線性系統(tǒng)理論(Chapter6)

1第六章線性反饋系統(tǒng)的時(shí)間域綜合6.1引言6.2狀態(tài)反饋和輸出反饋6.3狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置：?jiǎn)屋斎肭樾?.4輸出反饋極點(diǎn)配置6.5狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定6.6

跟蹤控制和擾動(dòng)控制6.7線性二次型最優(yōu)控制：有限時(shí)間情形6.8線性二次型最優(yōu)控制：無限時(shí)間情形6.9全維狀態(tài)觀測(cè)器6.10降維狀態(tài)觀測(cè)器6.11Kx-函數(shù)觀測(cè)器6.12基于觀測(cè)器的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的特性6.13小結(jié)和評(píng)述2023最新整理收集do

something2概述綜合與分析相反，已知的是系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，以及所期望的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)形式或其某些特征，用來確定需要施加于系統(tǒng)的外輸入作用即控制作用的規(guī)律本章以狀態(tài)空間描述和狀態(tài)空間方法為基礎(chǔ)，主要在時(shí)間域內(nèi)討論線性反饋系統(tǒng)的綜合問題。返回36.1引言綜合問題的提法給定系統(tǒng)和期望的性能指標(biāo)，綜合就是尋找一控制作用u，使得其作用下系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的行為滿足所給出的期望性能指標(biāo)。狀態(tài)反饋控制輸出反饋控制u=-Kx+v狀態(tài)反饋系統(tǒng)u=-Fy+v輸出反饋系統(tǒng)4

性能指標(biāo)的類型非優(yōu)化型性能指標(biāo)鎮(zhèn)定問題：以漸近穩(wěn)定作為性能指標(biāo)極點(diǎn)配置問題：以一組期望的閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)作為性能指標(biāo)解耦控制問題：使一個(gè)多輸入-多輸出系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)“一個(gè)輸入只控制一個(gè)輸出”作為性能指標(biāo)跟蹤問題：系統(tǒng)的輸出y無靜差地跟蹤一個(gè)外部信號(hào)y0(t)作為性能指標(biāo)優(yōu)化型性能指標(biāo)二次型積分性能指標(biāo)確定一個(gè)控制u*(?)，使J(u*(?))取極小值，通常，u*(?)稱最優(yōu)控制，J(u*(?))稱最優(yōu)性能。5

研究綜合問題的思路建立可綜合條件指相對(duì)于給定的受控系統(tǒng)和給定的期望性能指標(biāo)，使相應(yīng)的控制存在并實(shí)現(xiàn)綜合目標(biāo)所應(yīng)滿足的條件。建立相應(yīng)的用以綜合控制規(guī)律的算法對(duì)滿足可綜合條件的問題，確定出滿足要求的控制律。

工程實(shí)現(xiàn)中的一些理論問題狀態(tài)反饋物理構(gòu)成問題系統(tǒng)模型的不準(zhǔn)確和參數(shù)攝動(dòng)問題對(duì)外部擾動(dòng)的影響的抑制問題返回66.2狀態(tài)反饋和輸出反饋狀態(tài)反饋和輸出反饋的構(gòu)成Go(s)=C(sI-A)-1B狀態(tài)反饋輸出反饋7

狀態(tài)反饋和輸出反饋系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性證明：I.狀態(tài)反饋系統(tǒng)∑xf能控的充要條件是受控系統(tǒng)∑0能控。

Qc=[B|AB|…|An-1B]QcK=[B|(A-BK)B|

…||(A-BK)n-1B]結(jié)論6.1狀態(tài)反饋的引入，不改變系統(tǒng)的能控性。結(jié)論6.2狀態(tài)反饋的引入，可能改變系統(tǒng)的能觀測(cè)性。另一方面，∑0也可看作∑xf的狀態(tài)反饋系統(tǒng)綜上，8II.狀態(tài)反饋系統(tǒng)不一定能保持能觀測(cè)性舉例說明，系統(tǒng)所以系統(tǒng)能觀測(cè)加入狀態(tài)反饋，K=[05]，則所以狀態(tài)反饋可能改變系統(tǒng)的能觀測(cè)性9結(jié)論6.3輸出反饋的引入能同時(shí)不改變系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性，即輸出反饋系統(tǒng)∑

yf為能控(能觀測(cè))的充分必要條件是受控系統(tǒng)∑0為能控(能觀測(cè))。

狀態(tài)反饋和輸出反饋的比較輸出反饋為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)信息的不完全反饋，改善措施是采用動(dòng)態(tài)輸出反饋系統(tǒng)狀態(tài)反饋通常不可直接量測(cè)，改善措施是引入狀態(tài)觀測(cè)器返回106.3狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置：?jiǎn)屋斎肭樾螁栴}的提法線性定常受控系統(tǒng)給定期望的閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置問題就是對(duì)給定的受控系統(tǒng)，確定狀態(tài)反饋控制u=-Kx+v，v為參考輸入，即確定狀態(tài)反饋增益矩陣K，使得導(dǎo)出的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為，即11期望閉環(huán)極點(diǎn)組的性能指標(biāo)屬性，聯(lián)系控制理論和控制工程控制工程中基本類型性能指標(biāo)時(shí)間域性能指標(biāo)：?jiǎn)挝浑A躍響應(yīng)定義超調(diào)量s=響應(yīng)曲線第一次越過穩(wěn)態(tài)值達(dá)到峰點(diǎn)時(shí)超調(diào)部分與穩(wěn)態(tài)值之比過渡過程時(shí)間ts=響應(yīng)曲線最終進(jìn)入穩(wěn)態(tài)值

5%(或2%)范圍而不再躍出的時(shí)間上升時(shí)間tr=響應(yīng)曲線首次從穩(wěn)態(tài)值10%過渡到穩(wěn)態(tài)值90%所需時(shí)間延遲時(shí)間td=響應(yīng)曲線首次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值50%所需時(shí)間峰值時(shí)間tp=響應(yīng)曲線第一次達(dá)到峰點(diǎn)時(shí)間

期望閉環(huán)極點(diǎn)組12頻率域性能指標(biāo)：頻率響應(yīng)幅頻特性定義諧振峰值Mr=幅頻特性曲線達(dá)到峰點(diǎn)的值諧振角頻率wr=幅頻特性曲線峰值點(diǎn)對(duì)應(yīng)角頻率值截止角頻率wcc=幅頻特性曲線值為0.707處對(duì)應(yīng)角頻率值二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)關(guān)系式典型二階單輸入單輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)T：時(shí)間常數(shù)；0

z<1為阻尼系數(shù)13系統(tǒng)特征方程根為共軛復(fù)數(shù)wn

=1/T為自然角頻率超調(diào)量過渡過程時(shí)間上升時(shí)間峰值時(shí)間諧振峰值諧振角頻率截止角頻率14基本類型性能指標(biāo)和期望閉環(huán)極點(diǎn)組的主導(dǎo)極點(diǎn)對(duì)的關(guān)系根據(jù)控制工程要求查典型二階系統(tǒng)曲線可得主導(dǎo)極點(diǎn)對(duì)期望閉環(huán)極點(diǎn)組的確定n個(gè)期望閉環(huán)極點(diǎn)的構(gòu)成：指定工程型性能指標(biāo)，基此定出參數(shù)T和z構(gòu)成主導(dǎo)極點(diǎn)對(duì)；在左半開s平面選取其余(n-2)個(gè)期望閉環(huán)極點(diǎn)，區(qū)域右端點(diǎn)離虛軸距離至少等于主導(dǎo)極點(diǎn)對(duì)離虛軸距離的4~6倍。15

極點(diǎn)配置定理結(jié)論6.4線性時(shí)不變系統(tǒng)可通過線性狀態(tài)反饋任意地配置其全部極點(diǎn)的充要條件是此系統(tǒng)為完全能控。具體問題中，盡管系統(tǒng)不完全能控，但若系統(tǒng)不能控部分特征值屬于期望閉環(huán)特征值，那么仍能配置系統(tǒng)的全部閉環(huán)極點(diǎn)16

極點(diǎn)配置算法給定矩陣對(duì){A,b}和期望閉環(huán)特征值，確定反饋增益矩陣k，使成立計(jì)算A的特征多項(xiàng)式計(jì)算決定的多項(xiàng)式判斷(A，b)的能控性？YN結(jié)束17

計(jì)算

計(jì)算變換陣

計(jì)算Q=P-1

求增益陣?yán)祷?8

狀態(tài)反饋對(duì)系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣零點(diǎn)的影響

單輸入單輸出系統(tǒng)能控變換其中傳遞函數(shù)19其中傳遞函數(shù)若期望的閉環(huán)極點(diǎn)，則能控變換結(jié)論6.11一般意義下，引入狀態(tài)反饋雖能使g(s)的極點(diǎn)移動(dòng)位置，但卻不影響g(s)的零點(diǎn)。如果某些極點(diǎn)在狀態(tài)反饋引入后被移動(dòng)到與g(s)零點(diǎn)相重和的位置而構(gòu)成對(duì)消，則狀態(tài)反饋就影響了零點(diǎn)，同時(shí)造成被對(duì)消的那些極點(diǎn)(即振型)成為不可觀測(cè)。206.4輸出反饋極點(diǎn)配置結(jié)論6.13輸出反饋不能任意地配置系統(tǒng)的全部極點(diǎn)

考慮單輸入單輸出系統(tǒng)，輸出反饋的傳遞函數(shù)

特征多項(xiàng)式令反饋系統(tǒng)的極點(diǎn)方程所以，閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)只能分布于以開環(huán)極點(diǎn)為始點(diǎn)開環(huán)零點(diǎn)為終點(diǎn)的反饋增益f=0→∞和f=0→-∞時(shí)導(dǎo)出的一組根軌跡線段上。結(jié)論6.1421結(jié)論6.15對(duì)能控能觀測(cè)的受控系統(tǒng){A,B,C}，系統(tǒng)維數(shù)為n，且rankB=p和rankC=q，則采用非動(dòng)態(tài)線性輸出反饋u=-Fy+v，可對(duì)數(shù)目為min{n，p+q-1}個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)進(jìn)行“任意地接近”式配置，即可使它們?nèi)我獾亟咏谥付ǖ钠谕麡O點(diǎn)位置。引入輸出反饋的同時(shí)，附加引入補(bǔ)償器，那么通過適當(dāng)選取和綜合補(bǔ)償器的結(jié)構(gòu)和特性，將可對(duì)所導(dǎo)出的輸出反饋系統(tǒng)的全部極點(diǎn)進(jìn)行任意配置。返回226.5狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定問題的提法線性時(shí)不變受控系統(tǒng)如果可以找到狀態(tài)反饋控制律

u=-Kx+v，v為參考輸入使得通過反饋構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)

x=(A-BK)x+Bv是漸近穩(wěn)定的，也即特征值均具有負(fù)實(shí)部，則稱系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定。鎮(zhèn)定問題屬性：極點(diǎn)區(qū)域配置問題23

可鎮(zhèn)定條件結(jié)論6.16線性時(shí)不變系統(tǒng)是由狀態(tài)反饋可鎮(zhèn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)其不能控部分是漸近穩(wěn)定的。證明：由{A,B}為不完全能控，引入線性非奇異變換對(duì)任意K=[K1,K2]可導(dǎo)出原題得證24算法6.5對(duì)，求出約當(dāng)規(guī)范形其中，計(jì)算鎮(zhèn)定反饋增益矩陣返回結(jié)論6.17線性時(shí)不變系統(tǒng)可由狀態(tài)反饋可鎮(zhèn)定的充分條件是系統(tǒng)為完全能控。判斷(A，B)的能控性？NY多輸入極點(diǎn)配置計(jì)算K對(duì)用極點(diǎn)配置算法，計(jì)算256.6跟蹤控制和擾動(dòng)控制問題的提法同時(shí)作用控制輸入和外部擾動(dòng)的系統(tǒng)能控能觀測(cè)。找到適當(dāng)?shù)目刂埔?guī)律u，實(shí)現(xiàn)使受控系統(tǒng)的輸出y(t)能跟蹤參考信號(hào)y0(t)的問題，為跟蹤問題。e(t)=y0(t)-y(t)無靜差跟蹤：漸近跟蹤：擾動(dòng)抑制：26參考輸入和擾動(dòng)的信號(hào)模型認(rèn)為在未知的初始狀態(tài)下參考信號(hào)y0(t)是由其模型產(chǎn)生的，擾動(dòng)w(t)也是由其模型所產(chǎn)生的。fr(s)和fw(s)分別是Ar和Aw的最小多項(xiàng)式，f(s)是fr(s)和fw(s)的位于右半閉s平面上的根因式的最小公倍式：則下述動(dòng)態(tài)系統(tǒng)為研究跟蹤問題中對(duì)y0(t)和w(t)所建立的信號(hào)模型27

無靜差跟蹤控制系統(tǒng)受控系統(tǒng)和信號(hào)模型串聯(lián)取狀態(tài)反饋控制律28結(jié)論6.28上圖受控系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)無靜差跟蹤的充分條件是(i)dim(u)

dim(y)；(ii)對(duì)f(s)=0的每一個(gè)根li，成立

更一般的無靜差跟蹤控制系統(tǒng)，伺服補(bǔ)償器：線性時(shí)不變，為控制系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)漸近跟蹤和擾動(dòng)抑制提供機(jī)理保證鎮(zhèn)定補(bǔ)償器：靜態(tài)狀態(tài)反饋，使控制系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)漸近穩(wěn)定29內(nèi)模：在伺服補(bǔ)償器中“植入”參考輸入y0(t)和擾動(dòng)信號(hào)w(t)的共同不穩(wěn)定模型，組成無靜差跟蹤控制系統(tǒng)。這種置于系統(tǒng)內(nèi)部的外部信號(hào)模型稱為“內(nèi)?！眱?nèi)模原理：基于y0(t)和w(t)共同不穩(wěn)定模型即內(nèi)模實(shí)現(xiàn)無靜差跟蹤的控制機(jī)理為內(nèi)模原理結(jié)論6.29利用內(nèi)模原理來實(shí)現(xiàn)的無靜差跟蹤控制，對(duì)除了內(nèi)模以外的系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)具有很強(qiáng)的魯棒性。返回結(jié)論6.30利用內(nèi)模原理來實(shí)現(xiàn)的無靜差跟蹤控制，內(nèi)模參數(shù)的任何攝動(dòng)都將導(dǎo)致失去無靜差跟蹤屬性。306.7線性二次型最優(yōu)控制：

有限時(shí)間情形LQ(LinearQuadratic)問題LQ最優(yōu)控制問題，就是尋找一個(gè)控制u*(·)，使得系統(tǒng)沿著由指定初態(tài)x0出發(fā)的相應(yīng)軌線x*(·)，其性能指標(biāo)滿足關(guān)系式稱這樣的控制函數(shù)u*(·)為L(zhǎng)Q問題的最優(yōu)控制，x*(·)為相應(yīng)的最優(yōu)軌線，J(u*(·))為最優(yōu)性能值。從數(shù)學(xué)上看，LQ最優(yōu)控制問題是對(duì)J(u(·))泛函，在系統(tǒng)狀態(tài)方程約束下，相對(duì)于u(·)求條件極值的問題。31

有限時(shí)間LQ問題的最優(yōu)解LQ問題tf為有限且固定的值。結(jié)論6.31有限時(shí)間時(shí)變LQ調(diào)節(jié)問題最優(yōu)控制充要條件是u*(t)=-K*(t)x*(t),K*(t)=R-1(t)BT(t)P(t)最優(yōu)軌線x*(t)為下述狀態(tài)方程的解：最優(yōu)性能值為其中，P(t)為黎卡提微分方程正半定對(duì)稱解陣：32結(jié)論6.34有限時(shí)間時(shí)變LQ調(diào)節(jié)問題，最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為結(jié)構(gòu)如左圖。結(jié)論6.38有限時(shí)間時(shí)不變LQ調(diào)節(jié)問題，最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)不再保持時(shí)不變。33結(jié)論6.36有限時(shí)間時(shí)不變LQ調(diào)節(jié)問題，最優(yōu)控制u*(·)必存在且唯一，不依賴于系統(tǒng){A，B}是否為能控。結(jié)論6.35有限時(shí)間時(shí)不變LQ調(diào)節(jié)問題，最優(yōu)控制的充要條件是u*(t)=-K*(t)x*(t),K*(t)=R-1BTP(t)最優(yōu)軌線x*(t)為下述狀態(tài)方程的解：而最優(yōu)性能值其中，P(t)為矩陣?yán)杩ㄌ嵛⒎址匠痰恼攵▽?duì)稱解陣返回346.8線性二次型最優(yōu)控制：

無限時(shí)間情形無限時(shí)間LQ問題的最優(yōu)解tf→∞，{A，B}能控，{A，Q1/2}能觀測(cè)，其相應(yīng)的矩陣?yán)杩ㄌ岱匠虨槠浣怅嘝(t，0，tf)的特性有：

P(0，0，tf)對(duì)一切tf

0有上界，即，對(duì)任意x0≠0，存在不依賴于tf的正實(shí)數(shù)m(0，x0)，使對(duì)一切tf

0成立35P(t，0，∞)必為不依賴于t的常陣，將其記為P，也即成立

P(t，0，∞)=P對(duì)任意t

0，極限存在。P為如下的矩陣?yán)杩ㄌ岽鷶?shù)方程的解陣：

PA+ATP+Q–PBR-1BTP=0P為正定對(duì)稱矩陣。結(jié)論6.39時(shí)不變無限時(shí)間LQ調(diào)節(jié)問題，最優(yōu)控制的充要條件是u*(t)=-K*x*(t),K*(t)=R-1BTP最優(yōu)軌線x*(t)為下述狀態(tài)方程的解：而最優(yōu)性能值其中，P為矩陣?yán)杩ㄌ岽鷶?shù)方程的正定對(duì)稱解陣：36結(jié)論6.40，6.41時(shí)不變無限時(shí)間LQ調(diào)節(jié)問題，其最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)為一狀態(tài)反饋系統(tǒng)，且保持定常性，狀態(tài)反饋增益陣K*=R-1BTP是唯一的，且為常量矩陣。最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為：

穩(wěn)定性和指數(shù)穩(wěn)定性結(jié)論6.42最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)必是大范圍漸近穩(wěn)定的時(shí)不變無限時(shí)間LQ調(diào)節(jié)問題，假定{A，B}能控，R>0，Q>0，或Q

0且{A，Q1/2}能觀測(cè)，則證明：I.Q>0，由解陣P的性質(zhì)，P>0。取李亞普諾夫函數(shù)V(x)=xTPx為正定，有37負(fù)定又因?yàn)?，所以閉環(huán)系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定II.Q

0且(A，Q1/2)為能觀測(cè)。V(x)=xTPx為正定負(fù)半定反證法證明對(duì)一切x00的運(yùn)動(dòng)解x(t)，有0。設(shè)對(duì)某個(gè)x00的x(t)有0，所以xT(t)Qx(t)0，xT(t)PBR-1BTPx(t)00(R-1BTPx(t))TR(R-1BTPx(t))=u*T(t)Ru*(t)0xT(t)Q1/2Q1/2x(t)=[Q1/2x(t)]T[Q1/2x(t)]u*(t)0Q1/2x(t)0與{A，Q1/2}為能觀測(cè)相矛盾，所以有0所以閉環(huán)系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定，證明完成。38引入衰減度后，LQ調(diào)節(jié)問題變?yōu)樵诰C合得到的最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)中，閉環(huán)系統(tǒng)矩陣的所有特征值的實(shí)部均小于-a，引入線性變換轉(zhuǎn)換為無限時(shí)間時(shí)不變LQ調(diào)節(jié)問題39結(jié)論6.43指定衰減度的無限時(shí)間時(shí)不變LQ調(diào)節(jié)問題，最優(yōu)控制的充要條件是u*(t)=-K*x*(t)，K*=R-1BTP最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)為則最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)以a為衰減上限指數(shù)穩(wěn)定，即其中，P為矩陣?yán)杩ㄌ岽鷶?shù)方程的正定對(duì)稱解陣：40

最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的頻率域條件結(jié)論6.44多輸入無限時(shí)間時(shí)不變LQ調(diào)節(jié)問題，最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)，必滿足如下頻率條件：[I+R1/2K*(-jwI-A)-1BR-1/2]T[I+R1/2K*(jwI-A)-1BR-1/2]

I其中等號(hào)只對(duì)有限個(gè)w值成立。結(jié)論6.45單輸入無限時(shí)間時(shí)不變LQ調(diào)節(jié)問題，最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)必滿足如下頻率條件：

|1+k*(jwI-A)-1b|1其中等號(hào)只對(duì)有限個(gè)w值成立。41單輸入情況頻率域條件的幾何解釋|1+g0(jw)|1結(jié)論6.46單輸入時(shí)不變無限時(shí)間LQ調(diào)節(jié)問題，最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的頻率域條件幾何表示為，開環(huán)頻率響應(yīng)g0(jw)=k*(jwI-A)-1b在復(fù)平面上由w=0變化到w=

的曲線必不進(jìn)入單位圓G(-1,j0)內(nèi)，且g0(jw)曲線和單位圓G(-1,j0)只有有限個(gè)相切點(diǎn)。42

最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的魯棒性魯棒性：指當(dāng)受控系統(tǒng)的參數(shù)或反饋增益陣的參數(shù)發(fā)生攝動(dòng)時(shí)，閉環(huán)調(diào)節(jié)系統(tǒng)仍能保持漸近穩(wěn)定的屬性。增益裕度：保持閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的b的變化范圍。相角裕度：g0(jw)當(dāng)w=0→∞的曲線和單位圓的交點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸的夾角。43結(jié)論6.47單輸入無限時(shí)間時(shí)不變LQ調(diào)節(jié)問題，最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)必具有(i)至少±60o的相角裕度；(ii)從1/2到∞的增益裕度。結(jié)論6.48多輸入無限時(shí)間時(shí)不變LQ調(diào)節(jié)問題，取相對(duì)控制輸入加權(quán)陣R=diag{r1，...，rp}，ri>0，則最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的每個(gè)反饋控制回路必具有：(i)至少±60o的相角裕度；(ii)從1/2到∞的增益裕度。多輸入情況44反饋通道中包含非線性攝動(dòng)的魯棒性問題結(jié)論6.49多輸入無限時(shí)間時(shí)不變LQ調(diào)節(jié)問題，最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的反饋通道內(nèi)包含非線性攝動(dòng)F(s)，s=K*x，則當(dāng)其滿足如下扇形條件時(shí)：

k1sTRs

sTRF(s)

k2sTs，

s0其中，1/2<k1<k2，k2<

，閉環(huán)系統(tǒng)為大范圍漸近穩(wěn)定。45

最優(yōu)跟蹤問題最優(yōu)跟蹤問題：就是尋找一個(gè)控制u*(·)，使受控系統(tǒng)

的輸出y跟蹤信號(hào)系統(tǒng)

的輸出的同時(shí)使如下定義的二次型性能指標(biāo)為極小。其中，加權(quán)陣Q為正半定陣，R為正定陣。46結(jié)論6.51受控系統(tǒng)跟蹤信號(hào)系統(tǒng)的相對(duì)于二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制律u*(·)為

u*(t)=-R-1BTPx-R-1BTP12z=-K1*x-K2*z而最優(yōu)性能值為最優(yōu)跟蹤系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如下圖所示。返回黎卡提方程解陣分塊化表示476.9全維狀態(tài)觀測(cè)器狀態(tài)重構(gòu)和狀態(tài)觀測(cè)器重構(gòu)狀態(tài)或估計(jì)狀態(tài)按功能分：函數(shù)觀測(cè)器，狀態(tài)觀測(cè)器，按結(jié)構(gòu)分：全維觀測(cè)器，維數(shù)=原系統(tǒng)降維觀測(cè)器，維數(shù)<原系統(tǒng)48

全維狀態(tài)觀測(cè)器：綜合方案I考慮n維線性時(shí)不變系統(tǒng)狀態(tài)x不能直接加以量測(cè)。則以y和u為輸入，其輸出滿足如下關(guān)系式的n維線性時(shí)不變系統(tǒng)稱為全維狀態(tài)觀測(cè)器。

方法I：49結(jié)論6.56n維線性時(shí)不變系統(tǒng)是能觀測(cè)的，即若{A，C}為能觀測(cè)，則必可采用由上圖所表述的全維觀測(cè)器來重構(gòu)其狀態(tài)，并且必可通過選擇增益陣L而任意配置(A-LC)的全部特征值。證明：由對(duì)偶原理，{A，C}能觀測(cè)，必有{AT，CT}能控。對(duì)任意給定的n個(gè)特征值{l1*,…，ln*}，必可找到實(shí)常陣K，使L=KT原題得證結(jié)論6.52結(jié)論6.5350算法6.9：被估計(jì)系統(tǒng)，{A，C}能觀測(cè)，期望極點(diǎn)為{l1*,…，ln*}，設(shè)計(jì)全維觀測(cè)器導(dǎo)出對(duì)偶系統(tǒng){AT，CT，BT}用極點(diǎn)配置方法對(duì){AT，CT}確定K，使取L=KT所設(shè)計(jì)的全維狀態(tài)觀測(cè)器為例設(shè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為

試設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)觀測(cè)器，使觀測(cè)器極點(diǎn)為-10，-10。解希望的特征多項(xiàng)式觀測(cè)器方程原系統(tǒng)及其狀態(tài)觀測(cè)器結(jié)構(gòu)圖如下-------53能控能觀測(cè)系統(tǒng)其全維狀態(tài)觀測(cè)器可取為：結(jié)論6.57任意x0，z0和u，上述全維觀測(cè)器實(shí)現(xiàn)的充要條件是(1)TA–FT=GC，T為非奇異

(2)H=TB(3)li(F)，i=1，…

，n，均具有負(fù)實(shí)部。結(jié)論6.58設(shè)A和F不具有公共特征值，li(F)均具有負(fù)實(shí)部，則方程TA–FT=GC存在非奇異解T的必要條件是{A，C}能觀測(cè)，{F，G}能控。結(jié)論6.59對(duì)于單輸出情形，這個(gè)條件是充要條件。

全維狀態(tài)觀測(cè)器：綜合方案II54算法6.10：系統(tǒng){A，B，C}能觀測(cè)，l*i

lj(A)，i，j=1，...，n，設(shè)計(jì)全維觀測(cè)器計(jì)算計(jì)算55選取G，使{F，G}能控求解TA–FT=GC，定出唯一解陣T計(jì)算H=TB，所設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測(cè)器為估計(jì)狀態(tài)T非奇異?YN任取n×n非奇異矩陣S，計(jì)算F=SF0S-1q?=1>1返回566.10降維狀態(tài)觀測(cè)器n維線性定常系統(tǒng){A，C}能觀測(cè)，rankC=q，則降維觀測(cè)器最小維數(shù)為n-q。同時(shí)，降維觀測(cè)器抗噪能力低于全維狀態(tài)觀測(cè)器降維狀態(tài)觀測(cè)器的基本特性降維狀態(tài)觀測(cè)器：綜合方案I基本思路是在利用輸出y的基礎(chǔ)上，對(duì)n-q維分狀態(tài)構(gòu)造全維狀態(tài)觀測(cè)器

算法6.11：選取非奇異，計(jì)算因?yàn)镻Q=In，所以CQ1=Iq，CQ2=0結(jié)論6.60，6.6157引入變換，導(dǎo)出下式，所以重構(gòu)的僅是(n-q)維分狀態(tài)結(jié)論6.63計(jì)算極點(diǎn)配置綜合陣，使成立取58綜合得到降維狀態(tài)觀測(cè)器59n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，{A，C}能觀測(cè)，rankC=q。其降維狀態(tài)觀測(cè)器取為的條件是結(jié)論6.67上述(n-q)降維觀測(cè)器實(shí)現(xiàn)的充要條件是存在使為非奇異的(n-q)

n滿秩陣T，成立(1)TA–FT=GC(2)H=TB(3)F特征值li(F)，i=1,…,n-q，均具有負(fù)實(shí)部。估計(jì)狀態(tài)為降維狀態(tài)觀測(cè)器：綜合方案II60結(jié)論6.68設(shè)A和F不具有公共特征值，則方程TA–FT=GC存在滿秩解陣T使為非奇異的必要條件是{A，C}能觀測(cè)，{F，G}能控。對(duì)于單輸出情形，這個(gè)條件也是充分條件。算法6.12：計(jì)算計(jì)算61選取非奇異陣R，計(jì)算F=RF0R-1選取G，使{F，G}能控求解TA–FT=GC，定出唯一解陣T計(jì)算H=TB，所設(shè)計(jì)降維狀態(tài)觀測(cè)器為估計(jì)狀態(tài)P非奇異?YNq?=1>1返回626.11Kx

-函數(shù)觀測(cè)器能控能觀測(cè)系統(tǒng)以Kx為重構(gòu)目標(biāo)的函數(shù)觀測(cè)器可取為：

結(jié)論6.70成為Kx-函數(shù)觀測(cè)器的充要條件為(1)TA–FT=GC，T為m

n實(shí)常陣(2)H=TB(3)F的全部特征值均具有負(fù)實(shí)部。(4)MT+NC=K函數(shù)觀測(cè)器的目標(biāo)為：63

如何確定函數(shù)觀測(cè)器的維數(shù)m

結(jié)論6.71如果K為1

n維常向量，可取m=g–1，g為{A，C}的能觀測(cè)型指數(shù)算法6.13：計(jì)算被估計(jì)系統(tǒng)的能觀測(cè)性指數(shù)g指定函數(shù)觀測(cè)器的特征值，都為具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)或負(fù)實(shí)數(shù)，則取64引入非奇異變換PT=[CT，RT]，rankC=q，R需保證P為非奇異，則，計(jì)算求解組成65求解組成組成并計(jì)算66所設(shè)計(jì)的(g-1)維Kx-函數(shù)觀測(cè)器且成立對(duì)于函數(shù)Kx，函數(shù)觀測(cè)器的最小維數(shù)因具體問題的不同而不同。若p

n陣K為秩1的，即rankK=1，表K=rK1，其中r為p1，K1為1

n常向量，同樣可取g–1維函數(shù)觀測(cè)器重構(gòu)Kx。算法如上所示。返回676.12基于觀測(cè)器的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的特性基于觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)的組成68

基于觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)的特性令

KB為包含觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)，0和OB分別為受控系統(tǒng)和觀測(cè)器，則它們的維數(shù)之間成立：

dim(KB)=dim(0)+dim(OB)包含觀測(cè)器