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一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系專題復(fù)習(xí)三總結(jié)歸納:根與系數(shù)考察比較靈活,月考,期中期末考試都是??碱},中考也是重點(diǎn)考察內(nèi)容,考察的難度經(jīng)常為中等題和難題的形式出現(xiàn),也就要求學(xué)生對根與系數(shù)要掌握扎實(shí)的同時學(xué)會靈活變通,比如復(fù)雜代數(shù)式如何變形成跟韋達(dá)定理相關(guān)的代數(shù)式等,所以遇到比較復(fù)雜的情況,一定是想辦法變形,找與韋達(dá)定理得關(guān)系,比如:,這樣就找到了與韋達(dá)定理之間的關(guān)系(3)常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問題:
①不解方程,判斷兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩個根.②已知方程及方程的一個根,求另一個根及未知數(shù).③不解方程求關(guān)于根的式子的值,如求,x12+x22等等.④判斷兩根的符號.⑤求作新方程.⑥由給出的兩根滿足的條件,確定字母的取值.這類問題比較綜合,解題時除了利用根與系數(shù)的關(guān)系,同時還要考慮a≠0,△≥0這兩個前提條件.知識點(diǎn)一:韋達(dá)定理基礎(chǔ)應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系(1)若二次項系數(shù)為1,常用以下關(guān)系:x1,x2是方程x2+px+q=0的兩根時,x1+x2=p,x1x2=q,反過來可得p=(x1+x2),q=x1x2,前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問題,后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù).
(2)若二次項系數(shù)不為1,則常用以下關(guān)系:x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根時,x1+x2=?ba,x1x2考點(diǎn)一:韋達(dá)定理基礎(chǔ)應(yīng)用1.(2022?鹽城一模)設(shè)α,β是一元二次方程x2+5x﹣99=0的兩個根,則α?β的值是()A.5 B.﹣5 C.99 D.﹣992.(2022?秦淮區(qū)二模)若關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=3,x2=﹣5,則關(guān)于y的方程a(y+1)2+b(y+1)+c=0的解是()A.y1=4,y2=﹣4 B.y1=2,y2=﹣6 C.y1=4,y2=﹣6 D.y1=2,y2=﹣43.(2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí))已知x1,x2是關(guān)于x的方程x2A.x1+x2>0 B.x14.(2022春?開福區(qū)校級期中)已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.(1)求m的取值范圍;(2)若兩實(shí)數(shù)根分別為x1和x2,且,求m的值.知識點(diǎn)一:韋達(dá)定理與復(fù)雜代數(shù)式注意:這類的考察比較靈活,所以要對代數(shù)式進(jìn)行化簡,找與韋達(dá)定理得關(guān)系常見類型:1、考點(diǎn)二:韋達(dá)定理與復(fù)雜代數(shù)式1.(2023春·江蘇南通·八年級南通田家炳中學(xué)??茧A段練習(xí))如果x、y是兩個實(shí)數(shù)(xy≠1)且3x2-2023x+2=0A.20233 B.20232 C.404692.(2023秋·江蘇蘇州·九年級蘇州中學(xué)校考開學(xué)考試)若一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0(1)已知a、b是方程x2+15x(2)結(jié)合二元一次方程組的相關(guān)知識,解決問題:已知x=x1y=y1和x=x2y=y23.(2023·江蘇無錫·江蘇省天一中學(xué)??寄M預(yù)測)已知:α,β(α>β)是一元二次方程x2-x-1=0的兩個實(shí)數(shù)根,s(1)直接寫出s1,s2的值:s1=(2)經(jīng)計算可得:s3=4,s44.(2022秋·江蘇南京·九年級南京市科利華中學(xué)??计谥校┮阎P(guān)于x的一元二次方程x2(1)求證:無論k為任何實(shí)數(shù),此方程總有兩個實(shí)數(shù)根;(2)若方程的兩個實(shí)數(shù)根為x1、x2,滿足1x5.(2022秋·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期中)閱讀理解:法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)在研究一元二次方程時有一項重大發(fā)現(xiàn):如果一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根分別是x1,x2,那么x1+x2(1)已知方程4x2-3x-6=0的兩根分別為x(2)已知方程x2+3x-5=0的兩根分別為x(3)若x1,x2是兩個不相等實(shí)數(shù),且滿足x12-2知識點(diǎn)三:韋達(dá)定理與新定義/閱讀材料新定義與閱讀材料重點(diǎn)是理解新定義或者閱讀材料的意思,其次因?yàn)槎x解題。一般情況:第一問屬于簡單的應(yīng)用,只要學(xué)會按照定義或者要求解題就行第二問屬于靈活變通,需要我們理解定義并應(yīng)用,同時要考慮到其他的數(shù)學(xué)知識解題考點(diǎn)三:韋達(dá)定理與新定義/閱讀材料1.(2022秋·江蘇·九年級期中)閱讀理解:材料一:若三個非零實(shí)數(shù)x,y,z滿足:只要其中一個數(shù)的倒數(shù)等于另外兩個數(shù)的倒數(shù)的和,則稱這三個實(shí)數(shù)x,y,z構(gòu)成“和諧三數(shù)組”.材料二:若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根分別為x1,x2,則有x1問題解決:(1)請你寫出三個能構(gòu)成“和諧三數(shù)組”的實(shí)數(shù);(2)若x1,x2是關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0(a,b,c均不為0)的兩根,x3是關(guān)于x的方程bx+c=0(b,c均不為0)的解.求證:x1,x2,x3可以構(gòu)成“(3)若A(m,y1),B(m+1,y2),C(m+3,y3)三個點(diǎn)均在反比例函數(shù)y=4x的圖象上,且三點(diǎn)的縱坐標(biāo)恰好構(gòu)成“和諧三數(shù)組”3.(2022秋·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期末)閱讀材料:對于非零實(shí)數(shù)a,b,若關(guān)于x的分式x-ax-bx的值為零,則解得x1=a,x2=(1)理解應(yīng)用:方程x2+2x=3+23的解為:(2)知識遷移:若關(guān)于x的方程x+3x=5的解為x1(3)拓展提升:若關(guān)于x的方程4x-1=k-x的解為x4.(2023春·江蘇南通·八年級??茧A段練習(xí))閱讀材料,解答問題:材料一:已知實(shí)數(shù)a,ba≠b滿足a2+3a-1=0,材料二:已知實(shí)數(shù)a,bab≠1滿足2a2-3a+1=0,b2-3b+2=0,將b請根據(jù)上述材料,利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解答下列問題:(1)已知實(shí)數(shù)a,ba≠b滿足a2-(2)已知實(shí)數(shù)a,b滿足3a2-5a+1=0,5.【例2】(2022春?宜秀區(qū)校級月考)x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個實(shí)數(shù)根,若滿足|x1﹣x2|=1,則此類方程稱為“差根方程”.根據(jù)“差根方程”的定義,解決下列問題:(1)通過計算,判斷下列方程是否是“差根方程”:①x2﹣4x﹣5=0;②2x2﹣2x+1=0;(2)已知關(guān)于x的方程x2+2ax=0是“差根方程”,求a的值;(3)若關(guān)于x的方程ax2+bx+1=0(a,b是常數(shù),a>0)是“差根方程”,請?zhí)剿鱝與b之間的數(shù)量關(guān)系式.6.(2022秋·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期中)規(guī)定:若m+np(mn≠
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