數學實驗最佳分數逼近

./最佳分數逼近：學號：班級：數學與應用數學4班實驗報告實驗目的：本次實驗是要研究怎樣用分數近似值去對給定的無理數做最佳逼近,"最佳"就是既要誤差小,又要分母小,而且要精確度高。我們首先需要對"最佳"給出一個具體而明確的標準,還要尋求一個求最佳分數近似值的簡單易行的算法。實驗環(huán)境：Mathematica軟件實驗基本理論和方法：一提到祖沖之,人們都知道他對于計算的貢獻,他算出的值在3.1415926與3.1415927之間,也就是知道了的準確值得前八位有效數字,但人們往往不知道,祖沖之還給出了的分數近似值355/113,這同樣是數學史上的偉大貢獻。是無理數,對于任何一個無理數a,不可能用分數p/q來作它的準確值,只能作它的近似值。近似值p/q的好壞可以用絕對誤差來衡量。越小,就說明這個近似值p/q的精確度越高。對于給定的分母q,總可以選擇適當的分子p使p/q最接近,也就是使誤差最小。此時一定有〈1/2q。由此可見,要提高精確度,減少誤差,一個最簡單的辦法就是增大分母q。只要q足夠大,就可以使誤差任意小。祖沖之為給出了兩個分數近似值,一個是355/113,稱為密率,另一個是22/7,稱為約率,不但密率是分母小誤差小的有秀近似值,而且約率以更小的分母7實現了誤差小于0.0013,仍不失為好的近似值。實驗容和步驟及結果分析：問題一：求分數對無理數的最佳逼進,已知=3.141592653579…,讓分母q依次取遍1到100的自然數。對每個分母q,取p=[q+0.5]作為分子得到一個接近的分數p/q?！策@里符號[q+0.5]表示不超過q+0.5的最大整數,它也是由q四舍五入得到的整數。其步驟是：〔1打開Mathematica軟件；〔2輸入下列語句：〔3運行后,結果如下圖問題二：求下列數的連分數展開〔一的連分數展開其步驟是：〔1打開Mathematica軟件；〔2輸入下列語句：〔3運行后,結果如下圖〔二有理數的連分數展開其步驟是：〔1打開Mathematica軟件；〔2輸入下列語句：〔3運行后,結果如下圖思考：做完上述有關最佳分數逼近的實驗,我頓時想到了概率,畢竟概率也可以理解為一個數的逼近,所以下面為有關概率的實驗。問題一：已知在1000個燈泡中壞燈泡的個數從0到5均可能,求從中任取100個都是好燈泡的概率。分析：事件表示1000個燈泡有i個壞燈泡,事件A表示任意取出100個都是好燈泡,則,由全概率公式有。其步驟是：〔1打開Mathematica軟件；〔2輸入下列語句：〔3運行后,結果如下圖問題二：n個人每人攜帶一件禮物參加聯(lián)歡會。聯(lián)歡會開始后,先把所有禮物編號,然后每人任意抽取一個號,按領取禮物,請分別就參加聯(lián)歡會的人數為n=1到20人求所有人都得到別人贈送禮物的概率,并從這些概率值推斷隨著參加聯(lián)歡會人數的增加是否會出現所有人都得到別人贈送禮物的概率會不斷變小的情況？分析：應用有限多個相容事件的概率加法公式求解設={第i個人得到自己帶來的禮物},則表示至少有一個人得到自己帶來的禮物,由得到其步驟是：〔1打開Mathematica軟件；〔2輸入下列語句：〔3運行后,結果如下圖結果分析：從計算結果可以看出,隨著參加人數的增加,所有人都會得到別人贈送送禮物的概率不會不斷變小,而是會收斂到一個約為0.367879的極限值。實際上,從概率可知故當n很大的時候。問題三：某種檢驗方法對癌癥的準確率是95%,一個人接受了檢測并且結果呈陽性,假定這個人來自一個有100000人口的地區(qū),該地區(qū)2千人得這種癌癥,推斷接受檢測者患這種癌癥的概率是多少？分析：檢測的準確率是95%,意味著對呈陽性的檢測結果有95%是患病的,而對成陰性的檢測結果是95%是不患病的,因此僅由檢測數據不能支持準確率是95%的結論。如果事件{T>0}表示檢測結果呈陽性,{T<0}表示檢測結果呈陰性,用H和C表示沒有患病的人和患這種病的人,則有使用貝葉斯公式,當檢測結果呈陽性時,檢測者患病的概率為其步驟是：〔1打開Mathematica軟件；