（三年模擬一年創(chuàng)新）高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第八章 第二節(jié) 空間幾何體的表面積和體積 理（全國(guó)通用）-人教版高三全冊(cè)數(shù)學(xué)試題

eq\a\vs4\al\co1(第二節(jié)空間幾何體的表面積和體積)A組專項(xiàng)基礎(chǔ)測(cè)試三年模擬精選一、選擇題1.(2015·山東萊蕪模擬)某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則正視圖中的x的值是()A．2 B.eq\f(9,2)C.eq\f(3,2) D．3解析根據(jù)三視圖判斷幾何體為四棱錐，其直觀圖是：V＝eq\f(1,3)×eq\f(1＋2,2)×2x＝3?x＝3.故選D.答案D2．(2015·安徽安慶模擬)一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為m，表面積為n，一個(gè)球的半徑為p，表面積為q.若eq\f(m,p)＝2，則eq\f(n,q)＝()A.eq\f(8,π) B.eq\f(6,π) C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,8)解析由題意可以得到n＝6m2，q＝4πp2，所以eq\f(n,q)＝eq\f(6m2,4πp2)＝eq\f(3,2π)×4＝eq\f(6,π)，故選B.答案B3．(2014·合肥一模)某一幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A．54 B．58 C．60 D．63解析由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)棱長(zhǎng)為3的正方體截去一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為1，1，3的長(zhǎng)方體，所以該幾何體的表面積S表＝6×32＋2×1×3＝60.答案C4．(2014·浙江寧波質(zhì)檢)某幾何體的三視圖如圖所示，它的體積為()A．72π B．48π C．30π D．24π解析由三視圖可知，該幾何體是半個(gè)球體和一個(gè)倒立圓錐體的組合體，球的半徑為3，圓錐的底面半徑為3，高為4，則根據(jù)體積公式可得幾何體的體積為30π，故選C.答案C二、填空題5．(2014·山東德州一模)圓柱形容器的內(nèi)壁底半徑是10cm，有一個(gè)實(shí)心鐵球浸沒于容器的水中，若取出這個(gè)鐵球，測(cè)得容器的水面下降了eq\f(5,3)cm，則這個(gè)鐵球的表面積為______cm2.解析設(shè)實(shí)心鐵球的半徑為R，則eq\f(4π,3)R3＝π×102×eq\f(5,3)，得R＝5cm，故這個(gè)鐵球的表面積為S＝4πR2＝100π(cm2)．答案100π一年創(chuàng)新演練6．已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中，正視圖、側(cè)視圖均是由三角形與半圓構(gòu)成的，俯視圖由圓與內(nèi)接三角形構(gòu)成，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)可得此幾何體的體積為()A.eq\f(\r(2)π,3)＋eq\f(1,6) B.eq\f(4π,3)＋eq\f(1,6)C.eq\f(\r(2)π,6)＋eq\f(1,6) D.eq\f(2π,3)＋eq\f(1,2)解析據(jù)三視圖可知，該幾何體是一個(gè)半球(下部)與一個(gè)四面體(上部)的組合體，其直觀圖如圖所示，其中BA，BC，BP兩兩垂直，且BA＝BC＝BP＝1，∴(半)球的直徑長(zhǎng)為AC＝eq\r(2)，∴該幾何體的體積為V＝V半球＋VP-ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AC,2)))eq\s\up12(3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×BA·BC·PB＝eq\f(\r(2)π,6)＋eq\f(1,6).答案CB組專項(xiàng)提升測(cè)試三年模擬精選一、選擇題7.(2015·湖北七州模擬)某個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(其中正視圖中的圓弧是半徑為2的半圓)，則該幾何體的表面積為()A．92＋24πB．82＋24πC．92＋14πD．82＋14π解析該幾何體是個(gè)半圓柱與長(zhǎng)方體的組合體，直觀圖如圖，表面積為S＝5×4＋2×4×4＋2×4×5＋2π×5＋π×22＝92＋14π.答案C8.(2014·山東濰坊一中月考)四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示，四棱錐P-ABCD的五個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，E，F(xiàn)分別是棱AB，CD的中點(diǎn)，直線EF被球面所截得的線段長(zhǎng)為2eq\r(2)，則該球的表面積為()A．12π B．24π C．36π D．48π解析將三視圖還原為直觀圖如圖，可得四棱錐P-ABCD的五個(gè)頂點(diǎn)位于同一個(gè)正方體的頂點(diǎn)處，且與該正方體內(nèi)接于同一個(gè)球，且該正方體的棱長(zhǎng)為a.設(shè)外接球的球心為O，則O也是正方體的中心，設(shè)EF的中點(diǎn)為G，連接OG，OA，AG.根據(jù)題意，直線EF被球面所截得的線段長(zhǎng)為2eq\r(2)，即正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)也是2eq\r(2)，可得AG＝eq\r(2)＝eq\f(\r(2),2)a，所以正方體的棱長(zhǎng)a＝2，在Rt△OGA中，OG＝eq\f(1,2)a＝1，AO＝eq\r(3)，即四棱錐P-ABCD的外接球半徑R＝eq\r(3)，從而得外接球表面積為4πR2＝12π，故選A.答案A二、填空題9．(2014·山東聊城4月)用6根木棒圍成一個(gè)棱錐，已知其中有兩根的長(zhǎng)度為eq\r(3)cm和eq\r(2)cm，其余四根的長(zhǎng)度均為1cm，則這樣的三棱錐的體積為________cm3.解析由題意知該幾何體如圖所示，SA＝SB＝SC＝BC＝1，AB＝eq\r(2)，AC＝eq\r(3)，則∠ABC＝90°，取AC的中點(diǎn)O，連接SO、OB，則SO⊥AC，所以SO＝eq\r(SA2－AO2)＝eq\f(1,2)，OB＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(\r(3),2)，又SB＝1，所以SO2＋OB2＝SB2，所以∠SOB＝90°，又SO⊥AC，所以SO⊥底面ABC，故所求三棱錐的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),12).答案eq\f(\r(2),12)三、解答題10.(2014·陽泉月考)已知某幾何體的俯視圖是如右圖所示的矩形，正視圖(或稱主視圖)是一個(gè)底邊長(zhǎng)為8，高為4的等腰三角形，側(cè)視圖(或稱左視圖)是一個(gè)底邊長(zhǎng)為6、高為4的等腰三角形．(1)求該幾何體的體積V；(2)求該幾何體的側(cè)面積S.解由題設(shè)可知，幾何體是一個(gè)高為4的四棱錐，其底面是長(zhǎng)、寬分別為8和6的矩形，正側(cè)面及其相對(duì)側(cè)面均為底邊長(zhǎng)為8，高為h1的等腰三角形，左、右側(cè)面均為底邊長(zhǎng)為6，高為h2的等腰三角形，如圖所示．(1)幾何體的體積為：V＝eq\f(1,3)·S矩形·h＝eq\f(1,3)×6×8×4＝64.(2)正側(cè)面及相對(duì)側(cè)面底邊上的高為h1＝eq\r(42＋32)＝5.左、右側(cè)面的底邊上的高為h2＝eq\r(42＋42)＝4eq\r(2).故幾何體的側(cè)面面積為：S＝2×(eq\f(1,2)×8×5＋eq\f(1,2)×6×4eq\r(2))＝40＋24eq\r(2).11.(2014·煙臺(tái)調(diào)研)正三棱錐的高為1，底面邊長(zhǎng)為2eq\r(6)，內(nèi)有一個(gè)球與它的四個(gè)面都相切(如圖)．求：(1)這個(gè)正三棱錐的表面積；(2)這個(gè)正三棱錐內(nèi)切球的表面積與體積．解(1)底面正三角形中心到一邊的距離為eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×2eq\r(6)＝eq\r(2)，則正棱錐側(cè)面的斜高為eq\r(12＋（\r(2)）2)＝eq\r(3).∴S側(cè)＝3×eq\f(1,2)×2eq\r(6)×eq\r(3)＝9eq\r(2).∴S表＝S側(cè)＋S底＝9eq\r(2)＋eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)×(2eq\r(6))2＝9eq\r(2)＋6eq\r(3).(2)設(shè)正三棱錐P-ABC的內(nèi)切球球心為O，連接OP，OA，OB，OC，而O點(diǎn)到三棱錐的四個(gè)面的距離都為球的半徑r.∴VP-ABC＝VO-PAB＋VO-PBC＋VO-PAC＋VO-ABC＝eq\f(1,3)S側(cè)·r＋eq\f(1,3)S△ABC·r＝eq\f(1,3)S表·r＝(3eq\r(2)＋2eq\r(3))r.又VP-ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)×(2eq\r(6))2×1＝2eq\r(3)，∴(3eq\r(2)＋2eq\r(3))r＝2eq\r(3)，得r＝eq\f(2\r(3),3\r(2)＋2\r(3))＝eq\f(2\r(3)（3\r(2)－2\r(3)）,18－12)＝eq\r(6)－2.∴S內(nèi)切球＝4π(eq\r(6)－2)2＝(40－16eq\r(6))π.V內(nèi)切球＝eq\f(4,3)π(eq\r(6)－2)3＝eq\f(8,3)(9eq\r(6)－22)π.一年創(chuàng)新演練12．如圖所示，在邊長(zhǎng)為5＋eq\r(2)的正方形ABCD中，以A為圓心畫一個(gè)扇形，以O(shè)為圓心畫一個(gè)圓，M，N，K為切點(diǎn)，以扇形為圓錐的側(cè)面，以圓O為圓錐底面，圍成一個(gè)圓錐，求圓錐的表面積與體積．解設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為