滬教版八年級上冊壓軸題數(shù)學數(shù)學模擬試題

滬教版八年級上冊壓軸題數(shù)學數(shù)學模擬試題一、壓軸題1．（1）在等邊三角形ABC中，①如圖①，D，E分別是邊AC，AB上的點且AE=CD，BD與EC交于點F，則∠BFE的度數(shù)是度；②如圖②，D，E分別是邊AC，BA延長線上的點且AE=CD，BD與EC的延長線交于點F，此時∠BFE的度數(shù)是度；（2）如圖③，在△ABC中，AC=BC，∠ACB是銳角，點O是AC邊的垂直平分線與BC的交點，點D，E分別在AC，OA的延長線上，AE=CD，BD與EC的延長線交于點F，若∠ACB=α，求∠BFE的大?。ㄓ煤恋拇鷶?shù)式表示）．解析：（1）①60°；②60°；（2）∠BFE=α．【解析】【分析】（1）①先證明△ACE≌△CBD得到∠ACE=∠CBD，再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠CBD+∠BCF；②先證明△ACE≌△CBD得∠ACE=∠CBD=∠DCF，再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA；（2）證明△AEC≌△CDB得到∠E=∠D，則∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．【詳解】（1）如圖①中，∵△ABC是等邊三角形，∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，∵AE=CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE=∠CBD，∴∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°．故答案為60．（2）如圖②中，∵△ABC是等邊三角形，∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，∴∠CAE=∠BCD=′120°∵AE=CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE=∠CBD=∠DCF，∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°．故答案為60．（3）如圖③中，∵點O是AC邊的垂直平分線與BC的交點，∴OC=OA，∴∠EAC=∠DCB=α，∵AC=BC，AE=CD，∴△AEC≌△CDB，∴∠E=∠D，∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．【點睛】本題綜合考查了三角形全等以及三角形外角和定理.2．（閱讀材料）：（1）在中，若，由“三角形內角和為180°”得．（2）在中，若，由“三角形內角和為180°”得．（解決問題）：如圖①，在平面直角坐標系中，點C是x軸負半軸上的一個動點．已知軸，交y軸于點E，連接CE，CF是∠ECO的角平分線，交AB于點F，交y軸于點D．過E點作EM平分∠CEB，交CF于點M．（1）試判斷EM與CF的位置關系，并說明理由；（2）如圖②，過E點作PE⊥CE，交CF于點P．求證：∠EPC=∠EDP；（3）在（2）的基礎上，作EN平分∠AEP，交OC于點N，如圖③．請問隨著C點的運動，∠NEM的度數(shù)是否發(fā)生變化？若不變，求出其值：若變化，請說明理由．解析：（1）EM⊥CF，理由見解析；（2）證明見解析；（3）不變，且∠NEM=45°，理由見解析．【解析】【分析】（1）EM⊥CF，分別利用角平分線的性質、平行線的性質、三角形的內角和定理進行求證即可；（2）根據(jù)垂直定義和三角形的內角和定理證得∠DCO+∠CDO=90°，∠ECP+∠EPC=90°，再利用等角的余角相等和對頂角相等即可證得結論；（3）不變，且∠NEM=45°，先利用平行線的性質得到∠AEC=∠ECO=2∠ECP，進而有∠AEP=∠CEP+∠AEC=90°+2∠ECP，再由角平分線的定義∠NEP=∠AEN=45°+∠ECP，再根據(jù)同角的余角相等得到∠ECP=∠MEP，然后等量代換證得∠NEM=45°，是定值．【詳解】解：(1)EM⊥CF，理由如下：∵CF平分∠ECO，EM平分∠FEC，∴∠ECF=∠FCO=，∠FEM=∠CEM=∵AB∥x軸∴∠ECO+∠CEF=180°∴∠EMC=180°-（∠CEM+∠ECF）=180°-90°=90°∴EM⊥CF（2）由題得，∠EOC=90°∴∠DCO+∠CDO=180°-∠EOC=180°-90°=90°∵PE⊥CE∴∠CEP=90°∴∠ECP+∠EPC=180°-∠CEP=180°-90°=90°∵∠DCO=∠ECP∴∠CDO=∠EPC又∵∠CDO=∠EDP∴∠EPC=∠EDP(3)不變，且∠NEM=45°，理由如下：∵AB∥x軸∴∠AEC=∠ECO=2∠ECP∴∠AEP=∠CEP+∠AEC=90°+2∠ECP∵EN平分∠AEP∴∠NEP=∠AEN===45°+∠ECP∵∠CEP=90°∴∠ECP+∠EPC=90°又∵∠EMC=90°∴∠MEP+∠EPC=90°∴∠ECP=∠MEP∴∠NEP=∠NEM+∠MEP=∠NEM+∠ECP又∵∠NEP=45°+∠ECP∴∠NEM=45°．【點睛】本題是一道綜合探究題，涉及有平行線的性質、角平分線的定義、三角形的內角和定理、同（等）角的余角相等、對頂角相等、垂線性質等知識，解答的關鍵是認真審題，結合圖形，尋找相關聯(lián)信息，確定解題思路，進而探究、推理、論證．3．如圖，在中，，，點D在邊BC上運動（點D不與點重合），連接AD，作，DE交邊AC于點E．（1）當時，，（2）當DC等于多少時，，請說明理由；（3）在點D的運動過程中，的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請求出的度數(shù)；若不可以，請說明理由．解析：（1）30，100；（2），見解析；（3）可以，或【解析】【分析】（1）根據(jù)平角的定義，可求出∠EDC的度數(shù)，根據(jù)三角形內和定理，即可求出∠DEC；（2）當AB=DC時，利用AAS可證明ΔABD?ΔDCE，即可得出AB=DC=3；（3）假設ΔADE是等腰三角形，分為三種情況討論：①當DA=DE時，求出∠DAE=∠DEA=70°，求出∠BAC，根據(jù)三角形的內角和定理求出∠BAD，根據(jù)三角形的內角和定理求出∠BDA即可；②當AD=AE時，∠ADE=∠AED=40°，根據(jù)∠AED>∠C，得出此時不符合；③當EA=ED時，求出∠DAC，求出∠BAD，根據(jù)三角形的內角和定理求出∠ADB．【詳解】（1）在△BAD中，∵∠B=50°,∠BDA=100°，∴，．故答案為，．（2）當時，，理由如下：∵，∴∵，∴∵∴在和中∴（3）可以，理由如下：∵，∴分三種情況討論：①當時，∵，∴∴∵∴②當時，∵∴又∵∴∴點D與點B重合，不合題意．③當時，∴∵∴綜上所述，當?shù)亩葦?shù)為或時，是等腰三角形．【點睛】本題考查的是等腰三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、三角形外角的性質，掌握全等三角形的判定定理和性質定理、靈活運用分情況討論思想是解題的關鍵．4．現(xiàn)給出一個結論：直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半；該結論是正確的，用圖形語言可以表示為：如圖1在中，,若點D為AB的中點，則．請結合上述結論解決如下問題：已知，點P是射線BA上一動點（不與A,B重合）分別過點A,B向直線CP作垂線，垂足分別為E,F,其中Q為AB的中點（1）如圖2，當點P與點Q重合時，AE與BF的位置關系____________；QE與QF的數(shù)量關系是__________（2）如圖3，當點P在線段AB上不與點Q重合時，試判斷QE與QF的數(shù)量關系，并給予證明．(3)如圖4，當點P在線段BA的延長線上時，此時（2）中的結論是否成立？請畫出圖形并寫出主要證明思路．解析：（1）AE//BF;QE=QF；(2)QE=QF，證明見解析；(3)結論成立，證明見解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)AAS得到，得到、QE=QF，根據(jù)內錯角相等兩直線平行，得到AE//BF；（2）延長EQ交BF于D，根據(jù)AAS判斷得出，因此，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可證明；（3）延長EQ交FB的延長于D，根據(jù)AAS判斷得出，因此，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可證明．【詳解】（1）AE//BF；QE=QF（2）QE=QF證明：延長EQ交BF于D，,（3）當點P在線段BA延長線上時，此時（2）中結論成立證明：延長EQ交FB的延長于D因為AE//BF所以EQ=QF【點睛】本題考查了三角形全等的判定方法：AAS，平行線的性質，根據(jù)P點位置不同，畫出正確的圖形，找到AAS的條件是解決本題的關鍵．5．（概念認識）如圖①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，則BD，BE叫做∠ABC的“三分線”．其中，BD是“鄰AB三分線”，BE是“鄰BC三分線”．（問題解決）（1）如圖②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝45°，若∠B的三分線BD交AC于點D，則∠BDC＝°；（2）如圖③，在△ABC中，BP、CP分別是∠ABC鄰AB三分線和∠ACB鄰AC三分線，且BP⊥CP，求∠A的度數(shù)；（延伸推廣）（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分線所在的直線與∠ACD的三分線所在的直線交于點P．若∠A＝m°，∠B＝n°，直接寫出∠BPC的度數(shù)．（用含m、n的代數(shù)式表示）解析：（1）85或100；（2）45°；（3）m或m或m＋n或m－n或n－m【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得的三分線有兩種情況，畫圖根據(jù)三角形的外角性質即可得的度數(shù)；（2）根據(jù)、分別是鄰三分線和鄰三分線，且可得，進而可求的度數(shù)；（3）根據(jù)的三分線所在的直線與的三分線所在的直線交于點．分四種情況畫圖：情況一：如圖①，當和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時；情況二：如圖②，當和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時；情況三：如圖③，當和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時；情況四：如圖④，當和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時，再根據(jù)，，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：（1）如圖，當是“鄰三分線”時，；當是“鄰三分線”時，；故答案為：85或100；（2），，，又、分別是鄰三分線和鄰三分線，，，，，在中，．（3）分4種情況進行畫圖計算：情況一：如圖①，當和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時，；情況二：如圖②，當和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時，；情況三：如圖③，當和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時，；情況四：如圖④，當和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時，①當時，；②當時，．【點睛】本題考查了三角形的外角性質，解決本題的關鍵是掌握三角形的外角性質．注意要分情況討論．6．已知ABC，P是平面內任意一點（A、B、C、P中任意三點都不在同一直線上）．連接PB、PC，設∠PBA＝s°，∠PCA＝t°，∠BPC＝x°，∠BAC＝y(tǒng)°．（1）如圖，當點P在ABC內時，①若y＝70，s＝10，t＝20，則x＝；②探究s、t、x、y之間的數(shù)量關系，并證明你得到的結論．（2）當點P在ABC外時，直接寫出s、t、x、y之間所有可能的數(shù)量關系，并畫出相應的圖形．解析：（1）①100；②x=y+s+t；（2）見詳解．【解析】【分析】（1）①利用三角形的內角和定理即可解決問題；②結論：x=y+s+t．利用三角形內角和定理即可證明；（2）分6種情形分別求解即可解決問題．【詳解】解：（1）①∵∠BAC=70°，∴∠ABC+∠ACB=110°，∵∠PBA=10°，∠PCA=20°，∴∠PBC+∠PCB=80°，∴∠BPC=100°，∴x=100，故答案為：100．②結論：x=y+s+t．理由：∵∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+∠PBA+∠PCA+∠PBC+∠PCB=180°，∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，∴∠A+∠PBA+∠PCA=∠BPC，∴x=y+s+t．（2）s、t、x、y之間所有可能的數(shù)量關系：如圖1：s+x=t+y；如圖2：s+y=t+x；如圖3：y=x+s+t；如圖4：x+y+s+t=360°；如圖5：t=s+x+y；如圖6：s=t+x+y；【點睛】本題考查三角形的內角和定理，三角形的外角的性質等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題．7．在等邊△ABC的頂點A、C處各有一只蝸牛，它們同時出發(fā)，分別以每分鐘1米的速度由A向B和由C向A爬行，其中一只蝸牛爬到終點時，另一只也停止運動，經(jīng)過t分鐘后，它們分別爬行到D、E處，請問：（1）如圖1，在爬行過程中，CD和BE始終相等嗎，請證明？（2）如果將原題中的“由A向B和由C向A爬行”，改為“沿著AB和CA的延長線爬行”，EB與CD交于點Q，其他條件不變，蝸牛爬行過程中∠CQE的大小保持不變，請利用圖2說明：∠CQE=60°；（3）如果將原題中“由C向A爬行”改為“沿著BC的延長線爬行，連接DE交AC于F”，其他條件不變，如圖3，則爬行過程中，證明：DF=EF解析：（1)相等，證明見解析；（2)證明見解析；（3)證明見解析．【解析】【分析】（1）先證明△ACD≌△CBE，再由全等三角形的性質即可證得CD=BE；（2）先證明△BCD≌△ABE，得到∠BCD=∠ABE，求出∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC，∠CQE=180°-∠DQB，即可解答；（3）如圖3，過點D作DG∥BC交AC于點G，根據(jù)等邊三角形的三邊相等，可以證得AD=DG=CE；進而證明△DGF和△ECF全等，最后根據(jù)全等三角形的性質即可證明．【詳解】（1）解：CD和BE始終相等，理由如下：如圖1，AB=BC=CA，兩只蝸牛速度相同，且同時出發(fā)，∴CE=AD，∠A=∠BCE=60°在△ACD與△CBE中，AC=CB，∠A=∠BCE，AD=CE∴△ACD≌△CBE（SAS），∴CD=BE，即CD和BE始終相等；（2）證明：根據(jù)題意得：CE=AD，∵AB=AC，∴AE=BD，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠BAC=∠ACB=60°，∵∠EAB+∠ABC=180°，∠DBC+∠ABC=180°，∴∠EAB=∠DBC，在△BCD和△ABE中，BC=AB，∠DBC=∠EAB，BD=AE∴△BCD≌△ABE（SAS），∴∠BCD=∠ABE∴∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC=180°-60°=120°，∴∠CQE=180°-∠DQB=60°，即CQE=60°；（3）解：爬行過程中，DF始終等于EF是正確的，理由如下：如圖，過點D作DG∥BC交AC于點G，∴∠ADG=∠B=∠AGD=60°，∠GDF=∠E，∴△ADG為等邊三角形，∴AD=DG=CE，在△DGF和△ECF中，∠GFD=∠CFE，∠GDF=∠E，DG=EC∴△DGF≌△EDF（AAS），∴DF=EF.【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質和等邊三角形的性質；題弄懂題中所給的信息，再根據(jù)所提供的思路尋找證明條件是解答本題的關鍵．8．請按照研究問題的步驟依次完成任務．（問題背景）（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請說理證明∠A+∠B=∠C+∠D．（簡單應用）（2）如圖2，AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC=20°，∠ADC=26°，求∠P的度數(shù)（可直接使用問題（1）中的結論）（問題探究）（3）如圖3，直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，猜想∠P的度數(shù)為；（拓展延伸）（4）在圖4中，若設∠C=x，∠B=y，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，試問∠P與∠C、∠B之間的數(shù)量關系為（用x、y表示∠P）；（5）在圖5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、D的關系，直接寫出結論．解析：（1）見解析；（2）∠P=23o；（3）∠P=26o；（4）∠P=；（5）∠P=．【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形內角和定理即可證明；（2）如圖2，根據(jù)角平分線的性質得到∠1=∠2，∠3=∠4，列方程組即可得到結論；（3）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，由∠P+（180°-∠1）=∠D+（180°-∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，推出2∠P=∠B+∠D，即可解決問題；（4）根據(jù)題意得出∠B+∠CAB=∠C+∠BDC，再結合∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，得到y(tǒng)+（∠CAB-∠CAB）=∠P+（∠BDC-∠CDB），從而可得∠P=y+∠CAB-∠CAB-∠CDB+∠CDB=；（5）根據(jù)題意得出∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠DAP+∠P=∠PCD+∠D，再結合AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，得到∠BAD+∠P=[∠BCD+（180°-∠BCD）]+∠D，所以∠P=90°+∠BCD-∠BAD+∠D=.【詳解】解：（1）證明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°，在△COD中，∠C+∠D+∠COD=180°，∵∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D；（2）解：如圖2，∵AP、CP分別平分∠BAD，∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，由（1）的結論得：，①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D，∴∠P=（∠B+∠D）=23°；（3）解：如圖3，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，∵∠P+（180°-∠1）=∠D+（180°-∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，∴2∠P=∠B+∠D，∴∠P=（∠B+∠D）=×（36°+16°）=26°；故答案為：26°；（4）由題意可得：∠B+∠CAB=∠C+∠BDC，即y+∠CAB=x+∠BDC，即∠CAB-∠BDC=x-y，∠B+∠BAP=∠P+∠PDB，即y+∠BAP=∠P+∠PDB，即y+（∠CAB-∠CAP）=∠P+（∠BDC-∠CDP），即y+（∠CAB-∠CAB）=∠P+（∠BDC-∠CDB），∴∠P=y+∠CAB-∠CAB-∠CDB+∠CDB=y+（∠CAB-∠CDB）=y+（x-y）=故答案為：∠P=；（5）由題意可得：∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠DAP+∠P=∠PCD+∠D，∴∠B-∠D=∠BCD-∠BAD，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠BAP=∠DAP，∠PCE=∠PCB，∴∠BAD+∠P=（∠BCD+∠BCE）+∠D，∴∠BAD+∠P=[∠BCD+（180°-∠BCD）]+∠D，∴∠P=90°+∠BCD-∠BAD+∠D=90°+（∠BCD-∠BAD）+∠D=90°+（∠B-∠D）+∠D=，故答案為：∠P=.【點睛】本題考查三角形內角和，三角形的外角的性質、多邊形的內角和等知識，解題的關鍵是學會用方程組的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．9．已知：中，過B點作BE⊥AD，．(1)如圖1，點在的延長線上，連，作于，交于點．求證：；(2)如圖2，點在線段上，連，過作，且，連交于，連，問與有何數(shù)量關系，并加以證明；(3)如圖3，點在CB延長線上，且，連接、的延長線交于點，若，請直接寫出的值．解析：（1）見詳解，（2），證明見詳解，（3）．【解析】【分析】（1）欲證明，只要證明即可；（2）結論：．如圖2中，作于．只要證明，推出，，由，推出即可解決問題；（3）利用（2）中結論即可解決問題；【詳解】（1）證明：如圖1中，于，，，，，(AAS)，．（2）結論：．理由：如圖2中，作于．，，，，，，，，，，，，，，，．（3）如圖3中，作于交AC延長線于．，，，，，，，，，，，，，，，．，設，則，，．【點睛】本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．另外對于類似連續(xù)幾步的綜合題，一般前一步為后一步提供解題的條件或方法．10．閱讀并填空：如圖，是等腰三角形，，是邊延長線上的一點，在邊上且聯(lián)接交于，如果，那么，為什么？解：過點作交于所以（兩直線平行，同位角相等）（________）在與中所以，（________）所以（________）因為（已知）所以（________）所以（等量代換）所以（________）所以解析：見解析【解析】【分析】先根據(jù)平行線的性質，得到角的關系，然后證明，寫出證明過程和依據(jù)即可．【詳解】解：過點作交于，∴（兩直線平行，同位角相等），∴（兩直線平行，內錯角相等），在與中，∴，（）∴（全等三角形對應邊相等）∵（已知）∴（等邊對等角）∴（等量代換）∴（等角對等邊）∴；【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，平行線的性質，解題的關鍵是由平行線的性質正確找到證明三角形全等的條件，從而進行證明.11．在等腰中，,為邊上的高，點在的外部且，,連接交直線于點，連接．(1)如圖①，當時，求證：；(2)如圖②，當時，求的度數(shù)；(3)如圖③，當時,求證：．解析：（1）見解析；（2）；（3）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質，可得AE垂直平分BC，F(xiàn)為垂直平分線AE上點，即可得出結論；（2）根據(jù)（1）的結論可得AE平分∠BAC，∠BAF=20°，由AB=AC=AD，推出，根據(jù)外角性質可得計算即可；（3）在CF上截取CM=DF，連接AM，證明△ACM≌△ADF（SAS），進而證得△AFM為等邊三角形即可．【詳解】（1）證明：∵AE為等腰△ABC底邊BC上的高線，AB=AC，，∠AEB=∠AEC=90°，BE=CE，∴AE垂直平分BE，F(xiàn)在AE上，；(2)，，，，由（1）知，AE平分∠BAC，，，故答案為：60°；(3)在CF上截取CM=DF，連接AM，由（1）可知，∠ABC=∠ACB，∠FBC=∠FCB，，，，，在△ACM和△ADF中，∴△ACM≌△ADF（SAS），，，∴△AFM為等邊三角形，，．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，垂直平分線的性質，三角形全等的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，掌握三角形全等的判定和性質是解題的關鍵．12．探究：如圖①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，若∠B＝30°，則∠ACD的度數(shù)是度；拓展：如圖②，∠MCN＝90°，射線CP在∠MCN的內部，點A、B分別在CM、CN上，分別過點A、B作AD⊥CP、BE⊥CP，垂足分別為D、E，若∠CBE＝70°，求∠CAD的度數(shù)；應用：如圖③，點A、B分別在∠MCN的邊CM、CN上，射線CP在∠MCN的內部，點D、E在射線CP上，連接AD、BE，若∠ADP＝∠BEP＝60°，則∠CAD+∠CBE+∠ACB＝度．解析：探究：30；（2）拓展：20°；（3）應用：120【解析】【分析】（1）利用直角三角形的性質依次求出∠A，∠ACD即可；（2）利用直角三角形的性質直接計算得出即可；（3）利用三角形的外角的性質得出結論，直接轉化即可得出結論．【詳解】（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°；故答案為：30，（2）∵BE⊥CP，∴∠BEC＝90°，∵∠CBE＝70°，∴∠BCE＝90°﹣∠CBE＝20°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝70°，∵AD⊥CP，∴∠CAD＝90°﹣∠ACD＝20°；（3）∵∠ADP是△ACD的外角，∴∠ADP＝∠ACD+∠CAD＝60°，同理，∠BEP＝∠BCE+∠CBE＝60°，∴∠CAD+∠CBE+∠ACB＝∠CAD+∠CBE+∠ACD+∠BCE＝（∠CAD+∠ACD）+（∠CBE+∠BCE）＝120°，故答案為120．【點睛】此題是三角形的綜合題，主要考查了直角三角形的性質，三角形的外角的性質，垂直的定義，解本題的關鍵是充分利用直角三角形的性質：兩銳角互余，是一道比較簡單的綜合題．13．已知和都是等腰三角形，，，．（初步感知）（1）特殊情形：如圖①，若點，分別在邊，上，則__________．（填＞、＜或=）（2）發(fā)現(xiàn)證明：如圖②，將圖①中的繞點旋轉，當點在外部，點在內部時，求證：．（深入研究）（3）如圖③，和都是等邊三角形，點，，在同一條直線上，則的度數(shù)為__________；線段，之間的數(shù)量關系為__________．（4）如圖④，和都是等腰直角三角形，，點、、在同一直線上，為中邊上的高，則的度數(shù)為__________；線段，，之間的數(shù)量關系為__________．（拓展提升）（5）如圖⑤，和都是等腰直角三角形，，將繞點逆時針旋轉，連結、．當，時，在旋轉過程中，與的面積和的最大值為__________．解析：（1）=；（2）證明見解析；（3）60°，BD=CE；（4）90°，AM+BD=CM；（5）7【解析】【分析】（1）由DE∥BC，得到，結合AB=AC，得到DB=EC；（2）由旋轉得到的結論判斷出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；（3）根據(jù)等邊三角形的性質和全等三角形的判定定理證明△DAB≌△EAC，根據(jù)全等三角形的性質求出結論；（4）根據(jù)全等三角形的判定和性質和等腰直角三角形的性質即可得到結論；（5）根據(jù)旋轉的過程中△ADE的面積始終保持不變，而在旋轉的過程中，△ADC的AC始終保持不變，即可．【詳解】[初步感知]（1）∵DE∥BC，∴，∵AB=AC，∴DB=EC，故答案為：=，（2）成立．理由：由旋轉性質可知∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴DB=CE；[深入探究]（3）如圖③，設AB，CD交于O，∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴DB=CE，∠ABD=∠ACE，∵∠BOD=∠AOC，∴∠BDC=∠BAC=60°；（4）∵△DAE是等腰直角三角形，∴∠AED=45°，∴∠AEC=135°，在△DAB和△EAC中，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴∠ADB=∠AEC=135°，BD=CE，∵∠ADE=45°，∴∠BDC=∠ADB-∠ADE=90°，∵△ADE都是等腰直角三角形，AM為△ADE中DE邊上的高，∴AM=EM=MD，∴AM+BD=CM；故答案為：90°，AM+BD=CM；【拓展提升】（5）如圖，由旋轉可知，在旋轉的過程中△ADE的面積始終保持不變，△ADE與△ADC面積的和達到最大，∴△ADC面積最大，∵在旋轉的過程中，AC始終保持不變，∴要△ADC面積最大，∴點D到AC的距離最大，∴DA⊥AC，∴△ADE與△ADC面積的和達到的最大為2+×AC×AD=5+2=7，故答案為7．【點睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉和全等三角形的性質和判定，旋轉過程中面積變化分析，解本題的關鍵是三角形全等的判定．14．（閱讀材科）小明同學發(fā)現(xiàn)這樣一個規(guī)律：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的項角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來則形成一組全等的三角形，小明把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．如圖1，在“手拉手”圖形中，小明發(fā)現(xiàn)若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，則△ABD≌△ACE．（材料理解）（1）在圖1中證明小明的發(fā)現(xiàn)．（深入探究）（2）如圖2，△ABC和△AED是等邊三角形，連接BD，EC交于點O，連接AO，下列結論：①BD=EC；②∠BOC=60°；③∠AOE=60°；④EO=CO，其中正確的有．(將所有正確的序號填在橫線上)．（延伸應用）（3）如圖3，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，試探究∠A與∠C的數(shù)量關系．解析：（1）證明見解析；（2）①②③；（3）∠A+∠C=180°．【解析】【分析】（1）利用等式的性質得出∠BAD=∠CAE，即可得出結論；（2）同（1）的方法判斷出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，再利用對頂角和三角形的內角和定理判斷出∠BOC=60°，再判斷出△BCF≌△ACO，得出∠AOC=120°，進而得出∠AOE=60°，再判斷出BF＜CF，進而判斷出∠OBC＞30°，即可得出結論；（3）先判斷出△BDP是等邊三角形，得出BD=BP，∠DBP=60°，進而判斷出△ABD≌△CBP（SAS），即可得出結論．【詳解】（1）證明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE；（2）如圖2，∵△ABC和△ADE是等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，①正確，∠ADB=∠AEC，記AD與CE的交點為G，∵∠AGE=∠DGO，∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE，∴∠DOE=∠DAE=60°，∴∠BOC=60°，②正確，在OB上取一點F，使OF=OC，∴△OCF是等邊三角形，∴CF=OC，∠OFC=∠OCF=60°=∠ACB，∴∠BCF=∠ACO，∵AB=AC，∴△BCF≌△ACO（SAS），∴∠AOC=∠BFC=180°-∠OFC=120°，∴∠AOE=180°-∠AOC=60°，③正確，連接AF，要使OC=OE，則有OC=CE，∵BD=CE，∴CF=OF=BD，∴OF=BF+OD，∴BF＜CF，∴∠OBC＞∠BCF，∵∠OBC+∠BCF=∠OFC=60°，∴∠OBC＞30°，而沒辦法判斷∠OBC大于30度，所以，④不一定正確，即：正確的有①②③，故答案為①②③；（3）如圖3，延長DC至P，使DP=DB，∵∠BDC=60°，∴△BDP是等邊三角形，∴BD=BP，∠DBP=60°，∵∠BAC=60°=∠DBP，∴∠ABD=∠CBP，∵AB=CB，∴△ABD≌△CBP（SAS），∴∠BCP=∠A，∵∠BCD+∠BCP=180°，∴∠A+∠BCD=180°．【點睛】此題考查三角形綜合題，等腰三角形的性質，等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，構造等邊三角形是解題的關鍵．15．已知在△ABC中，AB＝AC，射線BM、BN在∠ABC內部，分別交線段AC于點G、H．（1）如圖1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于點D，分別交BC、BM于點E、F．①求證：∠1＝∠2；②如圖2，若BF＝2AF，連接CF，求證：BF⊥CF；（2）如圖3，點E為BC上一點，AE交BM于點F，連接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．解析：（1）①見解析；②見解析；（2）2【解析】【分析】（1）①只要證明∠2+∠BAF＝∠1+∠BAF＝60°即可解決問題；②只要證明△BFC≌△ADB，即可推出∠BFC＝∠ADB＝90°；（2）在BF上截取BK＝AF，連接AK．只要證明△ABK≌CAF，可得S△ABK＝S△AFC，再證明AF＝FK＝BK，可得S△ABK＝S△AFK，即可解決問題；【詳解】（1）①證明：如圖1中，∵AB＝AC，∠ABC＝60°∴△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD⊥BN，∴∠ADB＝90°，∵∠MBN＝30°，∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，∴∠1＝∠2②證明：如圖2中，在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，∴BF＝2DF，∵BF＝2AF，∴BF＝AD，∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，∴△BFC≌△ADB，∴∠BFC＝∠ADB＝90°，∴BF⊥CF（2）在BF上截取BK＝AF，連接AK．∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，∴△ABK≌CAF，∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，∴AF＝FK＝BK，∴S△ABK＝S△AFK，∴．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質、等邊三角形的性質、等腰三角形的判定和性質、直角三角形30度角性質等知識，解題的關鍵是能夠正確添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．二、選擇題16．近年來，國家重視精準扶貧，收效顯著．據(jù)統(tǒng)計約有65000000人脫貧，把65000000用科學記數(shù)法表示，正確的是（）A．0.65×108 B．6.5×107 C．6.5×108 D．65×106解析：B【解析】分析：科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值大于10時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值小于1時，n是負數(shù)．詳解：65000000=6.5×107．故選B．點睛：此題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．17．購買單價為a元的物品10個，付出b元（b＞10a），應找回（）A．（b﹣a）元 B．（b﹣10）元 C．（10a﹣b）元 D．（b﹣10a）元解析：D【解析】【分析】根據(jù)題意知：花了10a元，剩下（b﹣10a）元．【詳解】購買單價為a元的物品10個，付出b元（b＞10a），應找回（b﹣10a）元．故選D．【點睛】本題考查了列代數(shù)式，能讀懂題意是解答此題的關鍵．18．如圖，實數(shù)﹣3、x、3、y在數(shù)軸上的對應點分別為M、N、P、Q，這四個數(shù)中絕對值最小的數(shù)對應的點是（）A．點M B．點N C．點P D．點Q解析：B【解析】【分析】【詳解】∵實數(shù)-3，x，3，y在數(shù)軸上的對應點分別為M、N、P、Q，∴原點在點P與N之間，∴這四個數(shù)中絕對值最小的數(shù)對應的點是點N．故選B．19．如果一個角的補角是130°，那么這個角的余角的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．90°解析：B【解析】【分析】直接利用互補的定義得出這個角的度數(shù)，進而利用互余的定義得出答案．【詳解】解：∵一個角的補角是130，∴這個角為：50，∴這個角的余角的度數(shù)是：40．故選：B．【點睛】此題主要考查了余角和補角，正確把握相關定義是解題關鍵．20．已知max表示取三個數(shù)中最大的那個數(shù)，例如：當x＝9時，max＝81．當max時，則x的值為（）A． B． C． D．解析：C【解析】【分析】利用max的定義分情況討論即可求解．【詳解】解：當max時，x≥0①＝，解得：x＝，此時＞x＞x2，符合題意；②x2＝，解得：x＝；此時＞x＞x2，不合題意；③x＝，＞x＞x2，不合題意；故只有x＝時，max．故選：C．【點睛】此題主要考查了新定義，正確理解題意分類討論是解題關鍵．21．球從空中落到地面所用的時間t（秒）和球的起始高度h（米）之間有關系式，若球的起始高度為102米，則球落地所用時間與下列最接近的是（）A．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒解析：C【解析】【分析】根據(jù)題意直接把高度為102代入即可求出答案.【詳解】由題意得，當h=102時，t==20.25=25且20.25<20.4<25<<4.5<t<5與t最接近的整數(shù)是5.故選C.【點睛】本題考查的是估算問題，解題關鍵是針對其范圍的估算.22．下列判斷正確的是（）A．有理數(shù)的絕對值一定是正數(shù)．B．如果兩個數(shù)的絕對值相等，那么這兩個數(shù)相等．C．如果一個數(shù)是正數(shù)，那么這個數(shù)的絕對值是它本身．D．如果一個數(shù)的絕對值是它本身，那么這個數(shù)是正數(shù)．解析：C【解析】試題解析：A∵0的絕對值是0，故本選項錯誤．B∵互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等，故本選項正確．C如果一個數(shù)是正數(shù)，那么這個數(shù)的絕對值是它本身．D∵0的絕對值是0，故本選項錯誤．故選C．23．如圖，已知在一條直線上，是銳角，則的余角是（）A． B．C． D．解析：C【解析】【分析】由圖知：∠1和∠2互補，可得∠1+∠2=180°，即（∠1+∠2）=90°①；而∠1的余角為90°-∠1②，可將①中的90°所表示的（∠1+∠2）代入②中，即可求得結果．【詳解】解：由圖知：∠1+∠2=180°，∴（∠1+∠2）=90°，∴90°-∠1=（∠1+∠2）-∠1=（∠2-∠1）．故選：C．【點睛】此題綜合考查余角與補角，難點在于將∠1+∠2=180°進行適當?shù)淖冃危瑥亩c∠1的余角產生聯(lián)系．24．計算的結果是（）A．-8 B．8 C．2 D．-2解析：C【解析】【分析】根據(jù)有理數(shù)加法法則計算即可得答案.【詳解】=-=2故選：C.【點睛】本題考查有理數(shù)加法，同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0；一個數(shù)與0相加，仍得這個數(shù)；熟練掌握有理數(shù)加法法則是解題關鍵.25．在四個數(shù)中，屬于無理數(shù)的是（）A． B． C． D．解析：B【解析】【分析】根據(jù)無理數(shù)為無限不循環(huán)小數(shù)、開方開不盡的數(shù)、含π的數(shù)判斷即可.【詳解】0.23是有限小數(shù)，是有理數(shù)，不符合題意，是開方開不盡的數(shù)，是無理數(shù)，符合題意，-2是整數(shù)，是有理數(shù)，不符合題意，是分數(shù)，是有理數(shù)，不符合題意，故選：B.【點睛】本題考查無理數(shù)概念，無理數(shù)為無限不循環(huán)小數(shù)、開方開不盡的數(shù)、含π的數(shù)，熟練掌握無理數(shù)的定義