第九章常微分方程初值問題的數(shù)值解法

1§1預(yù)備知識(shí)：一,向量的內(nèi)積第九章常微分方程初值問題的數(shù)值解法§1引言稱為一個(gè)一階的常微分方程.這里y(x)是x的函數(shù).§1預(yù)備知識(shí)一向量的內(nèi)積1,,內(nèi)積的定義一個(gè)一階的常微分方程的解是一族函數(shù)(帶有任意常數(shù)).如果對(duì)上述方程再加上一個(gè)初始條件:稱為一個(gè)一階的常微分方程的初值問題.例:2微分方程初值問題數(shù)值解法的特點(diǎn)：2,內(nèi)積的運(yùn)算常微分方程初值問題解的存在唯一性定理:以后我們總假定給出的方程都滿足該定理的條件.先把方程離散化,即在區(qū)間[a,b]中插入一些節(jié)點(diǎn)(通常采用等距節(jié)點(diǎn))然后在這些節(jié)點(diǎn)上求出解函數(shù)在這些節(jié)點(diǎn)上的近似值因此微分方程的數(shù)值解的結(jié)果不是一個(gè)近似函數(shù),而是一組數(shù)據(jù),即一個(gè)數(shù)據(jù)表.33,向量的長度一由泰勒展開導(dǎo)出歐拉方法

設(shè)y(x)的二階導(dǎo)數(shù)連續(xù),則對(duì)其做二階的泰勒展開3,向量的長度記為:§2歐拉方法這個(gè)方法稱為歐拉方法,其幾何意義就是用折線近似曲線.其截?cái)嗾`差為顯然h越小精度越高.但同時(shí)計(jì)算步驟越多.由于其精度是O(h),所以又稱其是一階的方法.4向量的單位化向量的單位化二由數(shù)值微分導(dǎo)出歐拉方法三由數(shù)值積分導(dǎo)出歐拉方法5二,正交向量組1,向量的正交由泰勒展開已知,歐拉方法的局部截?cái)嗾`差為所以歐拉方法是收斂的.二正交向量組1,向量的正交四歐拉方法的誤差現(xiàn)在進(jìn)一步討論歐拉方法的整體截?cái)嗾`差;62,正交向量組定理12,正交向量組五歐拉方法的改進(jìn)1.改進(jìn)的泰勒方法這個(gè)方法稱二階泰勒方法7正交規(guī)范向量組(1)定義這個(gè)方法稱為梯形方法.把梯形方法和歐拉方法結(jié)合可得到改進(jìn)歐拉方法(預(yù)估-校正法)正交規(guī)范向量組(1)定義2.梯形方法和改進(jìn)歐拉方法或者把兩式結(jié)合起來寫成:8(2)向量組的規(guī)范正交化施密特正交化例基本思想:對(duì)泰勒展開中的各階導(dǎo)數(shù),用數(shù)值微分公式近似代替.§3龍格-庫塔方法適當(dāng)選擇參數(shù)使這種方法稱為p階R-K法.9(2)向量組的規(guī)范正交化施密特正交化例現(xiàn)以二階方法為例,討論如何選取參數(shù)使做二元函數(shù)的泰勒展開代入以后整理得分別比較h的各次冪的系數(shù),可得非線性方程組這個(gè)方程組有無窮多解.任一組解都對(duì)應(yīng)一種二階R-K法.如:就是改進(jìn)歐拉方法再做一元函數(shù)的泰勒展開10三,正交矩陣二關(guān)于步長的選取和誤差的事后估計(jì)步長h越小,截?cái)嗾`差也就越小,但會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量的增加和計(jì)算誤差的增大,所以要根據(jù)事先給定的精度要求選取適當(dāng)?shù)牟介L現(xiàn)設(shè)以h為步長,用p階方法來計(jì)算,則誤差為再以h/2為步長,用同樣的方法來計(jì)算,則誤差為11

由此可得這是一個(gè)誤差的事后估計(jì)式,由此可以選取適當(dāng)?shù)牟介L.由這個(gè)誤差估計(jì)式,我們還可以得到一種加速公式

稱為Richardson方法12本節(jié)要求§4線性多步法線性多步法的基本原理是基于數(shù)值積分.對(duì)于初值問題兩邊積分再對(duì)右端的積分應(yīng)用數(shù)值積分(用函數(shù)值的線性組合來近似積分)13

當(dāng)r=0時(shí),稱為單步法,這恰好就是歐拉方法.§2方陣的特征值與特征向量(一)基本改概念當(dāng)r=1時(shí),稱為二步法,其局部截?cái)嗾`差為.當(dāng)r=2時(shí),稱為三步法,其局部截?cái)嗾`差為Adams線性多步法的特點(diǎn):對(duì)任意的2.Adams線性多步法的截?cái)嗾`差的來源是數(shù)值積分的截?cái)嗾`差,

而數(shù)值積分的截?cái)嗾`差來源于插值誤差,因此阿達(dá)姆斯方法的的局部截?cái)嗾`差是3.Adams線性多步法與Runge-Kutta法比較,R-K每提高一階精度至少需要多計(jì)算一個(gè)函數(shù)值;而線性多步法每提高一階精度只需多用一個(gè)已知的數(shù)據(jù),所以從這個(gè)角度看計(jì)算量較小,

但線性多步法必須在單步法的基礎(chǔ)上做.所以在實(shí)際計(jì)算時(shí)常常把兩者相結(jié)合.14

§5一階常微分方程組與高階常微分方程的數(shù)值解法稱為一個(gè)一階常微分方程組.用向量記號(hào)可記為:與一階常微分方程有非常類似的形式15例稱為一個(gè)n階常微分方程.對(duì)于一個(gè)n階常微分方程,可以通過變換,化為一階常微分方程組.令:所以下面主要討論一階常微分方程組的解法.