2011全國中考真題解析120考點匯編直角三角形的有關(guān)計算

(2012年1月最新最細）2011全國中考真題解析120考點匯編☆直角三角形的有關(guān)計算一、選擇題1.（2011湖北荊州，8，3分）在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，則sinB的值是（）A、5714B、35C、217D、2114

考點：解直角三角形．專題：幾何圖形問題．分析：根據(jù)∠A=120°，得出∠DAC=60°，∠ACD=30°，得出AD=1，CD=3，再根據(jù)BC=27，利用解直角三角形求出．解答：解：延長BA做CD⊥BD，

∵∠A=120°，AB=4，AC=2，

∴∠DAC=60°，∠ACD=30°，

∴2AD=AC=2，

∴AD=1，CD=3，

∴BD=5，

∴BC=27，

∴sinB=327=2114，

故選：D．點評：此題主要考查了解直角三角形以及勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意得出∠DAC=60°，∠ACD=30°是解決問題的關(guān)鍵．2.（2011山東濱州，9，3分）在△ABC中,∠C=90°,∠C=72°,AB=10,則邊AC的長約為(精確到0.1)A.9.1B.9.5C.3.1D.3.5【考點】解直角三角形．【專題】計算題．【分析】在Rt△ABC中，根據(jù)三角函數(shù)的定義，易得AB、AC及∠A的關(guān)系，進而計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，

在Rt△ABC中，有cosA=，sinA=；

則AC=AB?cosA=10×cos72°≈3.1；

故選C．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，要熟練掌握好邊角之間的關(guān)系及三角函數(shù)的定義．3.（2011?德州，7，3分）一個平面封閉圖形內(nèi)（含邊界）任意兩點距離的最大值稱為該圖形的“直徑”，封閉圖形的周長與直徑之比稱為圖形的“周率”，下面四個平面圖形（依次為正三角形、正方形、正六邊形、圓）的周率從左到右依次記為a1，a2，a3，a4，則下列關(guān)系中正確的是（） A、a4＞a2＞a1 B、a4＞a3＞a2 C、a1＞a2＞a3 D、a2＞a3＞a考點：正多邊形和圓；等邊三角形的判定與性質(zhì)；多邊形內(nèi)角與外角；平行四邊形的判定與性質(zhì)。專題：計算題。分析：設(shè)等邊三角形的邊長是a，求出等邊三角形的周長，即可求出等邊三角形的周率a1；設(shè)正方形的邊長是x，根據(jù)勾股定理求出對角線的長，即可求出周率；設(shè)正六邊形的邊長是b，過F作FQ∥AB交BE于Q，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)求出直徑，即可求出正六邊形的周率a3；求出圓的周長和直徑即可求出圓的周率，比較即可得到答案．解答：解：設(shè)等邊三角形的邊長是a，則等邊三角形的周率a1==3設(shè)正方形的邊長是x，由勾股定理得：對角線是x，則正方形的周率是a2=QUOTE=2≈2.828，設(shè)正六邊形的邊長是b，過F作FQ∥AB交BE于Q，得到平行四邊形ABQF和等邊三角形EFQ，直徑是b+b=2b，∴正六邊形的周率是a3==3，圓的周率是，∴a4＞a3＞a2．故選B．點評：本題主要考查對正多邊形與圓，多邊形的內(nèi)角和定理，平行四邊形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識點的理解和掌握，理解題意并能根據(jù)性質(zhì)進行計算是解此題的關(guān)鍵．4.（2011山東菏澤，5，4分）如圖所示，已知在三角形紙片ABC中，BC=3，AB=6，∠BCA=90°．在AC上取一點E，以BE為折痕，使AB的一部分與BC重合，A與BC延長線上的點D重合，則DE的長度為（） A．6 B．3C．QUOTE D．QUOTE考點：翻折變換（折疊問題）；含30度角的直角三角形；勾股定理．專題：計算題．分析：易得∠ABC=60°，∠A=30°．根據(jù)折疊的性質(zhì)∠CBE=∠D=30°．在△BCE和△DCE中運用三角函數(shù)求解．解答：解：∵∠ACB=90°，BC=3，AB=6，∴sinA=BC：AB=1：2，∴∠A=30°，∠CBA=60°．根據(jù)折疊的性質(zhì)知，∠CBE=∠EBA=QUOTE∠CBA=30°，∴CE=BCtan30°=QUOTE，∴DE=2CE=2QUOTE．故選C．點評：本題考查了：1．折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等；2．直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的概念求解．5.（2011泰安，19，3分）如圖，點O是矩形ABCD的中心，E是AB上的點，沿CE折疊后，點B恰好與點O重合，若BC＝3，則折痕CE的長為（） A．QUOTE B．QUOTEC．QUOTE D．6考點：翻折變換（折疊問題）；勾股定理。專題：探究型。分析：先根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)求出AC的長，再由勾股定理及等腰三角形的判定定理即可得出結(jié)論．解答：解：∵△CED是△CEB翻折而成，∴BC＝CD，BE＝DE，∵O是矩形ABCD的中心，∴OE是AC的垂直平分線，AC＝2BC＝2×3＝6，∴AE＝CE，在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2，即62＝AB2＋32，解得AB＝3QUOTE，在Rt△AOE中，設(shè)OE＝x，則AE＝3QUOTE－x，AE2＝AO2＋OE2，即（3－x）2＝（3）2＋32，解得x＝QUOTE，∴AE＝EC＝3－＝2．故選A．點評：本題考查的是翻折變換，熟知折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等的知識是解答此題的關(guān)鍵．6.（2011遼寧本溪，6，3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，DE是△ABC的中位線，則DE的長度是（）A．3 B．4 C．4.8 D．5考點：三角形中位線定理；勾股定理專題：存在型分析：由在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，根據(jù)勾股定理即可求得AC的長，又由DE是△ABC的中位線，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，求得DE的長度．解答解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，∴AC==6，∵DE是△ABC的中位線，∴DE=AC=3．故選A．點評：此題考查了勾股定理與三角形中位線的性質(zhì)．題目難度不大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．7.如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=5，AF平分∠DAE，EF⊥AE，則CF等于（）A、B、1C、D、22.（2011?臨沂，13，3分）如圖，△ABC中，cosB=，sinC=QUOTE，AC=5，則△ABC的面積是（） A、QUOTE B、12 C、14 D、21考點：解直角三角形。分析：根據(jù)已知做出三角形的高線AD，進而得出AD，BD，CD，的長，即可得出三角形的面積．解答：解：過點A做AD⊥BC，∵△ABC中，cosB=QUOTE，sinC=QUOTE，AC=5，∴cosB=QUOTE=QUOTE，∴∠B=45°，∵sinC===，∴AD=3，∴CD=4，∴BD=3，則△ABC的面積是：×AD×BC=QUOTE×3×（3+4）=．故選A．點評：此題主要考查了解直角三角形的知識，做出AD⊥BC，進而得出相關(guān)線段的長度是解決問題的關(guān)鍵．8.（2011?丹東，8，3分）如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC=9，則AE的值是（） A、6QUOTE B、4QUOTE C、6 D、4考點：線段垂直平分線的性質(zhì)；含30度角的直角三角形。專題：計算題。分析：由角平分線的定義得到∠CBE=∠ABE，再根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到EA=EB，則∠A=∠ABE，可得∠CBE=30°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到BE=2EC，即AE=2EC，由AE+EC=AC=9，即可求出AC．解答：解：∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE，∵ED垂直平分AB于D，∴EA=EB，∴∠A=∠ABE，∴∠CBE=30°，∴BE=2EC，即AE=2EC，而AE+EC=AC=9，∴AE=6．故選C．點評：本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等．9.如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=，CD=，點P在四邊形ABCD上，若P到BD的距離為，則點P的個數(shù)為（）A、1B、2C、3【答案】B【考點】解直角三角形；點到直線的距離．【專題】幾何綜合題．【分析】首先作出AB、AD邊上的點P（點A）到BD的垂線段AE，即點P到BD的最長距離，作出BC、CD的點P（點C）到BD的垂線段CF，即點P到BD的最長距離，由已知計算出AE、CF的長與比較得出答案．【解答】解：過點A作AE⊥BD于E，過點C作CF⊥BD于F，

∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=，CD=，∴∠ABD=∠ADB=45°，

∴∠CDF=90°-∠ADB=45°，∴AE=AB?tan∠ABD=2?tan45°=2=2＞，

所以在AB和AD邊上有符合P到BD的距離為的點2個，

∴CF=CD?tan∠CDF==1，所以在邊BC和CD上沒有到BD的距離為的點，

所以P到BD的距離為的點有2個，故選：B．

【點評】此題考查的知識點是解直角三角形和點到直線的距離，解題的關(guān)鍵是先求出各邊上點到BD的最大距離比較得出答案．10.（2011黑龍江省哈爾濱,9，3分）如圖，矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點0，∠AOB=60°，AB=5，則AD的長是（） A.5 B.5 C.5 D.10考點：解直角三角形；矩形的性質(zhì)。專題：計算題。分析：本題的關(guān)鍵是利用等邊三角形和矩形對角線的性質(zhì)求長度．解答：解：因為在矩形ABCD中，所以AO=AC=QUOTEBD=BO，又因為∠AOB=60°，所以△AOB是等邊三角形，所以AO=AB=5，所以BD=2AO=10，所以AD2=BD2﹣AB2=102﹣52=75，所以AD=5．故選A．點評：此題考查的知識點是解直角三角形，解答此題的關(guān)鍵是由矩形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)首先得出BD=2AB=10，然后由勾股定理求得AD．二、填空題1.（2011?玉林，17，3分）如圖，等邊△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)30°時，點C轉(zhuǎn)到C′的位置，且BC′與AC交于點D，則QUOTE的值為2﹣QUOTE．考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；解直角三角形。分析：等邊△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)30°時，則△BCD是直角三角形，根據(jù)三角函數(shù)即可求解．解答：解：設(shè)等邊△ABC的邊長是a，圖形旋轉(zhuǎn)30°，則△BCD是直角三角形．BD=BC?cos30°=QUOTE則C′D=1﹣QUOTE=QUOTE，CD=QUOTE∴QUOTE=QUOTE=2﹣QUOTE故答案是：2﹣．點評：本題主要考查了圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及直角三角形的性質(zhì)，正確確定△BCD是直角三角形是解題的關(guān)鍵．2.（2011江蘇淮安，18，3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)15°后得到△AB1C1，B1C1交AC于點D，如果AD=，則△ABC的周長等于考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；解直角三角形。分析：根據(jù)已知可以得出∠BAC=60°，而將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)15°，可知∠B1AD=45°，可以求出AB1=QUOTE，而AB與AB1是相等的，故可求AB，那么BC和AC可求，則△ABC的周長可求．解答：解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，則∠BAC=60°，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)15°后，∠B1AD=45°，而∠AB1D=90°，故△AB1D是等腰直角三角形，如果AD=2QUOTE，則根據(jù)勾股定理得，AB1=QUOTE那么AB=AB1=QUOTE，AC=2AB=2QUOTE，BC=QUOTE，△ABC的周長為：AB+BC+AC=QUOTE+2QUOTE+QUOTE=3QUOTE+QUOTE．故本題答案為：3QUOTE+QUOTE．點評：本題主要考查旋轉(zhuǎn)和直角三角形的性質(zhì)，既要弄清等腰梯形、直角梯形的判定，又要掌握有關(guān)旋轉(zhuǎn)的知識，在直角三角形中，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半，也是解決問題的關(guān)鍵．3.（2011?江蘇徐州，24，8）如圖，PA，PB是⊙O的兩條切線，切點分別為A，B，OP交AB于點C，OP=13，sin∠APC=QUOTE．（1）求⊙O的半徑；（2）求弦AB的長．考點：切線的性質(zhì)；解直角三角形。分析：（1）由題意可推出OA⊥AP，即可推出OA的長度，即半徑的長度；（2）根據(jù)題意和（1）的結(jié)論，即可推出PA=PB，∠APO=∠BPO，AC=BC=QUOTEAB，可以推出AC的長度，即可推出AB的長度．解答：解：（1）∵PA，PB是⊙O的兩條切線，∴∠OAP=90°，∴sin∠APO=QUOTE，∵OP=13，∴OA=5，即所求半徑為5．（2）Rt△OAP中，AP=12，∵PA，PB是⊙O的兩條切線，∴PA=PB，∠APO=∠BPO，∴AC=BC=QUOTEAB，PC⊥AB∴sin∠APC=QUOTE，∴AC=QUOTE，∴AB=2AC=QUOTE．點評：本題主要考查切線的性質(zhì)、解直角三角形，解題的關(guān)鍵在于切線的性質(zhì)找到直角三角形，然后解直角三角形．4.（2011新疆建設(shè)兵團，13，5分）如圖，∠BAC所對的?。▓D中eq\o(\s\up5(⌒),BC)QUOTE）的度數(shù)為120°，⊙O的半徑為5，則弦BC的長為5eq\r(3)QUOTE．考點：圓周角定理；解直角三角形．專題：探究型．分析：連接OB、OB，過O點作OD⊥BC于點D，由eq\o(\s\up5(⌒),BC)QUOTE可求出∠BOB＝120°，再由垂徑定理可知BD＝eq\f(1,2)QUOTEBC，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可求出BD的長，進而可得出BC的長．解答：解：連接OB、OB，過O點作，OD⊥BC于點D，∵eq\o(\s\up5(⌒),BC)＝120°，∴∠BOC＝120°，∵OD⊥BC，∴BD＝eq\f(1,2)BC，∠BOD＝eq\f(1,2)∠BOC＝eq\f(1,2)×120°＝60°，在Rt△OBD中，BD＝OB?sin∠BOD＝5×eq\f(eq\r(3),2)＝eq\f(eq5\r(3),2)，∴BC＝2BD＝2×eq\f(eq5\r(3),2)＝5eq\r(3)．故答案為：5eq\r(3)QUOTE．點評：本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系及垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用銳角三角函數(shù)的定義解答是解答此題的關(guān)鍵．5.如圖，等腰直角三角形ABC的直角邊AB的長為6cm，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)15°后得到△AB′C′，則圖中陰影部分面積等于6cm2．考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；解直角三角形．專題：計算題．分析：將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)15°，得到∠AB′D=45°-15°=30°，利用三角函數(shù)即可求出B′D的長，然后根據(jù)直角三角形的面積公式即可求出陰影部分面積．解答：解：∵∠AB′D=∠B′AC′-∠DAC′=45°-15°=30°，

∴B′D=AB′tan30°=6×=2，

S△AB′D=×6×2=6．

故答案為：6．點評：此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和解直角三角形的相關(guān)計算，找到圖中的特殊角∠B′AD是解題的關(guān)鍵．6.（2011?萊蕪）如圖①，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4．將△AOB沿x軸依次以點A、B、O為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)，分別得到圖②、圖③、…，則旋轉(zhuǎn)得到的圖⑩的直角頂點的坐標為（36，0）．考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；坐標與圖形性質(zhì)；勾股定理。專題：規(guī)律型。分析：如圖，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4，則AB=5，每旋轉(zhuǎn)3次為一循環(huán)，則圖③、④的直角頂點坐標為（12，0），圖⑥、⑦的直角頂點坐標為（24，0），所以，圖⑨、⑩10的直角頂點為（36，0）．解答：解：∵在△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4，∴AB=5，∴圖③、④的直角頂點坐標為（12，0），∵每旋轉(zhuǎn)3次為一循環(huán)，∴圖⑥、⑦的直角頂點坐標為（24，0），∴圖⑨、⑩的直角頂點為（36，0）．故答案為：（36，0）．點評：本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、坐標與圖形的性質(zhì)及勾股定理，找出圖形旋轉(zhuǎn)的規(guī)律“旋轉(zhuǎn)3次為一循環(huán)”，是解答本題的關(guān)鍵．7.（2011福建莆田，15，4分）如圖，一束光線從A（3，3）出發(fā)，經(jīng)過y軸上的點C反射后經(jīng)過點B（1，0），則光線從A點到B點經(jīng)過的路線長是_▲．考點：解直角三角形的應(yīng)用．專題：計算題．分析：延長AC交x軸于B′．根據(jù)光的反射原理，點B、B′關(guān)于y軸對稱，CB=CB′．路徑長就是AB′的長度．結(jié)合A點坐標，運用勾股定理求解．解答：解：如圖所示，延長AC交x軸于B′．則點B、B′關(guān)于y軸對稱，CB=CB′．作AD⊥x軸于D點．則AD=3，DB′=3+1=4．∴AB′=AC+CB′=AC+CB=5．即光線從點A到點B經(jīng)過的路徑長為5．點評：本題考查了直角三角形的有關(guān)知識，同時滲透光學(xué)中反射原理，構(gòu)造直角形是解決本題關(guān)鍵．8.（2011福建龍巖，15，3分）如圖，菱形ABCD周長為8cm．∠BAD=60°，則AC=cm．考點：菱形的性質(zhì)；解直角三角形.分析：根據(jù)已知條件和菱形的性質(zhì)，可推出△AOB為直角三角形，AB=2，∠OAB=30°，根據(jù)銳角三角函數(shù)推出OA的長度，即可求得AC的長度解答：解：∵菱形ABCD周長為8cm．∠BAD=60°∴△AOB為直角三角形，AB=2，∠OAB=30°，OA=OC，∴OA=QUOTE∴AC=2QUOTE故答案為2QUOTE．點評：本題主要考察菱形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識點，解題的關(guān)鍵是根據(jù)有關(guān)性質(zhì)推出邊和相關(guān)角的度數(shù)，解直角三角形．9.（2010廣東佛山，13，3分）在矩形ABCD中，兩條對角線AC、BD相交于點O，若AB=OB=4，則AD=4QUOTE；考點解直角三角形；等邊三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)分析矩形的對角線相等且互相平分，可得到△AOB是等邊三角形，那么即可求得BD長，進而利用勾股定理可求得AD長．分析矩形的對角線相等且互相平分，可得到△AOB是等邊三角形，那么即可求得BD長，進而利用勾股定理可求得AD長．解答解：∵四邊形ABCD為矩形．∴OA=OB=OD=OC=4cm∴BD=OB+OD=4+4=8cm在直角三角形ABD中，AB=4，BD=8cm由勾股定理可知AD2=BD2﹣AB2=82﹣42=48cm∴AD=4QUOTEcm．故答案為4QUOTE．點評本題考查矩形的性質(zhì)及勾股定理的運用．用的知識點為：矩形的對角線相等且互相平分．10.16、如圖，在頂角為30°的等腰三角形ABC中，AB=AC，若過點C作CD⊥AB于點D，則∠BCD=15°．根據(jù)圖形計算tan15°=2-．【考點】解直角三角形．【專題】幾何綜合題．【分析】此題可設(shè)AB=AC=x，由已知可求出CD和AD，那么也能求出BD=AB-AD，從而求出tan15°．【解答】解：由已知設(shè)AB=AC=2x，

∵∠A=30°，CD⊥AB，

∴CD=AC=x，

則AD2=AC2-CD2=（2x）2-x2=3x2，

∴AD=x，

∴BD=AB-AD=2x-x=（2-）x，

∴tan15°===2-．故答案為：2-．【點評】此題考查的知識點是解直角三角形，關(guān)鍵是由直角三角形中30°角的性質(zhì)與勾股定理先求出CD與AD，再求出BD．三、解答題1.（2011山東濟南，22，3分）如圖1，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=m，延長CB至點D，使BD=AB．①求∠D的度數(shù)；②求tan75°的值．（2）如圖2，點M的坐標為（2，0），直線MN與y軸的正半軸交于點N，∠OMN=75°．求直線MN的函數(shù)表達式．圖1圖2圖1圖2考點：解直角三角形；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式。專題：綜合題。分析：（1）在直角三角形中利用角和邊之間的關(guān)系求角的度數(shù)及邊長即可；（2）分別求得點M和N的坐標，利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可．解答：解：（1）①∵BD=AB，∴∠D=∠BAD，∴∠ABC=∠D+∠BAD=2∠D=30°，∴∠D=15°，②∵∠C=90°，∴∠CAD=90°﹣∠D=90°﹣15°=75°，∵∠ABC=30°，AC=m，∴BD=AB=2m，BC=m，∴cd=cb+bd=m，∴tan∠CAD=，∴tan75°=；（2）∵點M的坐標為（2，0），∠OMN=75°，∠MON=90°，∴ON=OM?tan∠OMN=，∴點N的坐標為（0，），設(shè)直線MN的函數(shù)表達式為y=kx+b，∴Q