2022-2023學年江蘇省南通市高二下學期期末數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南通市2022-2023學年高二下學期期末數學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，，所以，.故選：C.2.若復數，則（）A. B.1 C. D.2〖答案〗B〖解析〗因為復數，所以，所以，故選：B.3.從5件不同的禮物中選出3件分別送給3名同學，則不同的送法共有（）A.240種 B.125種 C.120種 D.60種〖答案〗D〖解析〗由題意可知,故選：D.4.若一組數據1，1，，4，5，5，6，7的25百分位數是2，則（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗這組數據為：1，1，，4，5，5，6，7，因為，所以這組數據的25%分位數為從小到大的順序的第2個數和第3個數的平均數，因此，這組數據的25%分位數為，所以．故選：C．5.已知P是所在平面外一點，M是BC的中點，若，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗如下圖所示：因為為的中點，則，所以，，又因為，且、、不共面，則，，故，，故選：A.6.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以，，所以.故選：D.7.已知圓臺的上、下底面半徑分別為和，用一個平行于底面的平面去截圓臺，截得上、下兩部分的體積之比為，則截面半徑為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設圓臺上、下底面圓的圓心分別為、，將圓臺還原為圓錐，設圓錐的頂點為S，設截面圓的圓心為，設圓、圓、圓的半徑分別為、、，則，，設圓錐、圓錐、圓錐的體積分別為、、，因為，則，所以，，設圓臺的體積為，即，所以，，由題意可知，圓臺的體積為，所以，，所以，，又因為，則，因此，.故選：A.8.已知函數若函數有五個零點，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗當時，則，此時，則或，當時，則，此時，則，故問題轉為，共有四個零點，畫出函數圖象如下可知：則，故選：D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗令.對于A選項，，A錯；對于B選項，的展開式通項為，令，可得，則，B對；對于C選項，，C對；對于D選項，，所以，，D錯.故選：BC.10.已知正方體，則（）A.平面平面 B.平面C.與所成角為 D.與平面所成角為〖答案〗ABC〖解析〗對于A，，，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面；同理可得：平面；，平面，平面平面，A正確；對于B，四邊形為正方形，；平面，平面，；，平面，平面，又平面，；同理可得：；，平面，平面，B正確；對于C，連接，，，四邊形為平行四邊形，，（或其補角）即為異面直線與所成角，，為等邊三角形，，與所成角為，C正確；對于D，平面，與平面所成角為，設正方體的棱長為，則，，，即與平面所成角不是，D錯誤.故選：ABC.11.已知是定義在上的奇函數，，當時，，則（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗函數是定義在上的奇函數，由，得，所以函數是周期為4的周期函數，所以，故A錯誤；由，故B正確；因為，，所以，故C正確；當時，，所以當時，，所以，此時，所以當時，.當時，，所以，此時，綜上所述，函數在一個周期內，即時，，而，所以，故D正確.故選：BCD.12.某農業(yè)種植基地在三塊實驗地種植同一品種的蘋果，甲地塊產出蘋果中一級果個數占75%，乙地塊產出蘋果中一級果個數占60%，丙地塊產出蘋果中一級果個數占80%．已知甲、乙、丙地塊產出的蘋果個數之比為2：5：3，現將三個地塊產出的蘋果混放一堆，則下列說法正確的是（）A.任取一個蘋果是甲地塊產出的概率為0.2B.任取一個蘋果是甲地塊產出的一級果的概率為0.75C.任取一個蘋果是一級果的概率為0.69D.如果取到的一個蘋果是一級果，則其是由甲地塊產出的概率為〖答案〗ACD〖解析〗已知甲、乙、丙地塊產出的蘋果個數之比為2：5：3，可設甲、乙、丙地塊產出的蘋果個數分別為：，現將三個地塊產出的蘋果混放一堆，對于A，則任取一個蘋果是甲地塊產出的概率為，故A正確；對于B，由于甲地塊產出蘋果中一級果個數占75%，所以甲地塊產出蘋果中一級果個數為，則任取一個蘋果是甲地塊產出的一級果的概率為，故B錯誤；對于C，由于甲地塊產出蘋果中一級果個數，乙地塊產出蘋果中一級果個數為，丙地塊產出蘋果中一級果個數為，所以三塊地總共產出一級果個數為：，所以任取一個蘋果是一級果的概率為，故C正確；對于D，由條件概率可知，如果取到的一個蘋果是一級果，則其是由甲地塊產出的概率為，故D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13如果隨機變量，且，則________．〖答案〗0.8〖解析〗因為，所以，因為該正態(tài)分布曲線關于對稱，所以，故〖答案〗為：.14.已知向量，，若，則實數________．〖答案〗〖解析〗，又，，解得：.故〖答案〗為：.15.已知正四棱錐的底面邊長和側棱長分別為4和，其所有面都與同一個球相切，則該球的表面積為________．〖答案〗〖解析〗如圖，取底邊中點為,則,,所以在等腰中，,,由于正四棱錐的所有面都與同一個球相切，則該球為其內切球，設內切球的半徑為，則由等體積法可得，即，故球的表面積為，故〖答案〗為：.16.已知直線與曲線和都相切，請寫出符合條件的兩條直線的方程：________，________．〖答案〗〖解析〗，，設直線與曲線和相切于點，則所以切線方程分別為，因此則，又，將代入可得或，解得或，將其代入中，因此當時，切線方程為，當時，切線方程為，故〖答案〗為：,.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.有8個相同的小球，上面分別標有數字1，2，3，4，5，6，7，8，“從中任取一個小球，球的數字是奇數”記為事件A，“從中任取一個小球，球的數字是3的倍數”記為事件B．（1）試判斷A，B是否為相互獨立事件，并說明理由；（2）求．解：（1）解法一：，，．若A發(fā)生，則B發(fā)生的概率為；若A不發(fā)生，則B發(fā)生的概率為；可見，事件A發(fā)生與否不影響事件B發(fā)生的概率，因此，A，B為相互獨立事件．解法二：，，，．所以，，，即．因此，A，B為相互獨立事件．（2）解法一：由概率性質得．解法二：，，，．所以．18.如圖，在正三棱柱中，D為的中點．（1）求證：；（2）若，，求點B到平面的距離．（1）證明：在正三棱柱中，平面，因為平面，所以；在正三角形中，，D為中點，所以；又因為，平面，所以平面；因為平面，所以．（2）解：連接，交于點O，在正三棱柱中，側面為平行四邊形，所以O為的中點，所以B到平面的距離等于到平面的距離；設到平面的距離為，因為，，所以正三角形的邊長為，所以，的面積為，所以三棱錐的體積．又，在中，，，所以，所以，從而，即．所以點B到平面的距離為．19.已知函數，．（1）若，解關于的不等式；（2）若函數的最小值為-4，求m的值．解：（1）時，由得，，，因為，所以，解得，所以原不等式的解集為．（2）因為，令，因為，所以，（當且僅當時取得等號）則，，①當，即時，在上單調遞增，當，即時，，所以，解得，符合題意；②當，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，當，，所以，解得，不合題意，舍去．綜上，的值為-3．20.“使用動物做醫(yī)學實驗是正確的，這樣做能夠挽救人的生命”．一機構為了解成年人對這種說法的態(tài)度（態(tài)度分為同意和不同意），在某市隨機調查了200位成年人，得到如下數據：男性女性合計同意7050120不同意305080合計100100200（1）能否有99%的把握認為成年人對該說法的態(tài)度與性別有關？（2）將頻率視為概率，用樣本估計總體．若從該市成年人中，隨機抽取3人了解其對該說法的態(tài)度，記抽取的3人中持同意的人數為X，求X的分布列和數學期望．附：，0.0250.0100.0055.0246.6357.879解：（1）提出假設：成年人對該問題的態(tài)度與性別無關．根據列聯(lián)表中的數據可以求得．因為當成立時，的概率約為0.01，這里，所以我們有99%的把握認為，對該問題的態(tài)度與性別有關．（2）從該市成年人中隨機抽取1人持同意態(tài)度的概率為，由題意，，，，，，0123因此，隨機變量的數學期望為解法一：．解法二：．21.如圖，在三棱錐中，，D是AC的中點，E是AB上一點，平面PDE.（1）證明：平面PBC；（2）若，，求二面角的正弦值．（1）證明：因為平面PDE，平面PDE，所以，因為，且直線平面ABC，所以，因為平面PBC，平面PBC，所以平面PBC；（2）解：取DE的中點O，連結PO，過點O作交BC于點F，因為，所以，因為平面PDE，平面PDE，所以，因為平面ABC，所以平面，所以．如圖，以，為正交基底建立空間直角坐標系，因為D是AC的中點，，所以，，，，因為，所以，即，所以，，，；設平面的一個法向量，則即令，得，，所以平面的一個法向量，設平面PBE的一個法向量，則即令，得，，所以平面PBE的一個法向量，所以，設二面角為，，所以，所以二面角的正弦值為．22.已知函數，．（1）當時，求函數的極值；（2）當時，，求的取值范圍．解：（1）的定義域為，當時，，，令，解得，減極小值增所以的極小值.（2）當時，等價于當時，，令，則在上恒成立，所以，令，所以，因為，所以，所以在上單調遞增，所以，①當，即時，，所以，即在上單調遞增，所以，所以當時，；②當，即時，，又，因為，所以，所以，因為，且的圖象在上連續(xù)不間斷，所以存在，使得，因為當時，，即，所以在上單調遞減，所以，這與在上恒成立矛盾，所以不合題意，舍去.綜上所述，的取值范圍是．江蘇省南通市2022-2023學年高二下學期期末數學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，，所以，.故選：C.2.若復數，則（）A. B.1 C. D.2〖答案〗B〖解析〗因為復數，所以，所以，故選：B.3.從5件不同的禮物中選出3件分別送給3名同學，則不同的送法共有（）A.240種 B.125種 C.120種 D.60種〖答案〗D〖解析〗由題意可知,故選：D.4.若一組數據1，1，，4，5，5，6，7的25百分位數是2，則（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗這組數據為：1，1，，4，5，5，6，7，因為，所以這組數據的25%分位數為從小到大的順序的第2個數和第3個數的平均數，因此，這組數據的25%分位數為，所以．故選：C．5.已知P是所在平面外一點，M是BC的中點，若，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗如下圖所示：因為為的中點，則，所以，，又因為，且、、不共面，則，，故，，故選：A.6.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以，，所以.故選：D.7.已知圓臺的上、下底面半徑分別為和，用一個平行于底面的平面去截圓臺，截得上、下兩部分的體積之比為，則截面半徑為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設圓臺上、下底面圓的圓心分別為、，將圓臺還原為圓錐，設圓錐的頂點為S，設截面圓的圓心為，設圓、圓、圓的半徑分別為、、，則，，設圓錐、圓錐、圓錐的體積分別為、、，因為，則，所以，，設圓臺的體積為，即，所以，，由題意可知，圓臺的體積為，所以，，所以，，又因為，則，因此，.故選：A.8.已知函數若函數有五個零點，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗當時，則，此時，則或，當時，則，此時，則，故問題轉為，共有四個零點，畫出函數圖象如下可知：則，故選：D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗令.對于A選項，，A錯；對于B選項，的展開式通項為，令，可得，則，B對；對于C選項，，C對；對于D選項，，所以，，D錯.故選：BC.10.已知正方體，則（）A.平面平面 B.平面C.與所成角為 D.與平面所成角為〖答案〗ABC〖解析〗對于A，，，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面；同理可得：平面；，平面，平面平面，A正確；對于B，四邊形為正方形，；平面，平面，；，平面，平面，又平面，；同理可得：；，平面，平面，B正確；對于C，連接，，，四邊形為平行四邊形，，（或其補角）即為異面直線與所成角，，為等邊三角形，，與所成角為，C正確；對于D，平面，與平面所成角為，設正方體的棱長為，則，，，即與平面所成角不是，D錯誤.故選：ABC.11.已知是定義在上的奇函數，，當時，，則（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗函數是定義在上的奇函數，由，得，所以函數是周期為4的周期函數，所以，故A錯誤；由，故B正確；因為，，所以，故C正確；當時，，所以當時，，所以，此時，所以當時，.當時，，所以，此時，綜上所述，函數在一個周期內，即時，，而，所以，故D正確.故選：BCD.12.某農業(yè)種植基地在三塊實驗地種植同一品種的蘋果，甲地塊產出蘋果中一級果個數占75%，乙地塊產出蘋果中一級果個數占60%，丙地塊產出蘋果中一級果個數占80%．已知甲、乙、丙地塊產出的蘋果個數之比為2：5：3，現將三個地塊產出的蘋果混放一堆，則下列說法正確的是（）A.任取一個蘋果是甲地塊產出的概率為0.2B.任取一個蘋果是甲地塊產出的一級果的概率為0.75C.任取一個蘋果是一級果的概率為0.69D.如果取到的一個蘋果是一級果，則其是由甲地塊產出的概率為〖答案〗ACD〖解析〗已知甲、乙、丙地塊產出的蘋果個數之比為2：5：3，可設甲、乙、丙地塊產出的蘋果個數分別為：，現將三個地塊產出的蘋果混放一堆，對于A，則任取一個蘋果是甲地塊產出的概率為，故A正確；對于B，由于甲地塊產出蘋果中一級果個數占75%，所以甲地塊產出蘋果中一級果個數為，則任取一個蘋果是甲地塊產出的一級果的概率為，故B錯誤；對于C，由于甲地塊產出蘋果中一級果個數，乙地塊產出蘋果中一級果個數為，丙地塊產出蘋果中一級果個數為，所以三塊地總共產出一級果個數為：，所以任取一個蘋果是一級果的概率為，故C正確；對于D，由條件概率可知，如果取到的一個蘋果是一級果，則其是由甲地塊產出的概率為，故D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13如果隨機變量，且，則________．〖答案〗0.8〖解析〗因為，所以，因為該正態(tài)分布曲線關于對稱，所以，故〖答案〗為：.14.已知向量，，若，則實數________．〖答案〗〖解析〗，又，，解得：.故〖答案〗為：.15.已知正四棱錐的底面邊長和側棱長分別為4和，其所有面都與同一個球相切，則該球的表面積為________．〖答案〗〖解析〗如圖，取底邊中點為,則,,所以在等腰中，,,由于正四棱錐的所有面都與同一個球相切，則該球為其內切球，設內切球的半徑為，則由等體積法可得，即，故球的表面積為，故〖答案〗為：.16.已知直線與曲線和都相切，請寫出符合條件的兩條直線的方程：________，________．〖答案〗〖解析〗，，設直線與曲線和相切于點，則所以切線方程分別為，因此則，又，將代入可得或，解得或，將其代入中，因此當時，切線方程為，當時，切線方程為，故〖答案〗為：,.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.有8個相同的小球，上面分別標有數字1，2，3，4，5，6，7，8，“從中任取一個小球，球的數字是奇數”記為事件A，“從中任取一個小球，球的數字是3的倍數”記為事件B．（1）試判斷A，B是否為相互獨立事件，并說明理由；（2）求．解：（1）解法一：，，．若A發(fā)生，則B發(fā)生的概率為；若A不發(fā)生，則B發(fā)生的概率為；可見，事件A發(fā)生與否不影響事件B發(fā)生的概率，因此，A，B為相互獨立事件．解法二：，，，．所以，，，即．因此，A，B為相互獨立事件．（2）解法一：由概率性質得．解法二：，，，．所以．18.如圖，在正三棱柱中，D為的中點．（1）求證：；（2）若，，求點B到平面的距離．（1）證明：在正三棱柱中，平面，因為平面，所以；在正三角形中，，D為中點，所以；又因為，平面，所以平面；因為平面，所以．（2）解：連接，交于點O，在正三棱柱中，側面為平行四邊形，所以O為的中點，所以B到平面的距離等于到平面的距離；設到平面的距離為，因為，，所以正三角形的邊長為，所以，的面積為，所以三棱錐的體積．又，在中，，，所以，所以，從而，即．所以點B到平面的距離為．19.已知函數，．（1）若，解關于的不等式；（2）若函數的最小值為-4，求m的值．解：（1）時，由得，，，因為，所以，解得，所以原不等式的解集為．（2）因為，令，因為，所以，（當且僅當時取得等號）則，，①當，即時，在上單調遞增，當，即時，，所以，解得，符合題意；②當，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，當，，所以，解得，不合題意，舍去．綜上，的值為-3．20.“使用動物做醫(yī)學實驗是正確的，這樣做能夠挽救人的生命”．一機構為了解成年人對這種說法的態(tài)度（態(tài)度分為同意和不同意），在某市隨機調查了200位成年人，得到如下數據：男性女性合計同意7050120不同意305080合計10010020