2022-2023學(xué)年廣東省揭陽市高一下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量測試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省揭陽市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量測試數(shù)學(xué)試題本試題共4頁，考試時(shí)間120分鐘，總分150分注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的信息填寫清楚、準(zhǔn)確，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼粘貼處．2．請按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的〖答案〗無效．3．答題時(shí)請按要求用筆，保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不得使用涂改液、修正帶、刮紙刀．考試結(jié)束后，請將本試題及答題卡交回．一、選擇題：本題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意，，于是.故選：B2.若，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限.故選：D3.已知平面平面，直線，且，則直線與平面的位置關(guān)系為（）A.平行 B.垂直 C.相交且不垂直 D.以上情況都有可能〖答案〗D〖解析〗如圖，當(dāng)∥時(shí)，由，，可得∥；如圖，當(dāng)時(shí)，又，所以；如圖，當(dāng)與相交且不垂直時(shí)，與平面相交且不垂直.故選：D4.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)樵谏线f增，且，所以，所以，因?yàn)樵谏线f減，且，所以，即，所以，故選：B5.設(shè)，則函數(shù)的最小值為（）A.6 B.7 C.11 D.12〖答案〗C〖解析〗，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以函數(shù)的最小值為.故選：C6.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗∵角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，∴.∴..故選：D.7.如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)的部分圖象，則該函數(shù)的〖解析〗式為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗對于A：是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，即函數(shù)在時(shí)取得最小值2.以上性質(zhì)均與圖象相符.對于B：令，易知且，故該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，其圖象不會(huì)關(guān)于y軸對稱，不符合圖象；對于C：當(dāng)時(shí)，令，，，當(dāng)時(shí)，，，；當(dāng)時(shí)，，，，∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以，即函數(shù)圖象最低點(diǎn)函數(shù)值應(yīng)該小于2，這與圖象不符.對于D：的定義域?yàn)椋环蠄D象.綜上，僅A選項(xiàng)函數(shù)圖象符合題意.故選：A.8.我國的玉文化發(fā)源于新石器時(shí)代早期，綿延至今，貫穿了整個(gè)中華文明史，是中國傳統(tǒng)文化的重要組成部分．如圖是1986年在河南平頂山出土的西周（公元前1046—前771年）青玉琮，高，邊長，內(nèi)徑，體呈外方內(nèi)圓狀，中空，通體素面，則該青玉琮的體積約為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依題意該青玉琮的體積為長方體的體積減去圓柱體的體積，即（）.故選：C9.已知的重心為點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且滿足，記，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意的重心為點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且滿足，則，設(shè)D為的中點(diǎn)，則，故，故選：A10.已知，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意，，根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)可得，即，注意到，于是，故，解得，故.故選：A二、選擇題：本題共2小題，每小題5分，共10分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．11.已知向量，則下列命題中真命題為（）A.若，則或B.若，則C.若，則D.若，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為〖答案〗ACD〖解析〗對A，因?yàn)?，所以，解得或，?dāng)時(shí)，，滿足題意，當(dāng)時(shí)，，滿足題意，故A正確；對B，因?yàn)椋裕獾?，故B錯(cuò)；對C，時(shí)，，則，所以，故C正確；對D，時(shí)，，則向量在向量上的投影為，所以向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為，故D正確.故選：ACD12.若事件滿足，，，，，，，則()A.A與B相互獨(dú)立 B.B與C不相互獨(dú)立C.A與C相互獨(dú)立 D.相互獨(dú)立〖答案〗AC〖解析〗由題可知，，，，，，因?yàn)椋院虰相互獨(dú)立，所以A和B相互獨(dú)立，故選項(xiàng)A正確；因?yàn)椋院虲相互獨(dú)立，所以B和C相互獨(dú)立，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)椋訟和相互獨(dú)立，所以A和C相互獨(dú)立，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)?，故不相互?dú)立，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，且，則的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，且，所以，所以，所以的取值范圍是故〖答案〗為?4.在測量工作中，測得一組數(shù)據(jù)為2，6，7，5，9，17，10，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為______，第75百分位數(shù)是______．〖答案〗①.8②.10〖解析〗把2，6，7，5，9，17，10，從小到大排列為：2，5，6，7，9，10，17，平均數(shù)為，這組數(shù)據(jù)共7個(gè)，，則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是第6個(gè)數(shù)10.故〖答案〗為：8，10.15.若函數(shù)滿足，則稱函數(shù)為“類期函數(shù)”．已知函數(shù)為“－2類期函數(shù)”，且曲線恒過點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______．〖答案〗〖解析〗由題可知，，令得，，故，，所以曲線恒過點(diǎn).故〖答案〗：16.如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且平面，則______．〖答案〗2〖解析〗連接、，設(shè)、，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接、，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，所以，平面，平面，所以平面，同理可得平面，，平面，所以平面平面，平面，所以平面，因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，，所以，又，所以，所以，又為的中點(diǎn)，所以，則，所以.故〖答案〗為：四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知函數(shù)．（1）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求的值域．解：（1）的最小正周期為，因?yàn)榈膯握{(diào)遞增區(qū)間為，令，得，所以．故的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）因?yàn)椋?，所以，所以，故?dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋?8.某校以課程建設(shè)為核心，建立了學(xué)生勞動(dòng)實(shí)踐基地，開發(fā)了農(nóng)事勞作課程，開展課外種植、養(yǎng)殖活動(dòng)，打算引進(jìn)小動(dòng)物甲以及成立養(yǎng)殖小組．為了解學(xué)生的養(yǎng)殖意愿，該校在一年級(jí)的100名學(xué)生中進(jìn)行問卷調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)如下：性別養(yǎng)殖小動(dòng)物甲喜歡不喜歡男生2030女生4010（1）分別估計(jì)該校男、女生中喜歡養(yǎng)殖小動(dòng)物甲的概率；（2）學(xué)校決定由一年級(jí)負(fù)責(zé)養(yǎng)殖小動(dòng)物甲，現(xiàn)按分層隨機(jī)抽樣的方法從一年級(jí)喜歡小動(dòng)物甲的學(xué)生中隨機(jī)抽取6名學(xué)生組成養(yǎng)殖小組，再從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人擔(dān)任養(yǎng)殖小組主要負(fù)責(zé)人，求這2人恰好都是女生的概率．解：（1）由題意知男生中喜歡養(yǎng)殖小動(dòng)物甲的頻率為；女生中喜歡養(yǎng)殖小動(dòng)物甲的頻率為，所以估計(jì)該校男、女生中喜歡養(yǎng)殖小動(dòng)物甲的概率分別為．（2）抽取的這6人中男生人數(shù)為，分別記為，女生人數(shù)為，分別記為．設(shè)抽取的2人分別為，用數(shù)組表示這個(gè)實(shí)驗(yàn)的一個(gè)樣本點(diǎn)，因此該試驗(yàn)的樣本空間，共15個(gè)樣本點(diǎn)．設(shè)事件“抽取的2人恰好都是女生”，則，共6個(gè)樣本點(diǎn)．因?yàn)闃颖究臻g中每一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等，所以該試驗(yàn)是古典概型，因此．19.如圖，正三棱柱中，分別在棱上，，．（1）證明：平面∥平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離．（1）證明：因?yàn)?，所以．又，所以．又平面平面，所以平面．因?yàn)?，所以．又平面平面，所以平面．因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?）解：法一：如圖，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋裕制矫嫫矫?，所以．因?yàn)槠矫妫云矫妫制矫?，所以平面平面．過點(diǎn)作，垂足為，則平面，所以的長度為點(diǎn)到平面的距離．在中，，所以，即點(diǎn)到平面的距離為．法二：因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，所以．如圖，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，所以，所以的面積．設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，所以，即點(diǎn)到平面的距離為．20.從以下三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面問題中，并完成解答．①；②；③．記的內(nèi)角的對邊分別為，已知______．（1）求；（2）若，求的面積．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．解：（1）若選①，由已知及正弦定理得，所以，所以，即．又，所以，所以，即．因?yàn)?，所以．若選②，由已知及正弦定理得，所以．所以，所以．又，所以，所以，即．因?yàn)?，所以．若選③，由已知及正弦定理得，因，所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以．又，所以．?）由余弦定理得，即，解得（舍去），所以的面積．21.已知函數(shù)．（1）判斷在上的單調(diào)性，并證明；（2）函數(shù)若沒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）可知在上單調(diào)遞增，證明如下：任取，且，則．因?yàn)?，所以，即．因?yàn)?，所以，，所以，所以，故在上單調(diào)遞增．（2）由題意得當(dāng)時(shí)，，由（1）可知在上單調(diào)遞增，所以．由題意得，解得；當(dāng)時(shí)，，由題意可知在上沒有零點(diǎn)．又，所以只需或，解得．綜上，，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是．22.如圖①，在平行四邊形中，，將沿折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)處，如圖②，二面角的大小為分別為的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的大?。?）證明：在△中，由余弦定理得，所以，即，故．又，所以，如圖，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，所以．又平面，所以平面，又平面，所以.（2）解：由（1）知，所以為二面角的平而角，即．由題意得，所以，即△為等腰三角形，所以．如圖，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，由（1）知平面，又平面，所以．又平而，所以平面，所以為直線與平面所成角．所以直線與平面所成的角為．廣東省揭陽市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量測試數(shù)學(xué)試題本試題共4頁，考試時(shí)間120分鐘，總分150分注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的信息填寫清楚、準(zhǔn)確，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼粘貼處．2．請按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的〖答案〗無效．3．答題時(shí)請按要求用筆，保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不得使用涂改液、修正帶、刮紙刀．考試結(jié)束后，請將本試題及答題卡交回．一、選擇題：本題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意，，于是.故選：B2.若，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限.故選：D3.已知平面平面，直線，且，則直線與平面的位置關(guān)系為（）A.平行 B.垂直 C.相交且不垂直 D.以上情況都有可能〖答案〗D〖解析〗如圖，當(dāng)∥時(shí)，由，，可得∥；如圖，當(dāng)時(shí)，又，所以；如圖，當(dāng)與相交且不垂直時(shí)，與平面相交且不垂直.故選：D4.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)樵谏线f增，且，所以，所以，因?yàn)樵谏线f減，且，所以，即，所以，故選：B5.設(shè)，則函數(shù)的最小值為（）A.6 B.7 C.11 D.12〖答案〗C〖解析〗，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以函數(shù)的最小值為.故選：C6.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗∵角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，∴.∴..故選：D.7.如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)的部分圖象，則該函數(shù)的〖解析〗式為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗對于A：是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，即函數(shù)在時(shí)取得最小值2.以上性質(zhì)均與圖象相符.對于B：令，易知且，故該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，其圖象不會(huì)關(guān)于y軸對稱，不符合圖象；對于C：當(dāng)時(shí)，令，，，當(dāng)時(shí)，，，；當(dāng)時(shí)，，，，∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以，即函數(shù)圖象最低點(diǎn)函數(shù)值應(yīng)該小于2，這與圖象不符.對于D：的定義域?yàn)?，不符合圖象.綜上，僅A選項(xiàng)函數(shù)圖象符合題意.故選：A.8.我國的玉文化發(fā)源于新石器時(shí)代早期，綿延至今，貫穿了整個(gè)中華文明史，是中國傳統(tǒng)文化的重要組成部分．如圖是1986年在河南平頂山出土的西周（公元前1046—前771年）青玉琮，高，邊長，內(nèi)徑，體呈外方內(nèi)圓狀，中空，通體素面，則該青玉琮的體積約為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依題意該青玉琮的體積為長方體的體積減去圓柱體的體積，即（）.故選：C9.已知的重心為點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且滿足，記，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意的重心為點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且滿足，則，設(shè)D為的中點(diǎn)，則，故，故選：A10.已知，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意，，根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)可得，即，注意到，于是，故，解得，故.故選：A二、選擇題：本題共2小題，每小題5分，共10分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．11.已知向量，則下列命題中真命題為（）A.若，則或B.若，則C.若，則D.若，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為〖答案〗ACD〖解析〗對A，因?yàn)?，所以，解得或，?dāng)時(shí)，，滿足題意，當(dāng)時(shí)，，滿足題意，故A正確；對B，因?yàn)椋裕獾?，故B錯(cuò)；對C，時(shí)，，則，所以，故C正確；對D，時(shí)，，則向量在向量上的投影為，所以向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為，故D正確.故選：ACD12.若事件滿足，，，，，，，則()A.A與B相互獨(dú)立 B.B與C不相互獨(dú)立C.A與C相互獨(dú)立 D.相互獨(dú)立〖答案〗AC〖解析〗由題可知，，，，，，因?yàn)椋院虰相互獨(dú)立，所以A和B相互獨(dú)立，故選項(xiàng)A正確；因?yàn)?，所以和C相互獨(dú)立，所以B和C相互獨(dú)立，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以A和相互獨(dú)立，所以A和C相互獨(dú)立，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)?，故不相互?dú)立，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，且，則的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，且，所以，所以，所以的取值范圍是故〖答案〗為?4.在測量工作中，測得一組數(shù)據(jù)為2，6，7，5，9，17，10，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為______，第75百分位數(shù)是______．〖答案〗①.8②.10〖解析〗把2，6，7，5，9，17，10，從小到大排列為：2，5，6，7，9，10，17，平均數(shù)為，這組數(shù)據(jù)共7個(gè)，，則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是第6個(gè)數(shù)10.故〖答案〗為：8，10.15.若函數(shù)滿足，則稱函數(shù)為“類期函數(shù)”．已知函數(shù)為“－2類期函數(shù)”，且曲線恒過點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______．〖答案〗〖解析〗由題可知，，令得，，故，，所以曲線恒過點(diǎn).故〖答案〗：16.如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且平面，則______．〖答案〗2〖解析〗連接、，設(shè)、，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接、，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，所以，平面，平面，所以平面，同理可得平面，，平面，所以平面平面，平面，所以平面，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，，所以，又，所以，所以，又為的中點(diǎn)，所以，則，所以.故〖答案〗為：四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知函數(shù)．（1）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求的值域．解：（1）的最小正周期為，因?yàn)榈膯握{(diào)遞增區(qū)間為，令，得，所以．故的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）因?yàn)?，所以，所以，所以，故?dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋?8.某校以課程建設(shè)為核心，建立了學(xué)生勞動(dòng)實(shí)踐基地，開發(fā)了農(nóng)事勞作課程，開展課外種植、養(yǎng)殖活動(dòng)，打算引進(jìn)小動(dòng)物甲以及成立養(yǎng)殖小組．為了解學(xué)生的養(yǎng)殖意愿，該校在一年級(jí)的100名學(xué)生中進(jìn)行問卷調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)如下：性別養(yǎng)殖小動(dòng)物甲喜歡不喜歡男生2030女生4010（1）分別估計(jì)該校男、女生中喜歡養(yǎng)殖小動(dòng)物甲的概率；（2）學(xué)校決定由一年級(jí)負(fù)責(zé)養(yǎng)殖小動(dòng)物甲，現(xiàn)按分層隨機(jī)抽樣的方法從一年級(jí)喜歡小動(dòng)物甲的學(xué)生中隨機(jī)抽取6名學(xué)生組成養(yǎng)殖小組，再從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人擔(dān)任養(yǎng)殖小組主要負(fù)責(zé)人，求這2人恰好都是女生的概率．解：（1）由題意知男生中喜歡養(yǎng)殖小動(dòng)物甲的頻率為；女生中喜歡養(yǎng)殖小動(dòng)物甲的頻率為，所以估計(jì)該校男、女生中喜歡養(yǎng)殖小動(dòng)物甲的概率分別為．（2）抽取的這6人中男生人數(shù)為，分別記為，女生人數(shù)為，分別記為．設(shè)抽取的2人分別為，用數(shù)組表示這個(gè)實(shí)驗(yàn)的一個(gè)樣本點(diǎn)，因此該試驗(yàn)的樣本空間，共15個(gè)樣本點(diǎn)．設(shè)事件“抽取的2人恰好都是女生”，則，共6個(gè)樣本點(diǎn)．因?yàn)闃颖究臻g中每一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等，所以該試驗(yàn)是古典概型，因此．19.如圖，正三棱柱中，分別在棱上，，．（1）證明：平面∥平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離．（1）證明：因?yàn)?，所以．又，所以．又平面平面，所以平面．因?yàn)椋裕制矫嫫矫?，所以平面．因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?）解：法一：如圖，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以．又平面平面，所以．因?yàn)槠矫妫云矫妫制矫?/p>