數(shù)字信號(hào)處理 第2版 課件 蘇令華 3.4DFT的應(yīng)用舉例

數(shù)字信號(hào)處理-------DFT應(yīng)用3.1離散傅里葉級(jí)數(shù)3.4DFT應(yīng)用舉例用DFT計(jì)算線性卷積用DFT進(jìn)行頻譜分析實(shí)現(xiàn)正交頻分復(fù)用重點(diǎn)難點(diǎn)3.2離散傅里葉變換3.3頻率域采樣用DFT進(jìn)行頻譜分析離散傅里葉變換應(yīng)用舉例

航模機(jī)聲信號(hào)波形與頻譜圖

語音“他”/ta/的起始段信號(hào)及其頻譜用DFT進(jìn)行頻譜分析離散傅里葉變換應(yīng)用舉例5xa(t)x

(n)抽樣x

(n)

·

d

(n)截?cái)嘀芷谘油谾Txd(n)主值XN

(k)頻域抽樣Xa(j

)X

(e

j

)X

(e

j

)

*

D

(e

j

)周期延拓主值卷積DTFTDTFTDFSDFTx

(n)的截?cái)嗫赡軙?huì)造成原信號(hào)的失真Xa(j

)

的周期延拓可能會(huì)發(fā)生頻譜混疊誤差問題及參數(shù)選擇

X(ej

)頻域的抽樣會(huì)發(fā)生柵欄效應(yīng)6誤差問題及參數(shù)選擇1.混疊失真產(chǎn)生原因：時(shí)域抽樣頻率不滿足抽樣定理解決方法：(1)抗混疊預(yù)濾波(低通濾波器)；

(2)提高抽樣頻率fs；

(3)選擇適當(dāng)窗函數(shù)。窗函數(shù)不同，其頻譜拖尾不同。7誤差問題及參數(shù)選擇頻率分辨力是指可分辨兩頻率的最小間距。兼顧高頻容量fh與頻率分辨力F0，方法為：增加記錄長度的點(diǎn)數(shù)N，即增加數(shù)據(jù)的觀測長度T0。1.混疊失真8[例]有一頻譜分析用的FFT處理器，其抽樣點(diǎn)數(shù)必須是2的整數(shù)冪，假定沒有采用任何特殊的數(shù)據(jù)處理措施，已給條件為:①頻率分辨率≤10Hz;②信號(hào)最高頻率為4kHz。試確定以下參量：

(1)最小記錄長度T0；

(2)最大抽樣間隔T（即最小抽樣頻率）；

(3)在一個(gè)記錄中的最少點(diǎn)數(shù)N。[解](1)最小紀(jì)錄長度T0=1/F0=1/10=0.1(s)(3)最小紀(jì)錄點(diǎn)數(shù)N

>fs

/F0=8000/10=800(2)抽樣頻率

fs≥

2fh=2×4000=8000(Hz)抽樣間隔T=1/fs≤1/8000=1.25×10

-4(s)取N

=210=1024>8009[例]對(duì)最高頻率為10kHz的頻帶有限信號(hào)進(jìn)行抽樣，然后取N＝1000點(diǎn)進(jìn)行DFT，求：(1)頻率的分辨力為多少？(2)求X(k)當(dāng)k=150時(shí)對(duì)應(yīng)的頻率fk的大小。10[例]對(duì)最高頻率為10kHz的頻帶有限信號(hào)進(jìn)行抽樣，然后取N＝1000點(diǎn)進(jìn)行DFT，求：(1)頻率的分辨力為多少？(2)求X(k)當(dāng)k=150時(shí)對(duì)應(yīng)的頻率fk的大小。[解]由抽樣定理得：抽樣頻率fs

≥

2

fh

=

20kHz頻譜分辨力F0=fs

/

N=20Hzk

=

150

對(duì)應(yīng)的fk=k

F0=3000Hz。泄露效應(yīng)用DFT進(jìn)行頻譜分析離散傅里葉變換應(yīng)用舉例3.4DFT的應(yīng)用舉例用DFT頻譜分析離散傅里葉變換應(yīng)用舉例加矩形窗前后頻譜變化13誤差問題及參數(shù)選擇2.頻譜泄漏(截?cái)嗾`差)解決方法：①增加截?cái)嚅L度T0；②選擇適當(dāng)窗函數(shù)。產(chǎn)生原因：在時(shí)域?qū)π盘?hào)進(jìn)行截?cái)啵瑢?dǎo)致頻譜平滑或展寬。14頻譜泄漏示意圖h

d

(n)

·

w

N

(n)0N-1n|H

d

(ej

)|

-

0

|WN

(ej

)|

-

0

|H

d

(ej

)*WN

(ej

)|

-

0

w

N

(n)0N-1nh

d

(n)0n15[例]余弦信號(hào)x(n)=cos(6πn／16)，周期為N=16，分別截取L=16和L=13點(diǎn)信號(hào)，作16點(diǎn)DFT，觀察其頻譜，討論頻譜泄漏現(xiàn)象。L=16，數(shù)據(jù)沒有截?cái)啵l譜無泄漏16L=13，數(shù)據(jù)截?cái)?，頻譜有泄漏[例3]余弦信號(hào)x(n)=cos(6πn／16)，周期為N=16，分別截取L=16和L=13點(diǎn)信號(hào)，作16點(diǎn)DFT，觀察其頻譜，討論頻譜泄漏現(xiàn)象。離散傅里葉變換應(yīng)用舉例用DFT進(jìn)行頻譜分析柵欄效應(yīng)離散傅里葉變換應(yīng)用舉例用DFT進(jìn)行頻譜分析不同點(diǎn)數(shù)DFT的柵欄效應(yīng)19誤差問題及參數(shù)選擇產(chǎn)生原因：通過DFT得到的頻譜，只是在基頻F0

整數(shù)倍處的譜線，這種現(xiàn)象稱為柵欄效應(yīng)。3.

柵欄效應(yīng)x

(n)=R

5

(n)20二、誤差問題及參數(shù)選擇3.

柵欄效應(yīng)解決方法：(1)提高頻率分辨力，即增加記錄長度；

(2)尾部補(bǔ)零，使頻譜外觀平滑；

(3)頻譜細(xì)化技術(shù)(CZT)。注意：補(bǔ)零不能提高頻率分辨率。x

(n)=R

5

(n)[例4]序列x(n)含有兩種頻率成分，f1=2Hz，f2=2.05Hz，抽樣頻率為fs=10Hz,

x(n)=sin(2f1n/fs)+sin(2f2n/fs)(1)取x(n)(0

n

128)，計(jì)算X(k);(2)將(1)中x(n)以補(bǔ)零方式增加到0

n

256，計(jì)算X(k);(3)取x(n)(0

n<256)，計(jì)算X(k);最小數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)為數(shù)據(jù)長度為L=128，小于最小可分辨的數(shù)據(jù)長度200，此時(shí)f1=2Hz和f2=2.05Hz無法分辨。數(shù)據(jù)長度為L=128，補(bǔ)零至256點(diǎn)，頻譜較上圖平滑，但f1=2Hz和f2=2.05Hz仍無法分辨，說明補(bǔ)零不能提高頻率分辨率。數(shù)據(jù)長度為L=256，此時(shí)大于最小數(shù)據(jù)長度200，f1=2Hz和f2=2.05Hz可以分辨。計(jì)算循環(huán)卷積則由時(shí)域循環(huán)卷積定理有如果用DFT計(jì)算循環(huán)卷積補(bǔ)L-N1個(gè)零x1(n)L點(diǎn)DFT補(bǔ)L-N2個(gè)零x2(n)L點(diǎn)DFTL點(diǎn)IDFTyc(n)循環(huán)卷積既可以在時(shí)域完成，也可以利用DFT在頻域完成。用DFT計(jì)算線性卷積實(shí)際應(yīng)用中，為了計(jì)算時(shí)域離散信號(hào)通過線性時(shí)不變系統(tǒng)的響應(yīng)或?qū)π蛄羞M(jìn)行濾波，往往需要計(jì)算兩個(gè)序列的線性卷積。能否借助DFT完成線性卷積運(yùn)算？用DFT計(jì)算線性卷積補(bǔ)L-N個(gè)零x(n)L點(diǎn)DFT補(bǔ)L-M個(gè)零h(n)L點(diǎn)DFTL點(diǎn)IDFTyc(n)=yl(n)=x(n)*h(n)取L≥N+M-1

M與N

相當(dāng)時(shí)離散傅里葉變換應(yīng)用舉例線性卷積和循環(huán)卷積的關(guān)系若則什么關(guān)系?離散傅里葉變換應(yīng)用舉例線性卷積和循環(huán)卷積的關(guān)系結(jié)論：L點(diǎn)圓周卷積等于線性卷積以L為周期的周期延拓序列的主值序列。離散傅里葉變換應(yīng)用舉例當(dāng)L≥N1+N2－1時(shí)，線性卷積和循環(huán)卷積的關(guān)系計(jì)算與的線性卷積、6、7、８、9點(diǎn)循環(huán)卷積。例8離散傅里葉變換應(yīng)用舉例解：線性卷積和循環(huán)卷積的關(guān)系六點(diǎn)循環(huán)卷積6點(diǎn)循環(huán)卷積十點(diǎn)循環(huán)卷積10點(diǎn)循環(huán)卷積九點(diǎn)循環(huán)卷積9點(diǎn)循環(huán)卷積線性卷積離散傅里葉變換應(yīng)用舉例用DFT計(jì)算線性卷積離散傅里葉變換應(yīng)用舉例補(bǔ)L-N個(gè)零x(n)L點(diǎn)DFT補(bǔ)L-M個(gè)零h(n)L點(diǎn)DFTL點(diǎn)IDFTyc(n)=yl(n)=x(n)*h(n)取L≥N+M-1

M與N

相當(dāng)時(shí)直接利用DFT計(jì)算的缺點(diǎn)：信號(hào)要全部輸入后才能進(jìn)行計(jì)算，延遲太多；內(nèi)存要求大；算法效率不高解決問題方法：采用分段卷積重疊相加法重疊保留法

x(n)的長度

時(shí)

用DFT計(jì)算線性卷積離散傅里葉變換應(yīng)用舉例36重疊相加法（overlapadd）

設(shè)h(n)的長度為M，將長信號(hào)x(n)分解成每段長度為L的不重疊段，L和M的數(shù)量級(jí)相同，用xi(n)表示x(n)的第i段：則輸入序列可表示成重疊相加法這里

依次將相鄰兩段的M-1個(gè)重疊點(diǎn)相加，即得到最終的線性卷積結(jié)果。i

L

≤n≤

(i

+

1)

L

+

M

-

238++

重疊相加法（overlapadd）重疊相加法——輸出段的重疊部分相加重疊相加法例：設(shè)輸入信號(hào)x(n)是一個(gè)10點(diǎn)長的序列，F(xiàn)IR系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)h(n)是3點(diǎn)長序列。將x(n)平均分成兩段，分別記為x0(n)和x1(n)，直接計(jì)算和分段計(jì)算的關(guān)系見下表。分段卷積重疊相加第一章時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng)原理圖示分段處理，且每段之間無重疊第一章時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng)原理圖示分段卷積第一章時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng)原理圖示重疊相加

重疊保留法將x(n)不重疊分段，每段L=N-M+1，然后再每一段前面補(bǔ)上前一段保留下來的(M