2022年數(shù)學(xué)(百色專用)一輪復(fù)習(xí)教學(xué)案-第21課時(shí)圖形的相似與位似

第六章圖形的相似與解直角三角形第21課時(shí)圖形的相似與位似近五年中考考情2022年中考預(yù)測(cè)年份考查點(diǎn)題型題號(hào)分值預(yù)計(jì)將在解答題中考查“兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例”及相似三角形的判定與性質(zhì)，與圓、函數(shù)等知識(shí)綜合考查的可能性較大．從近幾年的第25題可以看出這是一個(gè)必考點(diǎn)，尤其是與圓的知識(shí)綜合考查．2021相似三角形的判定與性質(zhì)填空題183分2020平行線分線段成比例、相似三角形的判定與性質(zhì)解答題2510分2019平面直角坐標(biāo)系的位似變換填空題1713分2018相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例解答題252017平面直角坐標(biāo)系中的位似變換填空題1713分相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例解答題25相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例解答題25（2）5分平面直角坐標(biāo)系中的位似變換1.（2018年，17，3分）如圖，已知△ABC與△A′B′C′是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且eq\f(OA,OA′)＝eq\f(1,2)，若點(diǎn)A（－1，0），點(diǎn)Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，則A′C′＝eq\r(13)．eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第1題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2題圖）))2.（2019年，17，3分）如圖，△ABC與△A′B′C′是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，若點(diǎn)A（2，2），B（3，4），C（6，1），B′（6，8），則△A′B′C′的面積為18．相似三角形的判定與性質(zhì)3.（2020年，25，10分）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)N為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CN分別交BD，AD于點(diǎn)E，F(xiàn).（1）請(qǐng)找出一對(duì)相似的三角形并證明；（2）已知BE＝2ED，若CN＝kEF，求k的值．解：（1）（答案不唯一）△DEF∽△BEC.證明：∵在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，∴∠FDE＝∠CBE.又∵∠DEF＝∠BEC，∴△DEF∽△BEC；（2）由（1）可得，eq\f(DE,BE)＝eq\f(EF,EC).又∵BE＝2ED，∴EC＝2EF.∵AB∥DC，∴∠DCE＝∠BNE.又∵∠DEC＝∠BEN，∴△CED∽△NEB.∴eq\f(DE,BE)＝eq\f(EC,EN)＝eq\f(1,2).∴EN＝2EC.又∵CN＝EN＋EC，CN＝kEF，∴2EC＋EC＝kEF，即4EF＋2EF＝kEF.∴k＝6.比例的相關(guān)概念及性質(zhì)（滬科九上P63～70）1.兩條線段的比：用同一個(gè)長(zhǎng)度單位去度量?jī)蓷l線段a，b，得到它們的長(zhǎng)度，我們把這兩條線段的長(zhǎng)度的比叫做這兩條線段的比．2.成比例線段：在四條線段a，b，c，d中，如果其中兩條線段a，b的比，等于另外兩條線段c，d的比，即eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)（或a∶b＝c∶d），那么這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段．如果eq\f(a,b)＝eq\f(b,c)，即b2＝ac，那么b就是a，c的比例中項(xiàng)．3.比例的性質(zhì)基本性質(zhì)如果eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，那么ad＝bc（b，d≠0）合比性質(zhì)如果eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，那么eq\f(a＋b,b)＝eq\f(c＋d,d)（b，d≠0）等比性質(zhì)如果eq\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)＝…＝eq\f(an,bn)，且b1＋b2＋…＋bn≠0，那么eq\f(a1＋a2＋…＋an,b1＋b2＋…＋bn)＝eq\f(a1,b1)4.黃金分割：如圖，如果點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段，使eq\f(AC,AB)＝eq\f(BC,AC)，那么點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC是BC與AB的比例中項(xiàng)，AC與AB的比值為eq\f(\r(5)－1,2)．5.平行線分線段成比例基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．相似三角形及其性質(zhì)與判定（滬科九上P76～92）6.相似三角形：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形，相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比．7.相似三角形的性質(zhì)（1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等；（2）相似三角形的對(duì)應(yīng)線段（邊、高、中線、角平分線）等于相似比；（3）相似三角形的周長(zhǎng)的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方．8.相似三角形的判定（1）平行于三角形一邊的直線與其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，截得的三角形與原三角形相似；（2）兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似；（3）兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似；（4）三邊成比例的兩個(gè)三角形相似；（5）對(duì)于兩個(gè)直角三角形，除了以上判定方法外，還可以通過：①一組銳角相等；②兩組直角邊對(duì)應(yīng)成比例；③斜邊和一直角邊對(duì)應(yīng)成比例來判定這兩個(gè)直角三角形相似．9.相似多邊形：一般地，兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度的比相等，那么這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形．相似多邊形對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度的比叫做相似比或相似系數(shù)．圖形的位似變換（滬科九上P95）10.位似圖形：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心．【溫馨提示】【溫馨提示】（1）位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比．（2）在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為中心，相似比為k，原圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），那么位似圖形上的點(diǎn)的坐標(biāo)為（kx，ky）或（－kx，－ky）．11.找位似中心的方法：將兩個(gè)圖形的各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連接起來，若它們的直線或延長(zhǎng)線相交于一點(diǎn)，則該點(diǎn)即是位似中心．12.位似作圖的步驟（1）確定位似中心、原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)、相似比（即要將圖形放大或縮小的倍數(shù)）；（2）作出原圖形中各關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；（3）按原圖形的連接順序連接所作的各個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn).1.已知eq\f(a,b)＝eq\f(2,5)，則eq\f(a＋b,b)的值為（C）A．eq\f(2,5)B．eq\f(3,5)C．eq\f(7,5)D．eq\f(2,3)2.（2021·哈爾濱中考）如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，則AE的長(zhǎng)為（B）A．3B．4C．5D．6【鏈接考點(diǎn)1】（第2題圖）（第3題圖）3.（2021·百色二模）如圖，將△ABC沿射線AM平移到△A′B′C′的位置，BC，B′C′分別交AM于點(diǎn)D，D′，若陰影部分的面積為3，AA′＝5，A′D′＝7，則△ABC的面積為（C）A．32B．36C．eq\f(147,4)D．eq\f(75,2)4.（2020·北部灣中考）如圖，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一邊在BC上，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，AD交EF于點(diǎn)N，則AN的長(zhǎng)為（B）A．15B．20C．25D．30eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第4題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第5題圖）))5.（2021·百色二模）如圖，在△ABC中，D，E為邊AB的三等分點(diǎn)．EF∥DG∥AC，H為AF與DG的交點(diǎn)．若AC＝6，則DH＝1．【鏈接考點(diǎn)2】6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知C（1，eq\r(2)），△ABC與△DEF位似，原點(diǎn)O是位似中心，要使△DEF的面積是△ABC面積的5倍，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（eq\r(5)，eq\r(10)）．【鏈接考點(diǎn)3】（第6題圖）（第7題圖）7.（2021·百色中考）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分線CD交AB于點(diǎn)D，則點(diǎn)D是線段AB的黃金分割點(diǎn)．若AC＝2，則BD＝3－eq\r(5)．8.（2018·百色中考）已知AD為⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，切點(diǎn)為M，分別過A，D兩點(diǎn)作BC的垂線，垂足分別為點(diǎn)B，C，AD的延長(zhǎng)線與BC相交于點(diǎn)E.（1）求證：△ABM∽△MCD；（2）若AD＝8，AB＝5，求ME的長(zhǎng)．（1）證明：∵AD為⊙O的直徑，∴∠AMD＝90°.∵∠BMA＋∠CMD＝90°，∠CMD＋∠CDM＝90°，∴∠BMA＝∠CDM.又∵∠ABM＝∠MCD＝90°，∴△ABM∽△MCD；（2）解：連接OM，則OM⊥BC.∴OM∥AB.∴△EMO∽△EBA．∵AD＝8，∴AO＝OD＝OM＝4.∴eq\f(OM,AB)＝eq\f(EO,EA)，即eq\f(4,5)＝eq\f(ED＋4,ED＋8).∴ED＝12.∴EO＝12＋4＝16.在Rt△EMO中，ME＝eq\r(EO2－OM2)＝eq\r(162－42)＝4eq\r(15)，即ME的長(zhǎng)為4eq\r(15).9.（2019·百色中考）如圖，已知AC，AD是⊙O的兩條割線，AC與⊙O交于B，C兩點(diǎn)，AD過圓心O且與⊙O交于E，D兩點(diǎn)，OB平分∠AOC.（1）求證：△ACD∽△ABO；（2）過點(diǎn)E的切線交AC于點(diǎn)F，若EF∥OC，OC＝3，求EF的值．[提示：（eq\r(2)＋1）（eq\r(2)－1）＝1]【鏈接考點(diǎn)2】（1）證明：∵OB平分∠AOC，∴∠BOE＝∠BOC.∵OC＝OD，∴∠D＝∠OCD.∵∠AOC＝∠D＋∠OCD，∴2∠D＝∠AOC.∴∠D＝∠BOE.又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABO；（2）解：∵EF切⊙O于點(diǎn)E，∴∠OEF＝90°.∵EF∥OC，∴∠DOC＝∠OEF＝90°.∵OC＝OD＝3，∴CD＝3eq\r(2).∵△ACD∽△ABO，∴eq\f(AD,AO)＝eq\f(CD,BO).∴eq\f(AE＋6,AE＋3)＝eq\f(3\r(2),3).∴AE＝3eq\r(2).∵EF∥OC，∴△AEF∽△AOC.∴eq\f(AE,AO)＝eq\f(EF,OC).∴eq\f(3\r(2),3\r(2)＋3)＝eq\f(EF,3).∴EF＝6－3eq\r(2).平行線分線段成比例（重點(diǎn)）【例1】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB邊上，BD＝2AD，DE∥BC交AC于點(diǎn)E，則下列結(jié)論不正確的是（D）A．BC＝3DEB．eq\f(BD,BA)＝eq\f(CE,CA)C．△ADE∽△ABCD．S△ADE＝eq\f(1,3)S△ABC【解析】本題考查的是平行線分線段成比例定理和相似三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用平行線分線段成比例定理、掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．1.如圖，AB∥CD，AC，BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，則下列結(jié)論不一定成立的是（B）A．eq\f(OA,OC)＝eq\f(AB,CD)B．eq\f(OA,OD)＝eq\f(OB,OC)C．eq\f(CD,DF)＝eq\f(AB,BE)D．eq\f(OE,OF)＝eq\f(AB,CD)eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第1題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2題圖）))2.如圖，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF與AC交于點(diǎn)G，則圖中相似三角形共有（C）A．3對(duì)B．5對(duì)C．6對(duì)D．8對(duì)3.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AC邊上，AD∶DC＝1∶2，點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，則BE∶EC等于（B）A．1∶2B．1∶3C．1∶4D．2∶3相似三角形的判定與性質(zhì)（重難點(diǎn)）【例2】如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD為BC邊上的中線，DE⊥AB于點(diǎn)E.（1）求證：△BDE∽△CAD；（2）若AB＝13，BC＝10，求線段DE的長(zhǎng)．【解析】（1）由已知可得∠B＝∠C，∠DEB＝∠ADC＝90°，則△BDE與△CAD相似；（2）利用面積法：S△ABD＝eq\f(1,2)AD·BD＝eq\f(1,2)AB·DE求解即可．本題第（2）問也可以利用（1）中的結(jié)論求解．【解答】（1）證明：∵AB＝AC，AD為BC邊上的中線，∴AD⊥BC，∠B＝∠C.∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC＝90°.∴△BDE∽△CAD；（2）解：由（1）知，∠ADB＝90°.在Rt△ADB中，BD＝eq\f(1,2)BC＝5，∴AD＝eq\r(AB2－BD2)＝eq\r(132－52)＝12.∵S△ABD＝eq\f(1,2)AD·BD＝eq\f(1,2)AB·DE，∴DE＝eq\f(AD·BD,AB)＝eq\f(60,13).4.如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上．設(shè)△ABC的周長(zhǎng)為C1，△DEF的周長(zhǎng)為C2，則eq\f(C1,C2)的值等于eq\f(\r(2),2)．5.如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作EA⊥CA交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若AB＝3，BC＝4，則eq\f(AO,AE)的值為eq\f(7,24)．6.（2021·玉林中考）如圖，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB.（1）求證：△DFC∽△AED；（2）若CD＝eq\f(1,3)AC，求eq\f(S△DFC,S△AED)的值．（1）證明：∵DF∥AB，∴∠DFC＝∠ABF.∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ABF，∠DCF＝∠ADE.∴∠DFC＝∠AED.∴△DFC∽△AED；（2）解∵CD＝eq\f(1,3)AC，∴eq\f(CD,DA)＝eq\f(1,2).∴eq\f(S△DFC,S△AED)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(CD,DA)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4).圖形的位似變換（重點(diǎn)）【例3】如圖，在由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的小正方形組成的10×10網(wǎng)格中，已知點(diǎn)O，A，B均為網(wǎng)格線的交點(diǎn).（1）在給定的網(wǎng)格中，以點(diǎn)O為位似中心，將線段AB放大為原來的2倍，得到線段A