反比例函數(shù)中與面積有關(guān)的問題及其解析

反比例函數(shù)中與面積有關(guān)的問題及解答反比例函數(shù)解析式及圖象的特殊性與面積結(jié)合起來，既能考查反比例函數(shù)本身的基礎(chǔ)知識(shí)，又能充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查涉及的題型廣泛，方法靈活，可較好地將知識(shí)與能力融合在一起。下面就反比例函數(shù)中與面積有關(guān)的問題及解析歸納如下：利用反比例函數(shù)中|k|的幾何意義求解與面積有關(guān)的問題設(shè)P為雙曲線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線PM、PN，垂足分別為M、N，則兩垂線段與坐標(biāo)軸所圍成的的矩形PMON的面積為S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|

∴xy=k

故S=|k|

從而得結(jié)論1：過雙曲線上任意一點(diǎn)作x軸、y軸的垂線，所得矩形的面積S為定值|k|。對(duì)于下列三個(gè)圖形中的情形，利用三角形面積的計(jì)算方法和圖形的對(duì)稱性以及上述結(jié)論，可得出對(duì)應(yīng)的面積的結(jié)論為：結(jié)論2：在直角三角形ABO中，面積S=結(jié)論3：在直角三角形ACB中，面積為S=2|k|結(jié)論4：在三角形AMB中，面積為S=|k|類型之一k與三角形的面積※問題1、如圖，已知雙曲線y=（k＞0）經(jīng)過直角三角形OAB斜邊OB的中點(diǎn)D，與直角邊AB相交于點(diǎn)C．若△OBC的面積為6，則k=______．答案解析：過D點(diǎn)作DE⊥x軸，垂足為E，

由雙曲線上點(diǎn)的性質(zhì)，得S

△AOC

=S

△DOE

=

k,∵DE⊥x軸，AB⊥x軸，

∴DE

∥

AB，

∴△OAB

∽

△OED，

又∵OB=2OD，

∴S

△OAB

=4S

△DOE

=2k，

由S

△OAB

-S

△OAC

=S

△OBC

，

得2k-k=6，

解得：k=4．

故答案為：4．

問題2.如圖，分別過反比例函數(shù)y=(x＞0)的圖象上任意兩點(diǎn)A、B作x軸的垂線，垂足分別為C、D，連接OA、OB，設(shè)△AOC和△BOD的面積分別是S1、S2,，比較它們的大小，可得A.S1＞S2B.S1=S2C.S1＜S2D.S1、S2大小不確定。參考答案：B問題3.在下列圖形中，陰影部分面積最大的是（）解析：A中陰影面積和為3；B中陰影面積和為3；過點(diǎn)M、分別向y軸、x軸作垂線，過點(diǎn)N向x軸作垂線，則圖中五邊形的面積=一個(gè)梯形面積+一個(gè)矩形面積=3+×（3+1）×（3-1）=7，∴圖中陰影面積=圖中五邊形的面積-兩個(gè)直角三角形的面積=7-2×=4；圖中陰影面積=三角形面積=×1×（3+3）=3.故應(yīng)選擇C。問題4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是函數(shù)y=（x＜0）圖象上的點(diǎn)，過點(diǎn)A作y軸的垂線交y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C在x軸上，若△ABC的面積為1，則k的值為________。解析：∵AB⊥y軸，∴AB∥CO，∴△AOB的面積=AB?OB，∵S三角形ABC=AB?OB=1，∴|k|=2，∵k<0，∴k=-2，

故答案為-2．問題5.※如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在函數(shù)（k＜0，x＜0）的圖象上，過點(diǎn)A作AB∥y軸交x軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C在y軸上，連結(jié)AC、BC．若△ABC的面積是3，則k=

．問題6.如圖，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函數(shù)y=在第一象限的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，若OA2-AB2=8，則k的值為_______。類型之二k與平行四邊形的面積問題7.※如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是函數(shù)y=（k<0，x<0）圖象上的點(diǎn)，過點(diǎn)A與y軸垂直的直線交y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C、D在x軸上，且BC∥AD．若四邊形ABCD的面積為3，則k值為___．

解答：∵AB⊥y軸，

∴AB∥CD，

∵BC∥AD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∴四邊形AEOB的面積=AB?OE，

∵S平行四邊形ABCD=AB?CD=3，

∴四邊形AEOB的面積=3，

∴|k|=3，

∵<0，

∴k=-3，

故答案為：-3．問題8.如圖，菱形OABC的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,4），頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，反比例函數(shù)y=(x＞0)的圖象經(jīng)過頂點(diǎn)B，則k的值為（）。A.12B.20C.24D.32答案：過點(diǎn)C作CD⊥OA，

∵C的坐標(biāo)為（3，4），

∴CD=4，OD=3，

∵CB∥AO，

∴B的縱坐標(biāo)是4，

∴OC==5，

∴AO=OC=5，

∵四邊形COAB是菱形，

∴B的橫坐標(biāo)是8，

∴k=8×4=32，

故選D．問題9.如圖，函數(shù)y=-x與y=-的圖象相交于A、B兩點(diǎn)，分別過A、B兩點(diǎn)作y軸的垂線，垂足分別為C、D，則四邊形ACBD的面積為（）。A.2B.4C.6D.8分析：首先根據(jù)反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關(guān)系即S=|k|，得出S△AOC=S△ODB=2，再根據(jù)反比例函數(shù)的對(duì)稱性可知：OC=OD，AC=BD，即可求出四邊形ACBD的面積．解答：解：∵過函數(shù)y=-的圖象上A，B兩點(diǎn)分別作y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)C，D，

∴S△AOC=S△ODB=|k|=2，

又∵OC=OD，AC=BD，

∴S△AOC=S△ODA=S△ODB=S△OBC=2，

∴四邊形ABCD的面積為：S△AOC+S△ODA+S△ODB+S△OBC=4×2=8．

故選D．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了反比例函數(shù)y=中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點(diǎn)引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|；圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關(guān)系即S=|k|，是經(jīng)?？疾榈囊粋€(gè)知識(shí)點(diǎn)；同時(shí)考查了反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性．問題10.如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=(x＞0)的圖象上任意一點(diǎn)，AB∥x軸交反比例函數(shù)y=-的圖象于點(diǎn)B，以AB為邊作□ABCD，其中點(diǎn)C、D在x軸上，則□ABCD的面積未（）。A.2B.3C.4D.5解析：設(shè)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為b問題11.如圖，在□ABOC中，兩條對(duì)角線交于點(diǎn)E，雙曲線y=(k＜0)的一支經(jīng)過C、E兩點(diǎn)，若□ABOC的面積為10，則k的值是（）。-B.-C.-4D.-5解析：類型之三k與矩形的面積問題12.如圖，A、B兩點(diǎn)在雙曲線y=上，分別過A、B兩點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線段，已知S1+S2=6，則S陰影=（）。A.4B.2C.1D.無法確定考點(diǎn)：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義專題：計(jì)算題分析：根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義得到S1+S陰影=S2+S陰影=4，則S1=S2，由于S1+S2=6，所以可計(jì)算出S1=3，則可得到S陰影=1．解答：解：根據(jù)題意得S1+S陰影=S2+S陰影=4，

所以S1=S2，

而S1+S2=6，

所以S1=3，

所以S陰影=4-3=1．

故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)y=圖象中任取一點(diǎn)，過這一個(gè)點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值|k|。問題13.如圖，反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象經(jīng)過矩形OABC對(duì)角線的交點(diǎn)M，分別與AB、BC相交于點(diǎn)D、E，若四邊形ODBE的面積為9，則k的值為（）。A.1B.2C.3D.4解析：考點(diǎn)：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義．專題：數(shù)形結(jié)合．分析：本題可從反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)E、M、D入手，分別找出△OCE、△OAD、矩形OABC的面積與|k|的關(guān)系，列出等式求出k值．解答：解：由題意得：E、M、D位于反比例函數(shù)圖象上，則S△OCE=，S△OAD=，

過點(diǎn)M作MG⊥y軸于點(diǎn)G，作MN⊥x軸于點(diǎn)N，則S□ONMG=|k|，

又∵M(jìn)為矩形ABCO對(duì)角線的交點(diǎn)，

∴S矩形ABCO=4S□ONMG=4|k|，

由于函數(shù)圖象在第一象限，k＞0，則++9=4k，

解得：k=3．

故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，過雙曲線上的任意一點(diǎn)分別向兩條坐標(biāo)軸作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積就等于|k|，本知識(shí)點(diǎn)是中考的重要考點(diǎn)，同學(xué)們應(yīng)高度關(guān)注．問題14.如圖，反比例函數(shù)y=（,k＞0）的圖象與矩形ABCO的兩邊相交于E、F兩點(diǎn)，若E是AB的中點(diǎn)，S△BEF=2，則k的值為________。分析：設(shè)E（a，），則B縱坐標(biāo)也為，代入反比例函數(shù)的y=，即可求得F的橫坐標(biāo)，則根據(jù)三角形的面積公式即可求得k的值．解：設(shè)E（a，），則B縱坐標(biāo)也為，

E是AB中點(diǎn)，所以F點(diǎn)橫坐標(biāo)為2a，代入解析式得到縱坐標(biāo)：，

BF=-=，所以F也為中點(diǎn)，

S△BEF=2=，k=8．

故答案是：8．點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，正確表示出BF的長度是關(guān)鍵．問題15.如圖，點(diǎn)P、Q是反比例函數(shù)y=圖象上的兩點(diǎn)，PA⊥y軸于點(diǎn)A，QN⊥x軸于點(diǎn)N，PM⊥x軸于點(diǎn)M,QBy軸于點(diǎn)B，連接PB、QM，△ABP的面積記為S1，△QMN的面積記為S2，則S1____________S2(填“＞”“＜”或“=”)。解析：問題16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸和y軸上，其中OA=6，OC=3，已知反比例函數(shù)y=（,k＞0）的圖象經(jīng)過BC邊的中點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)E。（1）k的值為________；（2）猜想△的面積與△的面積之間的關(guān)系，并說明理由。答案：（1）9；（2）S△OCD=S△OBE，理由見解析．【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而可得出k的值：∵OA=6，OC=3，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴D（3，3）．∵反比例函數(shù)（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)D，∴k=3×3=9．（2）根據(jù)三角形的面積公式和點(diǎn)D，E在函數(shù)的圖象上，可得出S△OCD=S△OAE，再由點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，可得出S△OCD=S△OB...類型之四k與多邊形的面積問題17.如圖所示，過點(diǎn)A（2，-1）分別作y軸、x軸的平行線交雙曲線y=于點(diǎn)B、C，過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BD⊥y軸于點(diǎn)D，連接ED，若五邊形ABDEC的面積為34，則k的值為________。解答：由A（2，-1）可得B點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，C點(diǎn)縱坐標(biāo)為-1，進(jìn)而可得出B（2，），C(-k,-1),E（-k，0），D（0，）。∵k＞0，五邊形ABDEC的面積=k+k+2+××k(三個(gè)矩形與一個(gè)三角形的面積和)=34，∴k2+8k-128=0,解得k1=-16（舍去），k2=8,∴k的值為8。問題18.如圖，點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=（k1＞0，x＞0）圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線，分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，交反比例函數(shù)y=（k2＜0，且|k2|＜k1）的圖象于E、F兩點(diǎn)。圖1中，四邊形PEOF的面積S1=______（用含k1、k2的式子表示）；圖2中，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），①點(diǎn)E的坐標(biāo)是（______，______），點(diǎn)F的坐標(biāo)是（______，______）（用含k2的式子表示）；②若△OEF的面積為，求反比例函數(shù)y＝的解析式．解答：∵P是點(diǎn)P是反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）圖象上一動(dòng)點(diǎn)，∴S=k1∵E、F分別是反比例函數(shù)y＝（k2＜0且|k2|＜k1）的圖象上兩點(diǎn)，

∴S△OBF=S△AOE=|k2|，

∴四邊形PEOF的面積S1=S矩形PBOA+S△OBF+S△AOE=k1+|k2|，

∵k2＜0，

∴四邊形PEOF的面積S1=S矩形PBOA+S△OBF+S△AOE=k1+|k2|=k1-k2．

（2）①∵PE⊥x軸，PF⊥y軸可知，P、E兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，P、F兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，

∴E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為E（2，），F(xiàn)（，3）；

②∵P（2，3）在函數(shù)y=的圖象上，

∴k1=6，

∵E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為E（2，），F(xiàn)（，3）；

∴PE=3-，PF=2-，

∴S△PEF=（3-）（2-）=，

∴S△OEF=（k1-k2）-

=（6-k2）-==，∴k2=

∵k2＜0，

∴k2=-2．∴y=題型之五：k與面積綜合問題19.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是反比例函數(shù)y=（x＞0）圖像上任意一點(diǎn)，以P為圓心，PO為半徑的圓與坐標(biāo)軸分別交于A、B。求證：線段AB為⊙P的直徑；求△AOB的面積。如圖2，Q是反比例函數(shù)y=（x＞0）圖像上異于點(diǎn)P的另一點(diǎn)，以Q為圓心，QO為半徑畫圓與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)C、D。求證：DO·OC=BO·OA。反比例函數(shù)相關(guān)練習(xí)題1.如圖1，矩形ABCD的邊BC在x軸的正半軸上，點(diǎn)E（m，1）是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)A、E在反比例函數(shù)y=的圖象上。

（1）求AB的長；

（2）當(dāng)矩形ABCD是正方形時(shí)，將反比例函數(shù)y=的圖象沿y軸翻折，得到反比例函數(shù)y=的圖象（如圖2），求k1的值；

（3）直線y=-x上有一長為的動(dòng)線段MN，作MH、NP都平行y軸，交在條件（2）下，第一象限內(nèi)的雙曲線y=于點(diǎn)H、P，問四邊形MHPN能否為平行四邊形（如圖3）？若能，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由。2.如圖，已知△P10A1，△P2A1A2都是等腰直角三角形，點(diǎn)P1、P2都在函數(shù)y=（x＞0）的圖象上，斜邊OA1、A1A2都在x軸上．則點(diǎn)A2的坐標(biāo)為。3.如圖，A是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，點(diǎn)P在y軸上，△ABP的面積為1，則k的值為________．4.如圖，在軸的正半軸上依次截取，過點(diǎn)分別作軸的垂線與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，得直角三角形并設(shè)其面積分別為則的值為．．5.如圖，⊙A和⊙B都與x軸和y軸相切，A和B都在反比例函數(shù)的圖象上，則圖中陰影部分的面積等于

.6.如圖，正方形A1B1P1P2的頂點(diǎn)P1、P2在反比例函數(shù)（x＞0）的圖像上，頂點(diǎn)A1、B1分別在x軸和y軸的正半軸上，再在其右側(cè)作正方形P2P3A2B2，頂點(diǎn)P3在反比例函數(shù)（x＞0）的圖象上，頂點(diǎn)A3在x軸的正半軸上，則點(diǎn)P3的坐標(biāo)為7.如圖，已知A（-4，n），B（2，-4）是一次函數(shù)y=kx+b的圖像和反比例函數(shù)的圖像的兩個(gè)交點(diǎn)。（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

（2）求直線AB與x軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)及三角形AOB的面積；

（3）當(dāng)x為何值時(shí)，一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值？參考答案與簡析1.分析：（1）過點(diǎn)E作EF⊥BC于F，可證EF為△BCD的中位線，根據(jù)三角形的中位線定理即可求出AB的長；

（2）當(dāng)矩形ABCD是正方形時(shí)，由（1）知，BC=AB=2．先用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)A、E在反比例函數(shù)y=的圖象上，列方程求出m的值，然后由軸對(duì)稱的性質(zhì)即可求出k1的值；

（3）過點(diǎn)N作NG⊥HM于G，易求MG=NG=1．設(shè)M（a，-a），則可用含a的代數(shù)式分別表示點(diǎn)N、P、H的坐標(biāo)，由MH=NP列出關(guān)于a的方程，求解即可．解答：解：（1）如圖，過點(diǎn)E作EF⊥BC于F，則EF=1．

∵點(diǎn)E是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，

∴F為BC的中點(diǎn)，EF為△BCD的中位線，

∴CD=2EF=2．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB=CD=2；

（2）由（1）知，AB=CD=2．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC=AB=2，∴BF=FC=1．

∵E（m，1），

∴F（m，0），B（m-1，0），A（m-1，2），

∵點(diǎn)A、E在反比例函數(shù)y=的圖象上，

∴k=2（m-1）=m×1，

解得m=2，k=2，

∴點(diǎn)A、E在反比例函數(shù)y=的圖象上．

∵將反比例函數(shù)y=的圖象沿y軸翻折，得到反比例函數(shù)y=的圖象，

∴k1=-2；

（3）四邊形MHPN能為平行四邊形．理由如下：

過點(diǎn)N作NG⊥HM于G，則∠MGN=90°．

∵點(diǎn)M、N在直線y=-x上，

∴∠MNG=45°，

∴MG=NG，

又∵M(jìn)N=∴MG=NG=1．

設(shè)M（a，-a），則N（a+1，-a-1）．

∵M(jìn)H、NP都平行y軸，且點(diǎn)H、P都在雙曲線y=的圖象上，

∴H（a，），P（a+1，）．

∵M(jìn)H∥NP，

∴當(dāng)MH=NP時(shí)，四邊形MHPN為平行四邊形，

此時(shí)+a=+a+1，

整理得a2+a-2=0，解得a=1，a=-2（舍去）．

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-1）．

故四邊形MHPN能為平行四邊形，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-1）．點(diǎn)評(píng)：考查了反比例函數(shù)綜合題，其中有三角形的中位線定理，矩形和正方形的性質(zhì)，反比例函數(shù)和正比例函數(shù)，平行四邊形的判定，解方程，有一定的難度。2題.3.分析：連接OA，作AC⊥y軸于C點(diǎn)，由于AB⊥x軸，則AB∥OP，根據(jù)同底等高的三角形面積相等得到S△OAB=S△PAB=1，則有S矩形ABOC=2S△OAB=2，根據(jù)k的幾何意義得到|k|=2，即k=2或k=-2，然后根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)即可得到k=-2．

解答：連接OA，作AC⊥y軸于C點(diǎn)，如圖

∵AB⊥x軸，

∴AB∥OP，

∴S△OAB=S△PAB=1，

∴S矩形ABOC=2S△OAB=2，

∴|k|=2，即k=2或k=-2，

∵反比例函數(shù)圖象過第二象限，

∴k=-2．

故答案為-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)y=（k≠0）系數(shù)k的幾何意義：從反比例函數(shù)y=（k≠0）圖象上任意一點(diǎn)向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標(biāo)軸所圍成的矩形面積為|k|。4.解析:設(shè)OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5=a則A5的坐標(biāo)為(5a,0),P5的橫坐標(biāo)為5aP5在y=2/x的圖象上，滿足方程所以P5的縱坐標(biāo)為所以S5==。5.【答案】分析：根據(jù)兩函數(shù)的對(duì)稱性和圓的對(duì)稱性，將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為一個(gè)圓的面積來解．

解答：解：由題意得，圖中陰影部分的面積即為一個(gè)圓的面積．

⊙A和x軸y軸相切，

因而A到兩軸的距離相等，即橫縱坐標(biāo)相等，

設(shè)A的坐標(biāo)是（a，a），

點(diǎn)A在函數(shù)y=的圖象上，因而a=1．

故陰影部分的面積等于π．

故答案為：π．

點(diǎn)評(píng)：能夠觀察到陰影部分的面積是圓面積，是解決本題的關(guān)鍵。6.答案分析：作P1C⊥y軸于C，P2D⊥x軸于D，P3E⊥x軸于E，P3F⊥P2