT8 nT81. 2n+3一2*(n+1)(n+2丿于是原級(jí)數(shù)收斂，且和為）第三章無(wú)限過(guò)程中的有限應(yīng)用3.1Koch雪花1904年瑞典科學(xué)家科克（Koch）描述了這樣一段奇特而又有趣的事件：一條邊長(zhǎng)為a的正三角形，將每邊三等分，以中間三分之一為一段向外再做正三角形，小三角形在三條邊的出現(xiàn)使得原三角形變成了一個(gè)六角形，六角形共有12條邊，再在這12條邊上用與上述相同的方法，即可構(gòu)造出一個(gè)新的48邊形，如此做下去，其邊緣越來(lái)越精細(xì)，看上去就像美麗的雪花，稱為Koch雪花。

將上述步驟簡(jiǎn)化下：從一個(gè)線段開(kāi)始，根據(jù)下列規(guī)則可以構(gòu)造出一個(gè)Koch曲線：.三等分一條線段；.用一個(gè)等邊三角形替代第一步劃分三等分的中間部分，并且去掉三角形與線段重合的那段；?在每一條直線上，重復(fù)第二步。如下圖：現(xiàn)在我們考慮做第n次操作后形成圖形的周長(zhǎng)為P，面積為A。易知開(kāi)始時(shí)n nP二3,A=邁。在做每一步操作時(shí)，不難發(fā)現(xiàn)下面規(guī)律：o 0 4⑴每一條邊生成4條新邊;

1⑵新邊長(zhǎng)為遠(yuǎn)邊長(zhǎng)的-;31⑶每個(gè)新產(chǎn)生的三角形面積為原三角形面積的-。9這樣就可以得到r1⑵新邊長(zhǎng)為遠(yuǎn)邊長(zhǎng)的-;31⑶每個(gè)新產(chǎn)生的三角形面積為原三角形面積的-。9這樣就可以得到r4anr4anP=P二=3?，n<3丿0<3丿r1ar1a2苗…r1a3心3 小”r1aA=+3??+3?4?? +3-42?- +...+3-4n-1-n4<9丿4<9丿4<9丿4<9丿nn由于limPnns二lim3■ns=+8，從而Koch雪花的周長(zhǎng)為無(wú)限長(zhǎng)。當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)，把Koch雪花圖形的面積A與成如下形式:4n=04An19丿是公比為4的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，因此Koch雪花圖形的面積A的正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,其值為耳。結(jié)論：由Koch雪花的面積大小依賴于最初的正三角形邊長(zhǎng)，而Koch曲線的周長(zhǎng)卻是無(wú)限增大的，這