2023年高考模擬考數(shù)學試卷1（理）（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE12023年高考數(shù)學模擬考試卷1（理）第Ⅰ卷一、選擇題1．已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z的實部與虛部的和為（

）A．1 B． C． D．〖答案〗D〖解析〗，，故實部與虛部的和為，故選：D.2．已知的定義域為A，集合，若，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗的定義域為A，所以，所以或，①當時，,滿足，所以符合題意；②當時，，所以若，則有或，所以或（舍）③當時，，所以若，則有或（舍），，綜上所述，，故選：B.3．在研究急剎車的停車距離問題時，通常假定停車距離等于反應(yīng)距離（，單位：m）與制動距離（，單位：m）之和.如圖為某實驗所測得的數(shù)據(jù)，其中“KPH”表示剎車時汽車的初速度（單位：km/h）.根據(jù)實驗數(shù)據(jù)可以推測，下面四組函數(shù)中最適合描述，與的函數(shù)關(guān)系的是（

）A．， B．，C．， D．，〖答案〗B〖解析〗設(shè)，.由圖象知，過點，，，，，，，，，，，，，，.作出散點圖，如圖1.由圖1可得，與呈現(xiàn)線性關(guān)系，可選擇用.過點，，，，，，，，，，，，，，.作出散點圖，如圖2.由圖2可得，與呈現(xiàn)非線性關(guān)系，比較之下，可選擇用.故選：B.4．已知函數(shù)則函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．〖答案〗B〖解析〗當，即時，，，令，得，令，得，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，由此得A和C和D不正確；當，即時，，，令，得，令，得，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，由此得B正確；故選：B5．若函數(shù)存在一個極大值與一個極小值滿足，則至少有（

）個單調(diào)區(qū)間.A．3 B．4 C．5 D．6〖答案〗B〖解析〗若函數(shù)存在一個極大值與一個極小值，則至少有3個單調(diào)區(qū)間，若有3個單調(diào)區(qū)間，不妨設(shè)的定義域為，若，其中可以為，可以為，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（若定義域為內(nèi)不連續(xù)不影響總體單調(diào)性），故，不合題意，若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，有，不合題意；若有4個單調(diào)區(qū)間，例如的定義域為，則，令，解得或，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故函數(shù)存在一個極大值與一個極小值，且，滿足題意，此時有4個單調(diào)區(qū)間，綜上所述：至少有4個單調(diào)區(qū)間.故選：B.6．已知實數(shù)x、y滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．2〖答案〗A〖解析〗令，則，由作出可行域如圖，則設(shè)點，其中P在可行域內(nèi)，，由圖可知當P在C點時，直線PD斜率最小，當P在B點時，直線PD斜率不存在，∴∵在上為增函數(shù)，∴當時．故選：A．7．在正方體中，點P在正方形內(nèi)，且不在棱上，則（

）A．在正方形內(nèi)一定存在一點，使得B．在正方形內(nèi)一定存在一點，使得C．在正方形內(nèi)一定存在一點，使得平面平面D．在正方形內(nèi)一定存在一點，使得平面〖答案〗B〖解析〗A、假設(shè)在正方形內(nèi)一定存在一點，使得，作,垂足分別為,連接，則為矩形，且與相交，故,由于，則，這與相交矛盾，故A錯誤；B、假設(shè)P為正方形的中心，Q為正方形的中心，作,垂足分別為,連接，則為矩形，則,且為的中點，連接,則,因為，所以,即，故B正確；C、在正方形內(nèi)一定存在一點，使得平面平面，由于平面平面,平面平面,故,而,則Q在上，這與題意矛盾，C錯誤；D、假設(shè)在正方形內(nèi)一定存在一點，使得平面，平面,則,又平面平面，故,而平面，故平面，由于平面,故重合，與題意不符，故D錯誤，故選∶B8．對于平面上點和曲線，任取上一點，若線段的長度存在最小值，則稱該值為點到曲線的距離，記作.若曲線是邊長為6的等邊三角形，則點集所表示的圖形的面積為（

）A．36 B．C． D．〖答案〗D〖解析〗根據(jù)題意作出點集的區(qū)域如圖陰影所示，其中四邊形，，為矩形且邊長分別為1,6，圓都是以1為半徑的，過點作于，連接,則，，所以則是以為邊長的等邊三角形，矩形的面積，，扇形的面積為，，，所以.故選：D.9．一個宿舍的6名同學被邀請參加一個節(jié)目，要求必須有人去，但去幾個人自行決定．其中甲和乙兩名同學要么都去，要么都不去，則該宿舍同學的去法共有（

）A．15種 B．28種 C．31種 D．63種〖答案〗C〖解析〗若甲和乙兩名同學都去，則去的人數(shù)可能是2人，3人，4人，5人，6人，所以滿足條件的去法數(shù)為種；若甲和乙兩名同學都不去，則去的人數(shù)可能是1人，2人，3人，4人，則滿足條件去法有種；故該宿舍同學的去法共有種．故選：C.10．已知橢圓C的焦點為，過的直線與C交于P，Q兩點，若，則橢圓C的標準方程為（

）A． B．C． D．〖答案〗B〖解析〗如圖，由已知可設(shè)，又因為根據(jù)橢圓的定義，在中由余弦定理得，所以故橢圓方程為：故選：B11．已知函數(shù)，對于任意的，方程恰有一個實數(shù)根，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗方程恰有一個實數(shù)根，等價于函數(shù)的圖象與直線有且僅有1個交點．當?shù)茫?，結(jié)合函數(shù)的圖象可知，，解得：.故選：D12．已知，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．〖答案〗A〖解析〗構(gòu)造，，則，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故，當且僅當時等號成立，因為，所以，當時，等號成立，當時，，所以構(gòu)造，則，當時，，當時，，所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，所以，當且僅當時，等號成立，故，當且僅當時，等號成立，令，則，所以，綜上，故選：.第Ⅱ卷二、填空題13．設(shè)，是x，y軸正方向上的單位向量，，，則向量，的夾角為______．〖答案〗〖解析〗①，②,得，得，，14．已知雙曲線的焦距為，過的右焦點的直線與的兩條漸近線分別交于兩點，為坐標原點，若且，則的漸近線方程為__________.〖答案〗〖解析〗因為，畫出示意圖如圖，設(shè)，因為，則，所以，則，所以.又，所以，所以，根據(jù)，所以.又因為，所以.在直角△AOB中，，所以，化簡得：，所以，則漸近線方程為：，故〖答案〗為:.15．已知數(shù)列滿足首項，，則數(shù)列的前2n項的和為_____________．〖答案〗〖解析〗當為奇數(shù)時，，即，此時為以為首項，公比為3的等比數(shù)列，故，即..故〖答案〗為：.16．在三角形中，，，為的中點，則的最大值為___________.〖答案〗〖解析〗設(shè)，則，因為為的中點，，所以，由三角形三邊關(guān)系可知：且，解得：，在三角形ABD中，由余弦定理得：，在三角形ACD中，由余弦定理得：，因為，所以，解得：，由余弦定理得：，，令，則，當且僅當，即時，等號成立，此時，解得：，因為，故，由于在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故當取得最小值時，取得最大值，此時，.故〖答案〗為：.三、解答題17．（12分）數(shù)列滿足，點在直線上，設(shè)數(shù)列的前n項和為，且滿足，．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）是否存在，使得對任意的，都有．解：（1）點在直線上，所以又，∴，則數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列．∴又當時，得，當，由

①，得

②由①－②整理得：，∵，∴∴，∴數(shù)列是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，故（2）設(shè)，由當時，，當時，，所以當或2時，取得最大值，即取得最大所以存在，2，使得對任意的，都有18．（12分）如圖，將等邊繞邊旋轉(zhuǎn)到等邊的位置，連接．（1）求證：；（2）若是棱上一點，且兩三角形的面積滿足，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：設(shè)是的中點，連接，，由題知：，，則，，又，平面，所以平面，又平面，所以．（2）解：由題知，、、兩兩垂直，以為原點，方向分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖所示，因為，所以，設(shè)，則，則，，，，．所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，設(shè)直線與平面所成的角為，則．所以直線與平面所成角的正弦值為.19．（12分）甲、乙兩位選手參加一項射擊比賽，每位選手各有n個射擊目標，他們擊中每一個目標的概率均為，且相互獨立．甲選手依次對所有n個目標進行射擊，且每擊中一個目標可獲得1顆星；乙選手按規(guī)定的順序依次對目標進行射擊，擊中一個目標后可繼續(xù)對下一個目標進行射擊直至有目標未被擊中時為止，且每擊中一個目標可獲得2顆星．（1）當時，分別求甲、乙兩位選手各擊中3個目標的概率；（2）若累計獲得星數(shù)多的選手獲勝，討論甲、乙兩位選手誰更可能獲勝．解：（1）當時，甲擊中3個目標的概率為，乙擊中3個目標，則前3個目標被擊中，第4個目標未被擊中，其概率為.（2）設(shè)為甲累計獲得的星數(shù)，則，設(shè)為乙累計獲得的星數(shù)，則，設(shè)擊中了m個目標，其中，則甲獲得星數(shù)為m的概率為，所以甲累計獲得星數(shù)為;記，所以，所以,乙獲得星數(shù)為的概率為，當時，，所以乙累計獲得星數(shù)為，記，則，所以，，當時，，當時，，當時，，當時，所以當時，乙更可能獲勝；當時，甲更可能獲勝.20．（12分）已知拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，直線與圓相切．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)不過原點的直線與橢圓相交于不同的兩點A，B，M為線段AB的中點，O為坐標原點，射線OM與橢圓相交于點P，且O點在以AB為直徑的圓上，記，的面積分別為，，求的取值范圍．解：（1）∵拋物線的焦點為，∴，從而①，∵直線與圓相切，∴②，由①②得：，，∴橢圓的方程為：（2）∵M為線段AB的中點，∴，①當直線的斜率不存在時，軸，由題意知，結(jié)合橢圓的對稱性，不妨設(shè)OA所在直線的方程為，得，從而，，②當直線的斜率存在時，設(shè)直線，，由可得：，由可得：（*）∴，，∵O點在以AB為直徑的圓上，∴，即，∴，即，（**）滿足（*）式．∴線段AB的中點，若時，由（**）可得：，此時，若時，射線OM所在的直線方程為，由可得：，，隨著的增大而減小，∵，∴，∴綜上，21．（12分）已知函數(shù)（1）當時，證明:.（2）若有兩個零點且求的取值范圍.（1）證明：當時,,則.當時,,當時,,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,則,故.（2）解：由題意得，則，，從而，，，故，因為，所以，即，設(shè),則.設(shè),則.設(shè),則，由（1）可知在上恒成立,從而在上單調(diào)遞增,故,即在上恒成立,所以在上單調(diào)遞增,所以,即,即的取值范圍為.（二）選考題：請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．22．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標系中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立坐標系，曲線C的極坐標方程為，直線l與曲線C相交于A，B兩點，．（1）求曲線C的直角坐標方程；（2）若，求直線l的斜率．解：（1）∵，則，∴，即，故曲線C的直角坐標方程為.（2）將直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）代入曲線C的直角坐標方程為，得，整理得，設(shè)A，B兩點所對應(yīng)的參數(shù)為，則，∵，則，聯(lián)立，解得，將代入得，解得，故直線l的斜率為.23．[選修4-5：不等式選講]（10分）設(shè)、、為正數(shù)，且.證明：（1）；（2）.（1）證明：因為、、為正數(shù)，由可得，所以，，因為函數(shù)在上為增函數(shù)，故.（2）證明：由基本不等式可得，，，由不等式的基本性質(zhì)可得，當且僅當時，等號成立，故.2023年高考數(shù)學模擬考試卷1（理）第Ⅰ卷一、選擇題1．已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z的實部與虛部的和為（

）A．1 B． C． D．〖答案〗D〖解析〗，，故實部與虛部的和為，故選：D.2．已知的定義域為A，集合，若，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗的定義域為A，所以，所以或，①當時，,滿足，所以符合題意；②當時，，所以若，則有或，所以或（舍）③當時，，所以若，則有或（舍），，綜上所述，，故選：B.3．在研究急剎車的停車距離問題時，通常假定停車距離等于反應(yīng)距離（，單位：m）與制動距離（，單位：m）之和.如圖為某實驗所測得的數(shù)據(jù)，其中“KPH”表示剎車時汽車的初速度（單位：km/h）.根據(jù)實驗數(shù)據(jù)可以推測，下面四組函數(shù)中最適合描述，與的函數(shù)關(guān)系的是（

）A．， B．，C．， D．，〖答案〗B〖解析〗設(shè)，.由圖象知，過點，，，，，，，，，，，，，，.作出散點圖，如圖1.由圖1可得，與呈現(xiàn)線性關(guān)系，可選擇用.過點，，，，，，，，，，，，，，.作出散點圖，如圖2.由圖2可得，與呈現(xiàn)非線性關(guān)系，比較之下，可選擇用.故選：B.4．已知函數(shù)則函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．〖答案〗B〖解析〗當，即時，，，令，得，令，得，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，由此得A和C和D不正確；當，即時，，，令，得，令，得，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，由此得B正確；故選：B5．若函數(shù)存在一個極大值與一個極小值滿足，則至少有（

）個單調(diào)區(qū)間.A．3 B．4 C．5 D．6〖答案〗B〖解析〗若函數(shù)存在一個極大值與一個極小值，則至少有3個單調(diào)區(qū)間，若有3個單調(diào)區(qū)間，不妨設(shè)的定義域為，若，其中可以為，可以為，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（若定義域為內(nèi)不連續(xù)不影響總體單調(diào)性），故，不合題意，若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，有，不合題意；若有4個單調(diào)區(qū)間，例如的定義域為，則，令，解得或，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故函數(shù)存在一個極大值與一個極小值，且，滿足題意，此時有4個單調(diào)區(qū)間，綜上所述：至少有4個單調(diào)區(qū)間.故選：B.6．已知實數(shù)x、y滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．2〖答案〗A〖解析〗令，則，由作出可行域如圖，則設(shè)點，其中P在可行域內(nèi)，，由圖可知當P在C點時，直線PD斜率最小，當P在B點時，直線PD斜率不存在，∴∵在上為增函數(shù)，∴當時．故選：A．7．在正方體中，點P在正方形內(nèi)，且不在棱上，則（

）A．在正方形內(nèi)一定存在一點，使得B．在正方形內(nèi)一定存在一點，使得C．在正方形內(nèi)一定存在一點，使得平面平面D．在正方形內(nèi)一定存在一點，使得平面〖答案〗B〖解析〗A、假設(shè)在正方形內(nèi)一定存在一點，使得，作,垂足分別為,連接，則為矩形，且與相交，故,由于，則，這與相交矛盾，故A錯誤；B、假設(shè)P為正方形的中心，Q為正方形的中心，作,垂足分別為,連接，則為矩形，則,且為的中點，連接,則,因為，所以,即，故B正確；C、在正方形內(nèi)一定存在一點，使得平面平面，由于平面平面,平面平面,故,而,則Q在上，這與題意矛盾，C錯誤；D、假設(shè)在正方形內(nèi)一定存在一點，使得平面，平面,則,又平面平面，故,而平面，故平面，由于平面,故重合，與題意不符，故D錯誤，故選∶B8．對于平面上點和曲線，任取上一點，若線段的長度存在最小值，則稱該值為點到曲線的距離，記作.若曲線是邊長為6的等邊三角形，則點集所表示的圖形的面積為（

）A．36 B．C． D．〖答案〗D〖解析〗根據(jù)題意作出點集的區(qū)域如圖陰影所示，其中四邊形，，為矩形且邊長分別為1,6，圓都是以1為半徑的，過點作于，連接,則，，所以則是以為邊長的等邊三角形，矩形的面積，，扇形的面積為，，，所以.故選：D.9．一個宿舍的6名同學被邀請參加一個節(jié)目，要求必須有人去，但去幾個人自行決定．其中甲和乙兩名同學要么都去，要么都不去，則該宿舍同學的去法共有（

）A．15種 B．28種 C．31種 D．63種〖答案〗C〖解析〗若甲和乙兩名同學都去，則去的人數(shù)可能是2人，3人，4人，5人，6人，所以滿足條件的去法數(shù)為種；若甲和乙兩名同學都不去，則去的人數(shù)可能是1人，2人，3人，4人，則滿足條件去法有種；故該宿舍同學的去法共有種．故選：C.10．已知橢圓C的焦點為，過的直線與C交于P，Q兩點，若，則橢圓C的標準方程為（

）A． B．C． D．〖答案〗B〖解析〗如圖，由已知可設(shè)，又因為根據(jù)橢圓的定義，在中由余弦定理得，所以故橢圓方程為：故選：B11．已知函數(shù)，對于任意的，方程恰有一個實數(shù)根，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗方程恰有一個實數(shù)根，等價于函數(shù)的圖象與直線有且僅有1個交點．當?shù)茫?，結(jié)合函數(shù)的圖象可知，，解得：.故選：D12．已知，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．〖答案〗A〖解析〗構(gòu)造，，則，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故，當且僅當時等號成立，因為，所以，當時，等號成立，當時，，所以構(gòu)造，則，當時，，當時，，所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，所以，當且僅當時，等號成立，故，當且僅當時，等號成立，令，則，所以，綜上，故選：.第Ⅱ卷二、填空題13．設(shè)，是x，y軸正方向上的單位向量，，，則向量，的夾角為______．〖答案〗〖解析〗①，②,得，得，，14．已知雙曲線的焦距為，過的右焦點的直線與的兩條漸近線分別交于兩點，為坐標原點，若且，則的漸近線方程為__________.〖答案〗〖解析〗因為，畫出示意圖如圖，設(shè)，因為，則，所以，則，所以.又，所以，所以，根據(jù)，所以.又因為，所以.在直角△AOB中，，所以，化簡得：，所以，則漸近線方程為：，故〖答案〗為:.15．已知數(shù)列滿足首項，，則數(shù)列的前2n項的和為_____________．〖答案〗〖解析〗當為奇數(shù)時，，即，此時為以為首項，公比為3的等比數(shù)列，故，即..故〖答案〗為：.16．在三角形中，，，為的中點，則的最大值為___________.〖答案〗〖解析〗設(shè)，則，因為為的中點，，所以，由三角形三邊關(guān)系可知：且，解得：，在三角形ABD中，由余弦定理得：，在三角形ACD中，由余弦定理得：，因為，所以，解得：，由余弦定理得：，，令，則，當且僅當，即時，等號成立，此時，解得：，因為，故，由于在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故當取得最小值時，取得最大值，此時，.故〖答案〗為：.三、解答題17．（12分）數(shù)列滿足，點在直線上，設(shè)數(shù)列的前n項和為，且滿足，．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）是否存在，使得對任意的，都有．解：（1）點在直線上，所以又，∴，則數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列．∴又當時，得，當，由

①，得

②由①－②整理得：，∵，∴∴，∴數(shù)列是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，故（2）設(shè)，由當時，，當時，，所以當或2時，取得最大值，即取得最大所以存在，2，使得對任意的，都有18．（12分）如圖，將等邊繞邊旋轉(zhuǎn)到等邊的位置，連接．（1）求證：；（2）若是棱上一點，且兩三角形的面積滿足，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：設(shè)是的中點，連接，，由題知：，，則，，又，平面，所以平面，又平面，所以．（2）解：由題知，、、兩兩垂直，以為原點，方向分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖所示，因為，所以，設(shè)，則，則，，，，．所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，設(shè)直線與平面所成的角為，則．所以直線與平面所成角的正弦值為.19．（12分）甲、乙兩位選手參加一項射擊比賽，每位選手各有n個射擊目標，他們擊中每一個目標的概率均為，且相互獨立．甲選手依次對所有n個目標進行射擊，且每擊中一個目標可獲得1顆星；乙選手按規(guī)定的順序依次對目標進行射擊，擊中一個目標后可繼續(xù)對下一個目標進行射擊直至有目標未被擊中時為止，且每擊中一個目標可獲得2顆星．（1）當時，分別求甲、乙兩位選手各擊中3個目標的概率；（2）若累計獲得星數(shù)多的選手獲勝，討論甲、乙兩位選手誰更可能獲勝．解：（1）當時，甲擊中3個目標的概率為，乙擊中3個目標，則前3個目標被擊中，第4個目標未被擊中，其概率為.（2）設(shè)為甲累計獲得的星數(shù)，則，設(shè)為乙累計獲得的星數(shù)，則，設(shè)擊中了m個目標，其中，則甲獲得星數(shù)為m的概率為，所以甲累計獲得星數(shù)為;記，所以，所以,乙獲得星數(shù)為的概率為，當時，，所以乙累計獲得星數(shù)為，記，則，所以，，當時，，當時，，當時，，當時，所以當時，乙更可能獲勝；當時，甲更可能獲勝.20．（12分）已知拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，直線與圓相切